Modèle de Black-Scholes

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Claude Alain
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1 Modèle de Black-Scholes R. WARLOP Maîtres de stages : Laurent DESVILLETTES et Francesco SALVARANI École Normale Supérieure de Cachan 29 juin 2011 R. WARLOP [1em] Maîtres Modèle de stages de Black-Scholes : Laurent DESVILLETTES et Francesco29 SALVARANI juin 2011 (École 1 / 15 Norm

SALVARANI École Normale Supérieure de Cachan 29 juin 2011 R.

2 SOMMAIRE 1 Notions de finances 2 Présentation du modèle 3 Equation de Black-Scholes 4 Solution de l équation 5 Volatilité 6 Tracés de la solution Tracé de la solution explicite Tracé de la solution explicite Tracé de la solution par différence finie Comparaison des résultats 7 Application 8 Critiques du modèle R. WARLOP [1em] Maîtres Modèle de stages de Black-Scholes : Laurent DESVILLETTES et Francesco29 SALVARANI juin 2011 (École 2 / 15 Norm

solution par différence finie Comparaison des résultats 7 Application 8 Critiques du modèle R.

3 Notions de finances Les options : Call européen Liberté de l acheteur, achète une certaine quantité de sous-jacent S (CAC 40, indices boursiers,...). Transactions dans le futur (à la date T). Prix fixé à l avance (E). pay-off : (S T E) +. Put européen Liberté du vendeur, vend une certaine quantité de sous-jacent S (CAC 40, indices boursiers,...). Transactions dans le futur (à la date T). Prix fixé à l avance (E). pay-off : (E S T ) +. R. WARLOP [1em] Maîtres Modèle de stages de Black-Scholes : Laurent DESVILLETTES et Francesco29 SALVARANI juin 2011 (École 3 / 15 Norm

Put européen Liberté du vendeur, vend une certaine quantité de sous-jacent S (CAC 40, indices boursiers,...).

4 Absence d Opportunité d Arbitrage (A.O.A) A.O.A : impossible de faire un gain à coup sûr. conséquence : si X T =Y T alors t X t =Y t Marché complet Pour tout actif financier A, on peut construire une stratégie d achat et vente qui à toute date a même valeurs que A. Parité Call-Put t [0, T ], r(t t) C t P t = S t Ee R. WARLOP [1em] Maîtres Modèle de stages de Black-Scholes : Laurent DESVILLETTES et Francesco29 SALVARANI juin 2011 (École 4 / 15 Norm

stratégie d achat et vente qui à toute date a même valeurs que A.

5 Présentation du modèle Hypothèses : - le marché est complet - le temps est continu - le sous-jacent est infiniment divisible (par exemple on peut acheter 1/1000 de sous jacent) - les ventes à découvert sont autorisées - il n y a pas de coup de transaction - il existe un taux d intérêt constant - il n y a pas de dividendes (bénéfices distribués aux détenteurs d actions) R. WARLOP [1em] Maîtres Modèle de stages de Black-Scholes : Laurent DESVILLETTES et Francesco29 SALVARANI juin 2011 (École 5 / 15 Norm

transaction - il existe un taux d intérêt constant - il n y a pas de dividendes (bénéfices distribués aux détenteurs d

6 Equation de Black-Scholes Equation de Black-Scholes u u σ2 (t, x) + rx (t, x) + t x 2 x 2 2 u x 2 (t, x) = ru(t, x), t [0, T ], x R + u(t, x) = h(x), x R + avec h la fonction pay-off. R. WARLOP [1em] Maîtres Modèle de stages de Black-Scholes : Laurent DESVILLETTES et Francesco29 SALVARANI juin 2011 (École 6 / 15 Norm

7 Solution de l équation Call C(S, t) = SN(d 1 ) Ee r(t t) N(d 2 ) Put P(S, t) = Ee r(t t) N( d 2 ) SN( d 1 ) d 1 = ln S E + (r σ2 )(T t) σ (T t) d 2 = ln S E + (r 1 2 σ2 )(T t) σ (T t) R. WARLOP [1em] Maîtres Modèle de stages de Black-Scholes : Laurent DESVILLETTES et Francesco29 SALVARANI juin 2011 (École 7 / 15 Norm

8 Volatilité volatilité implicite Inversion de la formule de Black-Scholes. σ = ln( E S ) r(t t) (T t)(e ξ 1 2 ) avec E ξ = ln ξ lns et ξ = 2 C (lns) 2 Numériquement, on résout : C 0 SN(d 1 ) Ee rt N(d 2 ) = 0 volatilité historique Utilisation des données historiques, calcul statistique. C (lns). R. WARLOP [1em] Maîtres Modèle de stages de Black-Scholes : Laurent DESVILLETTES et Francesco29 SALVARANI juin 2011 (École 8 / 15 Norm

SN(d 1 ) Ee rt N(d 2 ) = 0 volatilité historique Utilisation des données historiques, calcul statistique.

9 Tracé de la solution explicite r=0.1, T=10, σ=0.3, E=100. Figure: Tracé de la solution pour un call en 2D à t=0 R. WARLOP [1em] Maîtres Modèle de stages de Black-Scholes : Laurent DESVILLETTES et Francesco29 SALVARANI juin 2011 (École 9 / 15 Norm

WARLOP [1em] Maîtres Modèle de stages de Black-Scholes :

10 Tracé de la solution explicite r=0.1, T=10, σ=0.3, E=100. Figure: Tracé de la solution pour un call en 3D R. WARLOP [1em] Maîtres Modèle de stages de Black-Scholes : Laurent DESVILLETTES et Francesco 29SALVARANI juin 2011 (École 10 / 15 Norm

11 Tracé de la solution par différence finie r=0.1, T=1, σ=0.3, E=100. Figure: Tracé de la solution pour un call en 2D R. WARLOP [1em] Maîtres Modèle de stages de Black-Scholes : Laurent DESVILLETTES et Francesco 29SALVARANI juin 2011 (École 11 / 15 Norm

12 Comparaison des résultats r=0.1, T=1, σ=0.3, E=100. Figure: Tracé de la solution explicite et par différence finie R. WARLOP [1em] Maîtres Modèle de stages de Black-Scholes : Laurent DESVILLETTES et Francesco 29SALVARANI juin 2011 (École 12 / 15 Norm

R. WARLOP [1em] Maîtres Modèle de stages de Black-Scholes :

13 Application call européen basé sur le cac40 de maturité T=1 jour. Le sous-jacent : S= Le strike : E=4 100 Le taux constant est celui de la banque centrale européene : r=1,25%. Valeur actuelle du call : C 0 = On résout alors par dichotomie l équation C 0 SN(d 1 ) Ee rt N(d 2 ) = 0. On obtient comme volatilité : σ= R. WARLOP [1em] Maîtres Modèle de stages de Black-Scholes : Laurent DESVILLETTES et Francesco 29SALVARANI juin 2011 (École 13 / 15 Norm

Valeur actuelle du call : C 0 =0.025. On résout alors par dichotomie l équation C 0 SN(d 1 ) Ee rt N(d 2 ) = 0.

14 Critiques du modèle Les hypothèses sont discutables Calcul du risque : le Delta, le Thêta, le Gamma, le Vega et le Rhô. R. WARLOP [1em] Maîtres Modèle de stages de Black-Scholes : Laurent DESVILLETTES et Francesco 29SALVARANI juin 2011 (École 14 / 15 Norm

ô. R. WARLOP [1em] Maîtres Modèle de stages de Black-Scholes :

15 Bibliographie L. Gabet, F. Abergel, I.M. Toke, Introduction aux mathématiques financières, Ecole Centrale Paris (2010) N. Sukhomlin, P. Jacquinot, Solution exacte du problème inverse de la valorisation des options dans le cadre du modèle de Black et Scholes, Ecole Centrale Paris (2010) A. Verraux, Résolution de l équatin de Black et Scholes, Tampere University of technoligy (2008) R. WARLOP [1em] Maîtres Modèle de stages de Black-Scholes : Laurent DESVILLETTES et Francesco 29SALVARANI juin 2011 (École 15 / 15 Norm

Jacquinot, Solution exacte du problème inverse de la valorisation des options dans le cadre du modèle de Black et Scholes, Ecole

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