MODELISATION NUMERIQUE D'UN FLUIDE A MASSE VOLUMIQUE VARIABLE APPLICATION A LA SIMULATION DES AVALANCHES ROCHEUSES EN GRANDE MASSE

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1 MODELISATION NUMERIQUE D'UN FLUIDE A MASSE VOLUMIQUE VARIABLE APPLICATION A LA SIMULATION DES AVALANCHES ROCHEUSES EN GRANDE MASSE ROCHET J. laboratoire de Mécanique des Fluides et d'acoustique - URA CNRS 263 Ecole Centrale de Lyon - Université Claude BernardLyon 1 MENOUARD M. Laboratoire de Mécanique des Fluides et d'acoustique - URA CNRS 263 Ecole Centrale de Lyon - Université Claude Bernard Lyon 1 ROCHET L. Laboratoire Central des Ponts et Chaussées GAY B. laboratoire de Mécanique des Fluides et d'acoustique - URA CNRS 263 Ecole Centrale de Lyon - Université Claude BernardLyon 1 Résumé L'étude de la propagation des éboulements rocheux de grande ampleur fait appel au développement d'outils de modélisation numérique applicables à la simulation de ce type de phénomène. Parallèlement aux travaux effectués sur les milieux granulaires, il est apparu intéressant d'explorer une approche de la modélisation de ces écoulements par homogénéisation au moyen de modèles d'écoulement de type Navier-Stokes appliqués à un milieu continu équivalent particulier. Celui-ci est défmi par des lois de comportement spécifiques induisant des caractéristiques variables de manière spatio-temporelle. La communication présente les premiers résultats issus de cette recherche. INTRODUCTION Les mouvements de terrain constituent un risque naturel très largement répandu. Selon les conditions géologiques, hydrogéologiques, climatiques, topographiques, ils peuvent prendre des formes et des dimensions diverses (éboulements, glissements de terrain, laves torrentielles...). De même leur vitesse d'évolution peut être très largement variable en fonction de la nature des mécanismes mis en jeu, de leur degré d'évolution et des conditions particulières du site. L'évolution du phénomène peut être instable et peut aboutir à une phase de propagation à dynamique rapide. C'est notamment le cas pour les grands éboulements rocheux dont les effets destructeurs et les dommages induits directs et indirects, dépendent étroitement des volumes mis en jeu et des conditions de propagation et de dépôt des matériaux éboulés transportés par l'avalanche rocheuse. L'étude de ces phénomènes complexes fait l'objet d'un programme pluridisciplinaire, notamment dans le domaine de la modélisation de la propagation des éboulements en grande masse. Dans ce cadre il est apparu intéressant d'analyser les possibilités et les limites d'une approche par homogénéisation au moyen de modèles numériques d'écoulements de type Navier-Stokes adapté, appliqués à un milieu monophasique considéré comme équivalent, de masse volumique variable, caractérisé par des propriétés et des lois de comportement particulières. La défmition de cellesci est appuyées principalement sur l'analyse des données expérimentales et de cas réels. 1

2 CONCEPT DE MODELISATION Le milieu étudié est de type monophasique compressible, constitué par un ensemble de particules, dont la variation spatio-temporelle de la loi de comportement permet de représenter des zones de densité variable (zones denses dans l'écoulement «solide», zones de moins en moins denses vers l'extérieur de celui-ci et zones diluées loin de l'écoulement). Par analogie avec la thermodynamique, la vitesse aléatoire des particules peut être assimilée au mouvement thermique des molécules dans la théorie cinétique des gaz. Ce terme appelé «température granulaire» s'écrit sous la forme T = u,2 et représente l'énergie cinétique, par unité de masse, due au mouvement fluctuant de l'écoulement. La loi de comportement utilisée dans cette étude relie donc la masse volumique P du milieu à la température granulaire. L'étude expérimentale menée parallèlement, montre que P varie également en fonction de l'altitude z et que cette.variation est décroissante en fonction de z et de T. La relation choisie est de la fonne : avec 1 1 a= (1 + C1.T) (1 + C2'Z) et P. la masse volumique dans la zone dense Pl la masse volumique dans la zone diluée. MODELISATION NUMERIQUE Mise en équations du problème L'approche par homogénéisation adoptée ICI, permet de considérer l'écoulement granulaire comme celui d'un milieu continu que nous appellerons «fluide granulaire». L'écoulement d'un tel milieu compressible est décrit par un système d'équations de type Navier-Stokes modifié, constitué des équations suivantes : - équation de conservation de la masse : dp + pdivv = 0 avec V(u, v) dt - équation de conservation de la quantité de mouvement: dv: ~- p-=div cr + pf ext dt ~ ~ ~ où cr = -p 1 + 't est le tenseur des contraintes avec =; =2J1 =:+(J1b -%J1)i.diVV ~ 1{. - -T) et E = '2\GradV + GradV La viscosité dynamique J1 évolue ici selon une loi en puissance telle que : _ {J10KDO n - 1 D < Do où J1- KD n- l D D J10 ~ D --d d - 2 IJ IJ dij =2Eij La seconde viscosité J1b' proportionnelle à J1, est considérée ici comme étant très faible. - équation de conservation de l'énergie: avec dt~ - dppepdt= cr.gradv - divq + pt dt + p.divv p : coefficient de compressibilité, Cp: chaleur spécifique à pression constante. Des conditions initiales et des conditions limites adaptées sont nécessaires pour obtenir l'unicité de la solution (voir ci-après). Domaine de calcul Les calculs présentés ci-après représentent l'écoulement d'un fluide à masse volumique variable dans un domaine simplifié, suffisamment grand pour que le comportement aux limites n'affecte pas l'écoulement principal (cf. Fig. 1). z! 6.5m i.. 7~:8~ O.Bm i:.~5::: :.:.: :::: mt,.....f ~ 3 : m O.S Figure 1 : Géométrie du domaine de calcul L'entrée de matière se fait continfunent entre les points 1 et pendant 0.36 seconde puis le débit d'entrée est coupé, laissant ainsi s'écouler la masse de matériau présente dans le domaine. x 2

3 d'entrée est coupé, laissant ainsi s'écouler la masse de matériau présente dans le domaine. Maillage du domaine Le domaine présenté ci-dessus à été maillé à l'aide d'éléments de type «quadrilatère à 9 noeuds», dont les dimensions varient de façon à resserrer le maillage dans les zones d'écoulement (Fig. 2). Frontières latérales (-7) et (3-9) On interdit les échanges avec l'extérieur sur le côté ( 7) afm d'empêcher l'écoulement de ressortir en fixant u = 0 (v reste libre). Le coté (3-9) est libre en vitesse de manière à permettre l'équilibre du débit entre (-7) et (3-9). Ces deux cotés étant situés en zone diluée, la loi de comportement conduit à une température granulaire élevée (température fictiv~iooook). Conditions initiales [L[It[HI 0['" PLOT Le champ de vitesse à l'intérieur du domaine est initialisé par un calcul de Stokes, afin de démarrer les calculs suivants à partir d'un champ «convergé». Les conditions initiales correspondent à un milieu dilué sur l'ensemble du domaine. La loi de comportement conduit à une température granulaire élevée (température fictiv~looook). RESOLUTION NUMERIQUE L, Figure 2 : Maillage du domaine de calcul Conditions aux limites Entrée (1-) On impose un profil de vitesse constant (V=IO mis) de très forte composante verticale afm de représenter l'effondrement de la masse solide après la rupture. Dans cette zone dense, la loi de comportement conduit à une condition limite correspondant à une température granulaire nulle (température fictives:=o K). Substratum (1-3) Il est modélisé comme une paroi ne permettant pas le glissement La vitesse y est donc nulle. L'expérimentation décrit la base de l'écoulement comme une zone dense. On fixe une température granulaire nulle (cf. (1-». Frontière haute (7-9) Ce côté du domaine est modélisé comme un mur pour empêcher la sortie. La vitesse y est donc nulle. Cette frontière étant fixée bien au-delà de la zone d'écoulement dans la zone diluée, la température granulaire y est, alors élevée (température fictiv~1ooook). Les équations étudiées sont traitées à l'aide du logiciel CFD FIDAP, en utilisant une méthode d'éléments finis classique. Le système d'équations est décomposé en un ensemble de sous systèmes à matrices découplées par un algorithme de type «segregated». La solution approchée du problème revient à trouver Ü(u, V,p, T) Cx.u T - C T y. v = 0 tel que: Ku'u - Cx p = fu Kv'v- Cy.p = fv KT T= ft où u et v sont les deux premières composantes de la vitesse. Les matrices K" et K" prennent en compte les effets combinés d'advection - diffusion ainsi que la dépendance en temps. Les matrices ex et Cr et leurs transposées sont associées au gradient de pression et à la divergence de la vitesse. Les vecteurs f,., f... ft représentent les effets des forces volumiques et des conditions limites. L'unicité de la solution est obtenu par le choix des conditions initiales et des coditions aux limites. Schéma de résolution Le système ci-dessus se résume donc à trouver Ü(u, v, p,t) tel que: K(U). U = F Pour cela, on utilise un schéma de résolution par correction de pression. Dans ce cas, la pression n'est 3

4 pas obtenue directement mais de manière incrémentale en exprimant un vecteur correction de pression. On fixe les conditions initiales (uo,vo,po,t1 et des paramètres de relaxation adapt~ (a,.,~a,. «T) Le schéma de r~olutionse déroule de la façon suivante: 1) détermination du vecteur correction de pression, 2) ajustement de la vitesse et incrémentation de la pression, 3) détermination de U;+I à partir de l'équation de quantité de mouvement en x, ) détermination de v'" 1 à partir de l'équation de quantité de mouvement e~ y, 5) détermination de -r+ 1 à partir de l'équation d'énergie. RESULTATS NUMERIQUES Les ~ultats numériques obtenus dans les conditions de calcul décrites précédemment sont visualisés sous forme d'un zonage en couleur isomasse volumique, afm de suivre l'évolution du milieu au cours du temps. Les graphiques.de la figure 3 représentent les premières secondes de l'effondrement d'une masse dense de particules entre les points 1 et.( Phase 1). Après un délai de 0.36 seconde, l'alimentation est supprimée et l'écoulement se poursuit naturellement (phase 2, Fig.). La représentation des graphes iso-masse volumique permet de visualiser la propagation de l'écoulement dense le long de la pente. Le modèle met également en évidence l'entraînement d'un écoulement plus dilué formant une nuée qui se développe à la partie avant de l'écoulement dense, accompagnant et précédant celui-ci (Fig. 3). L'écoulement se poursuit au cours de la phase 2 (Fig. ). Les résultats correspondant à différents pas de temps montrent la propagation et l'étalement de l'écoulement dense sur la pente inférieure. Les calculs indiquent également un étirement progressifde la nuée diluée. Les graphes des figures 5 et 6 indiquent la distribution de la densité (masse volumique) et de la vitesse dans différentes sections (entre les points 1 et 3) au pas de temps t=o.36s. Les profils de densité (Fig. 5) montrent l'existence d'une zone plus dense de l'écoulement audessus du contact avec le substratum. Les profils de vitesse (Fig. 6) indiquent également l'existence d'un maximum de vitesse à la partie supérieure de l'écoulement dense et le développement d'un écoulement dilué induit dans la partie frontale. Figure 5: Profils de densité (phase l, t=o.36s) Figure 6: Profils de vitesse (phase 1, t=o.36s) D'une manière générale les résultats présent~ ici, montrent une assez bonne cohérence qualitative avec les observations effectuées sur des cas réels d'avalanches rocheuses. Toutefois ils ne constituent encore qu'une première approche visant à évaluer la faisabilité et la représentativité des concepts de modélisation proposés. Les différentes configurations de calcul étudiées doivent encore faire l'objet d'une analyse détaillée, notamment en ce qui concerne l'évaluation qualitative et le calage des modèles.

5 Phase 1 : Propagation de J'écoulement dense (alimentation continue entre les points 1et, pendant 0.365). t=o.185s 2 5 7>K....,3JC.1J.1.(~.11'7'[ t- ( L. 3 6 Figure 5 : Ecoulement Phase 1 5

6 Phase 2: Suppression de l'alimentation en 1- et poursuite de l'écoulement,.. t-=0.360s t={).55s 2 5, t=o.380s L 3..~ L. 6 t=o.s05s Figure 6 : Ecoulement Phase 2 6

7 CONCLUSION L'étude de l'application de modèles d'écoulement adaptés à la simulation des avalanches rocheuses s'inscrit dans le cadre d'un programme de recherche plus large concernant la modélisation des éboulements rocheux de grande ampleur. L'analyse des possibilités, des limites et des conditions d'application d'une démarche de modélisation par homogénéisation, intégrant l'ensemble du milieu en mouvement (particules solides et air environnant) constitue l'une des étapes importantes de ce programme. Celle-ci avait pour objectif principal de vérifier, dans un premier temps, la pertinence et la faisabilité de la démarche. Les premiers résultats de l'étude présentés ici confmnent l'intérêt de cette approche. En dépit de certaines difficultés numériques liées à rigidité des codes de calcul généraux, il a été possible d'obtenir la propagation d'un écoulement dense, de densité variable de manière spatio-temporelle. L'écoulement a pu être calculé au moyen d'un code de calcul adapté de type Navier-Stokes en prenant en compte des caractéristiques et des lois de comportement particulières issues de l'expérimentation et de l'observation de cas réels. Un second résultat important de ce concept de modélisation réside dans l'intégration dans le processus de calcul des effets aériens induits par la propagation de la partie dense de l'écoulement. Ceci permet notamment d'envisager également l'application de ce type de modélisation pour l'analyse de l'effet de souffle associé aux avalanches rocheuses de grande ampleur. L'intérêt des premiers résultats obtenus dans cette phase d'évaluation des concepts de modélisation décrits ci-dessus, conduit à poursuivre le développement du programme de recherche dans ce domaine en liaison avec la poursuite des études expérimentales et des analyses de cas réels. Des améliorations et des adaptations spécifiques des codes de calcul apparaissent nécessaires pour permettre la mise au point d'outils de simulation spécifiques efficaces, adaptés aux applications opérationnelles. BIBLIOGRAPHIE AZANZA E., CHEVOIR F., MOUCHERONT P. Experimental study of rapid granular tlows in a two-dimensional channel. Powders & Grains 97, Behringer & Jenkins (eds) 1997 Balkema, Rotterdam, (1997). BAGNOLD R.A. Experiments on a gravity-free dispersion of large spheres in a newtonian tluid under shear. Proc. Roy. Soc. London A225, 9-63 (195). CAMPBELL C.S., BRENNEN C.E. Computer simulation of granular shear tlows. J. Fluid Mech. 151, (1985). CAMPBELL C.S. Rapid granular tlows. Ann. Rev. Fluid Mech. 22, (1990). DRAKE T.G., WALTON O.R. Comparison of experimental and simulated grain tlows. J. ofapplied Mech. 62, (1995) HAFF P.K. Grain tlow as a tluid-mechanical phenomenon. J. Fluid Mech. 13,01-30 (1983). HUNGR O., MORGENSTERN N.R. Experimentents on the tlow behaviour of granular materials at high velocity in an open channel. Géotechnique 3, n03, (198). HUTTER K., HOCH T., PLÜSS C., SAVAGE B. The dynamics of avalanches of granular materials from initiation to runout. Part 1. Theory. Acta Mechanica 100,37-68 (1993). Part II. Experiments. Acta Mechecanica 109, (1995). SAVAGE S.B. Flow ofgranular materials. Theoretical and Applied Mechanics (1989). 7