Variational method for 3D image segmentation.

Transcription

1 June 6, 2013

2 3D Magnetic Resonance Images Figure : 3D MRI images of mouse vascular network.

3 The Segmentation Problem We want to detect structures that can be modeled as small section tubes. Problems: High level of noise, Thin section of the tubes,

4 The Chosen Method 1 The model: a Mumford-Shah like variational model for segmentation. 2 Approximation of the model with proof of the Γ-convergence towards the original one, 3 Strategy for tuning parameters with respect to the tube size.

5 The Mumford-Shah functional Ω is a bounded open set of R n, n = 2, 3. g is the initial image, we can assume g(x) [0; 1] almost everywhere. We search for a pair (p, K), where K is the set of discontinuities, minimizing E(p, K) = p g 2 + β H(K) +γ p 2. Ω\K } {{ } Ω\K length of K

6 The Segmentation Problem The Mumford-Shah functional is E(p, K) = p g 2 + βh(k) + γ Ω\K Ω\K p 2. We are searching for a solution of the form u = 1 A, where A is the vascular network. Thus, the associated functional is: E(1 A, A) = 1 A g 2 + βh( A). Ω\K

7 Functional Formulation Le cadre fonctionnel adéquat sur lequel définir cette fonctionnelle est l espace des fonctions à variation bornée BV. Theorem Si 1 A BV, alors on a A = S A C où: H(C) = 0, S A = ( i Γ i) est une union dénombrable de courbes paramètrées de classe C 1, l ensemble des sauts de 1 A. On peut réduire la fonction d énergie à une seule variable: E(p) = p g 2 + βh(s p ) Ω

8 Approximation On approche le terme de pénalisation du bord par l expression suivante: E(p) = Ω p g 2 + βh(s p ) E ε (p) = Ω p g 2 + β Ω 9ε p 2 + (p p2 ) 2 ε La famille de fonctionnelle (E ε ) ε>0 converge vers E lorsque ε 0 +. Cela a lieu dans le cadre de la Γ convergence.

9 Approximation Modèle exact Modèle approché Ω p g 2 + βh(s p ) Ω p g 2 + 9βε p 2 + (p p2 ) 2 ε BV W 1,2

10 Exemple de la dimension 1 α 1 α 2 M m Seuil critique Il faut calculer, en fonction des paramètres du modèle β, ε la section critique α en dessous de laquelle les vaisseaux seront noyés dans le bruit.

11 Non convexité de la fonctionnelle La fonction E ε a un important défaut de convexité qui vient du terme (1 p 2 ) 2 p. ε Ω Cela a pour conséquence une difficulté à caractérisation des minima globaux et locaux. Nous devons donc poser des a priori pour cibler le minimum local qui répond au problème.

12 A priori géométrique En première approche, on considère qu un tube d épaisseur α dans un ouvert Ω est la donnée d une courbe paramétrée Γ augmentée d une épaisseur A α qui possède une symétrie cylindrique.

13 A priori géométrique Theorem Sous des hypothèses de régularité et de courbure de Γ, on peut paramétrer les points de A α à l aide du repère mobile de Frénet.

14 Definition On pose F α le sous ensemble de H 1 (Ω) à géométrie cylindrique adaptée à A α. Definition On restreind le problème de minimisation au sous-ensemble F α min E ε (p). p F α

15 Résultat d existence et d unicité de la solution Theorem Le problème de minimisation admet des solutions. min E ε (p). p F α Theorem Si β ε alors le problème admet une unique solution est unique.

16 Réduction à la dimension 1 Remarque Une fonction à géométrie cylindrique est caractérisée par son image sur une tranche.

17 Réduction à la dimension 1 Definition Soit I α = [ α 2 ; α 2 ], l espace de Sobolev à poids H1 ω(i α ) est défini par ( Hω(I 1 α ) := {q L 2 (Ω) q 2 + q 2) ω(r)dr < + } où ω(r) = H( A r ). I α

18 Réduction à la dimension 1 Definition L application Θ qui restreind une fonction de à une de ses tranches est une application isométrique de F α dans H 1 ω(i α ). Definition Soit I α = [ α 2 ; α 2 ], l énergie à poids E ε ω est définie sur Hω(I 1 α ) par: ( Eε ω (q) := 9εβ q 2 + (1 q) 2 + (q ) q2 ) ω(r) ε. I α

19 Definition On a le problème de minimisation de minimisation réduit: min E ω q Gα ω ε (q). Theorem La fonction p est solution du problème (P ε,α ) si, et seulement si, la fonction Θ(p) est solution du problème (P ω ε,α) où G ω α est le sous-espace des fonctions paires de H 1 ω,0 (I α).

20 Propriétés qualitatives de la solution Theorem Sous l hypothèse β ε, soit p l unique solution du problème (P ε,α ) Théorème 5.1. Sous et q = Θ( p). Alors q Gα ω l hypothèse Æ 32Á, soit p l unique solution du problème (PÁ, ) et q = vérifie ( p). Alors q œleg aux limites suivant: Ê vérifie le problème aux limites suivant lorsque n =2 I { 9βε (ω q ) 9 Á(Ê q + ωf Õ ) Õ + Êf,Á( q) =0dans (0, β,ε ( q) = 0 2 dans ) (0, α q( 2 ) 2 )=0, qõ (0) = 0 q( α i) 2 ) q = est de 0, classe q C (0) 2 (I ) et vérifie l équation suivante : Y = 0 _] (18Á Êq Õ ) Õ 2Ê(1 q) q(1 q2 ) 16Á Ê =0, q( _[ 2 )= 1, q( 2 )= 1, De plus, q est de classe C 2 où l on a posé w(r) (I:=l α ) + r fi, et est solution forte de l équation ii) q est croissante sur précédente. # 2 ;0$ et décroissante sur # 0; $ 2, iii) Æ q(0) Æ, FAIRE CES ESTIMATIONS iv) Æ q Õ! 2 " Æ. 1 6 q r 1 Démonstration. i) Soit p l unique solution du problème (PÁ, ) et q = (p). Dans la démonstration du théorèmevariational 3.3, a vu enmethod 5.3 que, pour for 3D tout image segmentation. p