I.S.T.A de Ploufragan D.L. 174

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3 4.1 - GENERITE UT DE R.D.M. e but de la R.D.M. est de déterminer les formes les plus économiques et de calculer les dimensions des pièces qui doivent, en toute sécurité, résister aux efforts prévus. a sécurité d'une construction, d'un pont par exemple, est assurée si les forces extérieures : ne provoquent pas sa rupture, ne provoquent pas des déformations permanentes, mais uniquement des déformations élastiques. HYPOTHEE DE R.D.M. e matériau est supposé : HOMOGENE même constitution physique et même structure en tout point. IOTROPE (même propriété mécanique en tout point et suivant une direction quelconque). es corps étudiés sont des poutres : (ection ) (ection ) (ection ) G igne moyenne m aractéristique d'une poutre Une poutre est un solide long par rapport aux dimensions des sections droites (sa longueur est supérieur à 1 fois la plus grande dimension transversale de la section droite). Une poutre est un corps dont le volume est engendré par une surface plane dont le centre de gravité G décrit une ligne donnée appelé ligne moyenne de la poutre, la surface restant normal à la ligne moyenne en G. a surface est invariable ou varie que progressivement (lentement et de façon continue) entre et. a ligne moyenne doit être plane, une droite le plus souvent, ou une courbe à grand rayon de courbure, 1 fois au moins la plus grande des dimensions transversales. I..T. de Ploufragan D.. 175

4 OIITTION IMPE Extension ou traction vant a déformation de la poutre est caractérisée par un allongement. près ompression des pièces courtes vant a déformation de la poutre est caractérisée par un raccourcissement. près isaillement vant a déformation est caractérisée par un glissement relatif des sections cisaillées 1 et près 1 1 Poutre Torsion vant a déformation est caractérisée par une rotation (glissement) des sections droites les unes par rapport aux autres. a ligne moyenne, inchangée, est l'axe des rotations successives des sections droites. près Flexion pure a déformation est caractérisée par un fléchissement sans allongement des fibres contenues dans le plans moyen. En ce qui concerne les fibres situées au dessus (et au dessous) du plan moyen, il y a fléchissement avec allongement (ou raccourcissement). vant près Poutre I..T. de Ploufragan D.. 176

5 4. - TRTION OU EXTENION DEFINITION l'allonger. Un corps est sollicité à la traction lorsqu'il est soumis à deux forces qui tendent à Exemple : Un câble soulevant une charge EFFORT NORM orsqu'on isole le câble nous remarquons qu'il est soumis à l'action de deux forces directement opposées et qui tendent à l allonger. âble ection du câble () Tronçon On isole le câble -P upposons que l'on effectue une coupure dans le câble en G entre et. a coupe est faite au niveau de la section droite située à la distance l du point. On pose : G : Tronçon 1 G : Tronçon P harge l Tronçon 1 G P ection du câble () On isole le tronçon 1 G /1 G Forces harge/1 ilan mécanique Point d application Direction et sens Intensité (en dan) P l onstat : G /1 G?? olide en équilibre sous l action de forces Tronçon 1 harge/1 onclusion : es deux forces sont donc égales et directement opposées G /1 h arge / 1 force En conclusion, nous dirons que l action exercée par le tronçon sur le tronçon 1 se réduit à une G /1 ligne moyenne., appelée EFFORT NORM, perpendiculaire à la section droite et portée par la I..T. de Ploufragan D.. 177

6 ONTRINTE NORME D'une façon schématique, la contrainte normale symbolisée par la lettre sigma (σ) représente l'effort de traction en un point de la section pour une surface dont l'aire est égale à 1. l G σ N Dans le cas général de la traction, il y a répartition uniforme des contraintes dans la section droite et nous avons : σ G / 1 N vec : σ ontrainte normale (en N/mm ou MPa Tronçon 1 (méga-pascal)) N Effort normal (en N ) ection droite (en mm ) EI DE TRTION essai de traction est le procédé expérimental le plus utilisé pour définir les caractéristiques mécaniques des matériaux, car il permet la détermination des propriétés essentielles. PRINIPE : On applique progressivement et lentement à une éprouvette cylindrique, de forme et de dimension normalisées (longueur, section ) une force de traction croissante de à F max. u cours de l'essai, l'éprouvette va d'abord s'allonger, puis se déformer pour enfin se briser. Dès lors on peut mesurer l'allongement: F Rupture F F max F max I..T. de Ploufragan D.. 178

7 Un appareil enregistreur trace une Force (en dan) courbe (ci-contre) qui nous indique comment Fr varie l'allongement en fonction de la charge Fe Zône de déformation plastique O Zône de déformation élastique (mm) Nous avons : O : Déformation élastique : Déformation plastique Point : harge à la limite apparente d'élasticité (Fe) Point : harge maximale (Fr) Point : Point de rupture (charge au moment de la rupture). RTERITIQUE FONDMENTE DEFINIE PR 'EI DE TRTION imite élastique : Résistance à la rupture : Fe Re (en N/mm ou MPa (méga-pascal)) vec (section initiale) Fr Rr (en N/mm ou MPa (méga-pascal)) llongement pour cent : oefficient de striction : 1( ) % : longueur après rupture 1( ) : longueur initiale Z % : section après rupture : ection initiale I..T. de Ploufragan D.. 179

8 ONDITION DE REITNE 'EXTENION Pour qu'une pièce sollicitée à l'extension résiste en toute sécurité, il faut que la contrainte σ soit inférieur ou au plus égale à la résistance pratique à l'extension Rpe (Rpe est en général définie à partir de la résistance à la rupture Rr du matériau). oit : σ N Rpe Rr k (en MPa) k est appelé coefficient de sécurité adopté pour la construction de l'appareil. Il est choisi de façon à ce qu'en cours de fonctionnement normal les contraintes normales ne dépassent pas la limite élastique Re du matériau k est compris entre 1,5 et 1 suivant le genre de construction. En construction aéronautique par exemple, k sera de l'ordre de 1,5 pour certaines pièces car il faut construire léger. En construction métallique courante k 1,5 à. DEFORMTION ONGEMENT RETIF es expériences (essais de traction) montrent que les allongements sont proportionnels aux longueurs initiales dans la zone élastique. ette propriété est traduite par la notion d'allongement relatif ε : X X X ε X X X -P P Xo X o et sont les longueurs finale et initiale du solide. représente l'allongement total de la poutre. X et X sont les longueurs finale et initiale d un tronçon X représente l'allongement du tronçon. ε traduit l'allongement d'une poutre dont la longueur est égale à 1. (pas d'unité), I..T. de Ploufragan D.. 18

9 OI DE HOOKE Nous avons vu que pour un grand nombre de matériaux, l'essai de traction montre qu'il existe une zone élastique pour laquelle l'effort de tension de l'éprouvette est proportionnel à l'allongement de cette même éprouvette. oit la loi de HOOKE : σ E. ε vec : E Module d élasticité longitudinale ou module de coulomb (en N/mm ou MPa (méga-pascal)) ε allongement relatif (pas d unité) σ contrainte normale (en N/mm ou MPa (méga-pascal)) Quelques exemples de valeurs de E arbures métalliques Tungstène ciers ciers de construction uivre Titane ronze Fonte aiton Zinc lliage d'aluminium Verre Magnésium Etain éton ois 55 Mpa 4 MPa 17 à 8 MPa à MPa 16 MPa 15 MPa 1 à 1 MPa 1 MPa 9 MPa 8 MPa 7 à 75 MPa 7 à 75 MPa 45 MPa 4 MPa MPa 1 à 3 MPa I..T. de Ploufragan D.. 181

10 EXEMPE Ex. N 1 : oit une poutre appartenant à la charpente métallique d un bâtiment. a poutre est en acier E4, la limite à la rupture est de 38 MPa et la limite élastique Re est de 4 MPa. a poutre est soumise à un effort de traction de 1 dan. d 1 KN 1 KN Question : a section de la poutre est cylindrique et le coefficient de sécurité adopté est de 6 Déterminer le diamètre minimum admissible pour la construction. Réponse : Pour que la poutre résiste en toute sécurité, la contrainte normale dans la section droite doit être inférieur ou égale à la résistance pratique à l extension Rpe. Détermination de la résistance pratique à l extension Rpe: Rpe Rr k 38 6 Détermination de la contrainte normale σ: 63,3 MPa σ N N π d 4 4 N π d Détermination du diamètre d de la poutre: 4 N ondition de résistance : σ Rpe 63,3 MPa π d 4 N oit 63, 3 π d 4 N 63,3 ( π d ) 63,3 ( π d ) 4 N d 63,3 π 4 N Finalement : d 4 N 63,3 π ,3 π d 49,1 mm e constructeur devra choisir une poutre dont le diamètre devra être au minimum de 49,1 mm. Il pourra la choisir dans les catalogues des fabriquants de charpente métallique. I..T. de Ploufragan D.. 18

11 Ex. N : Une barre carrée en acier de 8 mm de coté et d une longueur de 1,5 m supporte une charge de dan. 8 mm dan dan Question : Déterminer la contrainte et l allongement dans la tige (E MPa). Réponse : Détermination de la contrainte normale σ σ N 31,5 N / mm 31,5 MPa 8 8 Utilisation de la loi de Hooke pour déterminer la valeur de l allongement de la tige. Finalement : σ E ε E σ E σ E O 31,5 15 O O,34 mm En conclusion, nous dirons que la tige cylindrique s allonge de,34 mm. σ E O a tige en acier est remplacé par un tube carré en aluminium d épaisseur e 1 mm.. dan dan 1 mm On désire que celui-ci ait le même allongement sous la même charge que la tige précédente (E 7455 Mpa). I..T. de Ploufragan D.. 183

12 Question : Déterminer la largeur du tube. Réponse : a longueur finale du tube est de 15,34 mm pour une longueur initiale de 15 mm. Détermination de l allongement relatif ε ε O 15, ,156 Détermination de la contrainte normale σ à partir de la loi de Hooke σ σ E ε 7455, ,3 N / mm 116,3 MPa Détermination de la section du tube aluminium : Nous avons : σ N N σ Détermination de la largeur du tube : 116,3 17 mm ( e) ( 4 e 4 e ) (-e) e -e + 4 e + 4 e 17 mm avec e 1mm mm de 4 mm. Finalement nous obtenons : mm I..T. de Ploufragan D En conclusion nous dirons que le tube en aluminium doit avoir une largeur

13 4.3 - OMPREION DEFINITION Un corps est sollicité à la compression lorsqu'il est soumis à deux forces qui tendent à le raccourcir. F ependant, sous un effort de compression F, une pièce peut rester droite (compression) ou F o fléchir (flambage) selon que sa longueur est grande ou petite par rapport à sa plus petite dimension transversale. o Dans le cas d'une compression la longueur est comprise entre 3 et 8 fois la plus faible des dimensions transversales. ompression Flambage EI DE OMPREION DE PIEE OURTE On opère sur des éprouvettes cylindriques ou prismatiques, voisines de la section carrée placées entre les plateaux d'une presse hydraulique. u début le l'essai, les raccourcissements sont élastiques et directement proportionnels aux charges appliquées. u delà d'une certaine charge à laquelle correspond la limite d'élasticité à la compression, les déformations subsistent en partie lorsque la charge est supprimée. 'éprouvette se rompt lorsque la limite de résistance à la compression est atteinte. Différents modes de rupture peuvent être observés : (1) Par dilatation : concerne les substances ductiles, à résilience élevée, comme le fer, l'acier, le cuivre, le bronze; des criques apparaissent sur la surface. F I..T. de Ploufragan D.. 185

14 F () Par glissement suivant des surfaces de séparation obliques : concerne les substances granuleuse comme la fonte le béton... (3) Par glissement pour les surfaces fibreuses comme le bois sous l'action d'efforts dirigés suivant les fibres. Remarque : On a constaté que l'acier, le cuivre, le bronze ont une résistance à la rupture par compression sensiblement égale à la résistance à la rupture par extension. u contraire, la fonte ordinaire résiste beaucoup mieux à la compression qu'à la traction. ONDITION DE REITNE D'UNE PIEE OURTE OMPRIMEE Pour qu'une pièce sollicitée à la compression résiste en toute sécurité, il faut que la contrainte σ soit inférieur ou au plus égale à la résistance pratique à la compression Rpc (Rpe est en général définie à partir de la résistance à la rupture Rr du matériau). oit : σ c N Rpc Rr k (en MPa ) vec : σ c : ontrainte normale de compression (en MPa ou N/mm ) N : Effort normal (en N). : ection droite (en mm ) Rpc : Résistance pratique à la compression ou contrainte admissible (en MPa). Rr k : Résistance à la rupture (en MPa). : oefficient de sécurité I..T. de Ploufragan D.. 186

15 DEFORMTION ONGEMENT RETIF es expériences montrent, comme pour le cas de l extension, que les allongements sont proportionnels aux F longueurs initiales dans la zone élastique. ette propriété est traduite par o X la notion d'allongement relatif ε : ε X X X X X Xo X et sont les longueurs finale et initiale du solide. représente le raccourcissement total de la poutre. X et X sont les longueurs finale et initiale d un tronçon X représente le raccourcissement du tronçon. ε (< )traduit le raccourcissement relatif, il correspond au raccourcissement d'une poutre dont la longueur serait égale à 1. OI DE HOOKE oit la loi de HOOKE : σ E. ε vec : E Module d élasticité longitudinale ou module de coulomb (en N/mm ou MPa (méga-pascal)) ε raccourcissement relatif (pas d unité) σ contrainte normale de compression (en N/mm ou MPa (méga-pascal)) I..T. de Ploufragan D.. 187

16 EXEMPE Ex. N 1 : e fer H repéré (1) sur la figure supporte un effort de compression de 5 dan. e fer est soudé sur un plat carré en acier de coté b repéré (). 'ensemble repose sur un support circulaire (3) en béton de diamètre d posé à même le sol. 1 3 b d Question : alculer la section du fer H si la résistance pratique à la compression de l acier de 1 dan/mm. Réponse : ondition de résistance à la compression : σ c N acier Rpc acier N Rpc Détermination de la section acier : acier 5 1 (dan (dan/mm ) ) 5 mm Question : Déterminer le côté b du carré () si la résistance pratique à la compression est de,4 dan/mm. Réponse : ondition de résistance à la compression : σ c N carré Rpc carré b N Rpc b N Rpc Détermination de la section carré : b 5,4 (dan) (dan/mm ) 353,55 mm I..T. de Ploufragan D.. 188

17 Question : Déterminer diamètre d du socle (3) si la résistance pratique à la compression du béton est de,5 dan/cm. Réponse : ondition de résistance à la compression : σ c N carré Rpc carré π d 4 N Rpc d 4 N π Rpc Détermination de la section carré : d 4 5 π,5 (dan) (dan/mm ) 1595,8 mm EX. N : Un élément d'arbre de machine D en acier peut être représenté par le schéma ci-dessous. P 1 P x' (7N) (1N) (5N) D D (N) x u point, l arbre reçoit de l arbre située à gauche l effort. u point une butée à bille non représentée donne l action. u point, l arbre reçoit l effort longitudinal, provenant d un réducteur à vis tangente, non représenté. Enfin, au point D, l arbre reçoit de l arbre située à droite l effort D. Donnée : E 1 N/mm (cier mi-dur ) Question : alculer la déformation totale de l'arbre D due aux forces,, et D. Réponse : Pour répondre au problème posé, il faut étudier indépendamment chaque tronçon composant l arbre D. I..T. de Ploufragan D.. 189

18 Etude du tronçon Détermination de l effort normal On isole le tronçon x' (7N) ection droite ( ) 8 3 N : N x e tronçon est en équilibre sous l action des forces et N, donc nous avons : FExt + N oit projection sur l axe XX : proj' (F ) / xx' N Ext N 7N e tronçon est sollicité à l extension car le sens de l effort normal tend à tirer la matière. Détermination de la contrainte normale σ : Nous avons : σ N 7 9,9 N / mm π 3 4 9,9 MPa Détermination de l allongement : e tronçon étant sollicité par un effort de traction alors la longueur de ce dernier va s allonger, soit : Etude du tronçon σ σ E Détermination de l effort normal E. ε E. 9,9 8,38 mm 1 N : On isole les tronçons + 45 ection droite ( ) x' (7N) (1N) N x 8 I..T. de Ploufragan D.. 19

19 es tronçons + sont en équilibre sous l action des forces, et N, donc nous avons : FExt + + N a projection des forces sur l axe XX nous donne : proj' (F N D Ext ) / xx' N N e tronçon est sollicité à la compression car le sens de l effort normal tend à comprimer la matière. 45 ection droite ( ) x' (7N) (1N) N x Détermination de la contrainte normale σ : Nous avons : σ Détermination de l allongement : N 3 1,9 N / mm π ,9 MPa e tronçon étant sollicité par un effort de compression alors la longueur de ce dernier va diminuer, soit : Etude du tronçon D σ E σ 1,9 1 E. ε,18 E. mm Détermination de l effort normal x' (7N) N : On isole les tronçons + + D (1N) 3 (5N) ection droite ( ) D N D D x 8 8 I..T. de Ploufragan D.. 191

20 es tronçons + + D sont en équilibre sous l action des forces,, et N D, donc nous avons : FExt ND a projection des forces sur l axe XX nous donne : proj' (F Ext ) / xx' N D + N D N e tronçon est sollicité à l extension car le sens de l effort normal tend à tirer la matière. Détermination de la contrainte normale σ D : Nous avons : σ D ND,8 N / mm D π 3 4,8 MPa Détermination de l allongement D : e tronçon étant sollicité par un effort de compression alors la longueur de ce dernier va augmenter, soit : D σ D E D σ D E. ε E.,8 8,11 mm 1 détermination de la déformation totale de l arbre D D D a déformation totale est : D + D D,38,18 +, 11,31 mm d'allongement D I..T. de Ploufragan D.. 19

21 4.4 - IIEMENT DEFINITION Une poutre est sollicitée au cisaillement lorsqu'elle est soumise à deux forces égales et opposées qui tendent à la séparer en deux tronçons qui glissent l'un par rapport à l'autre dans le plan d'une section perpendiculaire à la ligne moyenne. Différentes phases du cisaillement d'une plaque de tôle ame mobile Tronçon 1 Tôle Tronçon 1 1 ame fixe EFFORT TRNHNT F e cisaillement se traduit par un glissement de par rapport à 1 ( 1 et sont les sections droites confondues avec ). olide () 1 G Tronçon 1 Tronçon -F On isole le tronçon ilan mécanique y F Forces F Point d application Direction et sens Intensité (en dan) F O x G 1/ G?? G 1/ G ection droite () Tronçon onstat : olide en équilibre sous l action de forces onclusion : es deux forces sont donc égales et directement opposées G 1 / F I..T. de Ploufragan D.. 193

22 force En conclusion, nous dirons que l action exercée par le tronçon 1 sur le tronçon se réduit à une G 1/ centre de gravité G, appelée EFFORT TRNHNT, parallèle à la section droite et passant par le F G G 1/ ection droite () Remarque : Par habitude, l'effort TRNHNT est appelé T ONTRINTE TNGENTIEE Dans le cas général du cisaillement, il y a répartition uniforme des contraintes tangentielle dans la section droite et nous avons : τ G 1 / T vec : τ ontrainte tangentielle (en N/mm ou MPa (méga-pascal)) T Effort tranchant (en N ) ection droite (en mm ) F τ ection droite () I..T. de Ploufragan D.. 194

23 ONDITION DE REITNE U IIEMENT Pour qu'une pièce sollicitée au cisaillement résiste en toute sécurité, il faut que la contrainte tangentielle τ reste inférieur ou au plus égale à la résistance pratique au cisaillement Rpg (Rpg est en général définie à partir de la résistance à la rupture par glissement Rg du matériau). oit : τ T Rpg Rg k (en MPa ) vec : τ : ontrainte tangentielle de cisaillement (en MPa ou N/mm ) T : Effort tranchant (en N). : ection droite (en mm ) Rpg : Résistance pratique au cisaillement (en MPa). Rg : Résistance à la rupture par glissement (en MPa). k : oefficient de sécurité DEFORMTION ETIQUE ame () ame (1) Tôle (3) upposons que les actions F et a déformation dans le cas du cisaillement se caractérise par un glissement des sections droites les unes par rapport aux autres. e glissement est mesuré par l'angle γ (gamma) appelé angle de glissement. Unité de gamma (γ): e radian (rad) F sont distantes l'une de l'autre de ( tend vers ). es sections droites comprises entre 1 et glissent les unes par rapport aux autres de la même façon. γ mesure cette déformation. es essais de cisaillement montre que, dans le domaine élastique τ G γ T est proportionnel à γ (donc à τ), tel que : e facteur de proportionnalité G est le module d'élasticité transversal (G est l'analogue de E, module d'élasticité longitudinal) Exemple : Pour les métaux, G,4 E oncernant les aciers, si E N/mm alors G 8 N/mm I..T. de Ploufragan D F 1 T F γ

24 EXEMPE Ex. N 1 : alculs des articulations cylindriques a liaison pivot entre la chape et le tirant 1 est réalisée par l'intermédiaire de l'axe cylindrique 3. 'action exercée par le tirant est F ( 1 dan). F 1 3 Pour réaliser la liaison entre le tirant 1 et la chape, deux solutions sont envisagées. F F d 1 d D olution 1 olution es axes 3 des solutions 1 et sont réalisés à partir du même acier, la résistance pratique au glissement adoptée par le constructeur est Rpg 5 dan/mm. Question : alculer les diamètres d 1 et d à adopter pour la construction des deux solutions. Réponse : ondition de résistance au cisaillement pour les deux solutions : τ T Rpg Détermination du diamètre d 1 : T Rpg 1 5 π d 1 4 d 1 16 mm 4 π Détermination du diamètre d : π d 1 4 d 11,3 mm 4 π ien remarquer que dans la solution il y a deux sections cisaillées. mm I..T. de Ploufragan D.. 196

25 4.5 - TORION DEFINITION Une poutre est sollicitée en torsion chaque fois que les actions exercées aux extrémités se réduisent à deux couples égaux et opposés d'axe la ligne moyenne. ligne moyenne M -M Hypothèses : es poutres sont cylindriques; e matériau est homogène et isotrope; es déformations sont petites et restent élastiques; es sections circulaires de la poutre restent circulaires. EXPERIMENTTION «as d un tournevis» d 7 mm M,4 m.dan M -M M M e tronçon de la tige ( mm, d 7 mm) est soumis à une sollicitation de torsion. I..T. de Ploufragan D.. 197

26 ONTTTION es sections droites avant déformations restent droites après déformations, elles restent planes et perpendiculaires à la ligne moyenne. o G ligne moyenne K D M α z K' G K α D' D M ligne moyenne Z es fibres initialement parallèles à l'axe de la poutre s'enroulent suivant des hélices autour de cet axe. a variation de longueur d'une fibre est négligeable. es sections droites tournent ou glissent en bloc les unes par rapport aux autres (rotation autour de la ligne moyenne). 'expérience montre que les rayons GK restent droits dans le domaine élastique, ils s'incurvent dans le domaine plastique. Partant de ces résultats, nous pouvons dire que l'angle de rotation entre deux sections droites est proportionnel à la distance entre ces deux sections α α Z Z θ θ en rad/m avec θ angle unitaire de torsion par unité de longueur Exemple : Pour un couple de,4 m.n, l'angle de torsion qui est mesuré est 14 6 pour une longueur de mm. Déterminons l'angle unitaire de torsion θ. Nous avons θ α 14 6,73 / mm 73 / m Résultat en radian : θ π ,74 rad / m I..T. de Ploufragan D.. 198

27 EQUTION DE ONTRINTE Etudions l équilibre du tronçon du tournevis (longueur:, section : ). () Tronçon 1 Tronçon M G ligne moyenne M Z e dernier est soumis à l'action d'un moment M en et d'un moment M - M en. Isolons le tronçon. ilan mécanique 'action du moment M sur le tronçon 1 y x R /1 'action du tronçon sur le Tronçon 1 tronçon 1. a liaison entre et 1 est modélisable par une liaison encastrement au point G, nous avons donc : une résultante : R / 1 M G M T ligne moyenne z un moment suivant l'axe (,z) r : MT ppliquons le principe fondamental de la statique au tronçon : Fext R / 1 MG ( Fext ) M + MT M T M es efforts intérieurs exercés dans la section () par le tronçon 1 sur le tronçon se réduisent à un moment M T tel que : M T M M I..T. de Ploufragan D.. 199

28 En torsion dans le cas de petites déformations, les contraintes normales σ sont négligeables (l'allongement des fibres est négligeable).en conséquence les contraintes, dans la section droite (), sont caractérisées principalement par des contraintes tangentielles τ, c'est à dire des contraintes de cisaillement, tel que : τ G γ avec G : Module d'élasticité transversal (en Mpa); M ( ) γ : ngle de glissement (en rad). () Rayon : R onsidérons un cylindre d'axe (,z) Génératice Z α K' G ρ K G K M T z γ longueur Z et de rayon R. r de oient et deux sections droites distantes de la cote Z et considérons la génératrice K. ppliquons un moment de torsion M. ela a pour conséquence la rotation de la section () autour de la ligne moyenne d'un angle α. utrement dit l extrémité de la génératrice (point K)se retrouve au point K. oit ρ la distance du point K au centre de gravité G, nous avons KK ' ρ α En supposant γ très petit, nous avons : γ γ tan( γ) ρ α Z ρ θ KK' K ρ α Z ette relation permet de définir la contrainte de cisaillement ; soit la définition : a contrainte de cisaillement τ en un point M est proportionnelle à la distance ρ (rhô) de ce point au centre de gravité : τ G γ ρ G θ avec : τ : ontrainte tangentielle ( en Mpa ) ρ : Distance séparant le point du centre de gravité de la section (en mm ) θ : ngle unitaire de torsion ( en rad/mm ) G : Module d élasticité transversal ( en MPa ). Pour la plupart des matériaux G,4.E I..T. de Ploufragan D..

29 Remarque : ρ varie de à R ( avec R : rayon de la poutre). Nous constatons donc que la contrainte varie suivant la distance ρ comme le montre la figure ci-contre. ρ max (R) ρ τ τ max es contraintes sont maximales à la périphérie des pièces. Par conséquent, 'il y a rupture par torsion la rupture commence sur la surface de la pièce. R EXPREION DE 'NGE UNITIRE DE TORION θ Nous avons vu que : M G ( F ext ) M + M T τ M M M τ ρ T M T ( ρ θ G) ρ ρ G M θ G ρ M T T θ G ρ () R On appelle I O est le centre de gravité de la section ()). ρ le moment quadratique de la surface () par rapport au point G (ou G oit M θ G ou encore T I O θ M T G I O vec : M T : Moment de torsion ( en mm.n ) θ : ngle unitaire de torsion ( en rad/mm ) I O : Moment quadratique (en mm 4 ) G : Module d élasticité transversal ( en MPa ). I..T. de Ploufragan D.. 1

30 Remarque : Dans le cas d'une section circulaire I O π d 3 4 as d'un arbre creux : I O I plein I creux π D 3 4 π d 3 4 π 4 4 ( D d ) 3 avec : D : Diamètre extérieur ( en mm ) d : Diamètre intérieur ( en mm ) Par ailleurs, comme avons τ ρ G θ nous obtenons l expression : τ M T I O ρ ONDITION DE REITNE Nous savons que la condition de résistance d une pièce sollicitée au cisaillement se traduit par la relation : τ Rpg (avec Rpg, résistance pratique au glissement). Or nous avons vu que maximum lorsque ρ est également maximum. Posons MT ρ τ est fonction de la distance ρ, par conséquent τ est I O V ρ max R (rayon de la poutre) a condition de résistance, dans le cas de la torsion s exprimera par la relation : τ M ρ MT V MT IO IO V T max max IO τ max I M O T V Rpg vec : τ max : ontrainte tangentielle maximal ( en MPa ) M T : Moment de torsion ( en mm.n ) I O : Moment quadratique (en mm 4 ) V : Distance séparant la fibre la plus éloigné du centre de gravité (en mm ) Rpg : Résistance pratique au glissement ( en MPa ). I..T. de Ploufragan D..

31 Remarques : (I O /V) est appelé le module de torsion. e module caractérise la rigidité en torsion de la section () de la poutre. Pour une section circulaire nous avons V R d rbre plein V ρ max τ max IO V π d 16 3 rbre creux Rd/ IO V 4 π (D d 16 D 4 ) Exemple : Tournevis d M,4 m.dan M -M M M Question : Quel devrait être le diamètre d du tournevis si l'on impose une résistance pratique au cisaillement Rpg égale à dan/mm? Données : M T,4 m.dan Réponse : ppliquons l équation de résistance, soit : τ max MT IO V T MT 3 π d M 3 π d 16 M Rpg π d 3 Rpg e diamètre de la tige du tournevis devra être au minimum égale à 8,5 mm pour résister en toute sécurité au moment de,4 m.n. I..T. de Ploufragan D.. 3 T d 3 16 MT Rpg π 16 MT 16 4 d d 3 8,5 mm π Rpg π

32 4.6 FEXION IMPE DEFINITION Une poutre est soumise à une sollicitation de flexion chaque fois qu'il y a fléchissement de la ligne moyenne (m). F F igne moyenne igne moyenne Hypothèses : Toutes les poutres étudiées possèdent un plan de symétrie longitudinal Toutes les forces extérieures à la poutre étudiée sont contenues dans le plan de symétrie. EXEMPE : «pont roulant» a P b nous avons : a + b 4m e pont roulant proposé se compose d'une poutre (1) (profilé IPE), d'un palan motorisé (), de deux moteurs de translation (3) et d'une boîte de commande (4). e profilé IPE (1) est sollicité à la flexion selon l action et la position de la charge P (valeur maxi 1 dan). I..T. de Ploufragan D.. 4

33 EFFORT TRNHNT MOMENT FEHINT EQUIIRE DE POUTRE (1) Pour étudier les conditions d équilibre de la poutre (1) le palan () sera situé à 1 mètre du point. On isole la poutre (1) R R a 1 m P b 3 m Pour simplifier la représentation de la poutre (1), nous la représenterons par un trait fort tandis que les appuis et seront schématisés comme des appuis simples. y R + R O x a 1 m P b 3 m ilan mécanique r r ction de la charge sur la poutre : P P y 1 y (dan) r ction du rail sur les roues en : R Y y r ction du rail sur les roues en : R Y y onstat : olide soumis à l action de trois forces parallèles. I..T. de Ploufragan D.. 5

34 pplication du principe fondamental de la statique à la poutre (1) Premier théorème : Fext P + R + R F ext + P Y + Y oit l équation scalaire : P + Y + Y Y + Y P Deuxième théorème : M (F ) M (P) + M (R ) + M (R ) ext ext M (F ) a P + + (a + b) Y oit l équation scalaire : P + 4 Y Nous obtenons donc : P 1 1 Y 5 dan 4 4 R R r Y y r Y y 5 dan r (P Y ) y 75 dan e principe fondamental de la statique appliqué à l'ensemble de la poutre nous permet de déterminer les réactions aux appuis et. EQUIIRE DU TRONON D onsidérons maintenant le tronçon D et étudions les conditions d équilibre: R Tronçon 1 (D) Tronçon (D) R () D X a 1 m P b 3 m I..T. de Ploufragan D.. 6

35 On isole le tronçon D R y R + D () Représentation simplifiée O () D x X X ilan mécanique r ction du rail sur les roues en : R Y y ction du tronçon () sur le tronçon (1). u point D, centre de gravité de la section droite (), la liaison entre () et (1) est assimilable à une liaison encastrement. Nous avons : la force résultant des actions de contact de () sur X / 1 (1) : R / 1 Y / 1 y O R X + () D R 1/ x M 1/ le moment en D résultant de la répartition des actions de contact de () sur (1) : M (R ) M D / 1 / 1 pplication du principe fondamental de la statique au tronçon D Premier théorème : Fext R + R / 1 F ext Y Nous obtenons : X / 1 et Y /1 Y 75 dan + X Y / 1 / 1 Deuxième théorème : M D (F ext ext ) M D (R / 1 ) + M D (R M (F ) M X Y Nous obtenons : / 1 ) y O R + () D M 1/ x M /1 X Y 75 X X R1/ I..T. de Ploufragan D.. 7

36 EQUIIRE DU TRONON E onsidérons maintenant le tronçon E et étudions les conditions d équilibre : R Tronçon 1 (E) Tronçon (E) R () E X P a 1 m b 3 m On isole le tronçon E y R + R 1/ O X () E x M 1/ P ilan mécanique r r ction de la charge sur la poutre : P P y 1 y (dan) r r ction du rail sur les roues en : R Y y 75 y (dan) ction du tronçon () sur le tronçon (1). u point E, centre de gravité de la section droite (), la liaison entre () et (1) est assimilable à une liaison encastrement. Nous avons : la force résultant des actions de contact de () sur (1) : R / 1 / 1 Y / 1 le moment en E résultant de la répartition des actions de contact de () sur (1) : E M (R ) M / 1 / 1 I..T. de Ploufragan D.. 8 X

37 pplication du principe fondamental de la statique au tronçon E Premier théorème : Fext P + R + R / 1 F ext + P Y + X Y / 1 / 1 Nous obtenons : X / 1 et Y /1 P Y 5 dan Deuxième théorème : M (F ) M (R ) + M (R ) + M (P) E ext E / 1 E E M (F ) M X Y + (X 1) P ext / 1 Nous obtenons : M / 1 X Y (X 1) P 75 X 1 (X 1) M / X M / 1 y O R + R1/ () E M 1/ x X P Résumé Nous avons deux cas de figure : Premier cas de figure : a section () est située entre le point et le Point donc, autrement dit, nous sommes dans le cas particulier ou X 1m : R Tronçon 1 (D) Tronçon (D) R () D X a 1 m P b 3 m r Nous avons : R R - 75 y (dan) et / 1 M / 1 X Y 75 X I..T. de Ploufragan D.. 9

38 Deuxième cas de figure : a section () est située entre le point et le Point donc, autrement dit, nous sommes dans le cas particulier ou 1 m X 4 m : R Tronçon 1 (E) Tronçon (E) R () E X P a 1 m b 3 m r Nous avons : R R P 5 y (dan) et / X M / 1 EFFORT TRNHNT r Nous appelons T l effort tranchant dans la section droite () tel que : T R / 1 y Y / 1 ; projection de la résultante r R / 1 suivant l axe (O,y). effort tranchant T sollicite la section droite () au cisaillement Par définition, nous dirons que l'effort tranchant T est égal à la somme vectorielle de toutes les forces extérieures perpendiculaires à la ligne moyenne et situées à gauche de la section droite (). Dans le cas de notre exemple, nous avons : Tronçon, Tronçon, X 1m : T proj / (F (située à gauche) ) R 75 dan 1 m Oy ext X 4 m : T proj/ (F (située à gauche) ) R P 5 dan Oy ext Pour simplifier les travaux d'exploitation, les résultats des efforts tranchants sont rassemblés dans un digramme appelé : diagramme des efforts tranchants. I..T. de Ploufragan D.. 1

39 Diagramme des efforts tranchants R R X 1 m 1 m X 4 m T (en dan) P 75 (T75daN) (T-5 dan) X (en m) MOMENT FEHINT Nous appelons Mf le moment fléchissant dans la section droite () tel que : Mf M / 1. Par définition, nous dirons que le moment fléchissant Mf dans la section droite de centre de gravité G, est égal au moment résultant en G de toutes les forces extérieures situées à gauche de la section droite (). I..T. de Ploufragan D.. 11

40 Dans le cas de notre exemple, nous avons : Tronçon, X 1m Mf - X R 75 X (e moment fléchissant est variable et est de la forme y a.x + b). Pour X, Mf m.dan et pour X 1 m, Mf 75 m.dan Tronçon, 1 m X 4 m Mf (X-1) P X R 5 X 1 Pour X 1m, Mf 75 m.dan et pour X 4 m, Mf m.dan Pour simplifier les travaux d'exploitation, les résultats des moments fléchissants sont rassemblés dans un diagramme appelé : diagramme des moments fléchissants. Diagramme des moments fléchissants R R X 1 m 1 m X 4 m Mf (en m.dan) P 5 X (en m) Mf-75.X Mf5.X-1 I..T. de Ploufragan D.. 1

41 EXEMPE EI DE FEXION 'essai de flexion se pratique sans difficulté sur une machine d'essai de traction. e cylindre de poussée (3) de la machine agit sur une poutre (), l'effort exercé est de dan. 'action est transmisse en et D sur la poutre 1 par l'intermédiaire de deux rouleaux posés sur le bâti 8 de la machine. es mesures sont effectuées à l'aide d'un comparateur (9) 6 7 (mesure de la flèche de la poutre) et d'une table de mesure (1)recueillant les données des jauges J 1 à J 14 (mesure des contraintes) Détermination des réactions aux appuis et On isole la poutre (1) ilan mécanique Forces R Point d application Direction et sens ( ppui ponctuel) Intensité (en dan)? D 1 m 1 m 1 m P 1 P R P 1 ( ppui ponctuel)? 1 P D 1 Hypothèse : e poids de la poutre (1) est négligé onstat : a poutre est en équilibre sous l action de quatre forces parallèles. I..T. de Ploufragan D.. 13

42 Expression vectorielle des forces y R + R O D x 1 m 1 m 1 m P 1 P R R R R r y r y r r (x,y) r r (x,y) R R P P 1 r P y P 1 r y r r (x,y) r r (x,y) 1 1 pplication du principe fondamental de la statique. Théorème de la résultante : FExt R + R + P1 + P F Ext r r (x,y) R + r r (x,y) R + r r (x,y) P 1 + r r (x,y) P r r (x,y) Nous obtenons, après projection sur l axe (O, y r ) l équation scalaire Théorème du moment : (1) R + R P P R + R M (FExt ) M(R ) + M(R ) + M(P 1) + M(P ) 1 M Ext 1 (F ) + 3 R 1 P P oit l équation scalaire () R P P 3 1 Partant de l équation (), nous obtenons : R P 1 P dan Partant de l équation (1), nous obtenons : R R 1 1 dan I..T. de Ploufragan D.. 14

43 Détermination des efforts tranchants et des moments fléchissants Tronçon y R + R () (ection droite) O G D x x P P 1 1 m 1 m 1 m Intervalle : Effort tranchant : x 1m T F R ext (situées à gauche) gauche) 1 dan Moment fléchissant : Mf M ( Fext (situées à ) x R Mf 1 x Tronçon D y O R + () (ection droite) G D R x x P P 1 1 m 1 m 1 m Intervalle : Effort tranchant : 1 m x m T Fext à gauche) R P1 (situées gauche) dan Moment fléchissant : Mf M ( Fext (situées à ) x R + (x 1) P1 Mf x (P R ) P1 x (1 1) 1 Mf 1 m.dan Remarque : Nous constatons que l'effort tranchant T est nul tandis que le moment fléchissant Mf est constant. Dans ce cas nous parlons de flexion pure (ou flexion circulaire) I..T. de Ploufragan D.. 15

44 Tronçon y O R + x D () (ection droite) G R x P P 1 1 m 1 m 1 m Intervalle : Effort tranchant : m x 3 m T Fext (situées à gauche) R P1 P Moment fléchissant : Mf x R + (x 1) P1 + (x ) P1 Mf x (P 1 + P R ) P1 P 1 dan Mf x ( ) 1 Mf 1 X 3 m.dan Diagramme des efforts tranchants et des moments féchissants x 1 m 1 m x m m x 3 m 1 T (en dan) Diagramme des efforts tranchants D x (en m) -1 Mf (en m.dan) Diagramme des moments fléchissants D x (en m) -1 Mf -1.x Mf -1 Mf1.x - 3 I..T. de Ploufragan D.. 16