Approche logique de l intelligence artificielle

Transcription

1 Approche logique de l intelligence artificielle Où l on voit comment une méthode de démonstration formelle en logique des prédicats a permis la réalisation d un langage de programmation logique Prolog capable de concevoir des «systèmes intelligents». 2010

2

3 Table des matières Introduction.3 I) Logique des prédicats..5 I.1) Syntaxe du calcul des prédicats 7 I.1.1) Langage du calcul des prédicats... 7 I.1.2) Formules bien formées..7 a) Les termes... 7 b) Les atomes..8 c) Formules bien formées 8 I.1.3) Représentation d un FBF sous la forme d un arbre...9 I.1.4) Portée d un quantificateur, variable libre ou liée 10 a) Portée d un quantificateur. 10 b) Variable libre, variable liée...11 I.2) Sémantique du calcul des prédicats 12 I.2.1) Réalisation d un langage.12 I.2.2) Valeur d une formule.. 12 a) Assignation de variables...12 b) Valeur d une formule dans un modèle, pour une assignation c) Valeur d une formule dans un modèle...14 I.2.3) Formules valides, inconsistantes, équivalentes...14 I.2.4) Théorie, conséquence logique.15 I.2.5) Equivalence du calcul des prédicats 17 I.3) Système axiomatique, règles d inférences.19 I.3.1) Définitions...19 I.3.2) Système axiomatique du calcul des prédicats..19 I.3.3) Complétude du calcul des prédicats I.3.4) Indécidabilité du calcul des prédicats..21 II) Procédure de Preuve par réfutation : le principe de résolution II.1) Ecriture sous forme clausale.25 II.1.1) Formes prénexes. 25 II.1.2) Formes normales conjonctives...28 II.1.3) Formes de Skolem..30 II.1.4) Formes clausales 31 II.1.5) En résumé : Algorithme de mise sous forme clausale...33 II.1.6) Exemple complet 34 II.2) Principe de résolution 35 II.2.1) Principe de résolution appliqué à des clauses concrètes 35 II.2.2) Unification de littéraux...36 a) Substitution 36 b) Unification.37 c) Algorithme d unification...38 II.2.3) Principe de résolution appliqué à des clauses quelconques...41 II.2.4) Propriétés du principe de résolution...41 II.3) Preuve par réfutation en utilisant le principe de résolution...43 II.3.1) Réfutation par résolution 43 1

4 II.3.2) Non déterminisme de la réfutation par résolution..46 a) Non déterminisme.46 b) Stratégies de résolution par réfutation, complètes, effectivement complètes...47 c) Graphe de dérivation, graphe de réfutation...47 II.3.3) Quelques exemples de stratégies 49 a) Stratégie de résolution «en largeur» 49 b) Stratégie de résolution «linéaire»...49 c) Stratégie «linéaire par entrée».52 II.3.4) Principe de résolution restreint aux clauses de Horn 53 II.3.5) Principes de programmation logique.54 II.4) Illustrations 57 2

5 Introduction Il faudrait plus que quelques lignes pour définir fidèlement si tant est que cela soit possible ce que l appellation d Intelligence Artificielle recouvre de nos jours. Disons que ce domaine, d orientation plus pragmatique que théorique, a pour objet de faire réaliser à des systèmes informatiques des tâches complexes nécessitant une forme de «raisonnement» dit «intelligent». Des activités mentales comme par exemple celles nécessitées par la conduite d un véhicule, la pratique des mathématiques, la compréhension d une langue, la pratique des échecs ou l étude d un cours de l école de l air ( ) sont habituellement considérées comme faisant appel à un raisonnement «intelligent». Durant ces dernières décennies de nombreux systèmes informatiques pouvant accomplir des tâches de cette nature ont été conçus. Il existe par exemple des systèmes capables de diagnostiquer une maladie, de battre le champion du monde aux échecs, de prévoir la synthèse de produits chimiques complexes, de résoudre des équations différentielles, d écrire de petits programmes répondant à certaines spécifications formelles, de traduire des textes de construction assez simple, ou de retranscrire un discours oral (etc ). Ainsi l intelligence artificielle est déjà présente dans le monde technologique qui nous entoure. Plus que cela, son développement est intimement lié aux développements technologiques à venir. La conception de tels systèmes repose essentiellement sur des techniques générales provenant de la logique, des mathématiques, et de l informatique théorique. Ces techniques sont encore en nombre relativement restreint l IA est une discipline récente. Nous nous focaliserons dans ce cours seulement sur l une d entre-elle, à cause de son importance et de sa généralité (certaines techniques de théorie des graphes, d heuristique, ou d optimisation combinatoire seront abordées par ailleurs, pour elles-mêmes, dans d autres cours de la mineure de Recherche Opérationnelle). La technique que nous étudierons est le fondement théorique du langage de programmation logique PROLOG, langage utilisé pour la conception de nombreux systèmes «intelligents». Il s agit grosso modo d une technique de démonstration automatique de théorèmes même si elle sera rarement utilisée pour résoudre des problèmes mathématiques. Cette technique utilise la logique des prédicats pour représenter les connaissances dont on dispose. Le langage des prédicats est suffisamment riche pour représenter formellement un grand nombre de connaissances ou faits, et leurs relations logiques. A partir d un ensemble de connaissances initiales (c'est-à-dire de formules dans le langage des prédicats), on peut se poser la question de savoir si un fait quelconque (traductible en une formule du même langage) doit nécessairement être vrai (par exemple si : «Tous les hommes sont mortels» et si «Socrate est un homme», alors «Socrate est mortel» est nécessairement vrai). Dans ce cadre logique, la véracité d un tel fait constitue un théorème, et pour l établir il s agit d en effectuer une démonstration. Pour qu un système informatique soit capable à partir de certains faits exprimés dans le langage des prédicats, d en déduire d autres il faut qu il soit capable d effectuer des démonstrations automatiques. C est d une telle technique de démonstration automatique dont ce cours fait l objet. Le cours se compose de deux chapitres. Dans le premier chapitre nous introduisons la logique des prédicats, d une façon assez classique. Dans le deuxième chapitre nous établissons la procédure de preuve automatique dite procédure de preuve par réfutation. Nous terminons ce chapitre par un survol (très rapide) du langage PROLOG, et par quelques illustrations. 3 Novembre 2003

6 4

7 Chapitre I Logique des prédicats 5

8 Introduction La logique, initiée par Aristote au IV e av. J.C. dans l Organon, a pour vocation d étudier le raisonnement déductif en lui-même, abstraction faite de la matière à laquelle il s applique ou de tout processus psychologique. Par exemple tandis que «le frère de ma mère est mon oncle» est une vérité de langage, et que «le feu ça brûle» est une vérité de fait, les trois phrases suivantes sont des vérités logiques : «si lorsqu il pleut la route est mouillée, alors si la route n est pas mouillée c est qu il ne pleut pas», «si soit il fait beau, soit il pleut, alors s il ne pleut pas, c est qu il fait beau», «si tous les chats sont verts, et si Félix est un chat, alors Félix est vert». Après Aristote, la logique sous un aspect plus formel a été développée au XIX e siècle, essentiellement dans le but d établir un fondement solide des Mathématiques. C est à cette époque qu apparaît la logique des prédicats (Frege, 1879). Plutôt que de la logique il faudrait parler des logiques. Il existe de nombreux types de logiques, chacune d entre-elles étant plus adéquates que les autres pour exprimer certains types de raisonnement. La plus simple d entre-elles est certainement la logique des propositions. Elle traite de propositions qui prennent les valeurs vraie ou fausse, et des connecteurs logiques, le non :, le ou :, le et :, et le implique : (et éventuellement le est équivalent à : ). La logique des propositions est cependant trop pauvre pour exprimer beaucoup de vérités. La première vérité logique citée plus haut peut se formaliser par ( Pluie mouillée) ( mouillée Pluie), et la deuxième vérité logique par la formule ( Soleil Pluie) ( Pluie Soleil), et ces formules sont dites valides ou des tautologies (elles sont vraies indépendamment des valeurs prises par les propositions Pluie, mouillée, etc ). Cependant la troisième vérité logique ci-dessus ne peut pas s exprimer comme une tautologie du langage des propositions ; la raison en est la présence du quantificateur «tous les». Pour exprimer cette dernière vérité logique il est nécessaire de faire appel à la logique des prédicats. En logique des prédicats on dispose de variables, de constantes, et de fonctions, et les propositions sont remplacées par des prédicats dépendant de variables ; ils prennent la valeur vrai ou faux en fonction des valeurs prises par leur variable. On utilise toujours les connecteurs logiques ; bref le langage des prédicats doit être compris comme une version améliorée du langage des propositions, intégrant des variables, des constantes et des fonctions. Une particularité supplémentaire est l emploi des quantificateurs (dit universel) et (dit existentiel). La dernière vérité logique peut s exprimer dans ce langage comme la tautologie (( x, Chat( x) Vert( x)) Chat( Félix)) Vert( Félix). La logique des prédicats est assez riche pour exprimer un grand nombre de vérités logiques. Elle permet d ailleurs de formaliser la plupart des mathématiques. Même si elle est inadéquate pour exprimer certaines situations (comme des concepts temporels «demain») elle constitue un bon compromis entre simplicité et puissance d expression, et joue un rôle d importance en I.A.. 6

9 I.1) Syntaxe du calcul des prédicats I.1.1) Langage du calcul des prédicats On se donne un alphabet constitué des symboles suivants : Un ensemble de symboles appelés les constantes. Sauf contre-indication on aura coutume de les désigner par les premières lettres minuscules de l alphabet, éventuellement munies d indices : a, b, c, d,, a1, a2,..., etc.... Un ensemble de symboles appelés les variables. On les désignera usuellement par les dernières lettres de l alphabet minuscule : x, y, z, x1, x2,..., z1, z2,... etc.. Un ensemble de symboles appelés les prédicats, que l on désignera usuellement par les lettres majuscules : PQR,,,..., P1, P2,..., etc... Tout prédicat est muni d une arité, i.e. d un nombre entier : 0, 1,2,,etc., (qui informellement représente le nombre d arguments qu accepte le prédicat). Des prédicats munis d arité 1, 2, 3, n, sont appelés respectivement des prédicats unaires, binaires, ternaires, n-aires. Un prédicat d arité 0 est aussi appelé une proposition. Un ensemble de symboles appelés les fonctions, désignés par : f, gh,,..., f1, f2, etc,... Eux aussi sont munis d une arité, à ceci près qu il s agit d un entier non nul : 1, 2,3,, n (et on parlera de fonction unaire, binaire, ternaire, ou n-aire. Les séparateurs : ce sont les parenthèses : ( et ) ; ainsi que la virgule :,. Les connecteurs logiques :,,,,, (respectivement désignés, «non», «et», «ou», «implique», et «équivaut à»). Les quantificateurs (respectivement existentiel et universel) : et. Ces symboles sont dénués de toute signification intrinsèque. Il ne servent qu à constituer un langage formel : à partir de cet alphabet on peut concevoir des formules (des suites finies de symboles, comme : a P( x, y, ou x, Px ( ), ) ; parmi toutes les formules on ne considérera que certaines d entre elles appelées des formules bien formées. Ces FBFs en abrégé, sont définies par certaines règles grammaticales, exposées dans le prochain paragraphe. I.1.2) Formules bien formés (ou FBFs) a) Les termes : Ils sont définis par induction de la façon suivante : Les variables et les constantes sont des termes. Si f est une fonction d arité n, et si t 1, t 2,..., t n sont n termes, alors la formule f ( t1, t2,..., t n ) un terme. Tous les termes s obtiennent de cette façon (propriété de clôture). Remarques : - Attention il s agit là d un abus de notation!! Les t 1, t 2,..., t n ne sont pas nécessairement des symboles de notre alphabet, mais représentent des termes!! La notation f ( t1, t2,..., t n) représente la formule obtenue en remplaçant chaque t i par le terme qu il représente. Nous pourrons commettre souvent cet abus de notation. 7

10 Exemples : Si f, g sont des fonctions respectivement unaire et binaire, a, b des constantes, et x une variable, alors les formules : a ; x ; f(x) ; f ( f( b )) ; f ( gb (, f( x ))) sont des termes. Si l on considère les fonctions unaires père etmère, et les constantes Nathalie eteric, on peut former (entre autres) les termes suivants : père( Nathalie ), mère( père( Eric )), Eric. Informellement les termes sont les éléments. Ils vivent dans un monde appelé espace des termes ou domaine. Cela sera précisé rigoureusement dans la section I.2 qui traite de sémantique. b) Les atomes : Ils sont définis par les lois : Toute proposition (ou prédicat d arité 0) est un atome. Si P est un prédicat n-aire, et si t 1, t 2,..., t n sont n termes, alors Pt ( 1, t2,..., t n ) est un atome. Tout atome s obtient ainsi (propriété de clôture) Exemple : Si P est un prédicat binaire, Pax (, ) et Pgab ( (, ), f( x )) sont des atomes (dits aussi formules atomiques car nous allons voir que ce sont en particulier des FBFs). Informellement les atomes sont des propositions qui prennent des valeurs V (vrai) ou F (faux), lorsque les variables qu ils invoquent prennent des valeurs. La véracité de ces propositions dépend en général des valeurs prises par les variables invoquées. c) Formules bien formées : Elles sont définies par le procédé d induction : Les atomes sont des FBFs. Si F 1 et F 2 sont des FBFs, alors les formules ( F1 F2) ; ( F1 F2) ; ( F1 F2) ; ( F1 F2) ; et F1 sont des FBFs. Si F est une FBF, et x une variable, x, F et x, F sont des FBFs. (F est alors appelé la portée du quantificateur.) Propriété de clôture. Exemples : Les formules y,( x, P( a, b)) ( P( f( y), b)) ; x, y, P( x, y) sont des FBFs. Les termes ne sont jamais des FBFs!! Les formules x ; f ( a ) ; f ( a) g( x, b) ne sont pas des FBFs!! Si l on rajoute au dernier exemple du paragraphe précédent le prédicat unaire CONNAITRE, alors on peut construire (entre autres) les FBFs suivantes : CONNAITRE( père( Nathalie )) ; CONNAITRE( Nathalie) CONNAITRE( mère( Eric)). Remarques et notations : Les parenthèses n ayant d autre utilité que d encadrer le champ des paramètres d un prédicat, d une fonction, ou d un connecteur et d imposer les priorités dans leur évaluation, on pourra dans certains cas où ils ne présentent aucune utilité ou ambiguïté sémantique commettre des abus de notation les concernant : Ainsi les formules suivantes sont des FBFs : ( Pax (, )) ; ( Pab (, )) ; Pax (, ) Pbb (, ) ; Paa (, ) xpxx, (, ). 8

11 Nous pourrons employer les crochets «[,]» en lieu et place de parenthèses pour accroître la lisibilité des formules. De la même façon, lorsque nous aurons parlé de l équivalence des FBFs, et des règles d associativité de ainsi que de, nous aurons coutume de noter F1 F2 F3 (forme conjonctive) au lieu de ( F1 ( F2 F3)) ou de (( F1 F2) F3) ; de même nous noterons F1 F2 F3 (forme disjonctive). Mais attention, F1 F2 F3 n est pas une FBF!! Toute FBF de la forme F ou F, où F est un atome est appelé un littéral. Dans le premier cas on parlera de littéral positif et dans le second cas de littéral négatif. I.1.3 Représentation d une FBF sous la forme d un arbre Il peut-être plus pratique (ou du moins plus visuel) de représenter un FBF sous la forme d un arbre. Cela a l avantage d éviter l utilisation de parenthèses -souvent peu lisibles. Les sommets de cet arbre sont labellés : ils sont représentés par des cercles (ou nœuds, ou sommets) contenant le symbole de notre alphabet d une constante, variable, prédicat, fonction, connecteur ou bien d un quantificateur suivi d une variable ( x ou y ) (seuls les séparateurs sont omis). L arbre se lit de haut en bas. Si un sommet a pour label un symbole de fonction, prédicat (d arité >0), connecteur ou quantificateur, d arité n, il part de la base de ce sommet n arêtes qui le relient à ses arguments. Si un sommet a pour label une variable ou une constante, il ne part de sa base aucune arête ; de même si il s agit d une proposition : on dit que c est une feuille. Le nœud situé le plus en haut est appelé la racine de l arbre. Le mieux est d illustrer sa construction sur des exemples : Exemples : Dans le dernier paragraphe nous avons considéré les FBFs suivantes : x, y, P( x, y) y,( x, P( a, b)) ( P( f( y), b)) La FBF x, y, P( x, y) donne le graphe suivant : x y P x y La FBF y,( x, P( a, b)) ( P( f( y), b)) donne le graphe qui suit. Cet exemple est bien plus instructif : 9

12 y x P P a b f b y On voit sur cet exemple que la construction de l arbre suit la construction inductive de la formule : dans l exemple qui précède la formule y,( x, P( a, b)) ( P( f( y), b)) est construite à partir des termes a, b, f(y), en formant d abord les atomes P (a, b), et P( f( y), b ), puis en considérant les FBFs x, Pab (, ) et P( f( y), b), dont on prend la conjonction, puis finalement, en quantifiant existentiellement la variable y. I.1.4) Portée d un quantificateur, variable libre ou liée a) Portée d un quantificateur Considérons une FBF notée φ et supposons qu elle invoque un quantificateur quelconque ; on suppose sans perte de généralité que φ invoque le quantificateur (i.e. une occurrence de apparaît dansφ ). Considérons l arbre construit à partir deφ. Il a un sommet de label x (par exemple) correspondant à l occurrence considérée de dansφ. De la base de ce noeud se prolonge une seule arête qui vient finir sur un autre sommet. Ce dernier sommet est la racine d un sous arbre maximal ; et ce sous arbre (ou rameau) correspond à une sous-formule G deφ. Cette sous-formule G est la portée du quantificateur (ou x ) considéré. 10

13 Exemple : Dans la FBF : x,( xpx, ( ) y,( Py ( ) Px ( ))) x x y P x P P y x La portée du premier quantificateur x est : ( x, Px ( ) ( y,( Py ( ) Px ( ))) La portée du deuxième quantificateur x est : P(x) La portée du dernier quantificateur y est : ( Py ( ) Px ( )) x,( x, P( x) y,( P( y) P( x))) x, x, y, Portée de x Portée de x Portée de y b) Variable libre, variable liée Considérons maintenant une FBF φ et une variable y ayant une occurrence dansφ. L occurrence de y dansφ est dite libre si elle n est pas située dans la portée d un quantificateur gouvernant y (i.e. y ou y ), sinon elle dite liée. Une variable est dite libre si une de ses occurrences est libre, sinon elle est dite liée. Exemple : Dans la précédente FBF : x,( xpx, ( ) y,( Py ( ) Px ( ))) toutes les variables sont liées. Alors que dans ( x, Px ( ) ( y,( Py ( ) Px ( ))) la première occurrence de x est liée, tandis que sa deuxième occurrence est libre : x est une variable libre. Quant à la variable y, elle est bien sûr liée. 11

14 I.2) Sémantique du calcul des prédicats I.2.1) Réalisation d un langage Donné un langage L du calcul des prédicats, une réalisation (ou modèle, ou interprétation) M de L est la donnée de : Un ensemble E, appelé le domaine. Pour chaque constante c du langage L un élément c de E. Pour chaque fonction f d arité n, une application f de Pour chaque prédicat P d arité n>0, une application P de Pour chaque proposition P une valeur prise dans{ V, F }. n E dans E. n E dans{, } V F. Remarque : En particulier si M est un modèle de L et si l on ajoute des symboles de constante au langage L, M reste un modèle de L. Ce fait sera utilisé dans les procédures de transformation de formules (cf. II.1). Exemples : Soit le langage L constitué d une variable z, d une constante c, d une fonction f d arité 1, et d un prédicat binaire P. On considère les réalisations suivantes de L : * 2 a) E = + ; c = 1 ; f ( x) = x ; Pxy (, ) : x< y. b) E est une population ; c est Paul, f ( x) est le père de x, et Pxy (, ) : x est plus jeune que y. c) E est l ensemble des jours de l année ; c est le 21 juin, f ( x) est le jour qui succède à x, et Pxy (, ) : le jour x est plus court que le jour y (du levée au coucher du soleil). d) E est la réunion de l ensemble des points du plan privés de l origine, et des droites passant par l origine. c est l axe des abscisses, f associe à tout point la droite passant par ce point et par l origine, et à toute droite elle-même. Pxy (, ) : x et y sont des droites, et y est strictement plus pentue que x. I.2.2) Valeur d une formule a) Assignation de variables Soit M une réalisation du langage L. On appelle assignation de variables, toute application d une partie finie de l ensemble des variables de L dans le domaine E. Exemple : Si L a pour variables x1, x2, x 3,..., et si le champ est, alors x : = 1, x : = est une assignation des variables x 1 et x 3 aux valeurs -1 et 2. Cela signifie qu on leur attribue ces valeurs. C est l analogue de ce que l on noterait en algorithmique : x1 1 etx 3 2. Considérons un terme t du langage. Ce terme invoque certaines variables. Considérons une assignation α des variables invoquées dans t, ou tout du moins qui s applique à toutes les variables de t. Alors donnée une telle assignation de variables on peut 12

15 naturellement donner une valeur t à t, (c'est-à-dire lui associe un élémentt E, on dit évaluer t). Pour cela il suffit de remplacer dans t toute constante c par sa valeur c, toute fonction f par l application f, et toute variable par la valeur qui lui est assignée. b) Valeur d une formule dans un modèle pour une assignation On se propose d évaluer une formule φ dans un modèle donné, pour une assignation donnée de ses variables libres (notons α cette assignation), c'est-à-dire lui attribuer une valeur V (vrai) ou F (faux) dépendant deα. Pour cela on procède par induction : Si φ est un atome, φ = Pt ( 1,..., t n ). L assignation α donne les valeurs t 1,..., t n aux termest 1,..., t n. Alors φ prend la valeur Pt ( 1,..., t n) (qui est V ou F). Les connecteurs logiques sont évalués selon les règles données par les tables de vérité : P P P Q P Q P Q P Q V F V V V V V V F V F V V F V F V F V V F F F F F F F F P Q P Q P Q P Q V V V V V V F V V F V F V F F V F F F F V F F V Si F est de la forme : x, Px ( ) (où P est une FBF ayant (entre autres) x pour variable libre) ; F est vrai si Pxest ( ) vrai quelle que soit l assignation de x. Si F est de la forme : x, Px ( ) ; F est vrai si pour une certaine assignation de x, Pxest ( ) vrai. Exemple : Si l on reprend le langage de l exemple ci-dessus, et la formule Px (, f( x )). Dans le modèle a), c est une formule vraie pour toute assignation qui donne à x une valeur supérieure à 1, et fausse sinon. La formule close x, Px (, f( x)) est vraie et x, Px (, f( x)) est fausse. Dans le modèle b), elle est vraie pour toute assignation de x : un fils est toujours plus jeune que son père. En particulier la formule x, Px (, f( x)) est vraie. Dans le modèle c) la formule est vraie pour une assignation donnant à x une valeur comprise entre le solstice d hiver et le solstice d été. Dans le modèle d) la formule est fausse quelle que soit l assignation considérée. Si x est un point Px (, f( x)) est par définition faux, et si x est une droite f ( x) = xa même pente que x. 13

16 c) Valeur d une formule dans un modèle Une formule φ( x1,..., x n ) invoquant des variables libres x 1,..., xn est vraie dans M si elle est vraie pour toute assignation de x,..., 1 x n ; on note M φ( x1,..., x n ) et l on dit que M est un modèle de φ ( x1,..., x n ). On dit qu elle est fausse dans M lorsque sa négation est vraie dans M (c est alors un contre modèle). En général une formule non close n est ni vraie ni fausse dans M. Puisque la validité d une formule close φ dans un modèle M est indépendante de toute assignation de variable, elle ne peut être que vraie ou fausse. Si φ est vraie on note : M φ et l on dit que M est un modèle deφ. Sinon (elle est fausse) on dit que c est un contre modèle. Tout modèle de φ est un contre modèle de φ et réciproquement. Exemple : Avec le même exemple que précédemment, la formule Px (, f( x)) admet pour modèle b) et pour contre modèle d). Dans les cas a) et c) elle n est ni vraie ni fausse. I.2.3) Formules valides, inconsistantes, équivalentes Si la formule φ est vraie dans tout modèle du langage L, on dit que c est une formule valide ou encore une tautologie (autrement on dit qu elle est invalide). On note : φ Si elle est fausse dans tout modèle on dit que la formule est inconsistante (sinon on dit qu elle est consistante). Dans ce cas sa négation est une formule valide. Exemples : La formule P Pest valide (toujours vraie), la formule P Pest inconsistante (toujours fausse). La formule x, Px ( ) est consistante (prendre pour domaine l ensembles des êtres humains, et pour P : être une femme) et invalide (prendre le même domaine et P : mesure 10 mètres de haut). La formule Px (, f( x)) considérée comme exemple plus haut est aussi consistante et invalide. Si deux formules φ et ϕ sont vraies dans les mêmes modèles, on dit qu elles sont équivalentes. On note φ ϕ. Remarque : On peut facilement montrer (exercice!) que P Q(les formules P et Q sont équivalentes) si et seulement si P Q (la formule P Qest valide). 14

17 I.2.4) Théorie, conséquence logique Dans la suite on fixe un langage L des prédicats du 1 er ordre. Définitions : Une théorie T est la donnée d un ensemble fini de FBFs T = { F1, F2,..., F n }. Un modèle (ou réalisation, ou interprétation) de la théorie T est un modèle du langage L, qui est un modèle pour chaque formule de T. De façon équivalente un modèle de T n est rien d autre qu un modèle de la formule conjonctive F1 F2... Fn. Une théorie est non contradictoire ou consistante si elle admet un modèle. Sinon elle est inconsistante. Une formule φ est une conséquence logique de la théorie T si tout modèle de T est aussi un modèle de F. On note{ F1, F2,..., F n } φ. Exemples : Considérons la théorie T suivante : { Est _ père _ de( michel, anne ) ; Est _ père _ de( paul, michel ) ; x, y, z,( Est _ père _ de( x, y) Est _ père _ de( y, z)) Est _ grand père _ de( x, z) } Elle est non contradictoire (il est facile d en construire un modèle). La formule : Est _ grand père _ de( paul, anne) en est une conséquence logique. La théorie { x, Px ( ); yqy, ( ); x, ( Px ( ) Qx ( ))} est inconsistante. En effet la formule x, (( Px ( ) Qx ( )) est équivalente à x,( Px ( ) Qx ( )) qui a pour conséquence logique x, Qx ( ) elle-même équivalente à la formule ( yqy, ( )) qui fait apparaître une contradiction avec la formule yqy, ( ). Théorème (de la déduction): La FBFφ est conséquence logique de la théorie { F1, F2,..., F n } si et seulement si la formule ( F1 F2... Fn ) φ est valide. En d autres termes, { F1, F2,..., F n } φ si et seulement si ( F1 F2... Fn ) φ. Preuve : Supposons que φ soit une conséquence logique de{ F1, F2,..., F n }, c'est-à-dire que { F1, F2,..., F n } φ. Alors tout modèle qui satisfait { F1, F2,..., F n } satisfait aussiφ, et donc la formule ( F1 F2... Fn ) φ est valide. Réciproquement si ( F1 F2... Fn ) φ, alors dans tout modèle, on ne peut pas avoir à la fois F1, F 2,, et Fn et φ. Ainsi tout modèle { F, F,..., F } est aussi un modèle de φ.cqfd de 1 2 n 15

18 Remarque (importante!) : Voilà trois façons d affirmer que la formuleφ est une conséquence logique de la théorie { F1, F2,..., F n } : La formule ( F1 F2... Fn ) φ est valide. La formule F 1 F 2... Fn φ est inconsistante (c est la négation de la précédente). La théorie { F, F,..., F, φ} 1 2 n est inconsistante. 16

19 I.2.5) Quelques formules équivalentes On rappelle que deux formules φ et ϕ sont dites équivalentes lorsque elles admettent les mêmes modèles. Voici quelques exemples de formules équivalentes : Formule P Formule équivalente P Appellation (éventuelle) P P P P Q P Q Q Q P Commutativité de Q Q P Commutativité de Q Q P Commutativité de ( P Q) P Q ( P Q) P Q Lois de De Morgan P ( Q R) ( P Q) R Associativité de P ( Q R) ( P Q) R Associativité de P ( Q R) ( P Q) ( P R) ( P Q) R ( P R) ( Q R) P ( Q R) ( P Q) ( P R) ( P Q) R ( P R) ( Q R) P P Q ( P Q) ( Q P) Distributivité à gauche de sur Distributivité à droite de sur Distributivité à gauche de sur Distributivité à droite de sur Q Q P Loi de contraposition 17

20 Formule Formule équivalente xpx, ( ) ypy, ( ) xpx, ( ) ypy, ( ) xpx, ( ) x, P( x) xpx, ( ) x, P( x) x,( P() x Q()) x xpx, ( ) xqx, ( ) x,( P( x) Q( x)) xpx, ( ) xqx, ( ) xpx, ( ) Q x,( P( x) Q) Q x, P( x) x,( Q P( x)) xpx, ( ) Q x,( P( x) Q) Q x, P( x) x,( Q P( x)) xpx, ( ) Q x,( P( x) Q) Q x, P( x) x,( Q P( x)) x, Px ( ) Q x,( P( x) Q) Q x, P( x) x,( Q P( x)) 18

21 I.3) Système axiomatique, règles d inférence I.3.1) Définition Une règle d inférence est une règle permettant à partir d une ou plusieurs FBFs de produire (on dit «déduire») une autre FBF. Une règle d inférence est dite saine si la formule déduite est toujours une conséquence logique des formules dont on l a déduit. Dans la pratique, toutes les règles d inférence que nous considérerons seront saines. Exemples : Le Modus Ponens est une règle saine qui à partir des formules P et P Q déduit la formule Q. Le Modus Tollens est une règle saine qui à partir des formules Q etp Q déduit la formule P. Nous verrons dans le chapitre 2 une règle d inférence saine appelée Principe de Résolution, qui sera fondamentale dans notre étude. C est une généralisation de la règle d inférence qui déduit A B à partir de X Aet de X B. Un système axiomatique est la donnée d une théorie c'est-à-dire d un ensemble de FBFs du langage L (appelées les axiomes, ou les hypothèses), et de règles d inférences. Une preuve est une suite finie de formules telle que chaque formule est soit un axiome, soit déduit de formules qui le précèdent par les règles d inférence. La dernière formule de la preuve est le théorème que l on vient de prouver. On demande à un système axiomatique d être non contradictoire, c'est-à-dire que l ensemble de ses axiomes soit non contradictoire. On ne considérera dans la suite que des systèmes axiomatiques non contradictoires. Exemple : Considérons la théorie constituée des axiomes : { PP ; QQ ; R} et d une règle d inférence qui est le modus ponens : la formule R en est un théorème : une preuve est donnée par : 1 P 2 P Q 3 Q (déduit de 1 et 2 par modus ponens) 4 Q R 5 R (déduit de 3 et 4 par modus ponens). I.3.2) Système axiomatique pour le calcul des prédicats Considérons le système axiomatique suivant. Nous le noterons dans la suite S. Règles d inférence : Le Modus Ponens : Déduit la formule G des formules F etf G. La généralisation : Déduit xpx, ( ), de la formule Px (). La substitution de formules : Si φ est une formule invoquant un prédicat P d arité n, et ϕ est une formule ayant n variables libres (ou plus) telle que ses variables libres (resp. liées) sont désignés par d autres lettres que les variables liées (resp. libres) de φ, et telle que si dans φ, 19

22 P est dans la portée d un quantificateur quantifiant une variable, cette variable n est pas invoquée dans ϕ ; alors on peut dans φ changer chaque occurrence de P par ϕ. La substitution de termes : Si t est un terme quelconque, on peut déduire φ( t) de x, φ( x) Axiomes du calcul des prédicats : P ( Q P) ( P ( Q R)) (( P Q) ( P R)) ( P Q) P ( P Q) Q ( P Q) (( P R) ( P ( Q R))) P ( P Q) Q ( P Q) ( P R) (( Q R) (( P Q) R)) ( P Q) ( Q P) P P ( P Q) (( P Q) ( Q P)) (( P Q) ( Q P)) ( P Q) x, Px ( ) x, Px ( ) x,( P Q( x)) ( P x, P( x)) I.3.3) Complétude du calcul des prédicats Clairement, avec cette définition, tout théorème de S est une conséquence logique des axiomes. Puisque ces derniers sont des formules valides, il s ensuit que tout théorème est une formule valide. Il est naturel de se poser la question de la réciproque : toute formule valide est elle un théorème de S? Cela présenterait un avantage certain : il semble plus évident pour montrer qu une formule est valide de chercher à établir une preuve que de tenter de montrer qu elle est vraie dans tout modèle (qui sont bien sur en nombre infini). Cela présenterait en outre un résultat remarquable par sa portée : une totale adéquation entre le concept syntaxique de preuve, et le concept sémantique de validité (ou vérité). Un tel résultat est vrai ; le théorème suivant l établit. C est un résultat de complétude (au sens de la déduction) : Pour montrer qu une formule est valide il suffit d en exhiber une preuve (ce qui est cependant en général hautement non trivial). Théorème de complétude [Gödel, 1930]: Considérons ce système axiomatique S du calcul des prédicats. Alors, Une FBF est valide si et seulement si c est un théorème de S. Donnée une théorie T, une formule est une conséquence logique de T si et seulement si c est un théorème dans le système axiomatique obtenu à partir de S en rajoutant aux axiomes les formules de T. Nous admettrons la preuve. Elle est délicate. 20

23 I.3.3) Indécidabilité du calcul des prédicats Peut-on établir un algorithme qui puisse décider pour toute FBF, si c est une formule valide (décidabilité du calcul des prédicats)? Le théorème de complétude du paragraphe précédent semble apporter quelque espoir dans cette direction : pour montrer qu une formule est valide, il suffit d en exhiber une preuve, ce qui semblerait plus facilement implémentable que de tester si elle est vraie dans tout modèle. Ce résultat est cependant faux comme l établit le résultat suivant. Théorème d indécidabilité [Church, 1931] Le calcul des prédicats est indécidable. Il n existe pas d algorithme permettant de décider pour n importe quelle formule si elle est ou non valide. Remarques : La démonstration nécessite de définir mathématiquement la notion d algorithme. Cela a été fait dans les années 30, à travers les notions de fonctions récursives et de machine de Turing (Church, Turing, Godel). Informellement il faut comprendre par algorithme une procédure qui prend en entrée certaines valeurs (dites initiales) et produit (toujours) une réponse constituée de certaines valeurs, et cela de façon déterministe (la réponse ne dépend que des valeurs initiales). La non existence d un tel algorithme est dans un sens très fort : il ne s agit pas seulement d affirmer que l on ne peut pas trouver un tel algorithme mais qu il n existe pas : on pourrait imaginer qu il existe un algorithme qui nécessite pour être écrit l utilisation de plus de symboles qu il n y a d atomes dans l univers. Ce n est pas le cas : Il n existe pas!!! 21

24 22

25 Chapitre II Procédure de preuve par réfutation : Le principe de résolution 23

26 Introduction Nous établissons dans cette partie une procédure de démonstration automatique célèbre initiée par Robinson (1965), basée sur le principe de résolution. Elle constitue les fondements théoriques du langage de programmation logique PROLOG développé au début des années 70 par A.Colmerauer, P.Roussel et le groupe d intelligence artificielle de Marseille (U2, Luminy). Qu entendons nous par «procédure de démonstration automatique»? Le souhait serait de construire un algorithme qui puisse décider si une formule quelconque donnée est une conséquence logique d hypothèses (données), ou de façon équivalente (avec le théorème de la déduction I.2.4) de décider si une formule donnée est valide. Seulement nous avons vu dans la partie précédente (théorème d indécidabilité, I.3.3) qu un tel algorithme n existe pas!! Ce que nous allons faire, c est construire une procédure qui va tester si une formule donnée φ est valide, en ce sens : Si φ est valide (ou de façon équivalente si φ est conséquence logique de certaines hypothèses préalablement posées) alors la procédure finit par s arrêter en donnant une réponse positive. Sinon, la procédure risque de tourner indéfiniment sans jamais apporter de réponse à l utilisateur. Cette procédure ne constitue pas un algorithme! Si la formule entrée est invalide la procédure risque de tourner indéfiniment, et l utilisateur restera indécis quant à la validité de la formule, ne pouvant savoir à un instant donné si la formule est invalide ou si le programme n a tout simplement pas encore achevé son implémentation. La seule utilité de cette procédure réside dans le fait que lorsque la formule est valide elle finit par l établir ; bref elle démontre les théorèmes vrais, mais ne sait pas répondre à la question «ce théorème est-il vrai?». Avec le théorème d indécidabilité c est définitivement le meilleur résultat que nous pouvons établir dans cette direction : il constitue un résultat de «semi-décidabilité». Dans la pratique la procédure que nous allons établir ne recherche pas si une formule est valide mais si elle est inconsistante. Mais puisque φ est valide seulement lorsque φ est inconsistante cette approche est équivalente. La démarche procède en plusieurs étapes. Tout d abord nous transformons une formule en une formule d écriture plus simple qui à défaut d être équivalente a même consistance (i.e. est inconsistante si et seulement si la formule initiale est aussi inconsistante). C est l objet de la section 1. La formule obtenue est sous forme prénexe universelle (les quantificateurs sont tous universels et placés devant ) et la matrice (sous-formule obtenue en supprimant les quantificateurs) est une conjonction de clauses (on appelle clause une disjonction de littéraux). L inconsistance de la formule initiale se ramène à l inconsistance de l ensemble constitué des clauses de la formule obtenue. On introduit alors une règle d inférence (saine) appelée le principe de résolution qui ne s applique qu à des clauses, modelé sur la règle : «X A et X B implique A B». Pour l appliquer à des clauses quelconques il est nécessaire d unifier les littéraux ( II.2.2), c'est-à-dire de faire apparaître par substitution de termes aux variables invoquées d éventuels littéraux X et X (où X est un atome quelconque), dits complémentaires. Le résultat fondamental de cette section, est que lorsque un ensemble de clauses est inconsistant, on doit aboutir par applications successives du principe de résolution à la clause vide ( II.2.4). C est un résultat de complétude pour la réfutation. Il ouvre la voie à une procédure de preuve par réfutation, qui lorsqu un ensemble de clauses est inconsistant parvient à le déterminer. C est l objet de toute la section 2. 24

27 A ce stade la procédure de preuve par réfutation est non implémentable car non déterministe : elle nécessite parfois un choix de l utilisateur qui est déterminant quant à l issue de la procédure. L objet de la section 3 est d affiner cette méthode en considérant des stratégies permettant de lever ce non-déterminisme : on ne nécessitera plus l intervention d un utilisateur. En particulier nous étudierons la stratégie utilisée par PROLOG, qui ne s applique qu à une classe plus restreinte de clauses dites clauses de Horn (ce sont les clauses invoquant au plus un littéral positif). Enfin dans la dernière section nous illustrerons ces méthodes par quelques exemples. II.1) Ecriture sous forme clausale Dans cette section nous établissons un algorithme permettant de transformer une FBF quelconque en une autre FBF plus simple (dite sous forme clausale) qui ait même consistance. Il procède en 3 étapes. Tout d abord on transforme une FBF en un FBF sous forme prénexe (tous les quantificateurs devant!) qui lui soit équivalente ( II.1.1). Ensuite on éliminera les quantificateurs existentiels en introduisant de nouveaux symboles de constantes et de fonctions : c est le procédé de Skolémisation ( II.1.2). Le théorème de Skolem (théorème II.1.3) établit que la formule obtenue a même consistance que la formule initiale. C est ici que l on perd l équivalence! Finalement ( II.1.3), on transforme la matrice (sous-formule obtenue en supprimant tous les quantificateurs) en une conjonction de clauses : on obtient la forme clausale souhaitée. Elle a même consistance que la FBF initiale. L algorithme établi sera amplement utilisé dans la suite de ce cours. II.1.1) Formes prénexes Une FBF et sous forme prénexe si elle s écrit : Qx, Qx,..., Qx, P où les symboles Q i représentent n importe quel quantificateur, et P est une formule n invoquant aucun quantificateur (bref tous les quantificateurs sont devant). La sous-formule (non bien formée) Qx 1 1, Qx 2 2,..., Qx n n, est appelée le préfixe, tandis que la formule (bien formée) P est appelée la matrice. Exemple : La formule x, y, z,(( P( x) Q( y)) R( z)) où P,Q,R, sont des prédicats unaires est sous forme prénexe, tandis que x, y,(( P( x) Q( y)) z, R( z)) n est pas sous forme prénexe. Théorème : Pour toute FBF il existe une FBF équivalente sous forme prénexe. De plus cette formule peut-être déterminée grâce à un algorithme. Démonstration : Appliquer la méthode exposée ci-dessous. Elle peut toujours s appliquer, et à partir d une formule quelconque aboutit à une formule sous forme prénexe qui lui est équivalente. CQFD. n n 25

28 Algorithme d écriture d une formule sous forme prénexe : On suppose donnée une formule. On va construire une formule sous forme prénexe qui lui est équivalente. a) Elimination des connecteurs et. On élimine d abord tous les connecteurs en utilisant l équivalence : P Q ( P Q) ( Q P) Puis on élimine tous les connecteurs en utilisant la formule : P Q P Q b) Accoler tous les connecteurs aux atomes. Pour ce faire utiliser les formules suivantes : P P Lois de De Morgan : ( G H) G H ( G H) G H xpx, ( ) x, Px ( ) xpx, ( ) x, Px ( ) c) Distinguer les variables. On fait en sorte que chaque quantificateur gouverne une variable de nom original. Pour cela on utilise les équivalences : xpx, ( ) ypy, ( ) xpx, ( ) ypy, ( ) Renommer aussi les variables de façon à ce qu aucune variable libre ne porte le même nom qu une variable liée. Remarque : On peut pour cela ajouter au langage de nouvelles variables. Si M était un modèle pour notre langage, il le demeure après le rajout de ces variables. d) Eliminer les quantificateurs inutiles On élimine les quantificateurs ne servant à rien (c'est-à-dire quantifiant des variables qui n apparaissent pas) : Si Q n invoque pas la variable libre x xq, Q xq, Q 26

29 e) Faire passer les quantificateurs devant. Pour cela utiliser les équivalences qui suivent, où Q représente une formule qui n invoque pas d occurrences libres de la variable x: xpx, ( ) Q x,( Px ( ) Q) xpx, ( ) Q x,( Px ( ) Q) x, P( x) Q x,( P( x) Q) x, P( x) Q x,( P( x) Q) Q x, P( x) x,( Q P( x)) Q x, P( x) x,( Q P( x)) Q x, P( x) x,( Q P( x)) Q x, P( x) x,( Q P( x)) Il s agit de la dernière étape! La FBF obtenue vérifie les propriétés suivantes : Elle est sous forme prénexe. Chaque quantificateur quantifie une variable de nom original, et chaque variable libre à un nom différent des variables liées. La matrice se construit à partir de littéraux, de conjonctions, et de disjonctions (avec emploi de parenthèses). Exemple : on considère la formule suivante : x,[ P( x) y, x, ( Q( x, y) z, R( a, x, y))] On applique tout d abord l étape a) qui permet de supprimer tous les connecteurs : x,[ P( x) y, x, ( Q( x, y) z, R( a, x, y))] Après avoir appliqué l étape b) (accoler les aux atomes), on obtient : x,[ P( x) y, x,( Q( x, y) z, R( a, x, y))] On applique ensuite l étape c) (renommer les variables) : x,[ P( x) y, u,( Q( u, y) z, R( a, u, y))] Puis l étape d) (éliminer les quantificateurs inutiles) : x,[ Px ( ) y, u,( Quy (, ) Rauy (,, ))] On applique finalement l étape e) pour faire passer les quantificateurs devant. On obtient la forme prénexe : x, y, u,[ Px ( ) ( Quy (, ) Rauy (,, ))] Remarques : On peut aussi considérer une dernière étape facultative, permettant de réordonner l agencement des quantificateurs, à l aide des formules : x, y, A y, x, A x, y, A y, x, A 27

30 Attention, les formules x, y, Aet y, x, A ne sont pas équivalentes. Par exemple si on prend pour domaine l ensemble des entiers relatifs, la formule : x, y,( x + y = 0) est vraie (tout nombre a un opposé), tandis que : y, x,( x + y = 0) est une assertion fausse, puisque que l on ne peut pas trouver d entier y, tel que pour tout x, x + y = 0. Dans l exemple considéré ci-dessus, la formule est équivalente à l autre forme prénexe : y, x, u,[ Px ( ) ( Quy (, ) Rauy (,, ))], (on intervertit x et y ) mais n est pas équivalente à : x, u, y,[ Px ( ) ( Quy (, ) Rauy (,, ))] (on a interverti y et u ). Parfois on peut intervertir les quantificateurs et. Par exemple : x, y,( P( x) Q( y)) x,( P( x) y, Q( y)) ( x, Px ( ) yqy, ( )) y,( x, P( x) Q( y)) y, x,( P( x) Q( y)) En fait si on y regarde de plus près on peut s apercevoir que la permutation entre x et y est possible chaque fois qu il n y a pas de littéral dans leur portée invoquant à la fois les variables x et y. Comme nous venons de le vérifier sur cet exemple, il existe en général plusieurs formes prénexes équivalentes. II.1.2) Formes normales conjonctives Définitions : Une clause est une formule qui est soit un littéral, soit une disjonctions de littéraux. L1 L2 L3 Considérons la forme prénexe : Qx 1 1, Qx 2 2,..., Qx n n, P Si la matrice P est une conjonction de clauses alors on dit que la formule est sous forme normale conjonctive. Conjonction de clauses clauses L 1 L 2 L L 3 L 4 L 5 L 6 7 L 8 L9 littéraux 28

31 Théorème : Pour toute formule il existe une formule équivalente qui s écrit sous forme normale conjonctive. De plus il existe un algorithme permettant de déterminer cette formule. Preuve : Transformer d abord la formule en une forme prénexe équivalente (en utilisant l algorithme du paragraphe précédent). Puis appliquer l algorithme décrit ci-dessous à la matrice obtenue. CQFD. Algorithme d écriture sous forme normale conjonctive Après avoir appliqué l algorithme précédent, notre formule est sous forme prénexe, et la matrice ne comporte que des connecteurs logiques et appliqués à des littéraux. Pour parvenir à une forme normale conjonctive on applique autant de fois que possible les équivalences suivantes (distributivité à gauche et à droite de sur ) : P ( Q R) ( P Q) ( P R) ( P Q) R ( P R) ( Q R) Exemple : Si l on reprend l exemple qui précède, la forme prénexe : devient : y, x, u,[ Px ( ) ( Quy (, ) Rauy (,, ))] y, x, u,[( Px ( ) Quy (, )) ( Px ( ) Rauy (,, ))] y x u P Q x u y R a u y 29

32 II.1.3) Formes de Skolem C est l utilisation de quantificateurs qui est à l origine de la puissance, mais aussi de la complexité du calcul des prédicats. C est pour cette raison qu il est judicieux d écrire une formule sous une forme normale qui lui soit équivalente : écrite sous une forme plus simple son inconsistance (ou sa validité) pourrait peut-être être plus simple à déterminer. Cependant même si les formes obtenues sont relativement simples, la coexistence de quantificateurs universels et existentiels amène une difficulté. Il serait plus intéressant de n avoir que des quantificateurs universels. Une formule sous forme normale conjonctive est dite universelle si son préfixe ne comporte que des quantificateurs universels. Mais attention une formule n admet pas en général de forme normale conjonctive universelle qui lui soit équivalente. Nous allons cependant voir comment écrire une forme normale conjonctive universelle, qui ait même consistance que la formule initiale. C est un résultat bien plus faible que l équivalence, mais qui sera suffisant pour le propos qui est le nôtre. Ce procédé s appelle le procédé de Skolémisation. Algorithme de Skolémisation On travaille sur une FBF donnée sous forme prénexe (ou encore sous forme normale conjonctive). Comme nous l avons vu dans les paragraphes précédents toute formule admet une formule équivalente écrite sous cette forme. A chaque occurrence de quantificateur existentiel apparaissant dans la formule on lui associe les variables quantifiées universellement qui le précèdent (par exemple x 1, x 2,..., x n si les quantificateurs x1, x2,, et xn précèdent le y considéré dans le préfixe), ainsi qu un nouveau symbole fonctionnel (par exemple f) ayant pour arité le nombre n de ces variables. On remplace dans la matrice chaque occurrence de la variable (disons y) que gouverne le quantificateur existentiel (ici y ) considéré, par le terme fx ( 1, x2,..., x n), et l on supprime dans le préfixe le quantificateur existentiel ( y ) considéré. Dans le cas où aucun quantificateur universel ne précède le quantificateur existentiel considéré, on introduit un nouveau symbole de constante c, on remplace les occurrences de y par c, et comme précédemment- on supprime le quantificateur existentiel y considéré. Exemple : Considérons la formule sous forme prénexe : x, y, z, w,( P( x) ( Q( x, y, z) R( w))) Le premier quantificateur existentiel n est précédé par aucun quantificateur existentiel : on remplace la variable x par une nouvelle constante c : y, z, w,( P( c) ( Q( c, y, z) R( w))) pour le quantificateur existentiel w, on considère un nouveau symbole fonctionnel binaire f et on lui associe les variables y et z. On obtient : y, z,( P( c) ( Q( c, y, z) R( f( y, z)))) Cette nouvelle formule est appelé la transformée de Skolem ou la forme de Skolem de la formule initial. Si une formule prénexe a un suffixe ne comportant aucun quantificateur universel, elle est sa propre transformée de skolem. Remarque : Une formule et sa transformée de Skolem ne sont en général pas équivalentes. Par exemple, la transformée de Skolem, de xpx, ( ) est Pc (). Si on prend comme domaine 30

33 d interprétation, et si Px ( ) est interprété parx > 0, la valeur de Pc () dépend évidemment de l interprétation de la constante c, tandis que la formule initiale est évidemment vraie. Cependant, ce qui justifie de son utilisation c est le fait qu une formule et sa transformée de Skolem ont toutes deux même consistance comme l établit le résultat suivant : Théorème : [Skolem] Une formule et sa transformée de Skolem sont simultanément toutes deux inconsistantes ou toutes deux consistantes. Preuve : Notons φ une formule est S( φ ) sa transformée de Skolem. Pour établir la proposition il est suffisant d établir que φ est inconsistante si et seulement si S( φ) est inconsistante. Par construction des valeurs de vérité, il est clair que si S( φ) est vraie pour un modèle, il en est de même deφ. Ainsi l inconsistance de φ entraîne l inconsistance de S( φ ). Prouvons maintenant la réciproque. Supposons que φ soit vraie dans un certain modèle de notre langage L, de domaine D. Pour construire la formule S( φ) on a du enrichir notre langage de nouveaux symboles fonctionnels ou de constantes, pour aboutir à un langage L '. Interprétons dans ce modèle notre langage L '. Tous les symboles de L L' sont interprétés comme précédemment. Considérons un symbole de constante de L' L. Il est nécessairement associé à une variable quantifiée existentiellement deφ, qui n est précédée par aucun quantificateur universel. Puisque la formule φ est vraie, on peut supprimer ce quantificateur existentiel, et assigner à cette variable une valeur constante de D qui garde la formule vraie. On interprétera ce symbole de constante par cet élément de D. Considérons maintenant un symbole fonctionnel f de L' L ; il est associé à une quantification existentielle (disons y, ) de la formuleφ. Supposons que cette quantification soit précédée par des quantificateurs existentiel portant sur les variables (disons) x 1, x 2,..., x n. Alors par définition, pour toute assignation dex 1, x 2,..., x n, on peut trouver une assignation de y qui rende la formule φ vraie. La fonction f sera ainsi interprétée par une fonction de choix qui à une assignation de x 1, x 2,..., xn associe une valeur assignée à y qui garde la formule n vraie ; c est une application de D dans D. En procédant ainsi, donnée une interprétation de L qui rende φ vraie, on a interprété notre langage L ' pour ce modèle de façon à ce que la formule S( φ) soit vraie. Ainsi si S( φ) est inconsistante, il en est de même deφ. CQFD. II.1.4) Formes clausales On dispose désormais d une formule sous forme normale conjonctive universelle : x1, x2,..., xn, φ1 φ2... φp (où les φi sont des clauses). Elle est équivalente à la conjonction des formules : x1, x2,..., xn, φ1 x1, x2,..., xn, φ2 x1, x2,..., xn, φp La dernière étape pour l écrire sous forme clausale est de distinguer les variables invoquées dans chaque clause. Pour cela on utilise les règles : x,( Px ( ) Qx ( )) xpx, ( ) xqx, ( ) xpx, ( ) yqy, ( ) x, y,( Px ( ) Qy ( )) 31