Algorithmique et graphes

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1 Tourisme et digicodes Stéphane Henriot Étienne Simon Département d informatique École normale supérieure de Cachan stephane.henriot@ens-cachan.fr etienne.simon@ens-cachan.fr GICS,

2 Outline 1 Algorithmes 2 des graphes 3 Digicode Réunion de famille

3 Outline Algorithmes 1 Algorithmes 2 des graphes 3 Digicode Réunion de famille

4 Définition informelle Algoquoi? Algorithmes C est quoi un algorithme? Un algorithme est une suite d instructions formelles, décrivant un calcul ou l automatisation d une tâche. Mais encore? On peut comparer les algorithmes aux recettes de cuisine. On décrit une suite d actions. Selon le résultat observé, les actions ne seront pas les mêmes. On peut réutiliser des suites d actions déjà définies. On peut répéter des actions ou suites d actions.

5 Premiers exemples C est pas trop tôt... Algorithmes Exemples scolaires Addition de grands nombres Pour chaque chiffre, additionner les valeurs des nombres de départ, reporter la retenue au chiffre suivant si nécessaire. Plus grand diviseur commun Tant que le reste est non-nul, diviser le diviseur par le reste. Un exemple d informaticien Un algorithme de tri prend en entrée une suite d éléments (par exemple des entiers) et renvoie la suite ordonnée correspondante. Pour chaque permutation de la suite, Si la permutation est dans le bon ordre, alors, Renvoyer la permutation.

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7 Tri naïf Algorithmes Algorithme Pour chaque permutation de la suite en entrée, Si la permutation est dans le bon ordre, alors, Renvoyer la permutation. Il y a n! permutations possibles d une suite à n éléments. Vérifier si une permutation est triée nécessite n 1 comparaisons. Dans le pire cas, (n 1) n! comparaisons seront faites.

8 Définition Algorithmes Définition formelle La théorie de la complexité étudie formellement la quantité de ressources (en temps et en espace) nécessaire pour la résolution de problèmes au moyen de l exécution d un algorithme. Notation de Landau On dit que f (n) O(g(n)) si f est bornée, par le dessus, par g asymptotiquement (à un facteur près).

9 Définition Algorithmes Définition formelle La théorie de la complexité étudie formellement la quantité de ressources (en temps et en espace) nécessaire pour la résolution de problèmes au moyen de l exécution d un algorithme. Notation de Landau On dit que f (n) O(g(n)) si f est bornée, par le dessus, par g asymptotiquement (à un facteur près). Plus formellement : Il existe k R et n 0 N tel que pour tout n > n 0 : f (n) k g(n)

10 Comparaison asymptotique Algorithmes

11 Tri fusion Algorithmes Algorithme Tri fusion(tableau) Si tableau est de taille 1, renvoyer tableau Sinon 1 Partager tableau en gauche et droite 2 Tri fusion(gauche) 3 Tri fusion(droite) 4 renvoyer Fusionner(gauche, droite)

12 Tri fusion Algorithmes L algorithme Fusionner s exécute en O(n). Posons T (n) la complexité d exécution de Tri Fusion sur un tableau de taille n T (n) = 2 T (n/2) + O(n) Il est possible de voir cela comme un arbre binaire La complexité de Tri Fusion est O(n log(n))

13 Outline des graphes 1 Algorithmes 2 des graphes 3 Digicode Réunion de famille

14 Définition des graphes Définition formelle Un graphe est un couple noté G = (V, E), avec V l ensemble des sommets et E V V l ensemble des arêtes. En clair Un graphe permet de représenter une relation binaire. Les sommets correspondent aux éléments et les arêtes rejoignent les paires d éléments liés.

15 Exemples et variantes des graphes Exemples

16 s des graphes Quelques exemples Réseau routier/gps Réseau Internet

17 Outline des graphes 1 Algorithmes 2 des graphes 3 Digicode Réunion de famille

18 Composantes connexes des graphes Définition Deux sommets sont dans la même composante connexe s il existe un chemin qui les relie. Un chemin est une suite d arêtes, chainée par les sommets. Exemple

19 Parcours de graphe des graphes Parcours en largeur d abord Un parcours en largeur d abord (Breadth First Search) visite les nœuds d un graphe à partir d une source, du plus proche au plus éloigné. L intuition est celle de l inondation. Algorithme 1 Mettre le nœud de départ dans la file. 2 Tant que la file n est pas vide, 1 Retirer le premier nœud de la file. 2 Marquer ce nœud. 3 Ajouter ses voisins non-marqués à la file.

20 Exemple des graphes Exemple

21 Solution des graphes Algorithme Pour chaque sommet, Si le sommet n est pas marqué, alors, 1 Choisir une nouvelle couleur pour marquer la composante connexe. 2 Réaliser un parcours en largeur d abord à partir du sommet. On étudie une fois chaque sommet et deux fois chaque arête, la complexité de l algorithme est linéaire.

22 Plus court chemin des graphes Labyrinthe

23 Autre solution des graphes Labyrinthe

24 Cycle eulérien des graphes Définition Un chemin eulérien est un chemin qui emprunte toutes les arêtes, sans passer deux fois par la même. Un cycle eulérien est un chemin dont le sommet de départ et le sommet d arrivée sont confondus. Problème des sept ponts de Königsberg

25 Cycle eulérien des graphes Théorème Théorème d Euler (1736) Un graphe connexe est eulérien si et seulement si chacun de ses sommets est incident à un nombre pair d arêtes. On étudie une fois chaque sommet et deux fois chaque arête, la complexité est linéaire.

26 Musée des graphes Visite guidée

27 Plus dur des graphes Cycle hamiltonien Un cycle hamiltonien est un cycle qui passe par chaque sommet une fois et une seule. Coloration Une coloration est l affectation d une couleur a chaque sommet du graphe. Une coloration est dite valide si la couleur de chaque sommet est différente de celle de ses voisins.

28 Plus facile des graphes Algorithme Choisir une couleur pour un sommet. Réaliser un parcours en largeur à partir de ce sommet. Chaque nouveau sommet sera marqué de la couleur adéquate et chaque arrète sera validée. Exemple

29 Outline Digicode Réunion de famille 1 Algorithmes 2 des graphes 3 Digicode Réunion de famille

30 Présentation du problème Digicode Réunion de famille Problème digicode Soit un digicode sans touche valider, comment taper sur le moins de touches possible pour être sûr de le déverrouiller? Exemple Lorsque vous tapez , la porte s ouvre si le code est , ou Séquence de De Bruijn Étant donné un ensemble de n touches, et la longueur du code k, trouver la plus courte séquence de touches contenant toutes les sous-séquences de longueur k.

31 Modélisation Digicode Réunion de famille Il est possible de modéliser ce problème sous forme de graphe : Chaque sous-séquence de longueur k est un nœud du graphe, Il y a un lien entre deux nœuds s il est possible de passer d un nœud à l autre en appuyant sur une touche, Par exemple, il y a un lien entre et Le problème du digicode revient à chercher un cycle hamiltonien dans ce graphe.

32 Modélisation Digicode Réunion de famille Il est possible de modéliser ce problème sous forme de graphe : Chaque sous-séquence de longueur k est un nœud du graphe, Il y a un lien entre deux nœuds s il est possible de passer d un nœud à l autre en appuyant sur une touche, Par exemple, il y a un lien entre et Le problème du digicode revient à chercher un cycle hamiltonien dans ce graphe. Problème : La recherche d un cycle hamiltonien est un problème (très) difficile.

33 Modélisation Digicode Réunion de famille Il faut transformer la recherche d un cycle hamiltonien en la recherche d un cycle eulérien : Chaque nœud représente une sous-séquence de longueur k 1, Il y a un lien entre deux nœuds s il est possible de passer d un nœud à l autre en appuyant sur une touche, Le problème du digicode revient à chercher un cycle eulérien dans ce graphe. Lorsque le lien entre σ 0 σ 1 σ 2 et σ 1 σ 2 σ 3 est emprunté par le cycle eulérien, le code σ 0 σ 1 σ 2 σ 3 est entré.

34 Solution Digicode Réunion de famille Algorithme Cycle Eulérien(Graphe) solution cycle vide Tant qu il existe un nœud v avec une arrête non parcourue 1 Prendre un cycle quelconque passant par v 2 Ajouter ce cycle à solution Renvoyer solution Il y a n k 1 nœuds et n k arêtes dans ce graphe. L algorithme Cycle Eulérien est linéaire en fonction du nombre d arêtes. On peut donc trouver une séquence de De Bruijn en O(n k )

35 Outline Digicode Réunion de famille 1 Algorithmes 2 des graphes 3 Digicode Réunion de famille

36 Réunion de famille Digicode Réunion de famille Problème Les Aanderson vont nous rendre visite ce soir, annonce Monsieur Blum. Toute la famille, donc Monsieur et Madame Aanderson et leurs trois fils Antoine, Bernard et Claude?, demande Madame Blum craintive. Monsieur Blum, qui ne rate pas une occasion de provoquer sa femme : Non, pas du tout. Je t explique. Si le père Aanderson vient, alors il emmène aussi sa femme. Au moins un des deux fils Claude et Bernard vient. Soit Madame Aanderson vient, soit Antoine vient. Soit Antoine et Bernard viennent tous les deux, soit ils ne viennent pas. Et si Claude vient, alors Bernard et Monsieur Aanderson aussi.

37 Composante fortement connexe Digicode Réunion de famille Définition Deux sommets u et v sont dans la même composante fortement connexe si et seulement si il existe un chemin de u vers v et un chemin de v vers u. Exemple

38 Solution Digicode Réunion de famille