OCEANOGRAPHIE PHYSIQUE (V2) Ecole Navale

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1 OCEANOGRAPHIE PHYSIQUE (V2) Ecole Navale Nathalie DANIAULT UM/LPO - UFR Sciences Université de Bretagne Occidentale 1er février 2005

2 Table des matières 1 Introduction L océanographie Physique Définitions et classifications Courant Classifications Théorie des courants marins Propriétés physiques de l eau de mer Température La distribution des températures de surface La distribution des températures avec la profondeur La température potentielle θ Salinité Variation de S avec la profondeur Propriétés conservatives et non-conservatives Masse volumique ou densité définitions Stabilité statique et fréquence de Brunt Vaïsala Propriétés acoustiques Bilan d énergie et d eau de l océan mondial Le système océan-atmosphère L apport par rayonnement incident L équilibre radiatif Le principe de l effet de serre L effet des mouvements fluides Les transferts de propriétés entre l atmosphère et l océan Le transfert de quantité de mouvement Les transferts de chaleur Le transfert d eau douce Les gradients latéraux de densité de surface et la circulation thermohaline 22 4 Les équations du mouvement Généralités Les lois de base Classification des forces L équation de continuité - équation de conservation

3 4.2.1 Equation de conservation de la masse Application Equation de conservation du sel Les équations du mouvement Remarques Le terme de pression Passage aux axes liés à la terre Le frottement Les équations de l écoulement moyen (Reynolds) Tension de Reynolds et viscosité turbulente Adimensionalisation (scaling) des équations L approximation de Boussinesq Les nombres de Rossby et d Ekman Autres nombres sans dimension Le nombre de Rossby Le nombre de Reynolds Le nombre d Ekman Le nombre de Froude Le nombre de Burger Le nombre de Richardson Courants sans frottement L équilibre hydrostatique Le courant d inertie L écoulement géostrophique Quelques définitions Les équations du courant géostrophique La méthode géostrophique (dynamique) de calcul des vitesses relatives Les équations du vent thermique Ecoulement géostrophique d un fluide homogène fluide homogène écoulement peu étendu en latitude fond irrégulier Courants avec frottement La dérive des icebergs La solution d Ekman intégrée La solution d Ekman complète Plaçons nous en surface Plaçons nous au fond Couche d Ekman de surface Upwelling et downwelling Un exemple Upwelling et gradient de pression La couche d Ekman au fond Solution plus générale

4 7 La circulation forcée par le vent Dans la couche d Ekman Géostrophie Ekman Total Sous la couche d Ekman Sur toute la profondeur Ordres de grandeur des termes La circulation de Sverdrup Un cas d école Intensification du courant de Bord Ouest Influence de la stratification La vorticité La vorticité relative ζ La vorticité planétaire f La vorticité absolue (ζ + f) La vorticité potentielle ( ζ+f D 7.14 Les théories de la conservation de la vorticité potentielle La circulation thermohaline Introduction d un processus thermohalin Les hypothèses de départ Introduction d un processus thermohalin Le transport dans les courants de bord Ouest Les théories de la thermocline ventilée Ondes océaniques Dynamique des ondes linéaires Ondes de Kelvin Ondes de Poincaré: inertie-gravité Ondes de Rossby: planétaires Ondes topographiques

5 Chapitre 1 Introduction 1.1 L océanographie Physique Océanographie: Science qui a pour objet l étude des mers et des océans, du milieu marin et de ses frontières ainsi que des organismes qui y vivent. L océanographie consiste à étudier les océans par l utilisation de diverses sciences de base telles que la physique, la chimie, la biologie, la géologie, les mathématiques étant évidemment omniprésentes. La contribution du physicien est d étudier la distribution de diverses propriétés telles que la température, la salinité, la densité, la transparence... qui permettent de distinguer une masse d eau d une autre, et d étudier et comprendre les mouvements de l océan en réponse aux forces qui agissent sur lui. On peut établir une liste (non exhaustive) de problèmes types posés en océanographie physique (fig 1): Pourquoi, aux latitudes moyennes, la circulation océanique en surface se fait dans le sens des aiguilles d une montre dans l hémisphère Nord, et dans le sens inverse dans l hémisphère Sud? Pourquoi ces circulations de surface sont étroites et rapides sur les bords Ouest des océans (Gulf Stream, Kuroshio) mais larges et lentes ailleurs? Pourquoi une circulation d Ouest en Est tout autour du continent Antarctique? Comment évolue la circulation océanique avec la profondeur? Quelles sont les raisons de la complexité des courant équatoriaux? Comment se font les transferts d énergie (chaleur et quantité de mouvement) entre l atmosphère et l océan? Quelles sont les caractéristiques et les causes des ondes internes à l intérieur de l océan? Quel est le rôle de l océan dans la régulation climatique (réservoir de chaleur, volant thermique)? Certaines de ces questions ont des réponses, d autres des réponses partielles, et au fur et à mesure des progrès, de nouveaux problèmes apparaissent et de nouvelles questions sont posées. Les études en océanographie physique sont menées d une part par une observation directe des propriétés et des mouvements des masses d eau, d autre part par application des principes de la physique de base, mécanique et thermodynamique, pour déterminer et comprendre les mouvements observés. L approche observation est appelée océanographie descriptive (ou 4

6 synoptique). La seconde, est appelée océanographie dynamique. Le but est d utiliser les lois physiques connues pour obtenir des relations mathématiques entre les forces agissant sur le milieu océanique et les mouvements qui en résultent. C est la dualité observation-modélisation. L objectif final est d apprendre suffisamment sur la structure et les mouvements de l océan pour être capable de prédire son état futur, un peu comme en météorologie. Mesurer pour connaître, puis connaître pour modéliser et enfin modéliser pour comprendre. Ensuite seulement viendra la prévision. Tel est le crédo des océanographes actuels. Si la terre est habitable, c est un peu à l océan que nous le devons. En effet, par la redistribution de la chaleur vers les pôles qu il effectue (il participe à ce transport à parité avec l atmosphère) l océan contribue à maintenir la température des zones équatoriales plus basse et celle des hautes latitudes plus haute qu elles ne le seraient en l absence de ce transport de chaleur. La capacité calorifique de l eau ( 4000Jkg 1 K 1, environ 4 fois celle de l air) fait que l océan est le régulateur thermique de l atmosphère: une couche de 2.5m de la surface océanique peut stocker autant de chaleur que la totalité de l atmosphère: la masse par unité de surface de l atmosphère est d environ 10 4 kg m 2 et puisque l accélération de la pesanteur est de l ordre de 10ms 2 le poids de l atmosphère par unité de surface, ou la pression atmosphérique, est de l ordre de 10 5 Nm 2 soit 10 5 P a soit 1bar. La masse volumique de l eau étant 1000 fois celle de l air, environ 10m d océan ont le même poids par unité de surface: la pression augmente d environ 1bar tous les 10m de profondeur. Cette différence de poids implique une grande différence de capacité calorifique: la chaleur spécifique de l eau (capacité calorifique par unité de masse) est 4 fois plus importante que celle de l air ; ainsi 2.5m d eau ont la même capacité calorifique par unité de surface que toute l épaisseur de l atmosphère. En d autres termes, la chaleur nécessaire pour augmenter de 1K toute l atmosphère est identique à celle nécessaire pour augmenter de 1K 2.5m d océan. Néanmoins, le système océan-atmosphère est un système couplé car c est la circulation atmosphérique (le vent) qui est responsable pour une large part de la circulation générale des océans, aussi comprend-on que l explication globale des phénomènes climatiques passe par l étude de la dynamique océanique. On comprend également que la protection des mers revêt une importance capitale: on peut parler ici du problème du CO 2 dont l augmentation (30% en 100 ans), liée à l utilisation du charbon et du pétrole, pourrait, par effet de serre faire croître la température moyenne de l atmosphère causant la fonte des calottes polaires, avec les conséquences que l on imagine. L océan jouera-t-il un rôle de buvard? Il convient également d évoquer le phénomène El Niño (fig 2): vers Noël, le courant de Humbolt ne remonte pas jusqu aux côtes du Pérou, étant contrecarré dans son évolution par un contre-courant chaud appelé El Niño (du fait de son apparition à cette époque de l année) s écoulant de l équateur vers le pôle. De temps en temps, environ tous les cinq ans, ce courant est plus intense que la normale, il pénètre plus au sud et ses eaux sont exceptionnellement chaudes. Son intensification est accompagnée de pluies très importantes, sur le continent habituellement désertique. Les vents (alizés, dirigés vers le large) faiblissent ou s annulent, l upwelling nourricier est masqué par les eaux chaudes pendant plusieurs semaines. Les anchois et les oiseaux marins meurent par millions, la pêche péruvienne connaît une année difficile, mais surtout il se produit des perturbations climatiques (sécheresses ici, cyclones et trombes d eau là) sur tout le globe. C est ce qu on appelle le phénomène El Niño - oscillation australe. 5

7 1.2 Définitions et classifications Courant C est le mouvement d une particule d eau marine. La profondeur moyenne h des océans est de l ordre de 4km. La dimension horizontale L des océans est de l ordre de 4000km. Il y a donc un facteur 1/1000 entre l échelle verticale et l échelle horizontale. On peut écrire en première approximation: w U dh/dt dl/dt h L 10 3 Les vitesses horizontales des océans dépassent rarement 1ms 1 (2 noeuds). Les vitesses verticales des mouvements de grande échelle sont inférieures au mms Classifications Les causes des courants sont très diverses et on observe une grande variabilité dans la circulation océanique, tant dans le temps que dans l espace. On peut faire la classification suivante (fig 3): Aux longues trajectoires sont associés des courants dits réguliers. C est la circulation océanique générale. Par exemple, le Gulf Stream a une vitesse moyenne de l ordre de 1ms 1 et le flux d eau qu il transporte (son débit) varie de 30 à 60 millions de m 3 s 1 entre le Détroit de Floride et le Cap Hatteras. Ces grands courants permanents ont des dimensions planétaires (plusieurs milliers de kilomètres). Aux trajectoires plus courtes sont associés des mouvements de caractère périodique: courant de marée, d inertie (périodes de quelques jours)... A plus petite échelle les courants dus aux vagues et à la houle ont des périodes de quelques secondes. A échelle microscopique apparaissent les mouvements associés à la turbulence, au caractère aléatoire très marqué et qui jouent un grand rôle dans la diffusion Théorie des courants marins Les mesures ne renseignent pas sur le pourquoi et le comment des courants. Elles doivent être interprétées à la lumière de schémas théoriques qui permettent d expliquer les phénomènes pour ensuite les prévoir. Les théories reposent sur l application au milieu marin des lois de la mécanique, ce qui exige le recensement des forces qui agissent sur le milieu et l analyse des termes négligeables dans les équations, en fonction des dimensions spatio-temporelles du phénomène que l on cherche à étudier. On distingue: Les forces internes: elles ont leur origine dans les variations de densité liées aux échanges énergétiques à l interface air-mer (par processus thermodynamiques). Les forces externes: effet mécanique du vent sur la surface de la mer, variations de pression atmosphérique, forces génératrices de la marée. Ces forces, externes et internes, sont productrices de mouvements. Ce sont des forces actives. 6

8 Les forces modificatrices du mouvement: la force de Coriolis qui est due à la rotation de la terre, les forces de frottement. Ce sont des forces passives. 7

9 Chapitre 2 Propriétés physiques de l eau de mer 2.1 Température Les deux propriétés physiques les plus importantes de l eau de mer sont sa température et sa salinité, parce qu elles gouvernent sa masse volumique 1 ρ = ρ(p,t,s). Aux hautes latitudes un refroidissement de surface peut initier le processus de convection (plongée d eau). Aux latitudes plus basses, un excès d évaporation (complété par l action du vent) peut, en rendant l eau de surface très salée, provoquer également la formation d eau profonde La distribution des températures de surface Noter (fig 4) le caractère zonal (le long des parallèles) des isothermes excepté au voisinage des côtes méridiennes. En plusieurs endroits la température est plus basse le long des frontières Est des océans, à cause du phénomène d upwelling (remontée d eau profonde). La connaissance de la température de surface est essentielle à l estimation des transferts océan-atmosphère de chaleur et d eau. Les transferts de chaleur se font par: Radiation: plus la température de surface est élevée, plus l océan radie de la chaleur Conduction: la surface de l océan est en moyenne plus chaude que l air au dessus, d où pertes par conduction Evaporation: c est le principal mécanisme par lequel l océan perd de la chaleur Les transferts d eau se font par évaporation, condensation, précipitation et par échange de gaz et d aérosols en cas de fort vent La distribution des températures avec la profondeur L absorption de l énergie solaire aux différentes longueurs d onde dans les couches de surface provoque le réchauffement direct des premières dizaines de mètres (fig 5). Le réchauffement pénètre ensuite plus profondément grâce au mélange turbulent, qui établit la couche de mélange de surface (fig 6). Entre 400m et 1000m selon les régions existe une thermocline permanente, qui est une zone de gradient vertical de température accentué, au dessous de laquelle les variations saisonnières 1. On parle indifféremment de densité ou de masse volumique à cause de la traduction impropre du terme anglais density qui veut dire masse volumique. 8

10 ne pénètrent pas. La température au fond varie entre 0 o et 3 o C. La partie située au dessus de la thermocline principale est parfois appelée sphère d eau chaude. La couche de mélange de surface est elle-même sujette à des variations saisonnières: approfondissement l hiver (turbulence et convection hivernale), et formation d une thermocline saisonnière de quelques dizaines de mètres en été (fig 7). Aux très basses latitudes il n y a pas de refroidissement d hiver: la thermocline saisonnière devient permanente vers m. Aux hautes latitudes il n y a pas de thermocline permanente, mais une thermocline saisonnière peut se développer. En été il peut y avoir une formation de thermocline diurne caractérisée par un réchauffement en surface de 1 o à 2 o C et de profondeur pouvant atteindre 10m à 15m. Cette thermocline diurne peut apparaitre n importe où, pour peu que le réchauffement diurne soit suffisamment important. La distribution de température dans l océan n est pas le seul résultat de l absorption d énergie solaire et du mélange turbulent vertical. L advection par les courant joue un rôle prépondérant (fig 8). Cette advection est d ailleurs nécessaire pour maintenir, par équilibre dynamique, la distribution verticale de température (fig 9) La température potentielle θ C est la température atteinte par un élément de fluide ramené adiabatiquement (sans échange de chaleur avec l eau avoisinante) à la surface océanique. La température potentielle est plus petite que la température in situ (écarts allant jusqu à 1.5 o C). Démonstration Une transformation adiabatique réversible (sans échange de chaleur avec le milieu extérieur), est isentropique: ds = δq/t = 0. La quantité de chaleur reçue par l unité de masse d un fluide quelconque, soumis à une variation de température dt et une variation de pression dp par l action d agents extérieurs s écrit: δq = C P dt + hdp où C P et h sont les coefficients calorimétriques respectivement à pression et température constante. Construisons les expressions des différentielles exactes des fonctions d état G, enthalpie libre, et S, entropie qui ne dépendent que des variables d état T et P (normalement il faudrait rajouter s, la salinité de l eau de mer): du = δq P dα = T ds P dα où α = 1/ρ est le volume massique, ou volume de l unité de masse. dh = d(u + P α) = T ds + αdp L entropie s écrit: dg = d(h T S) = SdT + αdp (2.1) ds = δq T = C P T dt + h dp (2.2) T 9

11 D où l expression de h par combinaison des dérivées partielles de S des équations (2.1) et (2.2): ( ) S P T ( ) S P T = h T = ( ) α T P h = T ( α T En substituant cette expression dans (2.2) on obtient finalement: ds = C p dt T La transformation étant isentropique ds = 0: ) P ( ) α dp (2.3) T P dt = T ( ) α dp = ρg T ( ) α dz (2.4) C p T C P p T P Où on a utilisé l équation de l hydrostatique dp = ρgdz. Avec α = 1/ρ, l expression s écrit: ( ) dt = gt [ 1 dz C S p α où A est le coefficient de dilatation (d expansion) thermique. ( ) ] α = gt A (2.5) T C P p Pour les eaux océaniques profondes par exemple (conditions moyennes à 4000m de profondeur): A = K 1 et T = 275K ; C p 4000Jkg 1 K 1. On trouve: ( ) dt = dz 4000 S = K m 1 Soit approximativement 0.12K par kilomètre. Ce gradient est faible, mais cependant aisément mis en évidence par les mesures hydrographiques dont la précision atteint couramment 0.01K (fig 10). 2.2 Salinité C est la concentration en sel dissous dans l océan ( 35 o / oo ). Depuis 1980, la salinité est définie officiellement comme un rapport, on ne spécifie plus l unité. La gamme de variation de S est: 33 < S < 37 pour les grands bassins ; 28 < S < 40 pour les plateaux continentaux et les mers fermées. La question de l origine des océans reste, encore à l heure actuelle, l objet de débats. De même, les hypothèses concernant la provenance des sels marins, de la salinité de l océan, varient encore. On pense généralement qu à partir d un corps homogène les phénomènes radioactifs, thermiques ou chimiques ont amené une différenciation progressive des magmas du manteau et que les éléments chimiques de l eau (Hydrogène et Oxygène) initialement bloqués dans les minéraux, ont pu être exprimés en surface grâce au volcanisme sous forme de vapeur d eau et de gaz. C était l initiation par un processus interne de l atmosphère et de l hydrosphère primitive: les sels de l eau de mer auraient ainsi la même origine interne que les éléments de la croûte terrestre. 10

12 2.2.1 Variation de S avec la profondeur La salinité de surface dépend de l équilibre entre évaporation et précipitation contrôlé climatiquement, et aussi dans certaines régions, du phénomène de fonte des glaces. Plus bas que 1000m les fluctuations de surface ne sont plus ressenties, et 34.5 < S < 35 à toutes les latitudes (fig 11). Les couches de fort gradient vertical de salinité sont des haloclines. La salinité de surface est maximale vers 20 o de latitude, là où l évaporation excède les précipitations (fig 12) Propriétés conservatives et non-conservatives L eau océanique acquiert généralement ses caractéristiques T et S en surface au contact de l atmosphère. L eau ayant plongé, ces caractéristiques ne peuvent ensuite se modifier que par mélange avec des eaux avoisinantes de caractéristiques T et S différentes. On dit que T et S sont des propriétés conservatives. La température étant affectée par la compression ou l expansion adiabatique, ce n est pas T, température in situ qui est conservée, mais plutôt la température potentielle θ. Les masses d eau peuvent être caractérisées par d autre propriétés chimiques. Parmi cellesci, le contenu en oxygène dissous, ou les sels nutritifs, qui sont non-conservatifs, car affectés par la présence d organismes vivants. 2.3 Masse volumique ou densité La pression est reliée à la profondeur par l équation de l hydrostatique: dp = ρgdz où g = 9.81m/s 2, ρ la masse volumique de l eau de mer. La masse volumique de l eau de mer ρ ± 2% kg/m 3. L eau est donc très peu compressible. C est ce qui explique la relation quasi-linéaire entre pression et profondeur. Pour dz = 1m, dp = ( 1) P a 1dbar Le dbar est l unité usuelle de pression en océanographie physique. Les mouvements océaniques sont contrôlés par la masse volumique de l eau de mer. L équation d état de l eau de mer indique que la masse volumique est une fonction de p, T et S. Cette relation est non linéaire, mais approximativement: ρ augmente de 1kg/m 3 quand T diminue de 5 o C S augmente de 1 o / oo p augmente de 200db définitions La masse volumique étant très proche de 1000kg/m 3, on utilise souvent en océanographie physique les anomalies de masse volumique (densité): σ = (ρ 1000)kg/m 3 11

13 Anomalie de densité in situ : σ(p,t,s) = ρ(p,t,s) 1000 Anomalie de densité en surface: σ t = ρ(0,t,s) 1000 Anomalie de densité potentielle: c est l anomalie de densité d un paquet d eau ramené adiabatiquement en surface: σ θ = ρ(0,θ,s) σ θ est très utilisé car il permet de comparer la densité de deux masses d eau ramenées à la même pression (ici p = 0db). σ P est l anomalie de densité potentielle d un paquet d eau ramené adiabatiquement à la pression P: σ P = ρ(p,θ,s) 1000 Le volume spécifique (volume de l unité de masse) α = 1/ρ s exprime en m 3 /kg. L anomalie de volume spécifique est δ = α(p,t,s) α(p,0,35). Dans δ on regarde les contributions de T et S à l anomalie, pas celle de p. Un fort gradient de densité est appelé pycnocline, une surface de densité constante est une isopycne (fig 13). Remarque: σ θ n étant fonction que de θ et de S est une propriété conservative: on considère généralement que l écoulement des eaux dans l océan se fait le long des surfaces isopycnes plus qu à travers celles-ci. L analyse de la distribution d autres propriétés conservatives (θ, S...) sur ces surfaces peut donner des informations (qualitatives) sur la circulation de certaines masses d eau (analyse isentropique) Stabilité statique et fréquence de Brunt Vaïsala La distribution verticale de densité permet de dire si le fluide est stable, c est à dire: S il résiste aux mouvements verticaux (stable) S il est indifférent aux mouvements verticaux (neutre) S il a tendance à se mouvoir verticalement de lui même (instable) Il sera stable si ρ ρ < 0 ( z > 0 vers le haut) ou > 0. C est à dire dans le cas où les eaux z p plus légères sont au dessus des eaux plus lourdes. Dans le calcul de la stabilité on utilisera une densité potentielle σ P rapportée à un niveau de pression situé dans la couche océanique dans laquelle on travaille. 12

14 Considérons dans un premier temps, pour simplifier, deux couches d eau incompressible de densités différentes où ρ 1 < ρ 0 (la variation de ρ suivant la verticale n est pas due à la variation de pression - hypothèse incompressible - mais à une variation de composition ou de propriétés physiques du fluide considéré). Un élément de volume V est déplacé adiabatiquement de la couche de densité ρ 0 vers la couche de densité ρ 1. Le volume V est soumis dans la couche 1 à la résultante de son poids et de la poussée d Archimède: F = P a + P = ρ 1 V g + ρ 0 V g = (ρ 0 ρ 1 )V g F = m γ = ρ 0 V γ γ est appelé accélération réduite de la pesanteur. γ = ρ 0 ρ 1 ρ 0 g (2.6) Dans une stratification continue on peut écrire: ρ(z) = ρ 0 + ρ ρ z où z z < 0 z étant l écart de l élément fluide à sa position d équilibre où la masse volumique est ρ 0, et ρ/ z est le gradient vertical de densité. L accélération réduite de la pesanteur devient, en remplaçant dans (2.6) ρ 1 par ρ(z): γ = 1 ρ 0 ρ z z g Projetons sur la verticale orientée vers le haut: ( γ = d2 z dt = 1 ) ρ 2 ρ 0 z z g = Eg z en posant E = 1 ρ 0 ρ z = d2 z dt 2 + Eg z = 0 On retrouve l équation de l oscillateur harmonique de pulsation: ω = Eg E est le critère de stabilité. On voit que E = γ/gz: E > 0 γ de signe opposé à z stable. L élément fluide a tendance à revenir à sa position d équilibre. E < 0 instable. Si E > 0: quand on lâche l échantillon au niveau z, il revient à son niveau d équilibre, mais le dépasse (inertie) et commence à osciller: il y a alors formation d onde interne de gravité. On définit la fréquence de Brunt Vaïsala N par N 2 = g E(rad/s 2 ) = ω 2, improprement appelée fréquence puisqu il s agit en fait de la pulsation ω vue ci-dessus. On peut montrer que c est la fréquence (à un facteur 2π près) maximum des ondes internes dans de l eau de stabilité E. Les valeurs de E vont de m 1 près de la surface à m 1. Les fréquences correspondantes (N/2π = Eg/2π) varient de 10 3 à 10 4 cycles/s soit des périodes de 10mn à 2 ou 3 heures. N est maximale dans les pycnoclines, et très faible au fond, où l océan est peu stratifié (fig 14). 13

15 Fréquemment le gradient de densité résulte d un gradient de température. On peut alors introduire dans l expression de N 2 le coefficient de dilatation thermique: A = 1 α ( ) α T P = 1 ρ N 2 = g E = g ρ ρ z = g ρ ρ T ( ) ρ T P T z = A g T z C est l expression exacte dans l approximation d un fluide incompressible, mais elle doit être corrigée lorsque le milieu est compressible. Dans ce cas la valeur exacte de E s écrit: E = 1 ρ ρ z g C 2 où C est la vitesse du son dans l eau ( 1500m/s), et le terme ρg/c 2 représente les effets de la compressibilité, avec C 2 = ( P/ ρ) S. Alors N 2 = g E = g ρ ( ρ z + gρ ) C 2 Si le milieu est compressible on doit tenir compte du fait que la masse volumique de la parcelle d eau déplacée subit dans son déplacement l effet de cette compression que l on considère adiabatique (suffisamment rapide pour que seule la compression ait le temps de modifier la masse volumique de la parcelle). alors ρ z = ρ z insitu ρ z ad. ρ z ad.= ρ p p ρ ad. = ρg z p ad= ρg C Propriétés acoustiques L eau de mer, comme l air mais à moindre échelle, est un milieu compressible, si bien qu une perturbation de pression créée en un point peut se transmettre de proche en proche à travers le fluide environnant. Ces perturbations sont dénommées ondes acoustiques, leur célérité de propagation C, dépend tout particulièrement de la densité des régions traversées (C 2 = ( P/ ρ) S ). Les variations de C sont dominées par les effets de T et p, moins par S. C est proche de 1500m/s. Les effets de T et S sont illustrés sur la figure (fig 15). En surface, l effet de température domine. Sous la thermocline principale, quand T (et S) devient quasi-constant, c est l effet de la pression qui est prépondérant. Le résultat est un minimum entre 1000 et 1500m. Dans le deuxième exemple (station au large du Portugal), T est constant entre 500 et 1300m, associé à une augmentation de S (eau d origine Méditerranéenne), ce qui donne un rôle prépondérant à S dans cette couche, et crée un double minimum sur le profil. Généralement il n y a qu un seul minimum. Les variations horizontales de C (fig 16), sont beaucoup plus réduites que les variations verticales. Une onde acoustique se propageant verticalement ne sera pas affectée par la réfraction car elle rencontre quasi-perpendiculairement les surfaces à C constant. Par contre, un signale sonore se propageant dans une direction proche de l horizontale subira la réfraction, selon la 14

16 Loi de Snell-Descartes. Il en résulte un piégeage des rayons sonores dans la couche où C est minimum. Cette couche est appelée chenal sonore. L énergie acoustique émise dans le chenal sonore peut ainsi se propager sur de très longues distances (> 1000km). Les applications acoustiques dans l océan sont très nombreuses. Dans le domaine de l instrumentation scientifique, le suivi acoustique des flotteurs de subsurface et la tomographie acoustique sont les principales (fig 17). 15

17 Chapitre 3 Bilan d énergie et d eau de l océan mondial 3.1 Le système océan-atmosphère L apport par rayonnement incident La puissance solaire reçue par unité de surface au sommet de l atmosphère (en incidence perpendiculaire) ou émittance, est: S = 1376 W/m 2 S est appelée constante solaire. Elle est déduite de la formule suivante: E s = 4πa 2 σt 4 = 4πd 2 S où E s est la puissance émise par le soleil de rayon a = m selon la loi de Stéfan (σ est la constante de Stéfan), et d = m est la distance moyenne Terre-Soleil. T la température moyenne du soleil est de l ordre de 5800K. La totalité de ce rayonnement est émis dans l intervalle de longueurs d onde 0.2 < λ < 4µm. La loi du déplacement de Wien (λ m T = ) indique que l énergie reçue sera maximale à λ m = 0.5µm, c est à dire dans le visible. En moyenne globale et annuelle, chaque mètre carré de la planète reçoit 344W : la puissance, reçue par la terre sur le disque d éclairement est πr 2 S, où R est le rayon de la terre ; cette puissance se répartit sur la sphère terrestre de surface 4πR 2 : πr 2 S 4πR 2 = S 4 = 344W/m2 Localement, cette puissance varie avec la latitude (fig 18): si l axe de la terre n était pas incliné par rapport au plan de l écliptique, le flux moyen reçu en un point varierait de S/π à l équateur, à 0 aux pôles: S Eq = S π 2 π 2 cos θdθ = 2S et en moyenne sur une journée 2S 2π = S π 16

18 Cependant, l inclinaison de 23.5 a pour résultat une variation saisonnière dans la distribution du flux reçu. Une fraction α de cette puissance est réfléchie ou diffusée, le reste est absorbé par l ensemble Terre-Atmosphère. S Le flux moyen absorbé est (1 α) 240W/m2 4 α 0.3 est l albédo de la terre. L albédo varie localement, et augmente avec la présence de nuages, de glace, de neige (fig 19) L équilibre radiatif Si la terre n avait pas d enveloppe fluide, la surface réfléchirait ou diffuserait la fraction α des radiations incidentes, et absorberait le reste. Elle se réchaufferait jusqu à ce que l équilibre soit atteint, c est à dire jusqu à ce qu elle renvoie par rayonnement autant qu elle reçoit. La quantité d énergie rayonnée par unité de temps et de surface par un corps noir de température T étant E = σt 4, avec σ = W m 2 K 4 (loi de Stéfan) la température à l équateur serait de 270K et celle aux pôles de 160K. Dans la réalité, la surface de la terre est plus chaude, et l écart équateur-pôles plus faible. Ceci est dû à la présence de l enveloppe fluide qui a deux effets: - les rayonnements peuvent être absorbés par l atmosphère - l atmosphère et l océan peuvent transporter de la chaleur d un point à un autre verticalement (convection) et latéralement (courants, vents) Le principe de l effet de serre La terre ayant une température plus basse que le soleil, rayonne à des longueurs d onde plus élevées (loi de Wien). Schématisons l enveloppe atmosphérique par une plaque de verre, transparente aux petites longueurs d onde, et absorbant partiellement les grandes: Le sol s échauffe jusqu à une température T g et émet, selon la loi de Stéfan, une radiation dont le flux est U = σt 4 g. La fraction eu de cette radiation est absorbée par le verre, qui lui aussi s échauffe et émet 17

19 un flux B dans les deux directions. L équilibre est atteint quand: I = (1 e)u + B = U(1 e ) car eu = 2B 2 D où finalement U = σt 4 g = I 1 e 2 I = T g = σ ( ) 1 e 2 On voit que T g sera plus élevée qu en l absence de verre. Si tout le rayonnement terrestre était absorbé par la plaque de verre, soit e = 1, alors T g serait multiplié par 2 1/4 = Le problème est un peu plus compliqué avec l atmosphère comme matériau absorbant, car l absorption est continue et varie avec l altitude L effet des mouvements fluides Les mouvements des fluides interviennent dans ce schéma et le compliquent. Par exemple, les mouvements de convection verticale dans l atmosphère (qui peuvent être induits par un flux de chaleur sensible à l interface) vont distribuer sur la verticale la vapeur d eau produite par évaporation. Cette vapeur d eau va à son tour modifier les propriétés absorbantes de l atmosphère... On voit qu un équilibre radiatif-convectif doit remplacer l équilibre purement radiatif. L effet global de la convection va être de réduire les gradients verticaux dans l atmosphère. La variation avec la latitude des flux radiatifs absorbés conduirait à d importants gradients latéraux de température, si le rayonnement agissait seul. Là encore, les mouvements de fluide horizontaux tendent à réduire ces gradients. Ceci est illustré par la courbe en pointillé sur la figure 18, qui représente l énergie rayonnée par le globe. Si l équilibre était uniquement radiatif-convectif (local), cette courbe serait identique à la courbe basse en trait plein. Ce n est pas le cas et on voit que de l énergie a été transportée de l équateur vers les pôles par l atmosphère et l océan. La quantité transportée vers les pôles à travers chaque parallèle a été estimée (fig 20) pour l hémisphère nord. Cette

20 figure distingue les parts du transport effectuées par l atmosphère et l océan. Globalement elles sont équivalentes, mais on constate qu au sud de 40 o N la plus grande partie du transport de chaleur vers le nord est assurée par l océan, alors qu au nord de cette latitude, la contribution de l atmosphère est dominante. 3.2 Les transferts de propriétés entre l atmosphère et l océan Le transfert de quantité de mouvement Les vents résultent des gradients de pression atmosphériques, eux-mêmes générés par le forçage radiatif. Ils transmettent à leur tour de la quantité de mouvement à l océan, générant les courants. Ainsi deux questions se posent: Quels sont les mécanismes de transfert de quantité de mouvement? De quoi dépendent les taux de transfert? Les vitesses de vent sont de l ordre de 10m/s. Le frottement avec la surface océanique implique que la vitesse (moyenne) de l air s annule au contact de l océan: un écoulement à cisaillement vertical s établit donc à proximité de la surface. Cet écoulement n est pas stable, et devient turbulent. Quand on approche de la surface, le cisaillement vertical augmente en fonction inverse de la distance à la surface: u z = k z Ceci conduit à un profil logarithmique de la vitesse dans la couche atmosphérique. Pour traiter de la turbulence on décompose les composantes du vecteur vitesse en séparant la moyenne de la partie fluctuante. Pour la composante selon Ox on écrit: u = u + u, où u est la partie fluctuante telle que u = 0. Nous verrons au 4.4 qu une telle décomposition fait apparaitre dans les équations du mouvement des termes non nuls tels que ρu w, ρv w. Ils ont les dimensions et les caractéristiques 19

21 d une tension. Ils représentent le transport vertical de quantité de mouvement horizontale dû à la turbulence. En surface, pour z = 0m, ils sont assimilés à la tension du vent. Paramétrisation du transfert Pour relier la tension du vent à la vitesse, on doit spécifier la hauteur à laquelle on mesure cette dernière. On utilise conventionnellement 10m. Une analyse dimensionnelle conduit alors à la relation empirique: τ = C D ρ u 2 [τ] = MLT 2 L 2 tension du vent s exprime en N/m 2 [u 2 ] = L 2 T 2 et [ρ] = ML 3 C D est le coefficient de traînée, sans dimension. Il varie avec la vitesse du vent. Ce coefficient est déterminé expérimentalement et de nombreuses formules empiriques existent. Distribution de la tension du vent à la surface du globe Cette distribution doit répondre à certaines contraintes, en particulier celle de la conservation du moment cinétique terrestre: Soit a le rayon terrestre, φ la latitude, et τ x (φ) la composante de la tension du vent suivant l axe Ouest-est. L aire d une bande comprise entre φ et φ + dφ étant 2πa cos (φ) adφ soit 2πa 2 cos (φ)dφ, la force correspondant à cette tension τ x (φ) appliquée à cette surface s écrit: F (τ x ) = 2πa 2 cos (φ)τ x (φ)dφ Son moment par rapport à l axe de rotation de la terre est égal à a cos φ F (τ x ) = 2πa 3 cos 2 (φ) τ x (φ)dφ Son intégrale sur toute la surface de la terre doit être nulle, sinon le moment cinétique de la terre augmenterait: + π 2 π 2 cos 2 (φ) τ x (φ)dφ = 0 20

22 L océan occupant les 3/4 de la surface du globe, cette relation est approximativement vérifiée en considérant τ comme la tension du vent sur le globe terrestre. Sur la figure (fig 21) l échelle en latitudes est proportionnelle à cos 2 (φ), où φ est la latitude. Il apparait en effet que l aire sous la courbe est approximativement nulle. L effet des vents d Ouest aux latitudes moyennes, 40 o - 50 o N ou S, est compensé par celui des alizés, aux basses latitudes. Cette distribution de la tension du vent (vue ici sous sa forme globale et stationnaire) constitue une part du forçage de la circulation océanique de grande échelle, dite circulation générale Les transferts de chaleur La quantité moyenne de radiation solaire absorbée par l océan, Q I, n est environ que la moitié de celle arrivant sur la haute atmosphère, soit 175 W/m 2. Ce gain d énergie est équilibré à l échelle du globe par (fig 22): Une émission radiative nette par l océan de Q B 65 W/m 2 Le refroidissement par évaporation E (perte de chaleur latente) Les pertes par conduction thermique directe Q S (perte de chaleur sensible) Comme pour le transfert de quantité de mouvement, le calcul du flux de chaleur local est basé sur des formules empiriques dépendant de paramètres régulièrement observés (bateaux, bouées dérivantes instrumentées, satellites). On détermine ainsi: Le taux Q I d absorption des radiations solaires, qui dépend du taux d absoption sans nuages Q I0, de l albédo de surface, et de la fraction de ciel couvert. Le rayonnement net de grande longueur d onde Q B, qui dépend essentiellement de la température de surface de la mer. Le flux de chaleur sensible Q S, qui dépend de la vitesse du vent et de la différence de température air-mer. Le taux d évaporation E, qui dépend lui aussi de la vitesse du vent et de l humidité spécifique de l air à différents niveaux proches de la surface océanique. Le flux total de chaleur de l océan vers l atmosphère est la somme de ces diverses contributions: Q = Q B + Q S + E Q I On notera (fig 23), la perte importante de chaleur par l océan au dessus du Gulf Stream, et les gains dans les régions d upwelling ( c est Q qui est reporté). Les régions recouvertes de glace requièrent un traitement différent. La carte fournit une moyenne annuelle. Il y a évidemment une forte variabilité saisonnière Le transfert d eau douce Le paramètre important n est pas le taux de précipitations lui-même, mais la différence (P E), soit la masse d eau douce gagnée par unité de surface et unité de temps de l océan. Le paramètre (M F ) (Melting - Freezing ou Fonte - Congélation) joue un rôle équivalent dans les régions où de la glace est présente. 21

23 On notera (fig 24) la présence d une ceinture de fortes précipitations près de l équateur. Il s agit de l ITCZ (InterTropical Convergence Zone), région de forts mouvements ascendants de l air. Dans les régions où (P E) > 0, la surface de l océan tendrait à s élever s il n y avait pas les courants de gravité pour la maintenir horizontale. Ces courants sont en fait beaucoup plus faibles que ceux induits par le vent. Un effet beaucoup plus important de (P E) ou (M F ) est la modification de salinité et donc de densité, qu ils entraînent Les gradients latéraux de densité de surface et la circulation thermohaline Les flux de chaleur et d eau douce se combinent pour établir des différences de densité d une région à l autre. Ces différences induisent des courants par gravité. Une bille de densité ρ 0 (ou une parcelle d eau incompressible) plongée dans un fluide de densité ρ sera soumise à l accélération réduite de la pesanteur(cf 2.3.2): γ = ρ 0 ρ ρ 0 g Si ρ 0 > ρ la bille coule. Si ρ 0 ρ la bille flotte ou remonte à la surface: γ est appelée flottabilité (ou force de flottabilité par unité de masse) et s exprime en ms 2. Le flux de flottabilité γ.w s exprime en ms 2.ms 1 soit en m 2 s 3. On peut en partant des flux de chaleur Q et d eau douce (P E), calculer le flux de flottabilité à la surface de l océan (fig 25). L évaporation fait décroître la flottabilité de deux façons: - la perte de chaleur induit un refroidissement de l eau de surface - en augmentant la salinité L effet du refroidissement est environ 4 fois plus efficace. La circulation générée par les flux de flottabilité est la circulation thermohaline. 22

24 Chapitre 4 Les équations du mouvement 4.1 Généralités Les lois de base Une première remarque s impose avant d aborder cette étude. Les lois de la mécanique ont une forme simple dans les repères Galiléens ou d inertie (axes de directions fixes). Quelquefois, les problèmes sont traités selon ce type de repères, mais, plus fréquemment, ils le sont selon des repères liés au globe terrestre. Nous définissons ainsi un repère entraîné dont le déplacement se caractérise par une translation et une rotation. Dans ces repères mobiles il faut introduire des forces d inertie, au côté des forces vraies. L énergie cinétique, l énergie potentielle et le travail des forces appliquées changent alors de valeur ou de forme. Les lois de base de la physique sont utilisées pour l étude de la dynamique océanique: Conservation de la masse (équation de continuité) Conservation de l énergie Les lois de Newton: conservation de la quantité de mouvement Première: toute particule isolée, dans un repère Galiléen, décrit un mouvement rectiligne uniforme (pas d accélération). Deuxième: il existe une relation de proportionalité entre l accélération d une particule et la force à laquelle elle est soumise. Troisième: principe de l action et de la réaction Conservation du moment cinétique Loi de gravitation universelle Classification des forces On peut classer les forces en deux classes, les forces primaires, qui provoquent le mouvement, et les forces secondaires, qui résultent du mouvement: Les forces primaires (ou actives): gravitation (force de volume), tension du vent et pression atmosphérique (forces de frontière) Les forces secondaires (ou passives): la force de Coriolis (due au mouvement du repère terrestre), les forces de frottement (qui tendent à s opposer au mouvement). 23

25 4.2 L équation de continuité - équation de conservation Equation de conservation de la masse Il est facile d imaginer que dans tout volume, en l absence de sources ou de puits, tout ce qui entre doit sortir et inversement. C est ce qu illustre ces équations de conservation (conservation de masse ou de toute autre propriété telle que salinité, oxygène...). Considérons un volume élémentaire, fixé dans l espace, de fluide de densité ρ. La masse de ce volume élémentaire s écrit m = ρ x y z Considérons un écoulement uni directionnel à travers ce volume. Le débit massique (flux de masse) s écrit dans la direction de l axe Ox (ce qui entre est positif, ce qui sort est négatif): débit de masse entrant: Q 1 = m 1 = ρ 1 u 1 y z t débit sortant: Q 2 = ρ 2 u 2 y z D où la variation de masse par unité de temps: m t = (ρ x y z) t = ρ 1 u 1 y z ρ 2 u 2 y z Prenons un intervalle de temps suffisamment petit pour pouvoir considérer Le volume élémentaire de forme constante ; il vient: ρ t = ρ 1u 1 ρ 2 u 2 x Qui peut s écrire si les dimensions du volume tendent vers l infiniement petit: ρ t = (ρu) Appliquant ce même raisonnement dans les 3 directions, on peut alors écrire l équation de conservation de la masse (aussi appelée équation de continuité): 24

26 ρ t + (ρu) + (ρv) + (ρw) z = 0 soit ρ t +.(ρ V ) = 0 Une convergence (divergence) dans l espace doit être compensé par une compression (dilatation) du fluide. La dérivée totale de la masse volumique ρ(x,y,z,t) s écrit: dρ dt = ρ t + u ρ + v ρ + w ρ z En combinant ces deux équations on obtient: ( dρ u dt + ρ + v + w ) z = 0 soit dρ dt + ρ. V = 0 (4.1) Pour un fluide incompressible le premier terme est nul et l équation de continuité pour un fluide incompressible s écrit: Application u + v + w z = 0. V = 0 (4.2) Les vitesses verticales ne sont pas directement mesurables car trop faibles. Elles peuvent parfois être déduites en utilisant l équation de continuité. Considérons les courants de surface (moyennes sur 5 o x 5 o ) indiqués sur le schéma joint: u A 0 u B [ w u z = + v ] s 1 u E s 1 u E v E s s 1 w z surf s 1 25

27 On voit que w/ z est positif ; w doit être nul en surface (condition aux limites) donc sous la surface w doit être négatif, puisqu il augmente jusqu en surface. Ainsi, [ u + v w ] < 0 et > 0 implique qu il y a convergence au point E: w est dirigée vers z le bas. Si w/ z = cste de z = 0m à z = 50m (base de la thermocline saisonnière), alors w varie linéairement avec la profondeur: w 50m = w z z + w 0m = ( ) ( 50) + 0 = ms 1 On voit que l ordre de grandeur de w est de 10 3 U: si U est l ordre de grandeur des vitesses horizontales, H et L les échelles verticales et horizontales typiques, alors, selon l équation de la continuité W HU L. Avec H L Equation de conservation du sel Par définition la salinité est le rapport entre le poids de sel en grammes sur le poids de l eau en kilogramme. Si on appelle m w la masse d eau qui contient m s masse de sel alors S = m s m w 10 3 = m s ρv 103 Sρ = (m s /V ) 10 3 représente la masse de sel par unité de volume. Par analogie avec l équation de conservation de la masse, on peut écrire que le flux de sel entrant dans un volume élémentaire s écrit S 1 ρ 1 u 1 y z dans la direction x; le flux de sel sortant s écrit S 2 ρ 2 u 2 y z. La quantité de sel contenue dans le volume s écrit: Sρ x y z Dans un intervalle de temps t on peut écrire que la variation de cette quantité est: (Sρ) x y z = S 1 ρ 1 u 1 y z S 2 ρ 2 u 2 y z t 26

28 (Sρ) t = (S 1ρ 1 u 1 S 2 ρ 2 u 2 ) x (Sρ) = (Sρu) t Finalement dans les 3 directions l équation de conservation du sel s écrit: (Sρ) t = (Sρu) (Sρv) (Sρw) z soit (Sρ) t +.(Sρ V ) = 0 Ou en développant les dérivations de produits: S ρ t + ρ S t = ρ[u S + v S + w S z ] Sρ[ u + v + w z ] S[u ρ + v ρ + w ρ z ] Ce qui revient à une équation équivalente à celle de conservation de la masse: d(ρs) dt + (ρs). V = 0 (4.3) Pour un fluide incompressible, ρ = cste et. V = 0. La conservation du sel s écrit: ds dt = 0 (4.4) Ces équations correspondent à l advection en sel dans un volume élémentaire (tout le sel qui entre dans le volume doit en sortir). Dans la réalité il faudra tenir compte en plus du phénomène de diffusion. 4.3 Les équations du mouvement L évolution d un fluide sur une planète en rotation est régie par l équation de la quantité de mouvement. La loi de Newton indique que l accélération est égale à la résultante des forces par unité de masse: dv = α p 2Ω V + g + F dt Pression Coriolis Gravité Autres (4.5) 27

29 ou en projection sur des axes liés à la terre: du = dt dv = dt α p + 2Ω sin φ v 2Ω cos φ w + F x α p 2Ω sin φ u + F y dw = α p + 2Ω cos φ u g + F dt z z (4.6) u,v,w sont les composantes de la vitesse dans le repère local x,y,z à la surface de la terre α est le volume spécifique (volume de l unité de masse, dépendant de T et S) supposé connu Ω la vitesse angulaire de rotation de la terre et φ la latitude F représente les forces de frottement, marée... Pour déterminer les quatre inconnues u,v,w,p on utilise ce système, augmenté de l équation de continuité Remarques Dans certains cas T et S sont considérées comme inconnues (circulation thermohaline). Il faut alors deux équations supplémentaires, qui sont les équations d advection-diffusion de ces quantités. L hypothèse d incompressibilité possibles. dans. V = 0 élimine les ondes acoustiques des solutions A ces équations on doit adjoindre des conditions aux frontières (bords et fonds des océans, interface air-mer) et des conditions initiales (position du système à l instant t = 0). Bords et fonds des océans: Les conditions aux frontières seront différentes selon qu il s agit d un fluide parfait ou d un fluide visqueux. Dans le cas d un fluide parfait on écrit que les vitesses normales aux parois sont nulles ; dans le cas d un fluide visqueux on écrit que les vitesses sur les parois sont nulles. Interface: A l interface entre deux fluides, la distinction précédente peut s appliquer: couplage par pression seule, on néglige les effets de la viscosité ; couplage par pression et tension, les fluides sont alors considérés visqueux, et on écrit qu il y a continuité des pressions et des tensions à travers l interface. Les expressions de force de frottement (turbulent) sont encore très incertaines. Trouver des solutions est encore plus difficile quand les termes d accélération sont maintenus, car ces équations sont alors non-linéaires. Non-linéarité et turbulence sont liées Le terme de pression Un des termes les plus faciles à appréhender dans l équation du mouvement (4.5) est certainement celui-ci: une particule se déplacera des hautes vers les basses pressions, et l accélération 28

30 est tout simplement proportionnelle au gradient de pression. On peut imaginer une analogie mécanique: une balle roulant sans friction sur un plan incliné va acquérir une accélération proportionnelle à l inclinaison du plan ( qui équivaut ici au gradient de pression). Considérons un volume élémentaire de fluide de masse volumique ρ et de côtés x, y et z. Soient P 1 et P 2 les pressions agissant sur les faces opposées, avec P 2 > P 1, ou encore P 2 = P 1 + p. Sur la face 1 la force de pression s écrit:f 1 = P 1 x z Sur la face 2 la force de pression s écrit:f 2 = P 2 x z = (P 1 + p) x z La masse du volume fluide est m = ρ x y z Ecrivons la relation fondamentale de la dynamique projetée sur l axe des y: après simplification m dv dt = F 1 F 2 ρ x y z dv dt = P 1 x z (P 1 + p) x z dv dt = 1 p ρ y Si les dimensions du volume fluide tendent vers l infiniment petit on peut écrire dv dt = 1 p ρ Le signe indique bien que si la pression augmente vers la droite (P 2 > P 1 ), la force est dirigée vers la gauche. La particule est accélérée vers les pressions décroissantes (l accélération est dirigée des hautes vers les basses pressions, alors que le vecteur gradient est toujours dirigé vers les valeurs croissantes de la fonction). La force du gradient de pression et le gradient de pression sont opposés. 29

31 Gradient de pression et pente des isobares Imaginons une situation simpliste: de l eau de mer de masse volumique constante ρ occupant un bassin océanique et une pente à la surface de l eau. Selon la loi de l hydrostatique la pression en un point du fluide est simplement la pression due au poids de la colonne d eau située au dessus de ce point, agissant par unité de surface: P 1 = ρgz ; P 2 = ρg(z + z) Le terme de gradient de pression suivant x s écrit: soit 1 p ρ 1 ρ P 2 P 1 x = 1 ρg(z + z) ρgz ρ x 1 p ρ = g z x = g.i x si i x est la pente de la surface fluide, suivant la direction x. Le gradient de pression est le même partout à l intérieur du fluide. Donc si aucune autre force n agit, le fluide entier doit être accéléré des hautes vers les basses pressions. Démonstration plus mathématique: du dt = 1 p ρ = g.i x ) 1 p ρ = 1 p ρ z x ) p avec = ρg et z x ) z P 30 = 1 gρ tan i ρ ) z P = tan i

32 C est un exemple d écoulement barotrope: toute la masse d eau est entraînée d un bloc vers les basses pressions et la vitesse est constante sur une même verticale. Dans un écoulement barotrope la masse volumique ne dépend que de la pression, les isopycnes sont parallèles aux isobares. Lorsque les vitesses varient avec la profondeur, on parle d écoulement barocline: Considérons la situation où les isopycnes ont une pente négative en x, la densité augmentant avec la profondeur. ρ/ est négatif, de telle sorte que la densité est plus grande (eau plus lourde) le long de la section 1 que le long de la section 2. L équilibre hydrostatique requiert que les poids des colonnes δz 1 et δz 2 soient identiques, ainsi l intervalle entre deux isobares augmente avec x, et δz 2 > δz 1. En conséquence, les surfaces isobares ont une pente positive en x, et leurs pentes augmentent avec z: p/ > 0 et sa valeur augmente avec z. Les vitesses ne sont plus constantes sur une même verticale Passage aux axes liés à la terre Selon la loi de composition des mouvements, on a entre l accélération dans un repère d axes fixes (repère d inertie) et l accélération dans un repère lié à la terre, la relation suivante: γ a = γ r + 2 Ω V r + Ω ( Ω T M) où O est un point fixe à la surface de la terre, pris comme origine du repère terrestre, T est le centre de la terre 1 ; l indice r concerne le mouvement relatif, l indice a le mouvement absolu ; Ω est la vitesse angulaire de rotation de la terre autour de l axe des pôles ; Ω = 2πrd/86164s = rd/s où 86164s représente la durée d un jour sidéral. L équation du mouvement dans le repère terrestre devient: γ r = d V r = α p 2Ω V dt r + g f Ω ( Ω T M) + F Grad. pression Coriolis Gravité Centrifuge Autres (4.7) 1. La quantité Ω ( Ω T M) = Ω ( Ω T O) + Ω ( Ω OM) représente l accélération d entraînement d un point fixe M dans le repère terrestre mobile, γ e = γ O + Ω ( Ω OM) la vitesse angulaire Ω étant constante, et T O un vecteur de module constant. 31

33 Gravité La loi de l attraction universelle ( F = GM T m/r 2 u) fournit g f = GM T /R 2 = 9.8ms 2. L accélération g utilisée dans le repère terrestre est la somme de g f et de l accélération centrifuge. g est appelée pesanteur vulgaire (direction d un fil à plomb). g est maximum aux pôles, minimum à l équateur (variation de 0.5%). L axe z du repère terrestre est aligné avec g. L axe x est vers l Est, l axe y vers le nord. A l Equateur, pour un point situé à la surface de la terre, l accélération centrifuge vaut: [Ω 2 R] max ( ) ms 2 << 9.8ms 2. Coriolis Fig. 4.1 Force de Coriolis dans le repère terrestre. Le vecteur 2 Ω V r projeté sur le repère terrestre a pour composantes: selon Ox: selon Oy: selon Oz: 2Ω sin φ v 2Ω cos φ w 2Ω sin φ u + 2Ω cos φ u On pose souvent f = 2Ω sin φ et f = 2Ω cos φ. f est appelé facteur de Coriolis (deux fois la vitesse de rotation du plan tangent). La force de Coriolis, par unité de masse, s écrit: C x = C y = C z = +fv f w fu +f u On retrouve ces 4 termes dans le système 4.6 ci-dessus. Dans l équation en x: 2Ω cos φ w << 2Ω sin φ v, car w << v. Le terme de Coriolis dans l équation en z est également très petit devant g et le terme de pression, et est donc négligé la plupart du temps. La force de Coriolis, par unité de masse, dont on tient compte dans les équations du mouvement est donc: C H = fv i fu j C H = f( V H k) où V H est la composante horizontale du courant V H = u i + v j et f = 2Ω sin φ le facteur de Coriolis. 32 (4.8)

34 La composante horizontale de l accélération de Coriolis est perpendiculaire au courant, dirigée à droite du mouvement dans l hémisphère nord, à gauche dans l hémisphère sud (à cause du changement de signe de φ). Les systèmes de coordonnées Le repère terrestre local ( i, j, k) est utilisable pour des études très locales. Un système de coordonnées sphériques devrait être utilisé pour travailler à l échelle de la planète. On se limite pourtant ici aux coordonnées rectangulaires plus simples. On suppose, lorsque la région considérée n est pas trop grande, que l utilisation d un plan tangent à la sphère n entraîne pas de grandes erreurs. Pour des études de petites échelles ( 100km) on considère que f est constant sur ce plan (plan f). Pour des échelles plus grandes, on admet une variation de f de la forme f = f 0 + βy, où f 0 est la valeur de f au centre de la région, et β est la valeur (supposée constante) de la dérivée de f par rapport à y. c est le plan β: β = f = f Φ Φ = 2Ω cos φ R avec = R Φ Le frottement L eau de mer n est pas un fluide parfait, elle est légèrement visqueuse. Si le vent souffle parallèlement à la surface de l eau, celle-ci commence à bouger dans le sens du vent, entraînant les couches inférieures par processus d une part moléculaire (viscosité), d autre part turbulent. La viscosité moléculaire de l eau est connue, et le taux de transfert d énergie et de dissipation peut être calculé rigoureusement: en ne tenant compte que des processus moléculaires, on calcule qu un vent de 20 kt (40kmh 1 ) soufflant à la surface de l eau pendant 48h sera à peine détectable à 2m de profondeur. Soit τ xz la contrainte de frottement verticale dans la direction x: τ xz = µ u z selon l hypothèse de Newton qui indique que la force par unité de surface exercée par une couche d un fluide de viscosité µ sur une couche adjacente est proportionnelle au gradient vertical de vitesse. La tension a la même dimension qu une pression (force par unité de surface). µ est le coefficient de viscosité moléculaire, qui ne dépend que des propriétés du fluide. Isolons un cube de fluide. Supposons que les couches supérieures aillent plus vite que les couches inférieures, de telle sorte que u et z croissent en même temps. Si on considère une aire s = x y de la surface de séparation, la force tangentielle exercée par la couche supérieure sur la couche inférieure, qui est égale et directement opposée à la force exercée par la couche inférieure sur la couche supérieure, est proportionnelle à s et à τ xz. Les flêches en pointillés sur la figure ci-dessus, représentent l action du cube sur les couches d eau adjacentes: le volume de fluide élémentaire est entraîné par la couche supérieure, et freiné par la couche inférieure. La relation fondamentale de la dynamique appliquée à ce petit cube fluide s écrit: m du dt = ρ x y z du dt = τ xz2 x y τ xz1 x y 33

35 d où du dt = 1 τ xz2 τ xz1 ρ z = 1 τ xz ρ z Si les dimensions du cube tendent vers l infiniement petit: du dt = 1 τ xz ρ z = 1 ( µ u ) ρ z z ou encore, puisque µ ne dépend que de la nature du fluide du dt = µ 2 u ρ z 2 du/dt représente l accélération d une particule d eau sous l effet du frottement visqueux. Finalement en considérant les faces du cube, et chacune des composantes de tensions, on démontre (Navier-Stokes) que le frottement moléculaire s écrit: frottement en x = ν [ 2 ] u + 2 u u = ν 2 u 2 z 2 où ν = µ/ρ, appelé viscosité dynamique (ou cinématique), est une fonction de 3 variables ν = ν(p,t,s). ν est de l ordre de 10 6 m 2 s 1. Les termes non-linéaires Développons le premier membre de l équation du mouvement du système 4.6: du dt = u t + u u + v u + w u z du dt = u t + V. u Les termes advectifs sont non linéaires: ils peuvent être la cause de l accroissement des petites perturbations, conduisant à une instabilité. En celà leur action s oppose à celle des termes de frottement qui contribuent à amortir le mouvement. Le mouvement deviendra turbulent lorsque le rapport termes non linéaires / frottement sera suffisamment grand. 34

36 Soit U une vitesse typique et L une distance typique de variation de la vitesse U: = u u / ν 2 u UL 2 ν = R e où Re est le nombre de Reynolds. Ce procédé de scaling appliqué à l ensemble des termes de l équation du mouvement est fréquemment utilisé pour ne retenir, en fonction des échelles temporelles et spatiales utilisées, que les termes significatifs des équations. Le mouvement devient turbulent pour Re 10 5 ou Les mouvements océaniques d échelle moyenne ou grande, considérés ici, sont toujours turbulents: la viscosité moléculaire est négligeable par rapport à la viscosité turbulente. 4.4 Les équations de l écoulement moyen (Reynolds) L écoulement étant turbulent, plutôt que de rechercher la vitesse instantanée, que nous donnent les équations de Naviers Stokes vues précédemment, on cherche une vitesse lissée dans le temps, c est à dire moyennée sur une période de temps dépendant du phénomène étudié. Dans le même temps, pour chacune des variables (composantes de la vitesse et pression) on fait la décomposition suivante u = u + u, où u est la moyenne et u la variabilité autour de u, telle que u = 0: T u = 1 u dt u T = 1 u dt = 0 0 T 0 Cette technique a été mise au point par Osborne Reynolds. Etablissons pour exemple la moyenne du produit de deux composantes indépendantes u et v: ainsi uv = 1 T T mais puisque u = v = 0, 0 uv dt = 1 T T 0 ū v dt + 1 T T 0 T uv dt + 1 T uv = ū v + ū v + ū v + u v uv = ū v + u v T 0 u v dt + 1 T T 0 u v dt T représente un laps de temps suffisamment long pour que les valeurs moyennes soient indépendantes du temps. On a pour v, w, p... des définitions analogues. Si u = 0 il faut noter que les fluctuations elles-mêmes peuvent être du même ordre de grandeur que u. De plus les fluctuations superposées au vecteur vitesse moyen sont tridimensionnelles, c est à dire u, v, w sont toujours présentes même si l écoulement est mono ou bidimensionnel. On peut montrer que tous les termes linéaires des équations de Navier-Stokes gardent, pour l écoulement moyen, la même forme que pour l écoulement instantané, par contre les termes advectifs (à démontrer en exercice) deviennent: V. u = V. u + u u u u + v + w z } {{ } termes turbulents Les équations de Reynolds diffèrent donc de celles de Navier-Stokes par l apparition des termes turbulents. 35

37 4.4.1 Tension de Reynolds et viscosité turbulente On démontre que l équation de continuité pour un fluide incompressible u + v + w z = 0 (4.9) satisfait pour l écoulement moyen (à faire en exercice) à la forme: D après les définitions de u et de u nous obtenons: T u u = 1 T 0 dt = 1 T u + v + w z = 0 (4.10) [ T on en déduit par soustraction (u = u u) que 0 udt ] [ = 1 T T 0 (u + u )dt ] = u u + v + w z = 0 (4.11) On peut donc écrire les termes turbulents de la façon suivante, sans en changer la valeur (selon Ox): ( ) u u u u u + v + w z + u + v + w = (u u ) + (u v ) + (u w ) z z et l équation de Reynolds pour la composante u s écrit: du dt p = α + 2Ω sin φv 2Ω cos φw + ν [ 2 u + 2 u u 2 z 2 ] u u u v u w z Les trois derniers termes sont appelés termes de tensions de Reynolds. La théorie de Prandtl relie ensuite ces tensions de Reynolds aux composantes du gradient des vitesses moyennes de la façon suivante: u u u = A x ; u v u = A y ; u w u = A z z v u v = A x ; v v v = A y ; v w v = A z z Où les termes A sont appelés coefficients d Austaucht. Si on néglige les variations spatiales des coefficients d Austaucht A les termes turbulents tels que (u u ) prennent une forme identique aux termes de frottement moléculaires, qui pourront par la suite être négligés: du dt dv dt dw dt p = α + fv + ν [ ] 2 u + 2 u + 2 u 2 2 z + 2 u 2 Ax + A 2 u 2 y + A 2 u 2 z z 2 p = α fu + ν [ ] 2 u + 2 u + 2 u 2 2 z + 2 v 2 Ax + A 2 v 2 y + A 2 v 2 z z 2 = α p g + ν [ ] 2 u + 2 u + 2 u z 2 2 z + 2 w 2 Ax + A 2 w 2 y + A 2 w 2 z z 2 Contrairement à ν, les A ne sont pas des propriétés du fluide, mais de l écoulement. Ils varient de place en place, et dépendent de l échelle de lissage choisie. Par exemple, si on étudie la circulation générale stationnaire, V représente le vecteur moyen en un point, et les A intègrent la contribution de tous les mouvements non-stationnaires, principalement de la variabilité moyenne échelle (L 300km, 10j T 100j). 36

38 4.4.2 Adimensionalisation (scaling) des équations Scaling est un terme anglais dont la traduction peut être adimensionalisation. Pour l application océanographique, on regarde l ordre de grandeur des différents termes des équations du mouvement, à des fins de simplifications. On considère les deux cas de la circulation générale et de la circulation de moyenne échelle. Circulation générale Pour la circulation générale de grande échelle à l intérieur des océans, loin des couches limites latérales, de surface et de fond, on a les ordres de grandeur suivants: L = 1000km, H = 10 3 m, U = 10 2 ms 1 = W = UH L = 10 5 ms 1 w est estimé à partir de l équation de continuité: w z = [ u + v ] = w z U L = W = UH L Pour obtenir les ordres de grandeur de A x et A y on impose aux termes de frottement d être du même ordre de grandeur que les termes non linéaires: Equation verticale: u w u u A 2 u x = U 2 2 L A U x L A U 2 y L A U 2 z H 2 = A x UL A y = 10 4 m 2 s 1 +v w A z A x H 2 +w w z L 2 A z = 10 2 m 2 s 1 = 1 p g +A 2 w ρ z x 2 +A y 2 w 2 +A z 2 w z =? =? On voit que seul le terme de pression peut équilibrer g: pour les mouvements de ce type l équilibre hydrostatique doit être satisfait. Equations horizontales: u u +v u +w u z p = 1 +fv +A 2 u ρ x 2 +A y 2 u 2 +A z 2 u z =? =? Le terme de pression doit être du même ordre de grandeur que le terme de Coriolis: c est l équilibre géostrophique. 0 = 1 p + fv ρ 0 = 1 p fu ρ v 0 = 1 p g ρ z 37

39 Circulation moyenne échelle Pour la circulation moyenne échelle on a: L 100km, H m, U 10 1 ms 1, T 10jours 10 6 s W = UH L = 10 3 ms 1 On a également: Equation verticale: A x UL = 10 4 m 2 s 1 A z A x H 2 L / m 2 s 1 w t +u w +v w +w w z = 1 p g +A 2 w ρ z x 2 +A y 2 w 2 +A z 2 w z =? =? L équilibre est encore hydrostatique puisque le terme de pression doit équilibrer g, l accélération de la pesanteur terrestre. Equations horizontales: u t +u u +v u +w u z p = 1 +fv +A 2 u ρ x 2 +A y 2 u 2 +A z 2 u z =? =? La géostrophie n est satisfaite qu à quelques pourcents près: c est un équilibre quasi-géostrophique. Le rapport de l importance relative des termes non linéaires au terme de Coriolis est appelé nombre de Rossby: R 0 = U 2 /L UΩ = U LΩ où U, L et Ω sont les ordres de grandeurs respectifs pour la vitesse horizontale, l échelle spatiale horizontale et le facteur de Coriolis. Si R 0 1 les termes non linéaires sont négligeables par rapport au terme de Coriolis (géostrophie ou quasi-géostrophie). Si R 0 1 les termes de Coriolis sont négligeables par rapport aux termes non linéaires. C est le cas des mouvements à petites périodes (hautes fréquences) tels que les vagues, la houle. Si R 0 1 on ne peut rien négliger. C est le cas des mouvements à périodes proche de la période d inertie (T p = 12h/ sin φ), tels que le courant d inertie, la marée, les ondes internes de grandes longueurs d ondes. 38

40 Le nombre de Rossby peut être également défini de la manière suivante (Pedlosky, page 3): le temps que met une parcelle fluide pour parcourir une distance caractéristique L à la vitesse caractéristique U est L/U. On compare ce temps à la période de rotation terrestre locale Ω 1. Si les deux quantités sont comparables, on a affaire à un mouvement de grande échelle: L U Ω 1 U ΩL = R L approximation de Boussinesq Nous avons signalé ( 2.3) que l eau de mer est un milieu très peu compressible. Il paraît donc logique de considérer que dans la plupart des cas, la masse volumique ρ s éloigne peu d une valeur de référence ρ 0, et peut s écrire: ρ = ρ 0 + ρ (x,y,z,t), ρ ρ 0 où ρ, variation due à une stratification est petite comparée à ρ 0. L équation de continuité (4.1) devient alors: ρ 0 ( u + v + w z ) + ρ ( u + v + w z ) + ( ρ t + u ρ + v ρ + w ρ z ) = 0 L étude des écoulements géophysiques montre que les variations de densité dans le temps et dans l espace sont plus faibles ou éventuellement du même ordre de grandeur que les variations du champ de vitesse. Ainsi, le troisième groupe de termes est au pire du même ordre de grandeur que le deuxième groupe, qui lui est bien inférieur au premier puisque ρ ρ 0. Dans l approximation de Boussinesq seul le premier groupe de termes est conservé et l équation de la continuité se réduit à: u + v + w z = 0 Dans cette approximation, l équation de conservation de la masse se réduit à la conservation du volume. Ce qui revient à considérer le fluide incompressible. Regardons comment intervient cette approximation dans l équation du mouvement projetée sur la verticale (4.6): dw dt = 1 p ρ z g + F z Décomposons p en une partie qui ne dépend que de z et où intervient ρ 0 et sa partie fluctuante: D autre part p = p 0 (z) + p (x,y,z,t) avec p 0 (z) = P 0 ρ 0 gz 1 ρ = 1 = ( ) 1 ρ ρ + ρ 0 ρ ρ ρ ρ 0 ρ

41 1 p = 1 ρ z ρ 0 (1 ρ ρ 0 )( p 0 + p ) z z = 1 ρ 0 [ p 0 z + p z ρ ρ 0 p 0 z ρ ρ 0 p z ] = 1 ρ 0 [ ρ 0 g + p z + ρ ρ 0 ρ 0 g ρ ρ 0 p z ] = g 1 p ρ ρ 0 z ρ 0 g + ρ p ρ 2 0 z g 1 ρ 0 p z ρ ρ 0 g L équation verticale du mouvement devient donc: dw dt = g 1 ρ 0 p z ρ ρ 0 g g + F z = 1 ρ 0 p z ρ ρ 0 g + F z Les équations du mouvement dans l approximation de Boussinesq s écriront donc: du = 1 p dt ρ 0 + fv + F x dv = 1 p dt ρ 0 fu + F y (4.12) dw = 1 p dt ρ 0 ρ z ρ 0 g + F z Et l équation de la continuité u + v + w z = 0 En résumé, l approximation de Boussinesq permet de remplacer la densité exacte par sa valeur de référence ρ 0 partout sauf dans le terme de l accélération de la pesanteur. Dans les termes de pression ne restent plus également que la part p due à ρ, puisque p 0 (z) ne dépend que de z. Cette part p est appelée pression dynamique, car c est le principal moteur de l écoulement. 4.6 Les nombres de Rossby et d Ekman La technique d adimensionalisation vue précédemment ( 4.4.2) justifie le fait de négliger certains termes. Nous cherchons maintenant à estimer la grandeur relative des termes qui ont été retenus. Les équations de quantité de mouvement horizontale s écrivent: u + t u u + v u + w u z fv = 1 ρ 0 p + A x 2 u 2 + A y 2 u 2 + A z 2 u z 2 v + t u v + v v + w v z + fu = 1 ρ 0 p + A x 2 v 2 + A y 2 v 2 + A z 2 v z 2 U T U 2 L U 2 L W U H ΩU P ρ 0 L A x U L 2 A y U L 2 A z U H 2 40

42 Par définition, la dynamique des fluides géophysiques traite des mouvements dans lesquels la rotation est un facteur important. Le terme ΩU est donc le terme central. Une division par ΩU, pour mesurer l importance des autres termes par rapport au terme de Coriolis, donne les nombres sans dimension suivants: 1 ΩT U ΩL U ΩL W L UH U P 1 ΩL ρ 0 LΩU A x ΩL 2 A y ΩL 2 A z ΩH 2 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) Le premier nombre (1), R 0T = 1 est appelé Nombre de Rossby Temporel. Il compare ΩT l échelle temporelle de variation de vitesse à la force de Coriolis. Il est de l ordre de 1 ou inférieur. Le nombre suivant commun à (2) et (3), R 0 = U est appelé Nombre de Rossby. Il ΩL compare l advection à la force de Coriolis. Il est de l ordre de 1 ou inférieur. W L Le nombre (4), est le produit R 0 (pour arriver à cette expression on a multiplié haut UH et bas par L). Il est de l ordre de R 0 puisque W L est de l ordre de 1 selon l équation de UH continuité. Le nombre (9), qui mesure l importance du frottement selon la verticale E k = Az est ΩH 2 appelé Nombre d Ekman. Il est très petit, mais nous verrons par la suite que ce terme de frottement vertical a une grande importance dans les couches limites. P Le nombre sans dimension (6), ρ 0, mesure l importance des forces du gradient de LΩU pression à la force de Coriolis. Il est de l ordre de 1, et permet d avoir un ordre de grandeur pour la pression dynamique: P = ρ 0 LΩU. 4.7 Autres nombres sans dimension En utilisant les échelles caractéristiques L, H, U, W, et T les nombres sans dimension permettent de mettre en évidence les équilibres physiques mis en jeu dans les problèmes étudiés, suivant les échelles de temps et d espace choisis. Avec les définitions suivantes: N 2 = g ρ 0 dρ dz fréquence de flottabilité f = 2Ωsinφ facteur de Coriolis R D = NH f Rayon interne de déformation La fréquence de flottabilité N représente la fréquence (pulsation) à laquelle va osciller une particule déplacée de son niveau d équilibre dans un milieu stratifié. Le facteur de Coriolis f représente la vitesse de rotation du plan tangent à la sphère terrestre, à la latitude considérée. Le rayon interne de déformation R D s exprime aussi sous la forme R D = g H/f, où g est appelé gravité reduite: g = g ρ/ρ. R D représente la distance sur laquelle une anomalie gravitationnelle est équilibrée par la force de Coriolis. En surface on parle de rayon externe de déformation et on remplace g par g. 41

43 4.7.1 Le nombre de Rossby R 0 = u t fv = u u fv U fl Le nombre de Rossby compare les termes d accélération au terme de Coriolis ; c est un nombre fondamental en dynamique des fluides géophysiques, comme exposé précédemment. Les mouvements grande échelle, où le terme de Coriolis devient prépondérant, sont caractérisés par un nombre de Rossby égal ou inférieur à Le nombre de Reynolds R e = u u LU ν 2 u ν 2 le nombre de Reynolds compare les termes turbulents aux terme de frottement: il permet de distinguer les écoulements turbulents: R e > 1000 la plupart du temps,pour les écoulements de fluides géophysiques Le nombre d Ekman Ek = ν 2 u z 2 fv ν fh 2 R 0 R e le nombre d Ekman compare les termes de frottement turbulent au terme de Coriolis. Ce nombre est extrèmement faible ( prenons f = 10 4 s 1, H = 100m et ν = 10 2 m 2 s 1, alors E k = 10 2 ), mais l importance du frottement est essentiel dans les couches limites Le nombre de Froude F r = U NH = R 0L R D le nombre de Froude mesure l importance de la stratification ; si F R 1 les effets de stratification sont importants. Le temps passé au voisinage de l obstacle est approximativement le temps mis par la parcelle pour parcourir la distance L à la vitesse U: T = L/U. Si la vitesse verticale est de l ordre de W, le déplacement vertical est z = W T = W L/U. En présence d une stratification ρ(z), ce déplacement est la cause d une perturbation en densité de l ordre de: ρ = d ρ dz z = ρ 0N 2 W L g U Cette perturbation en densité est à l origine d une perturbation de pression, via l équilibre hydrostatique: P = gh ρ = ρ 0N 2 HLW U 42

44 Fig. 4.2 Perturbation d un fluide stratifié, Cushman-Roisin, 1994 L équilibre des forces horizontales, induit une variation des vitesses horizontales (u u 1 ρ 0 p ) U 2 = P ρ 0 = N 2 HLW U De cette dernière expression, on peut établir que le rapport entre la convergence verticale W/H et la divergence horizontale U/L vaut: W/H U/L = U 2 N 2 H 2 = F 2 r On note immédiatement que si U est petit devant NH, W/H doit être petit devant U/L: la stratification a pour effet d atténuer les vitesses verticales et par suite les déplacements verticaux Le nombre de Burger Bu = ( ) 2 NH = fl ( ) 2 R0 F r le nombre de Burger compare effet de rotation et de stratification: on a vu qu en général H << L, mais souvent f << N, et ce nombre peut être de l ordre de 1. Reprenons le même raisonnement que précédemment, en utilisant un équilibre géostrophique selon l horizontale (fv = 1 ρ 0 p ) fu = P le rapport entre la convergence verticale W/H et la divergence horizontale U/L devient: ρ 0 L W/H U/L = U 2 N 2 H 2 fl U = F 2 r R 0 On voit immédiatement que la rotation (R 0 < 1) a pour effet d augmenter la vitesse verticale. Cependant, puisque une divergence verticale ne peut exister sans une convergence horizontale 43

45 (continuité) on doit avoir obligatoirement W/H U/L, et par suite F r R 0 qui conduit à l inégalité U NH NH fl Cette inégalité donne un ordre de grandeur supérieur de l échelle horizontale des vitesses de l écoulement d un fluide géophysique dans un milieu tournant (f), stratifié (N) dans un domaine de dimensions (L,H). C est le nombre de Burger (pour des raisons de commodités dans l analyse dimensionnelle cette quantité est élevée au carré) Le nombre de Richardson R i = N 2 ( u z )2 Le nombre de Richardson compare la stabilité statique (N) à l instabilité dynamique ( u z ). Si R i > 0.25 le milieu est stable. Si R i < 0.25 un gradient vertical de vitesses augmente la turbulence. 44

46 Chapitre 5 Courants sans frottement Dans ce chapitre nous reprenons les équations du mouvement vues précédemment, en supposant que toutes les forces additionnelles (frottement, attraction de la lune et du soleil... sont nulles). Puis nous observons ce qui se passe moyennant diverses hypothèses et simplifications. dv = α p 2Ω V + g dt Pression Coriolis Gravité (5.1) ou en projection sur des axes liés à la terre, dans l approximation de Boussinesq: du = dt 1 ρ 0 p + fv dv = dt 1 ρ 0 p fu (5.2) dw = 1 p dt ρ 0 z ρ ρ 0 g Dans ces équations, et dans la suite du chapitre, ρ représente la variation due à la stratification et p la pression dynamique (cf 4.5). On ne retient de la force de Coriolis que les termes en fv et fu selon les indications du L équilibre hydrostatique Avant de discuter des fluides en mouvement, regardons ce que deviennent les équations de Navier-Stokes pour un fluide immobile. Supposons que u = v = w = 0 dans le système 5.2, ainsi que les dérivées temporelles du/dt = 0...: α p = 0, α p = 0 } {{ } surf aces isobares horizontales 45, p z = ρg } {{ } hydrostatique

47 Les deux premières équations indiquent que les surfaces isobares sont horizontales, il n y a donc pas de force de gradient de pression horizontale capable de mettre le fluide en mouvement. La troisième équation peut s écrire dp = ρgdz, qui est l équation de l hydrostatique sous sa forme différentielle. Le signe vient du fait que l origine de l axe des z dirigé vers le haut est prise à la surface de l eau. Dans le cas d un fluide homogène, ρ = 0 et l équation selon la verticale prend la forme α p z = Le courant d inertie Si une particule n est soumise à aucune force extérieure, son accélération est nulle dans un repère d inertie selon la loi de Newton. L équation du mouvement d une particule s écrit alors: dv dt + 2 Ω V = 0 = = u du dt v dv dt du dt dv dt = fvu = fuv = fv = fu = u du dt + v dv dt = 1 2 (du2 dt + dv2 dt ) = 0 d(u 2 + v 2 ) soit = 0 = u 2 + v 2 = constante = V 2 dt Pour un tel mouvement, le module de la vitesse reste constant. La solution générale du système d équations linéaires 5.1 est: u = V sin(ft + ϕ) v = V cos(ft + ϕ) = u 2 + v 2 = V 2 du = fv d2 u dt dt 2 = f dv dt = f 2 u d 2 u + f 2 u = 0 u = V sin(ft + ϕ) dt 2 avec dv dt = fu v = V cos(ft + ϕ) où V et ϕ sont des constantes d intégrations qui dépendent des conditions initiales. En intégrant de nouveau, avec u = dx/dt et v = dy/dt ont obtient la trajectoire: x = x 0 V f cos(ft + ϕ) y = y 0 + V f sin(ft + ϕ) = (x x 0) 2 + (y y 0 ) 2 = La trajectoire est un cercle de centre (x 0,y 0 ) de rayon V f. Plaçons nous dans un repère de Frénet lié à la particule: ( ) 2 V f (5.3) 46

48 V = V e t γ = dv dt e t V 2 r e n γ c = 2 Ω V = 2Ω sin ΦV ( k e t ) γ = V 2 r e n = 2Ω sin ΦV e n = fv e n Force de Coriolis et force centrifuge s équilibrent. La force de Coriolis agit à droite du mouvement dans l Hémisphère Nord: la particule décrit le cercle d inertie dans le sens indirect, ou sens des aiguilles d une montre. C est l inverse dans l hémisphère Sud. Dans un plan f le produit fv reste constant: r = V f = V 2Ω sin Φ = constante La particule va ainsi décrire un cercle appelé cercle d inertie, de rayon r. La période du mouvement est le temps nécessaire pour décrire la circonférence 2πr: T p = 2πr V = 2π V f V = 2π f = 2π 2Ω sin Φ = π Ω sin Φ Ω = 2π un jour sidéral = T p = 1jour sidéral 2 sin Φ T p est appelée période d inertie, ou demi-jour pendulaire. C est le temps mis par le pendule de Foucault pour voir son plan d oscillation tourner de 180 o. Le cercle d inertie est parcouru en un temps T p indépendant de la vitesse V. De tels mouvements sont difficiles à observer à l état pur dans la nature, car dans la réalité il y a toujours du frottement. Cependant on peut observer des trajectoires circulaires (fig 26) de particules d eau s amortissant au cours du temps dans l océan, et dont la période correspond à la période d inertie T p (bouées dérivantes). A noter: r = f(φ): le rayon du cercle d inertie varie si la particule décrit un parcours important en latitude. A l équateur Φ = 0, et r =. 47

49 Variation de la période d inertie (notée en heures) avec la latitude: Φ T p (h) Variation du rayon du cercle d inertie à 45 o N avec la vitesse initiale V V (ms 1 ) r (m) L écoulement géostrophique Quelques définitions Le géopotentiel Le travail à effectuer pour soulever une masse M sur une distance dz est On définit le géopotentiel Φ tel que dw = Mgdz dφ = dw M = gdz (Jkg 1 ou m 2 s 2 ) Pour des raisons pratiques les océanographes utilisent une unité particulière pour Φ, qui est le mètre dynamique, telle que 1mdyn = 10Jkg 1. Pour indiquer qu on utilise cette unité on remplace le symbole Φ par D (ou H pour hauteur). La valeur (D 2 D 1 ) est ainsi proche de celle de (z 2 z 1 ) exprimée en mètres. On parle alors de hauteur dynamique. Exemple: en effet Φ 2 Φ 1 = g(z 2 z 1 ) 10(z 2 z 1 ) Désignation Unité SI Unité océanographique Profondeur 100.0m 100.0m z côte 100.0m 100.0m Pression kP a 100.5db Distance 980.0Jkg mdyn géopotentielle D après l équation de l hydrostatique dp = ρgdz = ρdφ dφ = αdp Entre deux profondeurs z 1 et z 2 correspondant aux pressions respectives p 1, p 2 on a la relation: 2 P2 dφ = Φ 2 Φ 1 = g(z 2 z 1 ) = α(p,t,s)dp 1 P 1 Le volume spécifique α dépend de la pression p, de la température T et de la salinité S. On décompose ce terme en écrivant: α(p,t,s) = α(p,0,35) + δ(t,s) 48

50 où α(p,0,35), volume spécifique standard, ne dépend que de p, et δ, anomalie de volume spécifique, dépend essentiellement de T et S. Finalement: 2 1 dφ = Φ 2 Φ 1 = 2 1 α (p,0,35)dp 2 1 δdp = Φ 2 Φ 1 = Φ s Φ Distance Distance Anomalie géopotentielle géopotentielle géopotentielle standard Φ 2 Φ 1 est la distance géopotentielle, Φ s la distance géopotentielle standard, ne dépend que de P, et Φ l anomalie géopotentielle, dépend de S, T et P ; en ordre de grandeur le second terme est le millième du premier. Surfaces géopotentielles et surfaces isobares Surface géopotentielle: surface perpendiculaire à la force gravitationnelle (perpendiculaire au fil à plomb). C est par exemple la surface d un lac dont l eau est au repos. La surface équipotentielle correspondant à la surface de la mer est appelée géoïde. Surface isobare: surface où la pression est constante. La surface du lac au repos est une surface isobare (p = 0, ou pression atmosphérique). Quand on s enfonce dans le lac, les surfaces isobares (p > 0) restent confondues avec les surfaces géopotentielles tant que le lac est au repos. Les campagnes hydrologiques: C est en mesurant soigneusement la distribution des masses volumiques (mesures de T et S) dans une colonne d eau, qu il est possible de déterminer les anomalies géopotentielles. Comparer les écarts d anomalies entre deux stations adjacentes a et b, à des niveaux de pression identiques, permet d observer l évolution de la pente des isobares avec la profondeur. 49

51 2 1 dφ a = Φ a2 Φ a1 = p2 p1 αdp = p2 p1 α (P,0,35)dp p2 p1 δ adp = Φ s Φ a = g(z a2 z a1 ) 2 1 dφ b = Φ b2 Φ b1 = p2 p1 αdp = p2 p1 α (P,0,35)dp p2 p1 δ bdp = Φ s Φ b = g(z b2 z b1 ) = Φ a Φ b = p2 p1 (δ a δ b )dp = g[(z b2 z b1 ) (z a2 z a1 )] = Φ a Φ b = p2 p1 (δ a δ b )dp = g[(z b2 z a2 ) (z b1 z a1 )] En divisant par la distance L entre les deux stations on voit apparaître les pentes des deux isobares P 1 et P Les équations du courant géostrophique La géostrophie traduit l équilibre entre la force de pression horizontale et la force de Coriolis. On considère donc ici que les courants sont permanents et que la tension du vent et autres termes de frottement peuvent être négligés. C est la circulation générale. L écoulement géostrophique est donc défini par ce système d équations: fv fu p = 1 ρ 0 p = 1 ρ 0 p = ρg z (5.4) Les deux premières équations traduisent l équilibre géostrophique, la troisième est l équation de l hydrostatique. Ces équations sont obtenues, partant des équations de Navier-Stokes, dans l approximation de Boussinesq, en supprimant l accélération (courants permanents) et les termes de frottement. Les courants qui satisfont à ce système sont appelés courants géostrophiques. Rappelons que dans ces équations, ρ 0 est la masse volumique de référence, et ρ l écart à cette valeur due à la stratification. Dans l équation de l hydrostatique, il s agit d une pression dynamique, uniquement due à ρ. Tous les grands courants océaniques permanents, tels que le Gulf Stream, le Courant Antarctique Circumpolaire, les Grands Courants Equatoriaux sont, en première approximation en équilibre géostrophique. Les conséquences de ce système d équations sont très importantes: on a démontré ( 4.3.2) que l accélération due au gradient de pression horizontal est proportionnelle à la pente des isobares: α p = gi x où i x est la pente de l isobare dans la direction x. On peut donc écrire: fv = gi x ; fu = gi y D autre part en multipliant la première équation par u et la seconde par v et en les retranchant il vient: u p + v p = 0 = V. p = 0 50

52 Il résulte de ceci, d une part que le fluide ne dévale pas la pente des hautes vers les basses pressions, mais tourne autour du dôme de pression (fig 27): l écoulement est parallèle aux isobares (perpendiculaire au gradient de pression) et d autre part que la vitesse du courant est proportionnelle à la pente des isobares. Dans l hémisphère Nord une pente à la surface de l eau orientée de l Est vers l Ouest crée une force de gradient de pression dirigée vers l Ouest. Cette pente crée à l origine un mouvement des particules d eau vers l Ouest, mais dès que la particule entre en mouvement la force de Coriolis vient agir à droite (dans l Hémisphère Nord) du mouvement. L équilibre est atteint lorsque l écoulement devient perpendiculaire au gradient de pression, et donc parallèle aux isobares. Dans l hémisphère Nord l écoulement se fait dans le sens des aiguilles d une montre autour des hautes pressions, dans le sens inverse autour des basses pressions. Quand on regarde dans la direction de l écoulement, les hautes pressions sont à droite dans l hémisphère Nord, à gauche dans l hémisphère Sud. Illustration Les forces mises en jeu dans l équation géostrophique sont très faibles, mais, aussi petites soient-elles, le gradient de pression et la force de Coriolis sont les forces horizontales les plus importantes dans la plupart des océans. La pente nécessaire pour entretenir un courant comme le Gulf Stream est d environ 1/ (V 1ms 1, d où fv/g = i 10 5 ) soit un dénivellé de 1m sur 100km. De telles pentes sont impossibles à mesurer directement (actuellement), il faut les calculer. La pratique la plus courante est de considérer que les gradients de pression horizontaux diminuent avec la profondeur, et que à partir d un certain niveau, ils s annulent. Cette hypothèse est basée sur les observations: l intensité des courants diminue avec la profondeur, et les distributions de températures, salinité et autres propriétés sont de plus en plus uniformes avec la profondeur. Il est alors possible de calculer la pente de la surface de la mer (cf 5.3.1, campagnes hydrologiques), connaissant la distribution de masse volumique de l eau. Comme exemple réel, considérons la distribution de températures à travers le Gulf Stream (fig 28). les eaux côtières froides et denses sont à gauche, les eaux chaudes et légères de la mer des Sargasses sont sur la droite. Si on suppose que le gradient de pression horizontal est très faible à 4000m, alors il doit y avoir une couche plus épaisse d eaux légères à droite, que la couche d eaux froides et pesantes à gauche. Il en résulte une pente à la surface de l eau, orientée de la droite vers la gauche. Donc le courant dû au gradient de pression agit vers la gauche, il est équilibré par la force de Coriolis à sa droite, donc le Gulf Stream s écoule laissant les hautes pressions à sa droite, comme le veut la théorie dans l hémisphère Nord. La distribution des masses volumiques dans l océan est telle que les gradients de pression diminuent avec la profondeur. Cette constatation permet d établir une autre règle: dans l hémisphère Nord, si on regarde dans le sens du courant, la thermocline est inclinée de gauche à droite, alors que la surface est inclinée de droite à gauche. Plus grande est la pente, plus fort est le courant. Pour illustrer ceci regardons cette coupe des distributions de températures, et déduisons les principaux courants Equatoriaux du Pacifique (fig 29). 11 à15 N le courant entre dans la feuille: Courant vers l Ouest 5 à11 N le courant sort de la feuille: Courant vers l Est 0 à5 N le courant entre dans la feuille: Courant vers l Ouest 51

53 15 S à 0 les pentes sont inversées, mais on est dans l hémisphère Sud. En surface, si on regarde dans le sens du courant, les hautes pressions sont à gauche. le courant entre dans la feuille: courant vers l Est La méthode géostrophique (dynamique) de calcul des vitesses relatives Supposons connus les profils de ρ ou α en deux stations A et B distantes de L. La ligne AB représente la surface de l eau (p 0 ). On suppose la surface inclinée, mais sa pente est inconnue. Les lignes Φ 1 et Φ 2 représentent deux surfaces géopotentielles passant par A 1 et A 2 à la station A et C 1 et C 2 à la station B. Les isobares p 1 et p 2 passent par A 1 et A 2 à la station A, et par B 1 et B 2 à la station B. Les angles que font ces deux surfaces isobares avec les surfaces géopotentielles sont respectivement i 1 et i 2. Soient V 1 et V 2 les composantes du courant perpendiculaires au plan de la feuille, aux niveaux 1 et 2. Les équations géostrophiques donnent pour chacun des niveaux: fv 1 = gi 1 ; fv 2 = gi 2 f(v 1 V 2 ) = g[ B 1C 1 A 1 C 1 B 2C 2 A 2 C 2 ] or L = A 1 C 1 = A 2 C 2 et B 1 C 1 = B 1 B 2 C 1 B 2 et B 2 C 2 = C 1 C 2 C 1 B 2 f(v 1 V 2 ) = g L (B 1C 1 B 2 C 2 ) = g L (B 1B 2 C 1 C 2 ) 52

54 f(v 1 V 2 ) = g L (B 1B 2 A 1 A 2 ) f(v 1 V 2 ) = g L [(z 1 z 3 ) (z 2 z 4 )] L équation hydrostatique donne gdz = αdp: B2 B 1 A2 A 1 V 1 V 2 = p2 p2 p2 gdz = g(z 3 z 1 ) = α B dp = α 35,0,p dp δ B dp p 1 p 1 p 1 p2 p2 p2 gdz = g(z 4 z 2 ) = α A dp = α 35,0,p dp δ A dp p 1 p 1 p 1 en unités océanographiques on obtient: g fl [(z 1 z 3 ) (z 2 z 4 )] = 1 Lf [+ p2 V 1 V 2 = 1 Lf [ Φ B Φ A ] V 1 V 2 = 10 Lf [D B D A ] p 1 δ B dp p2 p 1 δ A dp] V est en ms 1, L en m, D en mdyn alors que δ est en cm 3 g 1 et dp en db. Pour illustration voici la carte des hauteurs dynamiques de la surface de la mer par rapport à 1500db. Les contours sont labellés en mdyn. Les valeurs vont de 4.4 à 6.4mdyn, correspondant à un relief d environ 2m (fig 30) Les équations du vent thermique Reprenons les équations géostrophiques sous la forme suivante: ρ 0 fv = p ρ 0 fu = p ρg = p z Les équations du vent thermique sont une variante des équations géostrophiques permettant de relier le gradient vertical de vitesse (géostrophique) au gradient horizontal de densité. Dérivons les deux premières équations par rapport à z: (ρ 0 fv) z = z ( p ) = ( p z ) = g ρ (ρ 0 fv) z = g ρ (ρ 0 fu) = g ρ z 53

55 ρ 0 f v z = ρ 0 f u z = ρ g g ρ = v = z u = z g ρ ρ 0 f g ρ ρ 0 f Cet exemple (fig 31) montre une coupe verticale de densité à travers un anneau du Gulf Stream. Détermination des vitesses absolues La méthode géostrophique donne le gradient vertical de vitesse. Le passage à la vitesse absolue est un des grands problèmes de l océanographie physique. Pratiquement, on commence par calculer la vitesse relative par rapport au niveau de vitesse nulle p r. La vitesse V b à p r doit être estimée, et la vitesse absolue est V = V b + V r. On appelle V r la composante barocline, et V b la composante barotrope. Traditionnellement on supposait le fond des océans en état de quasi-repos, et on calculait les vitesses en supposant un niveau de mouvement nul à une profondeur intermédiaire (1000, 2000m,...). Ceci n est pas mauvais pour l estimation des vitesses qui sont plus intenses au dessus de la pycnocline principale. Cependant, l estimation des transports est très perturbée par des incertitudes, même faibles, dans les couches profondes. La possibilité de faire, depuis quelques 54

56 années, des mesures directes des courants profonds, a révélé des vitesses parfois importantes au fond des océans. D autres méthodes existent actuellement, en particulier certains placent beaucoup d espoir sur la détermination de la pente de surface par altimétrie satellitaire. Actuellement les méthodes inverses, dont le principe a été exposé par Wunsch (1978), permettent de résoudre un système d équations de conservation dans un contexte géostrophique. 5.4 Ecoulement géostrophique d un fluide homogène Un fluide est dit homogène si sa masse volumique (densité) est constante: ρ = 0 et ρ = ρ 0 partout fluide homogène Si, on considère le fluide homogène, sans variation de densité, on a vu que p/ z = 0 où p est la pression dynamique. Si on dérive selon la verticale la première équation du système (5.1) il vient: f v z = 1 p ρ 0 z = 1 p ρ 0 z = 0 La même démonstration vaut pour la seconde équation du système et: u z = v z = 0 Le champ de vitesse horizontal n est pas cisaillé verticalement, et toutes les particules sur une même verticale sont animées du même mouvement. Ce résultat est connu comme le théorème de Taylor-Proudman écoulement peu étendu en latitude Plaçons nous dans le plan f, où on considère que les variations de f sont négligeables. Alors: u + v = 1 ρ 0 f p + 1 ρ 0 f p = 0 = w z = 0 La vitesse verticale est indépendante de la profondeur. Si le fluide est limité par un fond plat et une surface plane, alors w = 0 et l écoulement est strictement bi-dimensionnel fond irrégulier Plaçons nous dans l hypothèse de l écoulement géostrophique d un fluide homogène. On néglige les déplacements éventuels de la surface, considérant qu ils sont faibles devant les irrégularités du fond. Si l écoulement épouse la forme du fond, il doit acquérir une vitesse verticale proportionnelle à la pente: w = dz dt = z t + u z + v z où z = f(x,y) = H h w = u h (H h) + v (H h) = u v h = V. H h 55

57 où h est l épaisseur de la couche d eau au dessus du fond, et H une profondeur de référence constante. Nous avons vu précédemment que l hypothèse géostrophique appliquée à un écoulement peu étendu en latitude (f = cste) entraîne une divergence horizontale de la vitesse nulle. Ceci implique, selon l équation de la continuité que w reste constante avec la profondeur: u + v = 0 = w z = 0 Puisque w doit être nulle en surface, alors w est nulle partout sur la colonne d eau. Donc: u h + v h = 0 = V. H h = 0 et le fluide ne peut pas monter ou descendre la pente. Cette propriété a des implications importantes. En particulier si la topographie du fond de l océan consiste en un mont isolé, entouré d un fond plat, le fluide est obligé de le contourner. Puisqu on a considéré l écoulement homogène (u et v ne dépendent pas de z) toute la colonne d eau concernée tourne autour de l accident topographique. Il se forme ce qu on appelle une colonne de Taylor. 56

58 Chapitre 6 Courants avec frottement 6.1 La dérive des icebergs A la fin du siècle dernier (1898) le biologiste Nansen observait que les icebergs dans l Océan Arctique dérivaient dans une direction à droite de celle du vent. Il donna l explication qualitative suivante: soit un élément fluide à la surface de l océan. Le vent qui commence à souffler exerce sur le haut de cet élément une force de frottement F t et initie un déplacement dans cette direction, qui initie à son tour une force de Coriolis F ci qui va dévier le mouvement vers la droite. Le vent étant supposé constant, un équilibre va être atteint (vitesse V 0 ) entre les forces F t, F c et F b force de frottement à la base de l élément fluide, qui s oppose à son déplacement. Ekman en 1902, formula la solution analytique à ce problème, en partant des équations du mouvement. Pour un état stationnaire ( du = 0,...), avec frottement on a: dt fv + F x 1 p ρ 0 = 0 (6.1) fu + F y 1 p ρ 0 = 0 La force de frottement horizontale dont l influence se répercute à l intérieur de l océan (selon la direction Oz) par viscosité turbulente, peut s écrire: F x = 1 τ x ρ 0 z = A 2 u z z 2 57

59 F y = 1 τ y ρ 0 z = A 2 v z z 2 u où τ x = ρ 0 A Z et τ v z y = ρ 0 A Z sont les composantes horizontales de la tension (stress) z de frottement. En supposant que le frottement résulte du seul cisaillement vertical de la vitesse: fv + 1 τ x ρ 0 z = fv + A 2 u z z = 1 p 2 ρ 0 fu + 1 τ y ρ 0 z = fu + A 2 v z z = 1 p 2 ρ 0 On a vu que les termes de frottement étaient négligeables à l intérieur de l océan. Mais si on veut que l océan sente l effet de la tension du vent, il doit exister une couche de surface dans laquelle les termes de frottements doivent être pris en compte. Pour en estimer l épaisseur, on écrit que dans la couche d Ekman, la friction équilibre la force de Coriolis: fu A z U D 2 E avec Az 10 2 m 2 s 1, f 10 4 s 1 on a D E 10m. Les couches d Ekman de surface (et de fond) ont une épaisseur typique de quelques dizaines de mètres. 6.2 La solution d Ekman intégrée Il y a dans le système deux forces génératrices: le frottement du vent, La force de pression. On peut séparer les solutions (système linéaire) en V = V G + V E (vitesse géostrophique + vitesse d Ekman), telles que: fv G fu G = 1 ρ 0 p = 1 ρ 0 p fv E + A z 2 u E z 2 = 0 (6.3) fu E + A 2 v E z = 0 z 2 Ce dernier système représente les équations d Ekman. En introduisant la tension du vent il peut s écrire: fv E + 1 τ x ρ 0 = 0 z fu E + 1 τ y ρ 0 = 0 z Si on intègre ces dernières relations d une profondeur z, où l effet du vent est négligeable, jusqu à la surface on obtient: 0 τ x0 = M y f avec M y = ρ 0 v E dz 58 z (6.2)

60 0 τ y0 = M x f avec M x = ρ 0 u E dz où τ x0 et τ y0 représentent les composantes de la tension du vent à la surface de l eau. L équation aux dimensions de M x et M y donne ML 1 T 1. Il s agit d un transport de masse, soit la masse d eau passant a travers un plan vertical large de 1m et de hauteur z, par unité de temps. Ces quantités M x et M y représentent le transport d Ekman. On obtient le transport de volume (débit) en divisant ces quantités par la densité ρ et en multipliant par la largeur: z Q x = Y M x ρ Q y = XM y ρ Fig. 6.1 tiré de Introduction to physical oceanography, R.H. Stewart Notons qu un vent soufflant du Nord (τ x0 = 0, τ y0 < 0), génère un transport de masse vers l Ouest (dans l hémisphère Nord où f > 0). C est de nouveau l effet de la force de Coriolis: pour un observateur regardant dans le sens du vent, l eau va être poussée vers la droite dans l hémisphère Nord (fig 32). En remplaçant le terme de tension du vent par le terme de viscosité turbulente, on peut obtenir les répartitions de u E et v E dans la couche d Ekman (d épaisseur D E ). 6.3 La solution d Ekman complète fv + A 2 u z z 2 fu + A 2 v z z 2 = 1 p = ρ 0 = 1 ρ 0 p = fv G fu G { Az 2 u + f(v v z 2 G ) = 0 (1) A 2 v z f(u u z 2 G ) = 0 (2) Posons h = u + iv et h G = u G + iv G et effectuons l opération (1) + i (2). Il vient: A z 2 h z 2 ifh = ifh G 59

61 L équation a une solution de la forme: h = K 1 exp(ξz) + K 2 exp( ξz) + h G où ξ = Plaçons nous en surface Si z, h h G, = K 2 = 0. ( ) A la surface, z = 0, et τ 0 = τ 0x + iτ 0y = ρ 0 A h Z Où τ z 0 est la tension du vent à la surface 0 de l eau. or if τ 0 = ρ 0 A Z K 1 ξ = ρ 0 A Z K 1 = K 1 = τ 0 A Z ρ 0 A Z h = h G + τ 0 ρ 0 AZ f 2 i = (1 + i) (i 2 = exp π ) 4 1 i exp τ 0 h = h G + ( i ρ 0 AZ f exp π ) exp 4 τ 0 h = h G + ρ 0 AZ f exp f z cos( 2A Z et if A Z AZ if = τ 0 ρ 0 AZ f if A Z z ( 1 = exp i π ) i 4 f (1 + i) z 2A Z f 2A Z π 4 ) + i sin( 1 i f π 2A Z 4 ) Il faut maintenant décomposer la solution en une partie réelle et une partie imaginaire: u + iv = u G + iv G + (τ 0x + iτ 0y ) ρ 0 AZ f exp f z f cos( π f 2A Z 2A Z 4 ) + i sin( π 2A Z 4 ) Le terme en τ 0 s écrit: Finalement ou encore u = v = u = v = exp ( f 2A Z z ) [τ 0x cos() + iτ 0x sin() + iτ 0y cos() τ 0y sin()] ρ 0 AZ f ( u G + exp v G + exp f 2A Z z ) ρ 0 A Z f ( ) f z 2A Z ρ 0 A Z f ( u G + exp v G + exp f 2A Z z ) ρ 0 A Z f ( ) f z 2A Z ρ 0 A Z f [ τ0x cos( f 2A Z [ τ0x sin( f 2A Z [ τ0x sin( f 2A Z [ τ0x cos( f 2A Z π 4 ) τ 0y sin( f 2A Z π 4 )] π 4 ) + τ 0y cos( f 2A Z π 4 )] + π 4 ) + τ 0y cos( f 2A Z + π 4 )] + π 4 ) + τ 0y sin( f 2A Z + π 4 )] 60

62 6.3.2 Plaçons nous au fond h = K 1 exp(ξz) + K 2 exp( ξz) + h G où ξ = Prenons l origine de l axe des z dirigé vers le haut, au fond de l océan: Si z, h h G = K 1 = 0. h = K 2 exp( ξz) + h G Au fond, z = 0, et u = 0, v = 0, h = 0 = K 2 = h G. avec i = (1 + i) 2 2 h = h = h G {1 exp( ξz)} if h = h G {1 exp z } A Z h G {1 exp ( (1 + i) f 2A Z z ) } = h G {1 exp ( f 2A Z z ) exp ( i f 2A Z z ) } if = h G {1 exp ( f 2A Z z ) [ cos( f 2A Z z) + i sin( f 2A Z z) ] } Il faut maintenant décomposer la solution en une partie réelle et une partie imaginaire: f u + iv = (u G + iv G ){1 exp z f f cos( z) + i sin( z) } 2A Z 2A Z 2A Z Finalement en développant la solution s écrit: u u G = v v G = A Z exp ( f 2A Z z ) [ u G cos( f 2A Z z) + v G sin( f 2A Z z) ] exp ( f 2A Z z ) [ u G sin( f 2A Z z) v G cos( f 2A Z z) ] 6.4 Couche d Ekman de surface On a trouvé la solution suivante, en prenant τ 0x = 0, soit pour simplifier, pour un vent soufflant du sud: u = τy ρ 0 A zf v = τy ρ 0 A zf exp ( f 2A z exp ( f 2A z z ) cos ( ) f 2A z z + π 4 z ) sin ( ) f 2A z z + π 4 Le module du courant décroît exponentiellement avec la profondeur (l axe des z est dirigé vers le haut, et l origine est prise à la surface de l océan) ; le vecteur courant tourne progressivement avec la profondeur dans le sens des aiguilles d une montre (hémisphère Nord). 61

63 Fig. 6.2 tiré de Introduction to physical oceanography, R.H. Stewart Pour un vent soufflant dans la direction y (vers le Nord) la solution s écrit, en introduisant l épaisseur de la couche d Ekman D E : u E v E = ±V 0 cos ( z D E ) + π z 4 e D E = ±V 0 sin ( z D E ) + π z 4 e D E Le signe de u E et v E dépend de l hémisphère dans laquelle on se trouve (+ pour l hémisphère Nord). D E = (2A z )/ f est l épaisseur de la couche d Ekman. Au delà de π fois cette profondeur (z = πd E ) l effet du vent devient négligeable (e π 0.04). V 0 = ( 2 τ y )/(ρ 0 D E f ) est le module du courant de surface, où f la valeur absolue du facteur de Coriolis. On voit qu en surface, Lorsque le courant a tourné d un angle π, z = 0 ; u E = V 0 cos π 4 ; v E = V 0 sin π 4 z = πd E ; u E = V 0 cos π 4 e π ; u E = V 0 sin π 4 e π Le module du courant vaut V 0 e π soit 4% de la valeur en surface. Le nombre de forces qui agissent sur la surface océanique est tel qu il est pratiquement impossible d observer la spirale d Ekman. Cependant les observations montrent qu effectivement le courant de surface est à droite du vent dans l hémisphère Nord, ainsi que le transport de masse. 62

64 6.4.1 Upwelling et downwelling Upwelling est le terme utilisé en océanographie pour décrire le processus par lequel de l eau de fond est ramenée en surface. Ce phénomène est important d un point de vue biologique parce que les eaux de fond sont riches en matières nutritives, et deviennent donc très poissonneuses quand elles sont ramenées en surface. Les upwellings apparaissent là où l écoulement est divergent en surface. Du fait de l équation de continuité, une divergence nécessite un écoulement vertical pour remplacer l eau perdue en surface. Les zones les plus connues d upwellings, sont des zones côtières où le vent pousse les eaux vers le large (fig 33): Selon la théorie d Ekman le vent a pour effet de pousser les eaux sur sa droite (hémisphère Nord). Il y a divergence à la côte et donc l eau de fond est pompée pour combler le déficit d eau en surface. Les upwellings les plus importants se situent dans les régions où le vent souffle parallèlement à la côte: Californie, Pérou, et en Europe, le Portugal ou les cotes marocaines. Cette carte (fig 34) représente les températures moyennes en surface pour le mois de juillet. On remarque que les eaux côtières au large de la Californie, du Pérou et de l équateur sont plus froides que les eaux environnantes. On peut remarquer également la langue d eau froide se prolongeant le long de l équateur. L upwelling est largement responsable de ces anomalies de températures de surface. On peut observer un autre type d upwelling le long de l équateur où les alizés de Nord-Est sont à l origine d une dérive d Ekman vers le Nord dans l hémisphère Nord, alors que les Alizés du Sud-Est poussent les eaux vers le Sud dans l hémisphère Sud. Lorsque la composante Est des alizés est bien établie, la température de surface le long de l Equateur est souvent inférieure de 2 o C par rapport aux eaux de surfaces à quelques dizaines de milles de l équateur. On peut également observer des upwellings (appelés aussi pompage d Ekman ) en plein milieu de l océan (fig 35). La tension du vent à la surface de l océan peut être à l origine d une divergence et donc d un upwelling, par variations du vent en force et direction. Les vents cycloniques d un ouragan par exemple vont être à l origine d un upwelling. La présence d eaux de surface plus froides après le passage d un tel phénomène peut être due au mélange important, mais la divergence induite par le transport d Ekman entre pour une bonne part dans ce refroidissement Un exemple Plaçons nous à l Equateur: Soit w E le pompage d Ekman. L équation de continuité veut que: u + v + w z = 0 Si on intègre cette équation entre D E et 0 où D E est la profondeur d Ekman et la côte 0 la surface, on obtient: ( 0 u + v ) dz + (w 0 w E ) = 0 D E 63

65 w 0 = 0, puisqu il n y a pas de vitesse verticale en surface. donc: Selon l équation du mouvement w E = 0 D E ( u + v ) dz ou u = A z f u = 1 ρ 0 f 2 v ; v = A z 2 u z 2 f z 2 τ y z ; v = 1 τ x ρ 0 f z ( 0 u πd + ) v [ E dz = 0 1 πd E ρ 0 f τ y z = 1 [ 0 (τy/f) ρ 0 πd E z ] [ 1 ρ 0 f (τx/f) ] τ x z dz ] dz d où si on considère que pour z = πd E, τ x = τ y = 0 (le vent n a plus d influence à cette profondeur) ρ 0 w E = [ (τy /f) (τ ] x/f) surface A l Equateur, on peut considérer que τ y = 0 (vent zonal). D autre part f change de signe, et y aussi: ρ 0 w E = (τ [ ] x/f) (τx /f) y (τ x /f) y 2(τ x/f) ( y) ( y) 2( y) τ x ρ 0 w E τ x f y 2Ω sin Φ y Soit τ x = ρ air C D U 2 (signe car vers l Ouest) 64

66 ρ air 1.2kgm 3 C D 10 3 τ x = 0.03P a U 5ms 1 Φ = 2.5 f = 2ΩsinΦ s 1 y = m ( m) ρ kgm 3 w E = ms 1 w E = 1.7m/jour ρ 0 w E τ x f y 0.03 ( ) = kgm 2 s Upwelling et gradient de pression Il ne faut pas oublier que, pour simplifier, nous avons séparé les solutions en posant u = u G + u E (vitesse géostrophique + vitesse d Ekman). En fait la présence d un upwelling (ou downwelling) va de paire avec la présence d un gradient de pression et donc d une composante géostrophique. Considérons l upwelling côtier créé par la situation suivante (fig 36): Ce vent génère une couche d Ekman. Le transport est à droite du vent, et l eau de surface a tendance à partir vers l Ouest. Pour que l équation de continuité soit vérifiée, il doit y avoir un apport d eau le long de la côte, à la base de la couche de mélange. C est l upwelling côtier. Ces montées d eau froide permettent l apport de sels nutritifs et sont donc très poissonneuses. Les eaux froides (plus denses) vont créer un gradient de pression à l origine d une composante vers le sud du courant géostrophique. 6.5 La couche d Ekman au fond S il existe un courant à l intérieur de l océan, il doit de même exister une couche de frottement permettant de ramener la vitesse à zéro au contact du fond. Un argument qualitatif identique à celui de Nansen (cf 6.1.1) permet de prédire que le courant est dévié vers la gauche dans la couche d Ekman de fond: au dessus de la couche d Ekman de fond, le courant est en équilibre géostrophique, avec la force de Coriolis agissant à droite (hémisphère nord) et la force du gradient de pression à gauche. On suppose que l écoulement est barotrope, donc le gradient de pression ne dépend pas de la profondeur. En s approchant du fond, le frottement ralentit l écoulement ; la force de Coriolis, proportionnelle à la vitesse, diminue ; la force du gradient de pression, agissant vers la gauche, n est donc plus totalement équilibrée. L écoulement est dévié vers la gauche, jusqu à ce que les forces de Coriolis et de frottement puissent de nouveau équilibrer la force du gradient de pression. Contrairement à l équilibre géostrophique, la vitesse a une composante dirigée vers les basses pressions. Cet écoulement à travers les isobares implique que les forces de pression produisent un travail qui compense la dissipation visqueuse et permet de maintenir l écoulement. 65

67 Considérons l écoulement géostrophique uniforme d un fluide homogène sur fond plat ; on a démontré que la solution dans la couche d Ekman de fond s écrit: u = u g [ 1 exp ( f 2A z v = u g exp ( f 2A z z ) cos ( f 2A z z )] z ) sin ( f 2A z z ) Avec pour conditions aux limites: u = v = 0 à z = 0 (au fond), et u = u g ; v = v g = 0 à l intérieur de l océan pour z. L axe des z toujours orienté vers le haut, a ici pour origine le fond de l océan. De façon analogue à la couche d Ekman de surface, l épaisseur de cette couche d Ekman de fond peut s écrire: [ 2Az u = u g 1 e z d cos ( )] z d d = = f v = u g e z d sin ( ) z d v s annule bien alors pour z, tandis que u u g. La tension de frottement exercée par le fond rigide sur l écoulement s écrit (égale et opposée à la tension exercée par le fluide sur le fond): τ x = ρ 0 A z u z z=0 τ y = ρ 0 A z v z z=0 = ρ 0 A z u g d = ρ 0 A z u g d M x = ρ 0 0 (u u g)dz = ρ 0u gd 2 M y = ρ 0 0 (v v g)dz = ρ 0u gd 2 τ = ρ 0A z u g d ( i + j) Le transport de masse dû uniquement aux forces de frottement est: En remarquant que: M E = ρ 0u g d ( i + j) 2 ( i + j) k = i + j et que A z = d2 2 f 66

68 u g = τ = ρ 0 A z d = ρ 0u g d f = f M 2 E M E = τ k f Le transport de masse dû uniquement aux forces de frottement est donc dirigé à 90 à droite de la tension due au frottement sur le fond, et à 135 à gauche du courant géostrophique, qui règne à l intérieure de l océan hors des couches de frottement. (Voir Pedlovski, Geophys. Fluid Dynamics, pages 174,183) Solution plus générale Prenons des conditions aux limites plus générales: u = v = 0 à z = 0 (au fond), et u = u g ; v = v g à l intérieur de l océan pour z. On a démontré que la solution dans la couche d Ekman de fond s écrit: u = u g [ 1 e z d cos ( z d v = u g e z d sin( z d ) + v g )] vg e z d sin ( ) z d )] [ 1 e z d cos ( z d Le transport d Ekman, dû uniquement aux forces de frottement est: M x = ρ 0 0 (u u g ) dz = ρ 0d 2 (u g + v g ) M y = ρ 0 0 (v v g ) dz = ρ 0d 2 (u g v g ) 67

69 Considérons la divergence horizontale du courant géostrophique nulle, ce qui est vrai uniquement dans le plan f (f = cste, cf 5.4.2). La divergence du transport d Ekman n est pas nulle: M x + My = ρ 0d 2 = ρ 0d 2 = ρ 0d 2 [( ug [( ug + ) ( vg ug )] vg )] + ) ( vg + vg ug ( vg ) ug = ρ 0 d k V 2 g Par application de l équation de continuité, dans la couche d Ekman de fond, on en déduit que (divergence compensée par un transport vertical): w b = d 2 ( vg u ) g = d 2 k.( V 2Az g ) où d = f 68

70 Chapitre 7 La circulation forcée par le vent Essayons de voir maintenant comment se répercute l influence du vent à l intérieur de l océan. On distingue toujours vitesse d Ekman et vitesse géostrophique. w e, vitesse verticale à la base de la couche d Ekman, est proportionnelle à la divergence du transport total dans cette couche: M x + My [ = 0 h ρ 0udz ] [ + 0 h ρ 0vdz ] = ρ 0 0 h [ u + ] v dz = H. M 0 h= ρ 0 w e = ρ 0 0 h [ w z ] dz = ρ0 0 w e dw = ρ 0 w e avec u = u g + u e ; v = v g + v e 69

71 7.1 Dans la couche d Ekman Géostrophie fρ 0 v g = p fρ 0 u g = p En dérivant la première par rapport à y, la seconde par rapport à x il vient: βρ 0 v g fρ 0 v g = 2 p (1) fρ 0 u g = 2 p (2) On retranche (2)-(1): βρ 0 v g + fρ 0 H. V g = 0 Puis en intégrant de h à 0: β 0 h 0 ρ 0 v g dz + f H. ρ 0Vg dz = 0 h = βm yg 0 h +f H. M g 0 h= Ekman fρ 0 v e = τx z Puis en intégrant de h à 0: fρ 0 u e = τy z fm ye = τ x fm xe = τ y En dérivant la première par rapport à y, la seconde par rapport à x il vient: βm ye f Mye = τx (1) f Mxe = τy (2) On retranche (2) (1) il vient: = βm ye + f H. M e = k.( τ) Le terme de droite k.( τ) représente la composante verticale du rotationnel de la tension du vent. 70

72 7.1.3 Total Finalement la somme des deux donne: βm y 0 h +f H. M 0 h= k. τ βm y 0 h +fρ 0 w e = k. τ = w e = k.( τ) ρ 0 f β ρ 0 f M y 0 h On obtient ainsi le pompage d Ekman, vitesse verticale à la base de la couche d Ekman, qui est le paramètre par lequel le forçage par le vent se répercute à l intérieur de l océan (fig 37). 7.2 Sous la couche d Ekman Sous la couche d Ekman l écoulement est géostrophique uniquement: fρ 0 v = p fρ 0 u = p En dérivant la première par rapport à y, la seconde par rapport à x il vient: Si on retranche (2) (1) il vient: βρ 0 v fρ 0 v fρ 0 u = 2 p = 2 p βv + f( u + v ) = 0 = βv = f w z Cette équation indique que l étirement ou la compression des colonnes d eau doit être compensé par des vitesses méridiennes. Un étirement provoque une migration de la colonne d eau vers le nord, à l inverse une compression provoque une migration vers le sud. Intégrons de h à H: β h H ρ 0 v dz = ρ 0 fw e ρ 0 fw b = βm y h H 71

73 7.3 Sur toute la profondeur M y h H = ρ 0f = ρ 0f β (w β e w b ) k. τ β M y 0 h fρ 0 fρ } {{ 0 } w e w b = k.( τ) β En regroupant les transports il vient: M y 0 h ρ 0f β w b M y 0 H= k.( τ) β ρ 0f β w b Dans la relation initialement démontrée par Sverdrup le terme de fond n existait pas. Le transport méridien total, intégré sur la couche d eau de la surface jusqu au fond, dû au forçage du vent s écrivait: M y 0 H= k. τ β La relation de Sverdrup indique donc que le transport méridien, intégré sur toute la colonne d eau, dépend du rotationnel de la tension du vent en surface. Ce transport méridien est important car c est lui qui est à l origine du transport de chaleur vers les pôles dans l océan. 72

74 7.4 Ordres de grandeur des termes Soit un point à 35 o N dans l Atlantique nord où le vent d Ouest souffle à 7 8ms 1. Alors τ x 10 1 N/m 2 et τ y 0: k.( τ) = τ x 10 1 N/m km 10 7 Nm 3 f 10 4 s 1 ; β m 1 s 1 M y (w b = 0) = k.( τ) β M ye = τ x f = 103 kg m 1 s = kg m 1 s 1 On voit que le transport méridien d Ekman contribue au 1/5 du transport méridien total. Intégré sur la largeur de l océan ( 5000km) le transport est de kg s 1, soit en volume, m 3 s 1, ou 25 Sverdrup vers le sud. 7.5 La circulation de Sverdrup On considère une représentation schématique de l Atlantique Nord, dans laquelle les frontières Est et Ouest sont méridiennes, le fond est plat, et la distribution du vent parfaitement zonale (indépendante de x). La région limitée au nord et au sud par les lignes k. τ = 0, schématise la région subtropicale. Le champ de vent est sinusoïdal, comme indiqué sur la figure. Le transport méridien de Sverdrup est donné par M y = k.( τ)/β. Si on intègre l équation de continuité de la surface jusqu au fond, où les vitesses verticales sont considérées nulles on obtient: M x + M y Cette relation peut être intégrée: = 0 M x M x = 1 β x = M y x 0 [ k.( τ)] = 1 β δx + K(y) [ k.( τ)] où la limite inférieure x 0 est arbitraire, et K(y) est la constante d intégration. On détermine cette constante par la condition aux limites sur le bord Est M x = 0 à x = x E : K(y) = 1 β xe x 0 [ k.( τ)] δx M x = 1 β xe La même condition sur le bord Ouest impliquerait: x [ k.( τ)] δx xe x W [ k. τ] δx = 0, y 73

75 Ceci n est pas vérifié. De plus, le transport de Sverdrup étant vers le sud dans tout le bassin (cf figure), la conservation de la masse n est plus satisfaite: si la relation de Sverdrup s appliquait de l Ouest à l Est de l Atlantique Nord, cet océan se viderait au fil des temps!!! Pour compléter la solution, on est amené à admettre qu il existe une région de l océan, dans laquelle l équilibre dynamique n est pas fourni par la relation de Sverdrup. Cette dynamique différente ne peut exister que dans une couche limite de bord Ouest, ce qui justifie, à postériori le fait d avoir satisfait la condition de bord Est. Dans le bassin schématique ci dessus la solution a la forme indiquée sur la figure suivante. La figure (fig 38) montre la fonction de courant du transport de Sverdrup (ψ telle que M x = ψ, M y = ψ ) calculée sur l océan mondial avec des vents réels (moyennes annuelles). 74

76 Cette figure met en évidence l existence de cellules de circulation de grande échelle (tourbillons ou gyres subtropicaux) dans les divers océans, séparés par les lignes k. τ = Un cas d école Sverdrup a travaillé sur le cas suivant. Un bassin rectangulaire (voir ci-dessus): x W = 0, x E = a, y S = 0, y N = b. La tension du vent est schématisée par: τ x = τ 0 cos(πy/b), τ y = 0: τ y k.( τ) = τ x = τ π πy 0 sin b b = M y = τ 0 π β b = ψ = τ 0π βb ψ(x,y) = τ 0π βb πy sin b = ψ sin πy b sin( πy b )dx ψ(x,y) = τ 0π βb sin(πy b ) x + K(y) On veut que ψ s annule sur les frontières. Il est impossible de satisfaire les conditions à la fois pour x = 0 et x = a, puisque cette équation ne nécessite qu une condition aux limites. On choisit de satisfaire la condition sur le bord Est: ψ(x,y) = τ 0π βb sin(πy ) (x a) b 75

77 7.7 Intensification du courant de Bord Ouest Sverdrup dans sa démonstration avait négligé le frottement sur le fond. Cette hypothèse est acceptable si les courants sont peu importants à l intérieur de l océan. Par contre, si la circulation s intensifie, l hypothèse n est plus valable. C est Stommel qui a présenté cette démonstration. Reprenons l expression du transport méridien, en tenant compte du forçage au fond: en écrivant que (cf 6.1.6) M y 0 H= k.( τ) β w b = d 2 k.( H V G ) = d 2 ( v u ) ρ 0f β w b (7.1) où d = 2Az d est l épaisseur de la couche d Ekman de fond, au facteur π près. Si on fait l hypothèse d un océan barotrope (u et v constants sur toute la profondeur) alors: M y 0 H = ρ 0 Hv = ψ v = 1 ψ ρ 0 H M x 0 H = ρ 0 Hu = ψ u = + 1 ψ w b = d 2ρ 0 H 2 ψ ρ 0 H Reprenons l équation (6.4) en introduisant la fonction de courant du transport ψ: ψ = 1 ( τy β τ ) x + fd 2βH 2 ψ ψ + fd 2βH 2 ψ = 1 ( τy β τ ) x On voit que le fait d ajouter du frottement au fond, permet de fermer les contours sur le bord Ouest, où apparaît une couche limite très étroite. L intégration en x nécessite ici deux conditions aux limites, qui permettent d annuler le transport zonale à la fois à l Est et à l Ouest du bassin. ( cf General Circulation of the Ocean, Abarbanel et Young, p ) 76 f

78 7.8 Influence de la stratification On a travaillé jusqu à présent sur un océan barotrope (densité homogène). Considérons un océan bicouche, avec une couche d eau chaude et légère surplombant une couche d eau froide et dense, que l on prendra au repos pour simplifier les calculs. Supposons nos deux couches en équilibre géostrophique, la couche supérieure étant simplement forcée par le pompage d Ekman (w E ). On a dans la couche (1) la relation démontrée précédemment ( 6.2.2): βv = f w z D où en intégrant sur l épaisseur h 1 de la couche (1): βh 1 v 1 = f(w E w i ) = fw E avec w i = 0 Et l hypothèse géostrophique permet d écrire: La couche 2 est au repos: p 1 = ρ 1 g(h z) v 1 = 1 p 1 ρ 0 f p 2 = ρ 1 gh 1 + ρ 2 g(h 2 z) = ρ 1 gh 1 + ρ 2 g(h h 1 z) p 2 = 0 ρ 1g h ( 1 h + ρ 2g h ) 1 = 0 = h = v 1 = 1 p 1 ρ 0 f = 1 ρ 0 f ρ 1g ( ρ2 ρ 1 ( ρ2 ρ 1 ρ 2 77 ρ 2 ) h1 ) h1 g ρ 0 f (ρ 2 ρ 1 ) h 1

79 où ρ 1 /ρ 2 1. Posons ρ 2 ρ 1 = ρ. Qui peut encore s écrire: g βh 1 v 1 = fw E βh 1 ρ 0 f ρ h 1 = fw E On intègre à partir du bord Est: 1 2 (h2 1) = f 2 βg ρ w E ρ 0 1 xe 2 x La solution, pour tout y, s écrit : (h2 1)dx h 2 1(x E ) h 2 1(x) = 2f 2 xe βg ρ w E dx x ρ 0 h 2 1(x,y) = 2f 2 βg ρ ρ 0 xe x w E dx + h 2 1(x E,y) La condition aux limites sur le bord Est veut que u 1 (x E,y) = 0: u 1 = 1 p 1 ρ 0 f = p 1 = 0 h = 0 h 1 = 0 u 1 (x E,y) = 0 = h 2 1(x E,y) = cste = H 2 1 h 2 1(x,y) = 2f 2 βg ρ ρ 0 xe x w E dx + H 2 1 On en déduit qu à l intérieur des gyres subtropicaux, là où w E < 0, la couche d eau chaude s épaissit vers l ouest. Comme dans le cas d un océan homogène, cette circulation doit être complétée par une circulation sur le bord Ouest qui obéit à une dynamique plus complexe. 7.9 La vorticité Par définition, la vorticité d un écoulement est la composante verticale du rotationnel du champ de vitesse: ω = k.( V ) Pour les écoulements plan, le vecteur vorticité est perpendiculaire à ce plan. On associe à la vorticité, le vecteur tourbillon ω/2, qui représente la vitesse angulaire de rotation locale d un élément de fluide. 78

80 7.10 La vorticité relative ζ ζ = k.( V ) = v u ζ exprime la tendance du fluide à tourner. Le signe de ζ est illustré sur le schéma pour des écoulements présentant un cisaillement latéral. Un petit objet flottant dans l écoulement A, par exemple, aurait tendance à tourner dans le sens direct. ζ est appelée vorticité relative, car elle est mesurée par rapport à la terre La vorticité planétaire f Pour un solide en rotation la vorticité est égale à deux fois sa vitesse angulaire. A la latitude Φ la vitesse angulaire par rapport à l axe vertical en ce point est Ω sin Φ, la vorticité est donc 2Ω sin Φ = f Une colonne d eau au repos sur la terre possèdera donc la vorticité f. La vorticité planétaire est la composante verticale du rotationnel de la vitesse d entraînement du repère terrestre: V e = Ω où OM = x i + y j + z k. Le calcul du rotationnel donne: OM = (Ω cos Φ z Ω sin Φ y) i + Ω sin Φ x j Ω cos Φ x k V e = 2Ω cos Φ j + 2Ω sin Φ k = f = k.( V e ) 79

81 7.12 La vorticité absolue (ζ + f) Les équations horizontales pour un mouvement sans frottement (hors des couches d Ekman et des couches limites de bords Ouest) sont: du fv dt dv + fu dt = 1 ρ 0 p = 1 ρ 0 p Différentiation croisée et soustraction conduisent à: u v ζ = v u d (ζ + f) = (ζ + f)[ u dt + v ] = (ζ + f). V H (7.2) + u u t + u v t ( v u t v ( v u u t + u u + v u fv = 1 ρ 0 p v + u v + v v + fu = 1 p t ρ 0 + u 2 u + u 2 v ) + u + v + v v 2 ( v u ) ( + v v u + v 2 u βv f v = 1 2 ρ 0 + v 2 v + f u = 1 ρ 0 ) ( + u v ) u + ) + df + f ( u + v dt u = ζ t + u ζ + v ζ + ζ ( u + v ) 2 p + df dt + f 2 p ) = 0 ( u + v ) = 0 d(ζ + f) = + (ζ + f). V dt H = 0 Cette équation exprime le principe de la conservation de la vorticité absolue pour les écoulements sur terre lorsque le frottement est négligé: le module de la vorticité absolue s accroit dans un écoulement convergent (. V H < 0) et décroit dans un écoulement divergent (. V H > 0) La vorticité potentielle ( ζ+f D ) Soit une couche d épaisseur D dans laquelle la densité est supposée homogène. L équation de continuité dans cette couche s écrit: u + v + w z = 0 On peut écrire que: ( w z = dh1 dt dh ) 2 dt } {{ } dw / (h 1 h 2 ) = 1 dd } {{ } D dt dz 80

82 d où L équation 6.5 devient: 1 dd D dt +. V H = 0 (7.3) d dt ( ) ζ + f = 0 (7.4) D Cette équation exprime la conservation de la vorticité potentielle dans une colonne d eau (ne recevant pas de vorticité de l extérieur). Pour les mouvements de grande échelle ζ est négligeable devant f (ζ/f U/fL est le nombre de Rossby), et l équation se réduit à d dt ( f D qui est une autre forme de βv = f w dejà vue. z A titre d exemple, la circulation vers l Equateur dans l intérieur des gyres subtropicaux s interprète aisément par f/d = cste: le pompage d Ekman vers le bas entraîne une compression des colonnes d eau dans l intérieur. D diminuant, f va également devoir diminuer, et la colonne d eau doit partir vers le Sud, pour conserver sa vorticité potentielle Les théories de la conservation de la vorticité potentielle Prenons l exemple de l Atlantique Nord. Schématisons la circulation le long des bords par des vitesses uniquement méridiennes, illustrant le gyre subpolaire au nord et subtropicale au sud. La vorticité relative s écrit alors: ζ = v ) = 0 puisque u = 0 Gardant en mémoire l illutration suivante: On peut expliquer l intensification des courants de bord Ouest par la conservation de la vorticité potentielle: si D reste constante le long des frontières océaniques (cette condition n est pas indispensable, ni forcément vraie mais elle permet une explication plus simpliste), la seule façon de conserver la vorticité potentielle est de diminuer ζ quand l écoulement est dirigé vers les pôles, et d augmenter ζ quand l écoulement est dirigé vers l Equateur. Il en résulte un écoulement plus intense concentré le long des frontières Ouest de l océan, alors que l effet inverse s observe sur les côtes Est. 81

83 82

84 Chapitre 8 La circulation thermohaline Le flux de flottabilité à la surface de l océan (cf 3.2.4) constitue, après le vent, un autre moteur de la circulation océanique. Ce flux résulte des échanges à l interface air-mer: flux de chaleur sensible, radiation, évaporation et précipitation. Sa prise en compte est un problème très compliqué, qui a été beaucoup moins étudié que le forçage par le vent. On se contente ici d introduire la question, en décrivant la théorie simplifiée proposée par Stommel dans les années 50, qui permet d expliquer certaines observations. Les nouvelles théories apparues ces 10 dernières années seront sommairement décrites à la fin du chapitre. 8.1 Introduction d un processus thermohalin Les hypothèses de départ Dans le modèle de Stommel, le transport de masse (par unité de largeur) intégré sur toute la profondeur de l océan est toujours donné par la relation de Sverdrup: avec les transports de masse : M x = ρfv ρfu z 0 = p + τx z = p + τy z ρudz ; M y = z 0 ρvdz et la fonction z P = pdz 0 Les équations (7.1) intégrées de la surface jusqu au fond donnent: fm y = P + τ x z=0 fm x (8.1) = P + τ y z=0 (8.2) Différentiation croisée et utilisation de la non-divergence horizontale conduisent à la relation de Sverdrup: βm y = k. τ (8.3) 83

85 8.1.2 Introduction d un processus thermohalin Aux latitudes subtropicales un flux de chaleur réchauffe l océan en surface, tendant à réduire la densité des couches supérieures. Supposons que la densité soit en fait maintenue constante grâce à un petit flux de masse verticale amenant dans la couche de surface des eaux initialement profondes: la quantité de chaleur reçue équivaut à une perte de densité qu il faut combler, d où apparition d un flux vertical de densité. La vitesse verticale étant à priori très faible au fond et en surface, elle doit atteindre une valeur maximale à une profondeur intermédiaire. Supposons cette vitesse verticale w maximum à z = z i, ainsi que le transport de masse associé ρw. La continuité de masse indique que (ρu) + (ρv) = (ρw) z (8.4) Séparons l océan en deux couches situées l une au dessus (couche 1) et l autre au dessous (couche 2) de z = z i. A cette profondeur, ρw est maximum, et donc sa dérivée par rapport à z s annule. Il s en suit qu une divergence horizontale existe dans chacune des deux couches mais s annule en z = z i. Définissons les flux de masse: M x1 = 0 z i ρudz ; M y1 = 0 z i ρvdz M x2 = z i D ρudz ; M y2 = z i D ρvdz La différentiation croisée de (7.1) conduit à: βρv + f H.(ρ V ) = ( k. τ) z βρv f (ρw) z = ( k. τ) z S il n y a pas de frottement vertical ailleurs que dans la couche d Ekman, et qu on suppose le fond plat, l intégration sur la hauteur des deux couches donne: βm y1 f ρw 0 z i = k. τ βm y2 f ρw z i D = 0 84

86 βm y1 = f(ρw) i + k. τ (8.5) βm y2 = +f(ρw) i Ces équations sont de même nature que (7.3) et leur somme conduit à (7.3): la circulation thermohaline n introduit donc pas de flux global supplémentaire. Elle apparaît comme un mode interne de l écoulement de Sverdrup, en déterminant la répartition du flux dans les deux couches. M y2 = f(ρw) i /β : w i étant positif, ce modèle de circulation thermohaline permet d expliquer l existence de transports vers le Nord, en profondeur, à l intérieur de l océan, alors que la circulation de Sverdrup, intégrée sur toute la colonne d eau porte vers le Sud. 8.2 Le transport dans les courants de bord Ouest Les courants de bord Ouest sont introduits pour satisfaire la condition de conservation de la masse dans un océan limité par des côtes. Les transports dans la couche limite de bord Ouest, dans les deux couches, seront déduits des transports calculés dans l intérieur, hors de cette couche limite. La conservation de la masse dans l intérieur conduit pour chacune des couches à: M x1 M x2 + M y1 = 0 z i ρw z dz + M y2 = z i D ρw z dz = +(ρw) i = (ρw) i Considérons un océan limité par une frontière zonale en y = 0 et les frontières méridiennes en x = 0 et x = r. La condition aux limites sur le bord Est, à x = r, est M x1 (r,y) = M x2 (r,y) = 0. On a donc M y1 et M y2 donnés par (7.5) et: M x1 (x,y) M x2 (x,y) = [ r x M ] y1 + (ρw) i dx = [ r x M ] y2 (ρw) i dx 85

87 En général, pour x = 0 on obtiendra M x1 (0,y) 0 et M x2 (0,y) 0. On peut considérer que ces flux sont absorbés par la couche limite de bord Ouest. Soient G 1 (y) et G 2 (y) les transports comptés positivement vers le Nord dans la couche limite de bord Ouest, respectivement au dessus et en dessous de z i. G 1 et G 2 sont calculés en faisant le bilan de masse dans le volume situé au Sud de la latitude y. Pour satisfaire la continuité (pas d accumulation d eau sur le bord Ouest de l océan) on doit avoir: G 1 (y) = M x1 (0,y) = y 0 G 2 (y) = M x2 (0,y) = y 0 { r 0 { r 0 [ M ] } y1 + (ρw) i dx dy [ M ] } y2 (ρw) i dx dy G 1 (y) = r 0 [ M y1] dx + r 0 [ y 0 (ρw) idy] dx G 2 (y) = r 0 [ M y2] dx r 0 [ y 0 (ρw) idy] dx G 1 (y) = 1 r β 0 [ f(ρw)i k. τ ] dx + r 0 [ y 0 (ρw) i dx] dy G 2 (y) = 1 r β 0 [ f(ρw) i] dx r 0 [ y 0 (ρw) i dx] dy Fig. 8.1 Coupe schématisant les transports dus à un processus thermohalin w i étant positif, G 2 est négatif. Ce modèle prédit l existence d un courant profond de bord Ouest dirigé vers le Sud. Ce courant est un contre-courant du courant de bord Ouest dirigé vers le Nord: ces courants profonds de bord Ouest ont été observés dans l Atlantique Nord et Sud, le Pacifique Sud et l Océan Indien. Ce modèle permet de prendre en compte les sources d eaux profondes localisées en certaines régions précises de l océan (Mer de Norvège, Mer de Weddel). La couche inférieure cédant en permanence de la masse au profit de la couche supérieure, doit être alimentée par des sources. Ce modèle, forcé par des sources dans l Atlantique Nord et la Mer de Weddel, peut être étendu à l océan mondial simplifié. Le schéma de circulation dans la couche profonde est alors représenté (fig 39). 86

88 Ce modèle à fond plat ne prétendait pas donner une vue réaliste de l écoulement de fond. La topographie complique énormément l écoulement près du fond. De plus, l océan profond est constitué de plusieurs couches superposées. L écoulement ci-dessus doit être regardé comme l intégrale sur ces couches. Le succès de ce modèle a surtout été la prédiction des courants profonds de bord Ouest. 8.3 Les théories de la thermocline ventilée En règle générale, le terme thermocline désigne une couche océanique où le gradient vertical de température est élevé. Dans les théories de la thermocline ventilée, la thermocline désigne de façon plus générale toute l épaisseur d eau située entre la couche de mélange superficielle et la base de la thermocline principale, vers 6 7 o C et 1000m de profondeur. Le problème de la thermocline (pourquoi y a-t-il une thermocline?) a amené de nombreux auteurs à s interroger sur la façon dont les couches océaniques qui ne sont pas en contact avec la surface peuvent être mises en mouvement. Nous avons vu que le modèle exposé précédemment ne peut résoudre les conditions aux limites. Le fondement du modèle de thermocline ventilée est que la thermocline est divisée en plusieurs couches de densités différentes, qui font surface à différentes latitudes. Localement, la couche supérieure est mise en mouvement par le vent via le pompage d Ekman. Les particules fluides de la couche de surface peuvent être amenées à subducter, c est à dire à s écouler en dessous d une couche moins dense, qui à son tour va être directement forcée par le vent. Après la subduction, les particules vont conserver leur vorticité potentielle acquise en surface, et c est cette propriété qui va façonner leur écoulement ultérieur. Ce modèle permet d expliquer physiquement certaines similitudes, déjà mentionnées en 1939 par Iselin, entre les propriétés physico-chimiques observées sur un plan horizontal, en surface et en hiver, et celles observées localement sur la vertical dans le gyre subtropical. Ce modèle a également permis d expliquer l existence d une zone d ombre, non oxygénée, car non ventilée, au large de l Afrique dans le Sud-Est du gyre subtropical. Fig. 8.2 Section méridienne schématique du modèle de Luytens et Al. Dans le modèle de Luytens, Pedlosky et Stommel, le pompage d Ekman est négatif entre y w et l Equateur (y = 0). Au Sud de y(x 3 ) la couche (3) est au repos. 87

89 Dans ce modèle de Luytens et Al. les transferts de propriétés entre la surface et l intérieur stratifié de la thermocline sont contrôlés par les seuls flux verticaux dus au pompage d Ekman. Si on souhaite quantifier les flux de propriétés entre la couche de mélange superficielle et l intérieur stratifié, il faut prendre en compte les variations temporelles et spatiales de la profondeur de la couche de mélange. On définit ainsi le taux de subduction, c est à dire le flux de volume traversant la base de la couche de mélange par unité de surface. Ce type de modèles incluant une couche de mélange est encore en voie de développement actuellement. 88

90 Chapitre 9 Ondes océaniques Dans ce chapitre nous allons décrire plusieurs types d ondes rencontrés dans un fluide homogène non visqueux en milieu tournant. Nous nous restreignons aux ondes linéaires en milieu barotrope. 9.1 Dynamique des ondes linéaires Reprenons les équations du mouvement, augmentées de l équation de continuité, dans l approximation de Boussinesq: u + u u + v u + w u = t z v t + u v + v v + w v z = w t + u w + v w + w w z = 1 ρ 0 p + fv + F x 1 ρ 0 p fu + F y 1 ρ 0 p z ρ ρ 0 g + F z Et l équation de la continuité u + v + w z = 0 Si on se restreint aux ondes linéaires dans un milieu homogène et non visqueux les équations horizontales du mouvement se réduisent à: u fv = t v + fu = t 1 ρ 0 p 1 ρ 0 p (9.1) On néglige ici les termes d advection qui sont non linéaires. Cela sous-entend des écoulements à faible nombre de Rossby: R 0 = U ΩL << 1 Cette condition est remplie par des écoulements lents et grande échelle (U petit et L grand). Les termes de l accélération locale sont conservés ( u, v ) parce qu ils sont linéaires, et qu ils t t vont nous permettre d étudier des écoulements instables. Ainsi le nombre de Rossby temporel doit être de l ordre de 1: R 0T = 1 ΩT 1 89

91 Nous considérons donc une écoulement lent qui évolue rapidement: l information se propage plus rapidement que les particules matérielles. L ordre de grandeur de la célérité de l onde peut être estimé en écrivant qu il s agit d un signal se propageant sur une distance caractéristique L en un temps caractéristique T : C = L ΩL >> U T En milieu barotrope l équation verticale du mouvement se réduit à: 0 = 1 ρ 0 p z où p est la pression dynamique Bien que l écoulement soit homogène verticalement, il n est pas nécessairement dénué de vitesse verticale. Pour déterminer la vitesse verticale utilisons l équation de la continuité, en notant que les deux premiers termes sont indépendants de z, mais que leur somme n est pas obligatoirement nulle. Une vitesse verticale variant linéairement avec la profondeur peut exister. Intégrons l équation de la continuité sur toute l épaisseur du fluide notée b + h où b(x,y) est l élévation du fond par rapport à un niveau de référence, et h(x,y,t) la profondeur locale et instantanée: ( u + v ) b+h dz + [w] b+h b = 0 b Calculons les vitesses verticales aux frontières (w = dz/dt): w(b + h) w(b) = (b + h) + u (b + h) + v (b + h) t = u b + v b Et l équation de continuité devient: h t + (hu) + (hv) = 0 [w]b+h b Cette équation permet d éliminer la vitesse verticale w du formalisme. = h t + u h + v h 90

92 Enfin, puisque le fluide est homogène, la pression dynamique, p est indépendante de la profondeur. En l absence de variation de pression atmosphérique la pression dynamique s écrit: p = ρ 0 g(h + b) car: P (x,y,z,t) = p 0 (z) + p(x,y,z,t) = P 0 + ρ 0 g(h + b z) = P 0 ρ 0 gz + ρ } {{ } 0 g(h + b) } {{ } p 0 (z) p(x,y,z,t) Si le fond est plat (b = 0) le système (8.1) s écrit, avec η = h H: u t v t fv = g η + fu = g η et en faisant l hypothèse que H >> η, ce qui nous restreint à des ondes de faible amplitude, l équation de la continuité devient: ( η u t + H + v ) = 0 (9.4) Le système d équations (8.2) à (8.4) gouverne la dynamique des ondes linéaires en milieu homogène, non-visqueux et tournant. 9.2 Ondes de Kelvin Les ondes de Kelvin sont des ondes progressives guidées par une côte, où l on suppose que les vitesses restent partout parallèles aux berges. Considérons un océan semi-infini, limité verticalement par un fond plat et une surface libre, et latéralement par un mur vertical (côte). Le long de ce mur (x = 0), la vitesse normale est nulle (u = 0). En utilisant les équations (8.3) et (8.4), où u = 0, on peut éliminer le déplacement de la surface libre η, pour obtenir: 2 v t = 2 v 2 c2 où c = gh 2 On reconnaît l équation de propagation d une onde plane à la célérité c, dont la solution est de la forme: v = V 1 (x,y + ct) + V 2 (x,y ct) Les fonctions V 1 et V 2 sont arbitraires, mais du fait que c = cste elles conservent leurs formes. Prenons un exemple concret. On peut vérifier que v = A 1 cos(y + ct) + A 2 cos(y ct) 91 (9.2) (9.3)

93 est solution de l équation d ondes. En introduisant la solution v dans (8.3) où u = 0, on détermine le déplacement de la surface libre: v t v t = g η = A 1 c sin(y + ct) + A 2 c sin(y ct) η η = A 1 c g sin(y + ct) A 2 c g = A 1 c g cos(y + ct) + A 2 c g = c g V 1 + c g V 2 + K sin(y ct) cos(y ct) + K = H g V 1 + H g V 2 + K Toute constante additive peut être éliminée en redéfinissant correctement la profondeur constante H: H η = g V 1(x,y + ct) + H g V 2(x,y ct) La structure en x de ces deux fonctions V 1 et V 2 est alors déterminée en utilisant (8.2). Avec u = 0 il vient fv = g η i.e cette composante du mouvement est en équilibre géostrophique. Introduisons les expression de v et η précédemment obtenue: V 1 = f V 1 ; gh V 2 = + f V 2 gh V 1 = V 10 (y + ct) exp( x R ) ; V 2 = V 20 (y ct) exp(+ x R ) où la longueur R appelée le rayon de déformation de Rossby, est fonction des trois constantes du problème: gh R = = c f f Une des ondes (V 1 si f est positif) décroit exponentiellement avec la distance à la côte comptée positivement, alors que la seconde (V 2, si f est positif) augmente exponentiellement avec la distance à la côte, ce qui est physiquement peu probable. La solution la plus générale s écrit donc, avec V 20 = 0 et V 10 = F (y + ct): u = 0 v = F (y + ct) exp( x R ) (9.5) η = H g F (y + ct) exp( x R ) Du fait de la décroissance exponentielle vers le large, ont dit que l onde de Kelvin est piégée par la côte. L intensité de ce piégeage est caractérisée par la longueur R. 92

94 Le long de la côte, l onde se propage sans déformation, à la célérité constante c. Dans l hémisphère Nord, l onde se propage avec la côte sur sa droite. En effet, si f > 0 alors c > 0. Sur la côte Ouest, quand on s éloigne de la côte, x augmente vers les valeurs positives, on choisit la solution V 1 physiquement acceptable puisqu elle donne une élévation maximale à la côte, avec une décroissance exponentielle vers le large. Or V 10 (y +ct) est un signal qui se propage vers les y négatifs, ici, vers le sud. A l inverse, sur la côte Est, l onde, suivant le même raisonnement, se propage vers le Nord. On pourra plus simplement retenir qu une onde de Kelvin tourne dans le sens cyclonique autour du bassin dans l hémisphère nord. Bien que la direction de propagation des ondes soit unique (côte sur la droite), le courant induit dépend du signe de η. Si η est positif (crête), alors F (y + ct) est négatif et v aussi par conséquent. Notons que F (y + ct) représente une perturbation se propageant vers les y décroissants. Donc si η est positif, le courant est dans le même sens que le sens de propagation de l onde. 9.3 Ondes de Poincaré: inertie-gravité Reprenons notre système d équations (8.2) à (8.4). Si on se place dans le plan f, tous les coefficients sont constants. Considérons des ondes progressives sous forme complexe: (u,v,η) = (û,ˆv,ˆη)e i(lx+my ωt) où û, ˆv et ˆη sont les amplitudes complexes. l et m sont les nombres d ondes en x et y et ω la pulsation. Le système d équations s écrit alors: ıωû f ˆv = ıglˆη, ıωˆv + fû = ıgmˆη, (9.6) ıωˆη + H(ılû + ımˆv) = 0 Ce système admet une solution triviale: û = ˆv = ˆη = 0, à moins que le déterminant ne s annule. Les ondes ne peuvent donc exister que si: ω [ω 2 f 2 gh(l 2 + m 2 )] = 0 (9.7) 93

95 Fig. 9.1 Relation de dispersion des ondes de Poincaré Cette condition, appelée relation de dispersion, donne la fréquence de l onde en fonction du nombre d onde k = l 2 + m 2 et des constantes du problème. La première racine ω = 0, correspond à l état stationnaire. Si dans le système d équations, on annule les dérivées par rapport au temps, on reconnait les équations de l écoulement géostrophique. Les deux autres racines correspondent aux ondes dites de Poincaré ou ondes de gravité en milieu tournant i.e inertie-gravité : ω = ± f 2 + ghk 2 La vitesse de phase, c φ = ω/k qui dépend du nombre d ondes k, n est pas constante: l onde de Poincaré est dite dispersive contrairement aux ondes de Kelvin, dont le signal se propage sans distorsion. La relation de dispersion des ondes de Kelvin se retrouve aisément à partir du système d équations 8.6 où on annule la composante u. On obtient ω = ± ghk où selon nos hypothèses l = 0, k = m. On retrouve la vitesse de phase c φ = gh, et la vitesse de groupe c g = dω = gh = c dk φ = cste. 9.4 Ondes de Rossby: planétaires Les ondes de Kelvin et de Poincaré sont des ondes relativement rapides (ω f). Nous allons voir que l écoulement géostrophique stationnaire, qui correspond à la fréquence 0 dans le paragraphe précédent, peut développer une onde qui se propage lentement, quand le système est légèrement modifié. Ces ondes sont appelées ondes planétaires car l évolution de la perturbation est amplifiée par l effet planétaire. Reprenons notre système d équations (8.2 à 8.4) en nous plaçant dans le plan β. Rappelons que l utilisation du plan β ne peut se faire que dans le cas d un phénomène peu étendu en latitude. Soit L l ordre de grandeur de l étendue latitudinale du mouvement, l utilisation de plan β suppose que βl/f 0 << 1 Si cette condition n est pas vérifiée, il faut alors utiliser un système de coordonnées sphériques, dans un repère lié à la terre. 94

96 u t (f 0 + βy)v v + (f t 0 + βy)u η t + H ( u + v = g η = g η ) Ces équations sont maintenant un mélange de termes prépondérants (f 0, g et H) qui représentent l équilibre géostrophique, et de termes perturbateurs de l équilibre (dérivées temporelles et effet β). En première approximation, la géostrophie prédomine et u (g/f 0 ) η/ et v (g/f 0 ) η/. En introduisant cette approximation dans les termes perturbateurs il vient: = 0 g f 0 2 η f t 0v βg f 0 y η = g η + g 2 η + f f 0 t 0u βg f 0 y η u v = g f 0 η g f 2 0 = + g f 0 η g f 2 0 = g η 2 η + βg t f0 2 2 η βg t f0 2 On reconnait dans les deux premiers termes de chacune des équations l équilibre géostrophique. Les termes suivants, qui représentent une perturbation du champ de vitesses sont appelés termes agéostrophiques. Finalement en introduisant les expressions de u et de v dans l équation de la continuité, on obtient une équation où la seule variable est le déplacement de la surface libre: η t R2 t 2 η βr 2 η = 0 où 2 est l opérateur Laplacien et R = gh/f 0 est le rayon de déformation de Rossby, que l on prendra constant. Cette équation a des coefficients constants, et on peut chercher une solution de la forme ˆηe i(lx+my ωt). On obtient la relation de dispersion suivante: y η y η ω(l,m) = βr 2 l 1 + R 2 (l 2 + m 2 ) (9.8) Nous voyons immédiatement que si β = 0, alors ω = 0 ; cette solution représente l écoulement géostrophique stationnaire dans le plan f, solution particulière des ondes de Poincaré. L absence des deux autres racines des ondes de Poincaré ( 8.3) s explique par notre approximation: en traitant les dérivées temporelles comme petits termes perturbateurs, nous avons retenu uniquement les basses fréquences, très inférieures à f 0. Nous nous plaçons dans le cas d un nombre de Rossby très faible (R o << 1). 95

97 On peut vérifier aisément que la pulsation donnée par (8.8) est très petite: avec L ( 1/l 1/m) ordre de grandeur de la longueur d onde, deux cas peuvent se produire: L R ou L R ; l échelle de grandeur de ω s écrit alors: ondes courtes: L R, ω βl ondes longues: L R, ω βr2 L βl Nous avons précisé précédemment que travailler dans le plan β suppose que: βl/f 0 << 1 Donc, quelque soit le cas étudié, ondes longues ou ondes courtes, ω << f 0. Ces ondes sont appelées ondes subinertielles. Explorons maintenant les propriétés de nos ondes planétaires. Tout d abord la vitesse de phase zonale: C x = ω l = βr R 2 (l 2 + m 2 ) est toujours négative, ce qui implique une propagation des ondes vers l Ouest. Le signe de la vitesse de phase méridienne C y = ω/m est indéterminé, puisque le nombre d ondes m peut être positif ou négatif. Donc les ondes planétaires vont se propager seulement vers l Ouest, le Nord-Ouest ou le Sud-Ouest. Fig. 9.2 Relation de dispersion des ondes planétaires, pour m constant Les ondes très longues (1/l et 1/m >> R) se propagent strictement vers l Ouest à la vitesse C = βr 2, qui est la vitesse maximale possible. Les lignes de fréquence constante ω dans le plan (l,m) des nombres d ondes, sont des cercles définis par: ( l + β ) 2 ( β + m 2 2 = 2ω 4ω 1 ) 2 R 2 De tels cercles existent seulement si le rayon est réel soit β 2 R 2 > 4ω 2. Ceci implique l existence d une fréquence maximale, au delà de laquelle les ondes planétaires n existent pas: ω max = βr gh où rappelons que R = 2 96 f 0

98 Fig. 9.3 Représentation géométrique de la relation de dispersion La vitesse de groupe, à laquelle l énergie des paquets d ondes se propage, définie par ( ω/, ω/), est le gradient de la fonction ω dans le plan (l,m) des nombres d onde. Elle est donc perpendiculaire aux cercles ω = cste. Un peu d algèbre permet de démontrer qu elle est dirigée vers le centre des cercles. Ainsi, les ondes longues (correspondant à des faibles valeurs de l et m, points proches de l origine) ont des vitesses de groupe dirigées vers l Ouest, alors que les ondes courtes (grandes valeurs de l et m) ont des vitesses de groupe portant vers l Est (cf figure). 9.5 Ondes topographiques Nous avons vu que de faibles variations du paramètre de Coriolis peuvent transformer un écoulement géostrophique stationnaire en une onde planétaire se propageant lentement. Il en est de même pour les irrégularités du fond de l océan. En nous replaçant dans le plan f, nous allons supposer que la profondeur de l océan au repos s écrit: H = H 0 + αy où H 0 est une profondeur moyenne de référence et α la pente du fond, supposée très faible de telle sorte que, si L est une échelle de grandeur du mouvement horizontal: αl H 0 << 1 Le paramètre topographique α joue le même rôle que l effet planétaire β. La pente du fond fait apparaître de nouveaux termes dans l équation de continuité. Si nous reprenons l expression vue au 8.1: avec on obtient: η t + ( u η + v η ) h t + (hu) + (hv) = 0 h(x,y,t) = H 0 + αy + η(x,y,t) + (H 0 + αy) ( u + v ) ( u + η + v ) + αv = 0 97

99 En supposant η << H 0 et αy << H 0, on peut en première approximation écrire: ( η u t + H 0 + v ) + αv = 0 avec les équations du mouvement le système s écrit: u fv t v + fu t η + H ( u t 0 + ) v + αv = 0 = g η = g η Ici, les terme prépondérants font intervenir f, g et H 0, et illustrent l équilibre géostrophique. Mais la présence du terme en α dans la dernière équation, fait que l écoulement ne peut rester stationnaire, et donc les dérivées temporelles vont devoir jouer un rôle. On s attend bien sûr à ce qu ils soient faibles, de l ordre de α. En suivant le même raisonnement que pour les ondes de Rossby, à savoir qu en première approximation, la géostrophie prédomine et u (g/f) η/ et v (g/f) η/. En introduisant cette approximation dans les termes perturbateurs il vient: g f 2 η t fv = g η + g f 2 η t + fu u v = g f = + g f = g η η g 2 η f 2 t η g 2 η f 2 t Finalement en introduisant les expressions de u et de v dans l équation de la continuité, on obtient une équation où la seule variable est le déplacement de la surface libre: η t R2 t 2 η + αg η f = 0 On peut noter l analogie avec l équation obtenue dans le paragraphe précédent. Ici R = gh0 /f, et la seule différence est le remplacement du terme βr 2 par αg/f. Cette équation a 98

100 des coefficients constants, et on peut chercher une solution de la forme e i(lx+my ωt). On obtient la relation de dispersion suivante: ω(l,m) = αg f l 1 + R 2 (l 2 + m 2 ) De nouveau on remarque que si α = 0, alors ω = 0 ; cette solution représente l écoulement géostrophique stationnaire dans le plan f, solution particulière des ondes de Poincaré. Comme ces ondes doivent leur existence à une pente du fond de l océan, elles sont appelées ondes topographiques. La discussion sur la direction de propagation, la vitesse de phase et la fréquence maximale possible est la même que pour les ondes planétaires. (9.9) La vitesse de phase dans la direction x, c est à dire le long des isobathes, puisqu on a pris une pente dans la direction y, est donnée par: C x = ω l = αg 1 f 1 + R 2 (l 2 + m 2 ) Elle a le signe de α/f. Ainsi les ondes topographiques se propagent, dans l hémisphère Nord (f > 0), avec les eaux moins profondes sur leur droite (vers l Est, si α > 0). La vitesse de phase des ondes topographiques varie avec le nombre d onde. Elles sont donc dispersives. La vitesse maximale possible (l 2 + m 2 0) est C = αg f Comme pour les ondes topographiques, les lignes de fréquence constante dans le plan (l,m) des nombres d ondes sont des cercles définis par: ( Rl αg ) 2 ( ) 2 αg + (Rm) 2 = 1 2fωR 2fωR Il existe donc une fréquence maximale au delà de laquelle les ondes topographiques ne peuvent pas être générées: ω max = αg 2fR Un forçage à plus haute fréquence génèrera une onde incapable de se propager, ou une onde plus haute fréquence du type inertie-gravité. De telles ondes sont rares, car à moins que la pente du fond ne soit très faible, la fréquence maximale approche ou excède la fréquence d inertie f et la théorie devient inappliquable car elle ne respecte pas les hypothèses faites au départ (faible nombre de Rossby). Comme exemple, considérons la côte Ouest de la Floride, qui est à l Est du Golfe du mexique. Là, la profondeur de l océan augmente lentement vers le large de 200m sur 200km (α 0 = 10 3 ), et la latitude de 27 o N donne f = s 1. En prenant un profondeur moyenne de H 0 = 100m, on obtient R = 475km et ω max = s 1. Cette fréquence maximale, correspondant à une période minimale de 11h, est plus grande que f. Elle viole l hypothèse de mouvements subinertiels, et n a donc pas de sens. Cette théorie sur les ondes topographiques s applique cependant aux ondes dont la fréquence est bien inférieure à la valeur maximale ω max ; une longueur d onde de 150km le long des isobathes (l = m 1, m = 0) donne ω = s 1 (période de 4.6 jours) et une vitesse de propagation de c x = 0.38m/s. 99