O4. Association de lentilles minces

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1 NOM Prénom : O4. Association de lentilles minces Les propriétés des lentilles minces permettent de déterminer les images formées par les instruments d optique constitués de plusieurs lentilles associées, ainsi que les caractéristiques de telles associations. A. Caractéristiques d une association de lentilles 1. Définition du système optique Un système optique est un dispositif constitué d un ensemble de «composants» d optique (lentilles, miroirs, etc...) A tout objet AB, on associera une image A B. Dans les problèmes que nous étudierons, nous raisonnerons souvent par images successives. Par exemple, pour un système composé de deux lentilles L 1 et L 2, on cherchera l image A 1B 1 de AB par L 1, sans se préoccuper de la présence de L 2, puis A 1B 1 servira d objet pour la lentille L 2, et son cherchera son image, qui sera l image finale A 2B 2 : AB A B A B L1 L On dira qu un système est afocal si un faisceau incident parallèle émerge sous la forme d un faisceau parallèle. (Ce sera le cas des lunettes astronomiques). Les instruments d optique seront supposés parfaits (pas d aberrations) : les conditions de Gauss seront donc respectées. En conséquence, si on considère l angle d inclinaison d un rayon de lumière par rapport à l axe optique, on aura les approximations suivantes (développement limité à l ordre 1) souvent utilisées dans ce chapitre : L O

2 2. Vergence P a g e 2 Formule de Gullstrand : Un système optique composé de deux lentilles de vergences v 1 et v 2 séparées par une distance e est équivalent à une lentille unique de vergence v : L 1 L 2 (e en mètres) L O 1 O 2 O e Lentilles accolées : Un système optique composé de deux lentilles de vergence v 1 et v 2 accolées est équivalent à un lentille unique de vergence v : v = Conséquence : la vergence d un système afocal est.. Qu est-ce que cela impose pour un système de 2 lentilles accolées? Grandissement (gamma) AB ' ' > 0 : image droite AB < 0 : image renversée par rapport à l objet Le grandissement est défini si l objet et l image sont à distance finie : c est le cas des objectifs (de photographie, de projection ) : B Système optique A A B

3 4. Puissance P a g e 3 ' P P en dioptries ( ) AB AB en mètres (m) : Angle sous lequel on voit l image en radians (rad) (Diamètre apparent ou angulaire de l image) La puissance est généralement définie si l objet réel est proche, alors que l image est virtuelle (loupe, oculaire ). B Système optique A A ' oeil B Remarque : Si l image virtuelle est rejetée à l infini, on parle alors de puissance intrinsèque. L objet se trouve alors dans le plan focal objet de l instrument. 5. Grossissement ' G avec G : grossissement (sans unité) : Diamètre apparent de l objet. : Diamètre apparent de l image. Le grossissement est généralement défini si l objet réel est à lointain (à l infini), alors que l image est virtuelle (lunette terrestre, lunette astronomique ). B à l infini Système optique A à l infini A ' oeil B Remarque : Le grossissement commercial G C est calculé en choisissant tel que l objet soit visible nettement le proche possible d un œil normal (punctum proximum : 25 cm).

4 6. Pouvoir séparateur P a g e 4 Le pouvoir séparateur mesure : - soit la distance minimale entre deux points vus nettement à travers l appareil si l objet est à proche - soit l angle minimal entre deux points vus distinctement, si l objet est très éloigné. 7. Champ C'est la portion de l'espace visible à travers l instrument. CHAMP EN PROFONDEUR (LATITUDE DE MISE AU POINT) Un objet ne peut être vu que si son image se situe dans les limites de vision de l œil. Cette image doit donc se trouver entre la position la plus proche de l œil et la position la plus éloignée de l œil visibles nettement. L'intervalle entre les positions de l'objet est appelée profondeur de champ de l'appareil ou latitude de mise au point. CHAMP EN LARGEUR (CHAMP TRANSVERSAL) C'est la portion de l'espace visible dans une direction perpendiculaire à l'axe optique. Les diaphragmes de l'instrument limitent ce champ en largeur. 8. Pupille Les dimensions de l instrument optique (diamètre des lentilles, présence de diaphragme ) limitent la largeur du faisceau. On appelle diaphragme d ouverture l objet D 0 qui limite le faisceau au maximum. Alors, on définit : - la pupille d'entrée de l instrument : image virtuelle de D 0 par les lentilles placées avant D 0. - la pupille de sortie de l instrument : image réelle de D 0 par les lentilles placées après D 0. Si l instrument est prévu pour l œil, alors la pupille de sortie s appelle le cercle oculaire. Diaphragme d ouverture Exemple : pour une lunette astronomique constituée de 2 lentilles L 1 et L 2, c est généralement L 1 qui limite le faisceau dans la lunette (diaphragme d ouverture), alors L 1 est la pupille d entrée, et l image de L 1 par la lentille L 2 donne le cercle oculaire (pupille de sortie). Cercle oculaire Remarque : pour un appareil photo, D 0 correspond à un diaphragme à iris de diamètre O. On définit alors l ouverture relative f O, et le nombre d ouverture N O f (valeurs 1 ; 1,4 ; 2 ; 2,8 ). En diminuant N, cela diminue la profondeur de champ.

5 B. L œil P a g e 5 1. Description L œil forme sur la rétine une image des objets regardés : c est un instrument d optique (très complexe) dont il faut connaître les caractéristiques pour : - corriger les défauts, - choisir judicieusement les autres instruments qu on lui associe. Les principales parties de l œil sont : La cornée : directement au contact de l'extérieur, c est une membrane transparente de protection. (Certaines maladies l opacifient, ce qui nécessite une greffe). L humeur aqueuse et le corps vitré : liquides transparents (gélatineux pour le vitré) qui maintiennent la pression et la forme du globe oculaire. L iris : diaphragme qui permet d'augmenter ou de diminuer la quantité de lumière qui pénètre dans l œil. Son pigment détermine la couleur de l œil. La pupille : orifice central de l'iris se comportant comme un diaphragme d'appareil photo : son diamètre varie en fonction de la luminosité. Le cristallin : c'est une lentille biconvexe, de focale variable grâce à la contraction de petits muscles, qui permet d obtenir une image nette sur la rétine, quelle que soit la distance de l objet. (La cataracte est l opacification du cristallin qui nécessite son remplacement par un élément artificiel). La rétine : c'est une membrane cellulaire constituée notamment de cellules photoréceptrices : - des cônes sensibles à la couleur (certains sont principalement sensibles au rouge, d autres au vert et d autres encore au bleu) - des bâtonnets sensibles à la luminosité et au mouvement. La macula (ou tâche jaune) : zone de 2 mm sur la rétine où il y a une concentration maximale de cônes. Au centre se trouve la fovéa, qui correspond à la zone d acuité maximale. Le nerf optique : il transmet l image codées sous forme d un influx nerveux jusqu au cerveau qui l interprète (retournement, correction, impression de relief grâce à la vision binoculaire).

6 2. Caractéristiques P a g e 6 Modèle de l œil : On assimile l œil à un système optique constitué d'une lentille mince convergente (le cristallin), dont le centre optique serait placé à environ 16 mm de la rétine. L'accommodation consiste en une variation de la distance focale de la lentille. Champ angulaire : le champ de vision vaut normalement 40 à 50, mais il est réduit à 1 pour ce qui est des détails fins (zone de la macula). Champ en profondeur et accommodation : l œil normal a une vision nette entre : - le Punctum Remotum PR : point le plus éloigné donnant une image nette. L œil est alors au repos (pas d effort musculaire, pas d accommodation). d PR = infini pour un œil emmétrope (normal) - le Punctum Proximum PP : point le plus proche donnant une image nette. L œil doit alors accommoder. d PP = 25 cm pour un œil emmétrope Tracé au PR : Soit un objet AB situé à l infini, déterminer graphiquement son image sur la rétine. En déduire la position du foyer image F. L : cristallin Rétine B A O Tracé au PP : Soit un objet AB situé à 25 cm de l œil ; son image se forme sur la rétine ; déterminer graphiquement la distance focale du cristallin. (proportions non respectées) ainsi que F B L : cristallin Rétine A O Question : Comparer F au PR et au PP : que peut-on en conclure? Résolution de l œil : c est le pouvoir séparateur de l œil. Il vaut normalement une minute d angle (cela dépend beaucoup de l éclairement, du contraste ).

7 3. Défauts de l œil P a g e 7 LA MYOPIE : La myopie se traduit par une gêne pour voir de loin. Un œil myope est un œil trop long ou dont le cristallin est trop convergent. Le PR est à distance finie et le PP est à moins de 25 cm. L image se forme en avant de la rétine, d où une image floue. La correction est apportée par une lentille (verre correcteur) divergente. L'HYPERMETROPIE : L'hypermétrope voit en principe mieux de loin que de près. A l'inverse de la myopie, l œil est trop petit ou son cristallin n est pas assez convergeant. L image se forme après la rétine, d où une image floue. La correction est apportée par une lentille (verre correcteur) convergente. L'ASTIGMATISME : L'astigmate voir de façon médiocre de près comme de loin, il confond souvent des lettres proches comme le H et le M. L'astigmatisme est un défaut de symétrie de la cornée (ou du cristallin), ce qui dénature la vision. LA PRESBYTIE : Avec l âge, la capacité à accommoder disparaît : il faut corriger la vision de près et celle de loin avec des lunettes bifocale ou progressives.

8 C. La lunette astronomique P a g e 8 Les lunettes sont destinées à l'observation d objets éloignés. Les lunettes astronomiques sont utilisées pour l'observation d'astres qui peuvent être considérés à l'infini. La lunette astronomique fut inventée par Kepler en Si les astres ont un diamètre apparent sensible comme le soleil, la lune, les planètes,... alors la lunette fournira une image rétinienne agrandie tandis que si les astres n'ont pas un diamètre apparent sensible telles les étoiles alors la lunette fournira simplement une image plus lumineuse qu'à l œil nu. Une lunette astronomique donnera une image renversée d'un astre (ce qui n'est pas gênant) tandis qu'une lunette terrestre destinée à l'observation d'objets éloignés à la surface de la terre devra donner des images droites de ces objets. 1. Structure Une lunette astronomique est constituée d un tube comportant deux systèmes optiques convergents : - L objectif L 1, de grande distance focale (pouvant atteindre 20 mètres), donnant une image intermédiaire réelle et renversée d un objet situé à l infini, dans son plan focal image F 1. - L oculaire L 2, de petite distance focale (de l ordre du centimètre) jouant le rôle de loupe. 2. Formation des images CAS GENERAL On étudie la lunette comme un système de deux lentilles convergentes que l on peut représenter comme suit. Soit un objet AB situé à l infini : il est noté A B. Les rayons issus de A arrivent donc parallèlement à l axe optique et les rayons issus de B arrivent parallèlement entre eux). Compléter : Objectif L 1 Oculaire L 2 B A F 2 F 1 O 1 O 2 F 2 L image intermédiaire A 1B 1 est située dans le plan focal image de L 1 et A 1 est confondu avec F 1. L oculaire qui fait office de loupe, donne de l image intermédiaire A 1B 1 une image définitive A 2B 2 virtuelle et de même sens que A 1B 1 (renversée par rapport à l objet AB).

9 LUNETTE AFOCALE P a g e 9 L œil est tel que lorsqu il observe quelque chose (ici l image définitive A 2B 2 de l objet à travers la lunette astronomique) qui est situé à l infini, il le fait sans effort. Ces conditions d observation sont réalisées quand F 1 et F 2 sont confondus, donc quand A 1 est à la fois en F 1 et F 2. Alors l image définitive A 2B 2 est toujours renversée par rapport à l objet mais cette foisci, elle est rejetée à l infini. Un faisceau incident parallèle émerge sous la forme d un faisceau parallèle : la lunette est dite afocale. Sa vergence est donc nulle : ses foyers sont rejetés à l infini. Compléter : Objectif L 1 Oculaire L 2 B F 2 F 11 A O 1 O 2 F 2 3. Caractéristiques ANGLE DE VISION B A 2 A A 1 F 1 F 2 O 1 O 2 F 2 B 1 B 2 L 1 L 2 que : L œil observe l objet AB situé à l infini sans la lunette sous un angle. Or on constate sur le schéma tan... (L angle étant très petit) Quand l œil observe l image définitive A 2B 2 à travers la lunette, il l observe sous l angle tel que : tan ' '... (L angle étant très petit)

10 P a g e 10 GROSSISSEMENT Le grossissement G de la lunette afocale décrite précédemment, est égal au rapport de l angle par l angle : Soit G =.. f 1 étant supérieur à f 2, est supérieur à donc l image qui se formera finalement sur la rétine sera plus grande que l image obtenue à l œil nu. CERCLE OCULAIRE Tous les faisceaux incidents on une section commune : le cercle de diamètre [CD], le diamètre de l objectif qui joue le rôle de diaphragme. La section commune aux rayons émergents est le cercle de diamètre [C D ] appelé cercle oculaire. C B A A 1 F 1 F 2 O 1 O 2 D F 2 B 1 C D L 1 B 2 L 2 Plus simplement, le cercle oculaire peut être obtenu comme étant l image de l objectif donnée par l oculaire. C est en plaçant la pupille dans le plan du cercle oculaire que l œil reçoit le plus de lumière.

11 D. La lunette terrestre P a g e 11 Une lunette terrestre nécessite des qualités un peu différentes de celles d'une lunette astronomique : - La lunette doit être facilement transportable, donc peu encombrante. Il faut donc que la distance focale f de son objectif ne soit pas trop grande. - Elle ne sert qu'à observer des objets étendus, mais doit en donner une image droite, alors que la lunette astronomique fournit des images renversées. Pour obtenir ce résultat, on a trouvé trois solutions auxquelles correspondent trois types de lunettes : longue-vue, lunettes à prismes, lunette de Galilée. 1. La lunette de Galilée Il s agit d une invention hollandaise de Galilée perfectionna en Ainsi, il put découvrir des satellites de Jupiter, des montagnes et des cratères sur la Lune, ou encore les phases de Vénus. DESCRIPTION La lunette de Galilée est constituée de deux lentilles : - l objectif L 1 (lentille convergente) (côté objet) - l oculaire L 2 (lentille divergente) (côté œil) 5 cm. Typiquement, la distance focale de l objectif varie de 10 à 15 cm et celle de l oculaire varie de 3 à La lunette est afocale si les foyers F 1 et F 2 coïncident. SCHEMA DE PRINCIPE L 1 L 2 Schéma d une lunette de Galilée afocale : ( AB ) ( AB ) ( A B ) Déterminer graphiquement l image A 2B 2 de l objet AB situé à l infini. B A O 1 F 2 O 2 F 1 = F 2 L 1 L 2

12 GROSSISSEMENT : P a g e 12 Calculs : G =.. Soit CERCLE OCULAIRE, POSITION DE L ŒIL Par construction, le cercle oculaire correspond à l image de l objectif par l oculaire. Déterminer graphiquement le cercle oculaire : F 2 O 2 F 1 =F 2 O 1 L1 L2 Dans la lunette de Galilée, on constate donc que le cercle oculaire est virtuel. On ne peut donc pas y placer la pupille de l œil. Par conséquent, on place l œil le plus près possible de l oculaire. On peut calculer le rayon R du cercle oculaire, à partir du rayon R de l objectif. soit

13 2. La lunette à prismes P a g e 13 DESCRIPTION La lunette à prisme est constituée de trois parties : - l objectif, formé d une lentille convergente, il donne d un objet AB une image A 1B 1 inversée - le redresseur ou véhicule, formé de deux prismes rectangles isocèles à réflexion totale, il donne de A 1B 1 une image A 2 B 2 droite - l oculaire, formé d une lentille convergente. LE VEHICULE A PRISME Objectif Oculaire MISE AU POINT La mise au point s effectue en déplaçant l oculaire par rapport à l ensemble objectif-véhicule. GROSSISSEMENT Il est en général assez faible (4 à 12 pour des jumelles, 25 pour les lunettes non jumelées). Remarque sur les jumelles : on associe deux lunettes à prismes pour que l observateur puisse utiliser ses deux yeux à la fois. les images reçues par les deux yeux proviennent de deux objectifs différents, ce qui conserve pour l observateur la sensation de relief.

14 3. Longue-vue P a g e 14 DESCRIPTION La longue-vue est constituée de trois parties : - l objectif, formé d une lentille convergente, il donne d un objet AB une image A 1B 1 inversée - le redresseur ou véhicule, formé d une ou de deux lentilles minces convergentes, il donne de A 1B 1 une image A 2 B 2 droite - l oculaire, formé d une lentille convergente. SCHEMA DE PRINCIPE B 3 B 2 B A O 1 F 1 =A 1 O 2 O 3 F 2 F 2 F 3=A 2 F 3 B 1 L 1 L 2 L 3 GROSSISSEMENT On peut montrer que : G P.. f ' oculaire véhicule objectif 4. Le viseur Un viseur sert à déterminer la position ou la taille d une image virtuelle formée par un système optique quelconque.