1.1 Feuille n 2 : Modélisation et analyse d un système linéaire à partir des équations différentielles

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1 CHAPITRE 1 ANALYSE DES SYSTÈMES 1.1 Feuille n 2 : Modélisation et analyse d un système linéaire à partir des équations différentielles L objectif de ce TD est de montrer que l outil équation différentielle permet d étudier les systèmes asservis mais qu il n est pas le plus adapté. Exercice 1- Moteur à courant continu - équations différentielles Corrigé page 5 A. Description Un moteur 1 à courant continu est constitué d un rotor bobiné (induit) qui est placé dans le champ magnétique créé par un stator (inducteur), le champ peut être créé par un aimant permanent ou par un stator bobiné. collecteur stator - inducteur rotor - induit Figure 1.1: Moteur à courant continu - écorché Le courant qui circule dans un conducteur du rotor placé dans le champ magnétique produit une force qui à tendance à faire tourner le rotor (figure 1.2). La force agissant sur le conducteur est proportionnelle au courant circulant dans le conducteur. 1. Le principe et l étude des machines électriques sera approfondi en sciences physiques 1

2 2 1 Analyse des systèmes u(t) L R E (a) schéma de principe (b) schéma électrique équivalent MCC à aimant permanent Figure 1.2: Schéma de principe moteur CC Lorsque le rotor tourne une force électromotrice est induite dans le rotor qui s oppose à la tension d alimentation, cette tension, appelée force contre électromotrice f.c.e.m, est proportionnelle à la vitesse de rotation de l arbre moteur. B. Étude B.1. Étude simplifié Dans cette première partie, nous étudierons un modèle simplifié du moteur à courant continu 2, nous considèrerons que l inductance est nulle et qu aucun couple résistant ni frottement ne s oppose à la rotation du moteur. Il peut à lors être décrit par les quatre équations suivantes : Équation électrique u(t) = R i(t) + e(t) u(t) : la tension d alimentation, i(t) : le courant et e(t) la force contre électromotrice. Équation de la mécanique = C m (t) ω(t) : la vitesse de rotation du moteur, C m (t) : le couple moteur. Équations de couplage électromagnétique Q1. Donner l équation différentielle donnant la vitesse de rotation ω(t) en fonction de la tension d alimentation u(t). Le moteur étudié a les caractéristiques suivantes : 2. Les équations compètent seront vus en physique

3 1.1 Feuille n 2 : Modélisation et analyse d un système linéaire à partir des équations différentielles3 Tension nominale U n 20V Résistance R 4 Ω Rendement η max 79% Constante de couple K t 34,20mN A 1 Constante de FEM K e 3,590mVmin/tr Inductance du rotor L 630µH Inertie du rotor J 52gcm 2 Soit u(t) = U 0 = 12V, à l instant initial, le moteur est à l arrêt. Q2. Déterminer ω(t) en fonction de τ, U 0 et des autres paramètres Q3. Tracer l allure de la courbe pour différentes valeurs de U 0 : 5V, 10V, 15V(attention au unités SI!). Que constatez vous? Q4. Déterminer la tangente à l origine et la valeur finale ( ω = lim (ω(t)) ), en fonction de τ, U 0, et t des autres paramètres. Que constatez-vous? Q5. Tracer l évolution de la valeur finale en fonction de U 0. Que constatez-vous? B.2. Prise en compte d un couple résistant Dans la première partie, nous avons supposé que le moteur n entrainait aucune charge. Toujours dans l hypothèse de non frottement mais avec un couple résistant, l équation de la mécanique devient : = C m (t) C r (t) Q6. Établir l équation différentielle reliant ω(t), C r (t) et u(t). Q7. Résoudre l équation différentielle dans le cas où u(t) = U 0 et C r (t) = C r0 avec U 0 et C r0 des constantes. B.3. Modèle de connaissance complet En fait les équations électriques et mécanique du moteur à courant sont plus complexes (sans prise en compte du couple résistant), u(t) = R i(t) + L di(t) + e(t) L : l inductance du moteur = C m (t) f ω(t) f : le coefficient de frottement fluide Q8. Établir l équation différentielle donnant ω(t) en fonction de u(t). Q9. Quel est l ordre de l équation différentielle? Q10. À partir des valeurs numériques, préciser la nature des racines? C. Notion d asservissement Nous revenons sur le premier modèle (pas d inductance, pas de frottements, pas de couple résistant). Dans ce modèle, nous avons constaté que la vitesse de rotation dépend de la tension d alimentation. On peut souhaiter commander le moteur directement avec une consigne de vitesse ω c (t) et non plus avec une commande en tension. Pour réaliser cette commande, on rajoute

4 4 1 Analyse des systèmes un capteur : une dynamo tachymétrique, qui permet de mesure la vitesse réelle de rotation du moteur et retourne une tension proportionnelle à cette vitesse : u ω (t) = K c ω(t) une interface (IHM) qui permet d adapter la consigne ω c (t) au système (conversion numérique analogique) u c (t) = K c ω c (t) un comparateur et un correcteur qui compare la consigne et la valeur réelle et qui amplifie cette écart., pour générer la tension de commande du moteur u(t) u(t) = K p (u c (t) u ω t)) Q11. Déterminer l équation différentielle donnant ω(t) en fonction de la consigne de vitesse ω c (t). On suppose que K c = K e (la génératrice à les même caractéristiques que le moteur). Q12. Déterminer la solution de l équation différentielle pour ω c (t) = ω 0 (constant) en fonction de K p Q13. Déterminer la valeur finale ω = lim t (ω(t)) en fonction de ω 0 et K p. Que peut-on dire? Q14. Déterminer K p pour que l erreur de vitesse soit inférieure à 5%. D. En conclusion

5 1.1 Feuille n 2 : Modélisation et analyse d un système linéaire à partir des équations différentielles Corrections Cor. 1: Moteur à courant continu - équations différentielles Sujet page 1 Q1. Donner l équation différentielle donnant la vitesse de rotation ω(t) en fonction de la tension d alimentation u(t). u(t) = R i(t) + e(t) = C m (t) Q2. Déterminer ω(t) (attention au unités SI!) Il faut résoudre : τ dω(t) + ω(t) = 1 K e en substituant On pose comme solution particulière : ω p (t) = 1 K e K t u(t) = R i(t) + K e ω(t) dω(t) = K t i(t) + K e ω(t) = u(t) La solution sans second membre est : ω s (t) = A e t τ à l instant initial, ω(0) = 0 ω(t) = A e t τ + 1 K e On pose τ = K e K t τ dω(t) + ω(t) = 1 K e u(t) d où A e 0 τ + 1 U K 0 = 0 A = 1 U e K 0 e ω(t) = 1 U K 0 1 e t τ e Q3. Tracer l allure de la courbe déterminons τ = K e K t Inertie du rotor :J = 52gcm 2 = kgcm 2 = kgm 2 Constante de couple : K t = 34,20mN A 1 = 34, N A 1 Constante de FEM :K e = 3,590mVmin/tr = 3, Vmin/tr = 215, Vs/tr = 1 2 π 215, V s rad 1 K e = 34, V s rad 1 On remarque K t et K e sont égaux. τ = = K e K t (34, ,0177s = 17ms ) 2 441,0rad s 1 U 0 = 15V 294,0rad s 1 U 0 = 10V 147,0rad s 1 U 0 = 5V t