APPORT DE LA CFD DANS LA PREDICTION DE LA DISPERSION D UN POLLUANT DANS UN ECOULEMENT A SURFACE LIBRE

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1 19-21 Mars, 212, Hammamet, Tunisie APPORT DE LA CFD DANS LA PREDICTION DE LA DISPERSION D UN POLLUANT DANS UN ECOULEMENT A SURFACE LIBRE NAWEL KHALDI 1 ; HATEM MHIRI 1, 2 ; PHILIPPE BOURNOT 3 1. Unité de thermique et de thermodynamique des procédés industriels, Monastir, Tunisie. 2. Département Génie Énergétique, Ecole Nationale d Ingénieurs de Monastir, Monastir, Tunisie. 3. Equipe IMFT, Institut de Mécanique de Marseille, Marseille, France. Résumé : Dans ce travail, on détermine la structure dynamique en régime turbulent de la dispersion d un polluant dans un écoulement diphasique à surface libre. La simulation numérique a été réalisée par le code de calcul Fluent 6.3 qui utilise la méthode des volumes finis pour la résolution des équations de conservation. L écoulement étudié est tridimensionnel, instationnaire et isotherme. Le domaine d étude a été doté d un obstacle afin d analyser son influence sur les variables hydrodynamiques et sur la progression du polluant. Les résultats numériques obtenus prouvent que le modèle hydrodynamique assure la prédiction de la dispersion d un polluant dans un écoulement à surface libre et reproduit la recirculation et le piégeage du polluant à l'aval proche de l'obstacle. Mots clés : CFD ; Dispersion de polluants ; écoulement à surface libre ; VOF ; Turbulent. 1. Introduction Les résidus industriels déversés dans la mer ont des effets particulièrement nuisibles sur le milieu marin. Afin de prédire l évolution de la pollution dans ce dernier, et plus particulièrement dans les écoulements à surface libre, on peut avoir recours à des méthodes numériques qui permettent de résoudre convenablement le comportement réel de ce type d écoulement. Un modèle numérique tridimensionnel s avère nécessaire pour rendre compte de la réelle complexité des phénomènes naturels à savoir d'éventuels gradients de densité donnant naissance à des courants hétérogènes dans la masse du fluide ou des circulations dues à l'entraînement par le vent. L étude de la dispersion de polluants dans un écoulement à surface libre est très complexe et nécessite, en premier lieu, de bien comprendre le comportement d un écoulement multiphasique. Parmi les modèles tridimensionnels décrivant ce type d écoulement, figure le modèle aux différences finies de [Casulli et Stelling (1998)] qui permet de modéliser l écoulement et la dispersion de polluants dans des géométries complexes. Nous citons aussi le code de [Sinha et al. (1998)] qui modélise également les écoulements fluviaux sur des rugosités de grandes échelles ou le modèle de [Demuren et Rodi (1983)] qui simule l écoulement au voisinage d un rejet polluant dans un canal ouvert. Tous ces modèles numériques tridimensionnels sont fondés sur la méthode eulérienne de suivi d interface en volume finis, utilisant les équations complètes de Navier-Stokes. Dans le cadre de ce travail, nous nous proposons d utiliser la méthode eulérienne de suivi en volume, plus précisément celle de volume de fluide (VOF), pour la prédiction de la dispersion d un polluant dans un écoulement à surface libre. Les applications du modèle de VOF incluent le mouvement du liquide après une interruption de barrage, le mouvement de grandes bulles dans un liquide et le comportement de n'importe quelle interface liquide-gaz. Le champ de fraction volumique nous permet de déterminer la position exacte de la surface libre à l aide d une étape de reconstruction géométrique de l interface. Les méthodes VOF n ont pas cessé de connaître des évolutions au cours de ces dernières décennies. La méthode VOF SLIC (Simple Line Interface Calculation) de [Noh et Woodward (1976)] fait partie des premières méthodes VOF développées. [Chorin (198)] ainsi que [Hirt et Nichols (1981)] ont ensuite amélioré cette technique afin d améliorer la position de la surface libre. [De Bar (1974)] est le premier à utiliser la méthode VOF PLIC (Piecewise Linear Interface Calculation) pour la représentation de l interface. Cette méthode a été ultérieurement améliorée par [Youngs (1982)] et [Lotstedt (1982)]. [Marc et al. (1999)] ont développé un modèle basé sur la méthode des éléments finis pour suivre l interface fluide-fluide. Après avoir déterminé la position de l interface, ils ont effectué une adaptation locale et temporaire du maillage à fin de préserver la discontinuité matérielle. [Alain et al. (25)] ont présenté une méthode de calculs pour l écoulement tridimensionnel instationnaire autour d un obstacle immergé avec vitesse d avance. Leur étude a porté essentiellement sur l influence du nombre de Froude sur les maxima de l élévation de la surface libre. 1

2 19-21 Mars, 212, Hammamet, Tunisie L amélioration des méthodes numériques de suivi d interface a procuré un intérêt considérable aux simulations numériques de dispersion de polluants dans les écoulements à surface libre. Dans cette optique, une étude numérique de la dispersion d'une pollution ponctuelle au voisinage de son rejet dans un écoulement en rivière a été faite par [Buil (1995)]. La résolution numérique des équations complètes de Navier-Stokes, de convectiondiffusion, de la concentration du polluant et de la température de l'écoulement a été réalisée à l aide du logiciel CFX-F3D. [Dehkordi et Mehrabadi (211)] ont montré à l aide d une étude numérique détaillée d un écoulement à surface libre autour de différents obstacles, que plus la taille des obstacles grandit plus la hauteur de la surface libre augmente à l'amont de l obstacle et diminue en son aval. Une simulation numérique à l aide du code de calcul Fluent a été faite par [Belcaid et al. (211)] dans le but d étudier l influence des courants de la marée et du vent sur la dispersion de polluants dans la baie de Tanger. Les constatations de la modélisation en bidimensionnelle ont été utilisées pour passer à une modélisation en tridimensionnelle afin de mieux s approcher de la réalité et de cerner physiquement ce processus de la dispersion. Dans le même contexte, une méthode aux volumes finis adaptative, utilisant un maillage triangulaire non structuré, a été mise au point par [Benkhaldoun et al. (2)] afin de prédire la dispersion des polluants dans le détroit de Gibraltar. Nous nous sommes intéressés, dans le cadre de cette étude, à la modélisation numérique de la dispersion d un polluant dans un écoulement à surface libre. Nous présentons d abord les équations qui régissent le problème physique : elles ont été résolues avec le logiciel Fluent 6.3. Étant donné que le polluant se propage normalement dans toutes les directions de l'espace, une modélisation tridimensionnelle s avère nécessaire et comme le devenir du polluant dépend des caractéristiques de l'écoulement qui le transporte, une étude hydrodynamique sera donc essentielle pour valider le modèle et les conditions aux limites utilisés. 2. Formulation Mathématiques 2.1 Hypothèses Nous nous plaçons dans le cadre d'un écoulement tridimensionnel, non permanent, isotherme et avec diffusion du polluant. L écoulement est en régime turbulent et il est constitué de deux fluides distincts : l'eau et l'air. Les fluides sont non miscibles et newtoniens. La tension de surface est supposée constante. Pour le choix du polluant nous limitons cette étude à l utilisation de l eau salée et nous considérons que l évolution de la salinité représente l évolution du polluant dans le domaine d étude. La salinité est considérée comme étant un scalaire passif et nous signalons que dans l'air, ce scalaire est supposé nul à tout moment. Cette étude numérique a été réalisée sur un canal horizontal ayant 4 m de longueur, une profondeur égale à.5 m et une largeur de.25 m. Le domaine de simulation est présenté sur la Fig. 1. Notons qu uniquement la moitié du domaine réel a été considérée grâce à la condition de symétrie. Nous ajoutons un seuil rectangulaire et perpendiculaire au fond du canal à une distance de la frontière amont. En effet, nous construisons un obstacle afin de montrer son influence sur les variables hydrodynamiques et sur la progression du polluant. Cet obstacle a pour largeur celle du canal, pour épaisseur et pour hauteur. Fig. 1. Représentation schématique du domaine de simulation. 2

3 19-21 Mars, 212, Hammamet, Tunisie 2.2 Formulation Mathématique Les simulations numériques ont été réalisées à l aide du code commercial Fluent 6.3. L interaction entre les phases liquide (eau) et gazeuse (air) est tenue en compte grâce au modèle de volume de fluide (VOF). Ce modèle multiphasique résout un système simple des équations de continuité et de quantité de mouvement pour le mélange des deux phases et de l'équation de la fraction volumique pour la phase secondaire. (1) (2) (3) Dans ce travail, la netteté de la surface libre a été assurée au moyen d un schéma de type Geo-Reconstruct, fondé sur l hypothèse que la surface libre est linéaire au sein d une cellule. Le modèle de turbulence qui a été retenu pour les calculs est le modèle k-epsilon. 3. Méthode de Résolution Numérique Le domaine fluide a été maillé à l aide du pré-processeur Gambit. Le maillage adopté est un maillage rectangulaire, non uniforme dans les deux directions x et z (Fig. 2). En effet, selon la direction x, le maillage est lâche sur toute la longueur sauf au voisinage de l obstacle et des deux extrémités du domaine où nous considérons un pas de calcul plus fin ( x=1-2 ). Selon la direction z, le maillage est globalement non uniforme ; il est serré ( z=1-2 ) au fur et à mesure qu on s approche de la surface libre, où de fortes variations de la vitesse sont attendues, et plus lâche ( z=1-1 ) au fur et à mesure qu on s éloigne de l interface. Fig. 2. Maillage du domaine de simulation. Les vitesses initiales de l écoulement dans les différents domaines fluides et la condition initiale en hauteur d eau sont comme suit : La condition initiale en hauteur d eau : ; La vitesse longitudinale initiale de l air au niveau du toit : ; La vitesse initiale de l eau :. Nous considérons un profil de vitesse uniforme dans l'eau et décroissant dans l air afin d obtenir un écoulement d'air à faible vitesse pour satisfaire à l air une condition de quasi-repos. Ainsi, les conditions aux limites sont décrites comme suit: Dans le domaine liquide : ; Dans le domaine gazeux : ; A et B sont des constantes calculées tel que : - au niveau de la surface libre, - au niveau du toit.. 3

4 19-21 Mars, 212, Hammamet, Tunisie Les conditions aux limites pour les variables turbulentes sont données par les formules suivantes : (4) (5) 4. Résultats et Interprétations Nous débutons par une étude hydrodynamique afin de valider le modèle et les conditions aux limites utilisés. La Fig. 3 nous permet de déduire que l écoulement sans diffusion de polluant parvient à un état permanent à l instant t = 7 s. Une fois l'écoulement est parvenu à un état permanent, la position de la surface libre dans le plan y =.1125m est représentée sur la Fig. 4. Cette même figure montre que l'introduction de l obstacle perturbe la ligne d'eau de manière très classique. Fig. 3. Profils de vitesse longitudinale dans le plan, y =.1125 m. Fig. 4. Contours de Fraction volumique sur le plan, y =,1125 m. Pour plus de précision nous passons d une vision globale de la position de la surface libre à une représentation plus rigoureuse illustrée par la Fig. 5. Cette illustration montre précisément les valeurs prises par les cotes de la surface libre sur toute la longueur du domaine d étude et confirme bien que l'introduction d un seuil perpendiculaire au fond du canal perturbe la ligne d'eau. La Fig. 6 représente un zoom au voisinage de l obstacle et met en évidence le développement d une zone de recirculation en son aval. 4

5 19-21 Mars, 212, Hammamet, Tunisie.2 Position de la surface libre à t=7s h eau (m) X(m) Fig. 5. Hauteurs d eau en fonction de x à y =.1125 m. Fig. 6. Contours et champs de vitesse projetés sur le plan, y =.1125 m. Nous représentons sur la Fig. 7 les profils de vitesse longitudinale pour différentes positions situées au plan y =.1125 m. Nous observons une augmentation de la vitesse de l eau dans la zone située entre l injection et l obstacle et également une accélération à l amont de l obstacle suite à une décélération en son aval. Nous remarquons également que l augmentation de la vitesse de l eau au niveau de la surface libre affecte la vitesse de l air dans la zone proche de cette interface. Cet impacte serait dû à l'importance du processus d'entraînement dans cette zone de l'écoulement. Par ailleurs aucune modification significative n est observée pour l écoulement de l air. Dans ce qui suit, nous nous intéressons à l'évolution du polluant dans l'écoulement. L injection du polluant est réalisée au niveau de la surface libre avec une vitesse constante u =.5 m/s. Nous exposons les contours de distribution de la salinité pour différents instants sur la Fig. 8, à travers laquelle nous observons le phénomène de dispersion de la salinité au cours du temps dans la direction de l'écoulement et nous pouvons identifier à chaque instant la position de la concentration maximale. A l instant t = 3 s, nous observons un nuage de salinité insignifiant et non symétrique avec une concentration globalement faible. Après 1 s de l injection initiale, la concentration augmente au voisinage de l entrée et le nuage de salinité se disperse dans les deux directions, longitudinale et verticale, de l écoulement. A l instant t = 4 s, le nuage est plutôt symétrique et se disperse dans la direction longitudinale, nous pouvons voir également que la position de la concentration maximale évolue selon x dans la zone proche de l entrée. A l instant t = 7 s, la concentration maximale reste à la même position selon x et le nuage de salinité continue sa dispersion longitudinale de manière assez régulière jusqu à ce que sa trajectoire initiale se trouve légèrement déviée par l obstacle. Dès lors, nous parvenons à percevoir l'influence de l'obstacle sur la dispersion du nuage de polluant. En effet, nous découvrons qu'une certaine quantité de polluant reste piégée à l'aval du seuil dans la zone où la vitesse est la plus faible, ceci sera à l'origine de l'augmentation du temps de séjour de la pollution dans le canal. Pour plus de précision, nous représentons sur la Fig. 9 l évolution de la salinité au cours du temps pour différentes positions situées au plan y =.1125 m. Si nous nous plaçons juste à l amont de l obstacle (x = 1m), nous remarquons que le taux de salinité est presque nul jusqu'à l instant t = 1 s, ensuit il passe de g/l à t = 4 s jusqu'à une valeur de g/l à t = 7 s, le polluant injecté avec une vitesse constante u =.5 m/s nécessite donc au moins 1 s pour atteindre cet endroit. Pour x = 1.5 m, juste à l aval de l obstacle, le taux de salinité est presque nul dès le début de l injection jusqu'à l instant t = 4 s. En revanche, nous pouvons voir qu à l instant t = 7 s le taux de salinité est non nul, il conserve plutôt une faible valeur constante de l ordre de g/l entre z = m et z =.9 m (zone de recirculation). Bien évidemment, le piégeage de la pollution dans la zone de recirculation de l'écoulement est un phénomène prévu dans un canal doté d un obstacle. Nous remarquons aussi que pour z >.1825 m et pour différentes abscisses, le taux de salinité est strictement nul puisque nous supposons déjà que le polluant n'est pas présent dans l'air. Nous constatons également qu à la limite amont du canal et dés le début de l injection, le polluant se propage vers le fond au cours des premiers instants ensuite il a tendance à s élever vers la surface libre durant son évolution au cours du temps et de l espace. 5

6 19-21 Mars, 212, Hammamet, Tunisie Vitesse longitudinale (m/s) à x= m Vitesse longitudinale (m/s) à x=1.42 m Vitesse longitudinale (m/s) à x=1.49 m Vitesse longitudinale (m/s) à x=1.54 m Vitesse longitudinale (m/s) à x=1.6 m Vitesse longitudinale (m/s) à x=3.99 m Fig. 7. Profils de vitesse longitudinale en différentes abscisses du plan, y =.1125 m. 6

7 19-21 Mars, 212, Hammamet, Tunisie Fig. 8. Distribution de la salinité au cours du temps sur le plan, y =.1125 m et pour différents instants..3 x=1 m t=3s t=1s t=4s t=7s.3 x=1.5 m t=3s t=1s t=4s t=7s.2.2 Salinité (g/l) Salinité (g/l) Fig. 9. Evolution de la salinité au cours du temps en différentes abscisses du plan, y =.1125 m. 7

8 19-21 Mars, 212, Hammamet, Tunisie 5. Conclusion Dans ce travail, nous avons présenté la structure dynamique en régime turbulent de la dispersion d un polluant dans un écoulement à surface libre. La simulation numérique a été réalisée par le code de calcul Fluent 6.3. L écoulement étudié est tridimensionnel, instationnaire et isotherme. Le domaine d étude a été doté d un obstacle afin d analyser son influence sur les variables hydrodynamiques et sur la progression du polluant. Les résultats numériques obtenus prouvent que le modèle hydrodynamique assure la prédiction de la dispersion d un polluant dans un écoulement à surface libre et reproduit la recirculation et le piégeage du polluant à l'aval proche de l'obstacle. Nous en déduisons également qu à la limite amont du canal et dès les premiers instants de l injection, le polluant se propage vers le fond, ensuite il a tendance à s élever vers la surface libre durant son évolution au cours du temps et de l espace. 6. Références Bibliographiques [1] Belcaid, A. ; Lepalec, G. ; Draoui, A. ; Bournot, P. (211) : Modélisation tridimensionnelle de l'influence de la bathymétrie et des courants sur la dispersion des polluants dans la baie de Tanger (Maroc), Conférence Méditerranéenne Côtière et Maritime, Edition 2, Tanger, Maroc. [2] Benkhaldoun, F. ; Elmahi, I. ; Seaid, M. (2) : Numerical models for contaminant transport in the Strait of Gibraltar, Communications In Numerical Methods In Engineering. [3] Buil, N. (1995) : Modélisation en trois dimensions du transport de polluants en cours d'eau Rapport CEMAGREF LYON. [4] Casulli, V. ; Stelling, G.S. (1998) : Numerical simulation of 3D quasi-hydrostatic, free surface flows, Journal of Hydraulic Engineering, 7, pp [5] Chorin, A. J. (198) : Flame advection and propagation algorithms, J. Comput. Physics, 35, pp [6] De Bar, R. (1974) : Fundamentals of the KRAKEN code, Technical report. [7] Dehkordi, B. G. ; Mehrabadi, A. (211) : Numerical Simulation of Free Surface Flow over Different Obstacles, European Journal of Scientific Research, 58, pp [8] Demuren, A.O. ; Rodi, W. (1983) : Side discharges into open channels: Mathematical model, Journal of Hydraulic Engineering, pp [9] Hirt, C. W. ; Nichols, B.D. (1981) : Volume of fluid (VOF) method for the dynamics of free boundaries J. Comput. Physics, 39, pp [1] Lotstedt, P. (1982) : A front tracking method applied to Burger s equation and two-phases porous flow, J. Comput. Physics, 47, pp [11] Marc, M. ; Marc, J. (1999) : Modélisation par éléments finis d écoulements à surface libre avec changement de phase solide-liquide, Int. J. Therm. Sci., 38, pp [12] Noh, W.F. ; Woodward, P. (1976) : SLIC (Simple Line Interface Calculations) Lecture Notes in Physics, 59, pp [13] Rebeyrotte, A. ; Ba, M. ; Guilbaud, M. (25) : Prise en compte des effets non linéaires de surface libre en écoulement instationnaire, C. R. Mecanique, 333, pp [14] Sinha, S.K. ; Sotiropoulos, F. ; Odgaard, A.J. (1998) : Three dimensional numerical model for flow through natural rivers, Journal of Hydraulic Engineering, 1, pp [15] Youngs, D. L. (1982) : Time dependent multi-material flow with large fluid distortion, Numerical Methods for Fluid Dynamics, K.W. Morton and M.J. Baines (eds.), New York Academic Press, pp

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