Travaux dirigés de thermodynamique

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1 Travaux dirigés de thermodynamique IUT - GTE - Marseille Chapitre 2 : le gaz parfait Exercice 1 Combien y a t-il de molécules dans un volume de 1 cm 3 d un gaz parfait pris dans les conditions normales de température et de pression? Exercice 2 Pour donner un sens au nombre d Avogadro, on considère du sable fin dont chaque grain occupe un volume V 0 = 0.1 mm 3. Quel est le volume V occupé par N = grains? Si on étendait uniformément ce sable sur la France (d aire S = km 2 ), quelle serait la hauteur de la couche de sable? Exercice 3 Quelle est la masse d air contenue dans une pièce de m 3, à 20 C, sous 1 atmosphère? On rappelle que la masse molaire de l air est M = 29 g/mol. Exercice 4 Calculer le volume molaire du dioxygène (O 2 ) sachant que sa densité par rapport à l air est de 1, 1056 et que la masse volumique de l air est kg/m 3. Exercice 5 Quel est le volume occupé par : 1 mole de diazote gazeux N 2 dans les conditions normales, 1 mole de diazote liquide, 1 mole de diazote solide. La masse molaire du diazote est de 28 g/mol, sa masse volumique à l état liquide est de ρ liquide = g/cm 3 et sa masse volumique à l état solide de ρ solide = g/cm 3. L inégalité ρ solide > ρ liquide vous paraît-elle normale? Donnez un exemple de corps pur pour lequel elle soit fausse. Exercice 6 Considérons l hélium gazeux He de masse molaire M He = 4 g/mol, dans les conditions normales de température et de pression. 1. Calculer la masse volumique de l hélium. 2. Calculer la densité de l hélium par rapport à l air sachant que la masse d un litre d air dans les conditions normales est de kg. 3. Calculer le volume occupé par un atome d hélium ; quelle est la dimension caractéristique d un atome d hélium? 4. Quel est le volume moyen occupé par un atome d azote gazeux dans les mêmes conditions? Exercice 7 Dans un gaz diatomique à basse température, des molécules se dissocient en atomes quand on élève la température. Soit α la proportion des molécules dissociées par rapport aux molécules initiales. Établir l équation d état du mélange, en fonction de la masse molaire M du gaz non dissocié, de sa masse m et du coefficient de dissociation α. Calculer α pour le diode I 2 à 1200 C sachant que le volume d un gramme d iode sous pression normale à 1200 C est de 540 cm 3. On donne M I2 = 254 g/mol. On considère le diode (et l iode) comme étant un gaz parfait. Exercice 8 Une enceinte de volume indéformable V = 5 litres contient, à la température T = 300 K, n = 0.2 mole de diazote gazeux. Calculer l énergie cinétique moyenne de translation, le nombre de molécules de diazote, l énergie interne, la vitesse quadratique moyenne et la pression du gaz. On donne pour cela : k = J/K, R = J/K/mol et la masse molaire du diazote M N2 = 28 g/mol. 1

2 Exercice 9 La pression d un pneumatique est ajustée l hiver, pour 10 C, à 2 atm, pression relative préconisée à froid par le constructeur. Quelle pression indiquerait alors un manomètre, l été pour 30 C? Sachant que le conducteur est capable de ressentir les effets néfastes d un écart de pression de 10%, doit-il tenir compte du changement de saison pour le gonflage des pneus? On négligera les variations de volume. Attention, la pression lue sur le manomètre est ici une pression relative. Exercice 10 Calculer la masse molaire de l air. On considère que 23.2% de sa masse est constituée de dioxygène (O 2 ), que 75.4% est constituée de diazote (N 2 ) et que 1, 4% est constituée d argon (Ar). On rappelle les valeurs des masses molaires du dioxygène M O2 = 32 g/mol, du diazote M N2 = 28 g/mol et de l argon M Ar = 40 g/mol. Exercice 11 Un mélange de diazote (M N2 = 28 g/mol) et de dioxygène (M O2 = 32 g/mol) a la masse volumique 1 g/l à 100 C et 1 atm. Quelle est sa composition en fractions molaires? Exercice 12 Trois récipients contiennent respectivement du dihydrogène H 2, du dioxygène O 2 et du diazote N 2 dans les conditions suivantes : H 2 (V 1 = 2.25 l, P 1 = 250 mmhg, T 1 = 293 K), O 2 (V 2 = 5.5 l, P 2 = 250 mmhg, T 2 = 293 K) et N 2 (V 3 = 1.4 l, P 3 = 760 mmhg, T 3 = 273 K). 1. Calculer les masses de chaque gaz en les supposant parfaits. On rappelle que 1 atm correspond à 760 mmhg ou P a. 2. On mélange les gaz dans un même récipient de volume V 0 = 18.5 l à la température T 0 = 273 K. On suppose que le mélange ainsi formé est idéal. Calculer la pression totale, la fraction molaire de chaque gaz et les différentes pressions partielles. On donne M H = 1 g/mol, M O = 16 g/mol et M N = 14 g/mol. Exercice 13 Un litre de dioxygène (M O2 = 32 g/mol) à 20 C sous 3 atmosphères et 3 litres de dioxyde de carbone (M CO2 = 44 g/mol) à 50 C sous 2 atmosphères sont mélangés dans un récipient de volume 5 litres à 40 C. Calculer la pression et la masse molaire du mélange. Exercice 14 Un récipient (A) de volume V A = 1 l contient de l air à T A = 15 C sous une pression P A = 72 cmhg. Un autre récipient (B) de volume V B = 1 l contient également de l air à T B = 20 C sous une pression P B = 45 atm. On réunit (A) et (B) par un tuyau de volume négligeable et on laisse l équilibre se réaliser à T = 15 C. L air est considéré comme un gaz parfait de masse molaire M = 29 g/mol. Quelle est la pression finale de l air dans les récipients? Quelle est la masse d air qui a été transférée d un récipient à l autre? 2 Chapitre 3 : Notions de température et de pression Exercice 15 Dans l échelle Fahrenheit, la température de la glace fondante est 32 F, celle de l eau bouillante est 212 F. 1. Écrire la relation exprimant la température en Celsius en fonction des degrés Fahrenheit, sachant que cette relation est linéaire. 2. Quelle est la température repérée par le même nombre dans les échelles Fahrenheit et Celsius? 3. Calculer en Fahrenheit la température du corps humain. Qu en pensez-vous? Exercice 16 Un thermomètre différentiel est constitué de deux réservoirs reliés par un tube cylindrique horizontal de faible section s = 2 mm 2. Un index de mercure contenu dans le tube isole, dans les deux réservoirs et les portions de tube correspondantes, un même volume V 0 = 0.1 l d un gaz parfait à la température absolue T 0 = 273 K. 1. On porte le gaz de gauche tout entier à la température T = 300 K, le gaz de droite à la température T. L index de mercure se déplace d une longueur x comptée positivement vers la droite. Calculer T T en fonction de V 0, s, x, T. On négligera la dilatation de l enveloppe et on suppose que T T est petit. Quelle est la sensibilité du dispositif sachant que x est mesurable à 1 mm près? 2

3 2. En fait, seuls les réservoirs sont portés aux températures T et T. Le tube est maintenu à la température T 0. Dans l état initial, quand tout le système est à T 0, la longueur de tube occupée par le gaz est l de chaque côté de l index. Quelle est la nouvelle expression de T T, sachant que sl V 0? Quelle erreur relative commettrait-on en appliquant l expression trouvée à la question précédente pour x = 10 cm? Exercice 17 Le viaduc de Millau est construit sur 7 piles en béton armé : la plus haute mesure 245 m et la plus petite 78 m. La longueur du tablier du pont est de 2.46 km. Ces valeurs sont celles mesurées à la température de 20 C. Le béton se dilate de la même façon que l acier : mm pour une élévation de température de 1 C. Quels sont les allongements des plus haute et plus basse piles ainsi que du tablier, lorsque l air passe de 20 à 42 C? Exercice 18 On veut construire un thermomètre donnant les températures comprises entre 0 C et 200 C. On dispose d une tige creuse cylindrique de verre ayant un volume intérieur de 24 mm 3. On donne la masse volumique du mercure à 0 C : ρ 0 = kg/m 3 et le coefficient de dilatation volumique apparent du mercure κ = K Calculer le volume du réservoir à prévoir sous la tige. 2. Quelle masse de mercure faut-il utiliser? Exercice 19 On note λ pyrex = C 1 et κ pyrex les coefficients de dilatations linéaire et volumique d un tube de pyrex (de rayon R et de hauteur L). κ Hg = C 1 est le coefficient de dilatation volumique du mercure contenu dans le tube en pyrex. On supposera que le volume de mercure est identique au volume du tube qui le contient. 1. Trouver la relation entre λ pyrex et κ pyrex, en négligeant les termes en λ 2 pyrex. 2. Quelle est la valeur du coefficient de dilatation apparente κ Hg du mercure en fonction de κ Hg et de λ pyrex? Pour rappel, la dilatation apparente est la dilatation du contenu moins celle du contenant. Exercice 20 On considère une fosse océanique de profondeur H = 10 km. La pression à la surface de l eau est P 0 = 1 bar et on supposera la température uniforme et égale à T Calculer la pression P (H) au fond de la fosse en supposant l eau incompressible. On prendra ρ 0 = 10 3 kg/m On veut déterminer P (H) en tenant compte de la compressibilité de l eau. On considère que la masse volumique ρ de l eau dépend de la profondeur z (z = 0 à la surface de l eau et ρ 0 ). Montrer que le coefficient de compressibilité isotherme défini par χ T = 1 V ( V P ) T peut s écrire : χ T = 1 ρ ( ρ P ) T. En déduire dρ/dz. En déduire les expressions de ρ(z) puis de P (z). Calculer ρ(h) et P (H) avec χ T = P a 1. Exercice 21 cas suivants : Calculer la pression atmosphérique au sommet du Mont Blanc (4807 m) dans les deux 1. On suppose que la température de l atmosphère est constante et égale à T On suppose que la température varie avec l altitude suivant la loi : T = T 0 Az, avec A = K/m. On donne T 0 = 290 K, la pression P 0 = bar en z = 0, et M = 29 g/mol la masse molaire de l air. 3 Chapitre 4 : Énergie thermique Exercice 22 Une bouilloire électrique a pour puissance P = 1 kw. On y place un litre d eau à 10 C. En supposant que 80% de la chaleur émise par la résistance électrique de la bouilloire sert à chauffer l eau, en combien de temps l eau va bouillir? On donne la capacité thermique massique de l eau : c = 4185 J/kg/K. 3

4 Exercice 23 Quelle énergie faut-il fournir pour chauffer deux litres d eau, initialement à la température θ 1 = 20 C, à θ 2 = 70 C en supposant qu il n y a aucune perte d énergie? Quelle est l énergie thermique nécessaire pour que l eau s évapore complètement? Pour cela, on donne la chaleur latente de vaporisation de l eau à 100 C : L v = 2260 kj/kg. Exercice 24 Le point d ébullition du Fréon 12 (ou forane 12) est C à la pression normale et sa chaleur latente de vaporisation est L v = 165 kj/kg. La chaleur massique moyenne du Fréon 12 à l état liquide sera prise égale à c l = 900 J/(kg. C) et à l état gazeux c g = 605 J/(kg. C). Calculer la quantité de chaleur qu il faut fournir à une mole de Fréon 12 pour la porter de θ 1 = 35 C à θ 2 = 25 C. La masse molaire du Fréon 12 vaut g/mol. Exercice 25 Un volume constant V = 10 dm 3 de gaz carbonique CO 2 (considéré comme un gaz parfait), initialement à la pression atmosphérique et à la température θ 1 = 20 C, est porté à θ 2 = 100 C. 1. Quel est le nombre de moles de gaz? 2. Quelle est la quantité de chaleur reçue par le gaz? 3. Quelle est la valeur de la pression finale P 2? Exercice 26 Un volume constant V = 5 dm 3 de diazote N 2 (considéré comme un gaz parfait), initialement à la pression atmosphérique et à la température θ 1 = 20 C, est porté à θ 2 = 200 C. 1. Quel est le nombre de moles de gaz à l intérieur du volume V? 2. Quelle est la quantité de chaleur reçue par le gaz? 3. La chaleur molaire du diazote à volume constant C v varie, en fait, avec la température suivant la loi : C v = θ θ 2 (1) C v est en J/mol/ C et θ en C. Calculer la quantité de chaleur reçue par le gaz. Comparer avec le résultat de la question précédente. Exercice 27 On désire stocker de l énergie solaire disponible pendant l été pour la réutiliser pendant l hiver. On prévoit ainsi de stocker kw h sous forme thermique. 1. Pour cela, on chauffe de θ 1 = 15 C à θ 2 = 75 C l eau d un réservoir parfaitement isolé. Quel sera le volume d eau nécessaire au stockage? 2. Une deuxième méthode consiste à chauffer de θ 1 = 15 C à θ 2 = 75 C un ensemble de cailloux entassés dans le sol. On donne la masse volumique de la pierre ρ = 2.3 g/cm 3 et sa chaleur spécifique c = 920 J/(kg.K). En supposant que les cailloux n occupent que les 2/3 du volume, quel sera le volume du sol nécessaire au stockage? 3. Une troisième méthode consiste à utiliser un sel de sodium qui fond à 32 C. On va supposer que le sel reste à la température de 32 C et que l énergie qu on lui fournit ne sert qu au changement d état. Quel est alors le volume de sel nécessaire au stockage? On donne pour cela la masse volumique ρ = 1458 kg/m 3 et la chaleur latente de fusion L f = 251 kj/kg du sel. Exercice 28 Calculer l énergie thermique nécessaire à la transformation de 1 kg de glace à la température de 20 C amenée à l état de vapeur à 200 C, surchauffée enfin à 300 C à volume constant. Pour cela, on donne la chaleur massique de la glace c g = 2.1 kj/(k.kg), la chaleur massique de l eau liquide c l = 4.2 kj/(k.kg), la chaleur latente de fusion de la glace L f = 335 kj/kg, la chaleur massique de la vapeur à volume constant c v = 1.35 kj/(k.kg) et la chaleur latente de vaporisation de l eau à 200 C L v = 1960 kj/kg. 4

5 4 Chapitre 5 : Premier principe Exercice 29 On cherche à calculer la vitesse des baffes d Obélix. Si Obélix vous gifle, vous ressentez une rougeur à la joue. La température de la région touchée a varié de 1.8 K. En supposant que la masse de la main qui vous atteint est de 1.2 kg et que la masse de la peau rougie est de 150 g, estimer la vitesse de la main juste avant l impact, en prenant comme valeur de la capacité thermique massique de la peau de la joue : c joue = 3.8 kj/k/kg. Exercice 30 On considère un cylindre vertical fermé par un piston de surface S = 10 cm 2 et de masse m = 1 kg. A l extérieur du piston règne la pression atmosphérique P atm = 10 5 P a. Au départ, le piston est situé à la hauteur h = 20 cm au dessus du fond du cylindre. 1. On enfonce le piston de l = 10 cm. Quel est le travail W fourni au gaz situé à l intérieur du cylindre par l environnement atmosphérique extérieur, sachant que la température est maintenue constante? 2. Au fond du cylindre est placée une résistance électrique de valeur R = 10 Ω. Le piston reste maintenu à la position qu il a après le déplacement. On fait circuler dans la résistance un courant d intensité I = 0.5 A pendant t = 120 s. Le cylindre étant parfaitement calorifugé, quelle a été la variation d énergie interne U du gaz? Exercice 31 Une masse m = 1 kg d eau passe de l état solide à l état liquide à la pression P = 1 atm. La masse volumique de la glace est ρ gl = 0.92 g/cm 3 et la chaleur latente de fusion est L f = 80 cal/g. Quelle est la variation d énergie interne U lors du changement d état? On calculera également le travail W et la quantité de chaleur échangée Q. Exercice 32 Une bille de masse m et de chaleur massique c est abandonnée sans vitesse initiale d une hauteur h au-dessus d un plan horizontal fixe. 1. La bille ne rebondit pas. On admet que toute la chaleur dissipée dans le choc est récupérée par la bille. Quelle est l élévation de température θ de la bille? Pour l application numérique, on prendra h = 19.6 m, c = 0.1 cal/(g. C) et g = 9.81 m/s La bille rebondit à une hauteur h/(n + 1). Calculer l élévation de température θ de la bille après le premier puis le deuxième choc. Exercice 33 Un four électrique est chauffé par une résistance de puissance P = 2 kw. Ses pertes sont proportionnelles au temps et à la différence de température entre la température du four et la température ambiante θ a = 20 C, avec k = 30 cal/(k.mn) le coefficient de proportionnalité. Le four et le gaz qu il contient sont équivalents à une masse m de chaleur massique c. 1. Calculer la température maximale θ M que peut atteindre ce four. 2. Le chauffage étant interrompu, écrire l équation qui régit le refroidissement du four. 3. Résoudre cette équation et tracer la courbe, le temps t = 0 correspond à la température θ M. Exercice 34 On considère une maison dont on veut maintenir la température intérieure à θ i = 20 C, la température extérieure étant θ e = 7 C. La maison prise dans son ensemble a une capacité calorifique C = J/ C. Cette maison est chauffée par un dispositif fournissant une puissance constante P. La maison bien qu isolée, perd une partie de cette puissance. La puissance perdue est proportionnelle à l écart de température θ i θ e et le coefficient de proportionnalité (ou coefficient de pertes) est k = 240 W/ C. 1. Calculer la puissance de chauffe P nécessaire pour que la température de la maison à l équilibre soit θ i = 20 C. 2. Déterminer l évolution de la température intérieure lorsque, la maison étant initialement à θ e = 7 C, elle est chauffée grâce à l apport de la puissance P. 3. Tracer la courbe d évolution de la température intérieure θ i. 4. Au bout de combien de temps aura-t-on obtenu une température intérieure de 18 C? On notera ce temps t c. 5

6 5. Calculer l énergie nécessaire pour atteindre cette température (en J et en kwh). 6. Cette maison est chauffée par un radiateur dans lequel circule de l eau chaude. Sachant que l eau entre dans le radiateur à 65 C et en ressort à 50 C, quel doit être le débit d eau pour que le radiateur fournisse la puissance P? Exercice 35 Un cylindre horizontal est divisé en deux compartiments A et B de même volume V 0 par un piston coulissant sans frottement (Fig.1). Ils contiennent chacun une mole de gaz parfait monoatomique à la température T 0 et à la pression P 0. Le piston et les parois du compartiment A sont parfaitement calorifugés. Celles de B permettent les transferts thermiques avec un thermostat à la température T 0. Le compartiment A est porté à la température T 1 grâce à une résistance chauffante. Fig Exprimer les volumes V A et V B et la pression dans chaque compartiment à l équilibre en fonction de T 0, T 1 et V Quelle est la variation d énergie interne du système A + B? 3. Quel est le travail transféré par A pour B? En déduire le transfert thermique Q B effectué avec le thermostat. 4. Exprimer le transfert thermique Q A fourni par la résistance chauffante. Exercice 36 On veut refroidir un bloc métallique en faisant circuler un courant d azote liquide à l intérieur de ce bloc. On admettra que l azote pénètre à l état liquide dans le bloc en A et s y vaporise sous pression normale avant de ressortir en B. Le bloc est supposé parfaitement isolé thermiquement. Sa masse est M = 5 kg. Il est initialement à θ 1 = 15 C. Sa chaleur massique est constante : c = 0.08 cal/(g. C). 1. On suppose que l azote qui entre sous forme liquide à θ 0 = 195 C sort en B sous forme entièrement gazeuse à la température θ 1 d ébullition de l azote liquide. Quelle masse m d azote faut-il consommer pour amener le bloc à la température θ 0? On connaît la chaleur latente de vaporisation de l azote à la température θ 1 : L v = 47.6 cal/g. 2. On suppose maintenant que le courant d azote est suffisamment lent pour que l azote, après s être vaporisé, sorte à chaque instant à la température θ du bloc. On admettra que la chaleur massique moyenne de l azote sous pression normale est constante et égale à c P = 0.25 cal/(g. C). Donner la relation liant la masse d azote dm, dθ et θ sous la forme : dm = A dθ αθ + β On identifiera A, α et β. Déterminer ensuite la masse m d azote nécessaire pour porter la température du bloc de métal de θ 1 à θ 0. Exercice 37 On considère un échangeur eau-vapeur destiné à fournir l eau chaude nécessaire au chauffage d un groupe d appartements. L échange de chaleur entre l eau et la vapeur d eau est supposé parfait. Le débit massique de l eau est q m = 100 kg/mn. Les températures d entrée et de sortie sont : pour l eau θ 1e = 20 C, θ 2e = 90 C et pour la vapeur θ 1v = 160 C, θ 2v = 120 C. Déterminer le débit (2) 6

7 massique de vapeur sachant que la chaleur massique de la vapeur est égale à c v = 0.47 cal/(g. C) et que celle de l eau liquide vaut c e = 1 cal/(g. C). Exercice 38 Une turbine à vapeur est un système qui convertit l enthalpie d un fluide en travail. De la vapeur d eau dont le débit est q m = 320 kg/h pénètre dans la turbine à la vitesse v 1 = 90 m/s, son enthalpie massique est h 1 = 641 kj/kg. Elle ressort à la vitesse v 2 = 120 m/s. Son enthalpie est alors h 2 = kj/kg. L entrée de la turbine est située 2 mètres au-dessus de la sortie et la puissance thermique cédée à l environnement par kilogramme de vapeur est P 12 = 175 W. Déterminer la puissance mécanique développée par la turbine lorsqu elle est traversée par un kilogramme de fluide. Comparer les différentes puissances entre elles. Exercice 39 Une masse d air assimilé à un gaz parfait arrive à l entrée d une tuyère avec une température T 0 = 293 K et une vitesse d ensemble v. La tuyère la conduit dans un très grand réservoir où elle se disperse et où sa température est T f = 500 K. La tuyère et le réservoir sont parfaitement calorifugés. L air sera assimilé à un gaz parfait diatomique (γ = 7/5, r = 287 J/K/kg). Calculer la vitesse v de l air à l entrée de la tuyère. 5 Chapitre 6 : Relations calorimétriques Exercice 40 Un calorimètre de capacité calorifique C cal = 209 J/K contient une masse d eau m = 300 g à la température θ = 18 C en équilibre thermique avec le vase intérieur. On introduit alors les masses m Cu = 50 g de cuivre à θ Cu = 30 C, m P b = 30 g de plomb à θ P b = 80 C et m F e = 80 g de fer à θ F e = 50 C. On donne les capacités thermiques massiques : c P b = J/K/kg, c F e = 452 J/K/kg, c Cu = 385 J/K/kg et c eau = 4185 J/K/kg. Quelle est la température finale θ f d équilibre en degrés Kelvin? On négligera les pertes thermiques. Exercice 41 On veut remplir une baignoire de 100 litres d eau à 32 C. On dispose pour cela de deux sources, l une d eau froide à 18 C, l autre chaude à 60 C. Si on néglige la capacité thermique de la baignoire et les pertes thermiques, quel volume doit on prélever à chacune des deux sources? Exercice 42 On possède M ess = 260 g d essence que l on brûle pour échauffer M glace = 4 kg de glace initialement à 20 C sous la pression atmosphérique. Quelle est la température finale de la vapeur obtenue? On donne la chaleur latente de fusion de la glace L fusion = 352 kj/kg, le pouvoir calorifique de l essence L ess = kj/kg, la chaleur latente de vaporisation de l eau L vap = 2256 kj/kg, la capacité calorifique de la glace c glace = J/K/kg, la capacité calorifique massique de l eau c eau = J/kg/K et la capacité calorifique massique de la vapeur d eau c vap = 2020 J/kg/K. Exercice 43 Un calorimètre de valeur en eau µ = 20 g, contient une masse de m = 200 g d eau liquide. La température initiale est θ 1 = 15 C. On introduit un bloc de glace à 0 C de masse M = 5 g. 1. Calculer la température finale θ 2 du calorimètre, sachant que la fusion de 1 g de glace nécessite L f calories (L f = 80 cal/g). 2. Combien faudrait-il rajouter de glace supplémentaire pour que le calorimètre ne contienne que de l eau à 0 C? Exercice 44 Un calorimètre de valeur en eau k = 200 g contient un mélange à 0 C de M 1 = 800 g d eau et m 1 = 300 g de glace. 1. On verse M 2 = 160 g d eau à 10 C. Quelle est la température finale du mélange et son état? 2. Même question en remplaçant M 2 par M 2 = 400 g. 3. On reprend l état initial du calorimètre (k = 200 g, M 1 = 800 g, m 1 = 300 g). On immerge un corps de masse M 3 = 1000 g porté à 100 C et dont la chaleur massique varie avec la température suivant la loi : 7

8 c 3 = θ θ 2 (3) c 3 en cal/g/ C et θ en C. Quelle est la température et quel est l état final du bain? Quelle erreur relative commet-on en ne prenant que le terme constant de c 3? Exercice 45 Un calorimètre adiabatique en laiton a une masse m laiton = 100 g. Il contient une masse m liq = 200 g d un liquide. L ensemble est à θ 1 = 20 C. On ajoute une masse m glace = 25 g de glace à 20 C. On donne la chaleur massique du laiton c laiton = 0.1 cal/(g. C), la chaleur massique du liquide c liq = 0.4 cal/(g. C), la chaleur massique de la glace c glace = 0.5 cal/(g. C) et la chaleur latente de fusion de la glace L f = 80 cal/g. 1. Décrire l état final du système. 2. On fait alors circuler de l eau dans un serpentin immergé dans le liquide avec un débit massique q = 60 g/mn. L eau entre à 80 C dans le serpentin et ressort à la température du liquide et du calorimètre. Quel est le temps au bout duquel il n y aura plus que du liquide à 0 C? 3. On continue à faire circuler de l eau dans un serpentin immergé dans les mêmes conditions qu à la question précédente. Calculer la loi de variation de la température du liquide et du calorimètre en fonction du temps. On prendra pour origine des temps (t = 0) l instant où dans le calorimètre il n y aura plus que du liquide à 0 C. 4. Quel est le temps au bout duquel la température du liquide et du calorimètre atteindra 70 C et 50.7 C? Quelle masse d eau aura circulé dans le serpentin pour obtenir 70 C? 5. On reprend le calorimètre dans les conditions initiales de la question précédente. Au lieu de faire circuler l eau dans le serpentin, on verse une masse m d eau à 80 C dans le calorimètre. Calculer la masse d eau m nécessaire pour obtenir θ e = 70 C de température d équilibre. 6 Chapitre 7 : Transformations réversibles d un gaz parfait Exercice 46 Un gramme d hélium He (supposé comme étant un gaz parfait, M He = 4 g/mol) à 20 C (état 1) est chauffé à 100 C à pression constante (état 2) puis retourne à 20 C à volume constant (état 3). 1. Représenter les transformations sur un diagramme de Clapeyron (P, V ). 2. Calculer la quantité de chaleur absorbée par l hélium durant ce processus. 3. Calculer la quantité de chaleur produite lors du passage direct de l état 1 à l état 3. Exercice 47 Une mole de gaz parfait monoatomique passe de l état 1 à l état 2 selon des transformations mécaniquement réversibles en empruntant le chemin (a) ou le chemin (b) (voir figure 2). Pour chaque chemin, exprimer la variation d énergie interne U, le travail transféré W et le transfert thermique Q. Le gaz effectue la transformation cyclique A-t-on un moteur ou un récepteur? Faire le cas 1 : a puis b et le cas 2 : b puis a. Exercice 48 Un gramme d air (gaz parfait diatomique de masse molaire M = 29 g/mol) pris à 50 C et sous la pression atmosphérique normale subit les transformations suivantes : chauffage à volume constant jusqu à une pression double de la pression initiale, détente adiabatique réversible de façon à revenir à la température initiale, compression isotherme réversible de façon à revenir à la pression initiale. Après avoir représenté les transformations sur un diagramme de Clapeyron (P, V ), calculer le travail relatif à chaque transformation. En déduire le travail total pour le cycle. Exercice 49 Une masse d air considéré comme un gaz parfait diatomique subit une compression isotherme qui la fait passer de l état A (P 0 = 1 bar, V 0 = 1 litre, T 0 = 300 K) à l état B (P B = 100 bars, V B, T B = 300 K). Cet air est ensuite détendu adiabatiquement jusqu au point C (P 0 = 1 bar, V C, T 1 ). 1. Tracer les transformations subies par l air dans un diagramme de Clapeyron (P, V ). 8

9 Fig Calculer les volumes V B, V C et la température T Calculer la masse d air m sachant que la masse volumique normale est ρ n = kg/m Quelle quantité de chaleur Q AB est échangée avec l air pendant cette compression? Cette chaleur est-elle fournie ou reçue par l air? 5. Calculer le travail de la détente BC. 6. Calculer la chaleur massique c p, sachant que r = 287 J/kg/K. Calculer la variation d enthalpie H C H A. 7. Calculer la variation d énergie interne U C U A. Exercice 50 Un gaz parfait monoatomique subit une compression isotherme qui le fait passer de la pression P 0 = 1 atm jusqu à la pression P 1 = 100 atm. Il est ensuite détendu adiabatiquement jusqu à la pression atmosphérique. 1. Calculer la température finale T 1 après cette double transformation en fonction de la température initiale T 0 = 300 K. 2. On recommence la même suite de deux opérations à partir de la température T 1 (compression isotherme jusqu à la pression 100 atm et ensuite détente adiabatique jusqu à la pression atmosphérique). Calculer numériquement la nouvelle température T Trouver la formule générale permettant d exprimer la température T n atteinte après n doubles opérations successives, chacune de ces opérations étant, à partir de la température T n 1 précédemment atteinte, la suite d une compression isotherme de 1 à 100 atmosphères. Calculer T n pour n = 3, 10, Quelles sont les variations d énergie interne U et d enthalpie H d une mole de gaz au cours de la première, de la deuxième, puis de la nième compression isotherme puis au cours de la première, de la deuxième, puis de la nième détente adiabatique? 5. Quelle est la quantité de chaleur Q cédée au milieu extérieur par mole de gaz au cours de la 1ère et 2ème compression isotherme? Quel est le travail fourni au gaz par mole au cours des mêmes transformations? 6. Quel est le travail effectué par le gaz au cours de la première, de la deuxième, puis de la nième détente adiabatique? Exercice 51 Un cylindre est divisé en deux compartiments 1 et 2 par un piston P qui peut se déplacer sans frottements. Chacun des compartiments contient initialement un volume V 0 = 20 litres de dioxygène à la température θ 0 = 27 C sous la pression P 0 = 1 atm. Dans le compartiment 1, une résistance de capacité calorifique négligeable est parcourue par un courant électrique et chauffe le gaz 1 jusqu à ce que les caractéristiques du gaz 2 soient θ 2 = 140 C et P 2 = 3 atm. Les parois du cylindre et le piston sont supposés adiabatiques. 9

10 1. Quelle est la masse de dioxygène contenue dans chaque compartiment? La masse molaire du dioxygène est 32 g/mol. 2. Calculer le volume final V 2 du gaz en 2, ainsi que V 1 celui du gaz en Quelle est la pression d équilibre P 1 du gaz 1 dans le compartiment? En déduire sa température θ Donner la relation générale qui relie la température à la pression dans la transformation adiabatique subie par le gaz 2. En déduire que θ 2 /θ 0 s exprime en fonction de P 2 /P 0 et de γ. Calculer numériquement γ. 5. Calculer le travail reçu par le gaz 2 et sa variation d énergie interne. 6. Calculer la variation d énergie interne du gaz En déduire l énergie fournie par le courant électrique. Exercice 52 Les gaz d échappement d une fusée ont une vitesse v en sortie de la tuyère. La pression en sortie de tuyère est la pression atmosphérique fixée à P atm = 1 bar. Dans la chambre de combustion, les caractéristiques des gaz sont P 0 = 3 bar, T 0, v 0 = 0.1 m/s et V 0 = m 3 /kg (volume par unité de masse). Ces gaz se détendent adiabatiquement dans la tuyère. Chercher la loi donnant la vitesse v en fonction de P 0, v 0, V 0 et P atm. Faire l application numérique pour un gaz parfait diatomique. 10

11 7 Exercices bonus sur le Chapitre 2 le gaz parfait Exercice 1b Quel est le nombre de molécules d un kilogramme d un gaz parfait de masse molaire 32 g/mol, dans les conditions normales? Quelle est la pression de ces particules de gaz, s il occupe un volume de 1 m 3 et si on connaît l énergie cinétique de translation E t = J? Exercice 2b On considère qu un vide poussé correspond à atmosphère. Pour une température de 20 C, combien y-a-t-il alors de molécules de gaz par cm 3? Exercice 3b Pour θ [0 40] C, le volume massique u = 1/ρ de l eau sous la pression normale est donné, en cm 3 par kg, par la formule empirique : u(θ) = θ θ θ 3 (4) 1. Calculer la température à laquelle l eau présente un maximum de densité. 2. Si le volume initial est de 1 m 3 sous pression normale à 10 C, quel est le nouveau volume sous transformation isobare à 38 C? Exercice 4b Calculer la masse volumique de la vapeur d eau à sa température d ébullition normale (100 C, sous 1 atm) en assimilant la vapeur d eau à un gaz parfait. On donne M H2O = 18 g/mol. Exercice 5b 5 litres d air (gaz parfait de masse molaire 29 g/mol) sont enfermés sous la pression de Pa dans un récipient indilatable à la température de 20 C. Ce récipient muni d une soupape qui maintient la pression constante à la valeur donnée ci-dessus est chauffé à 50 C. Quelle est la masse d air qui s échappe de la soupape? Exercice 6b Un réservoir de 0.3 m 3 contient du diazote gazeux à une pression de 7.6 torr (ou 7.6 mmhg) et une température de 27 C. Calculer la masse de diazote contenue dans le réservoir. On rappelle que la masse molaire du diazote est de M N2 = 28 g/mol. Exercice 7b Quel est le volume V 0 occupé par 1 g de dibrome Br 2 à θ 0 = 600 C sous la pression normale, en assimilant la vapeur de dibrome à un gaz parfait? On donne la masse molaire du brome M Br = 80 g/mol. À cette température, on peut négliger la dissociation du dibrome. Que deviendrait ce volume (soit V 1 ) à θ 1 = 1600 C, toujours sous la pression normale, en supposant que l on puisse négliger la dissociation? L expérience montre que ce volume est en fait V 1 = litre. Montrer que ce résultat peut s expliquer en admettant qu une partie des molécules de Br 2 s est dissociée en atomes de brome Br. Calculer le coefficient de dissociation (i.e. la proportion des molécules dissociées). Exercice 8b Calculer la masse volumique et la masse molaire d un alliage de laiton. L alliage est composé de 60% de cuivre et de 40% de zinc. Pour le cuivre Cu, la fraction massique vaut donc x Cu = 60%, sa masse volumique ρ Cu = 8.94 g/cm 3 et sa masse molaire M Cu = 63.5 g/mol. Pour le zinc Zn, on a : x Zn = 40%, ρ Zn = 7.14 g/cm 3 et M Zn = 65.3 g/mol. Exercice 9b Calculer le nombre de molécules par cm 3 dans un gaz parfait à 27 C sous une pression de 10 6 atmosphère. Calculer le volume occupé par une mole d un gaz parfait à la température de 0 C sous la pression atmosphérique normale. Exercice 10b Un cylindre vertical, fermé aux deux bouts, est séparé en deux compartiments égaux par un piston coulissant sans frottement, de forme cylindrique, homogène. La masse de ce piston par unité de surface est σ = m/s = 136 g/cm 2. Les deux compartiments, de hauteur h 0 = 0.5 m, contiennent un gaz parfait à T 0 = 0 C. La pression qui règne dans le compartiment inférieur est P 0 = 100 cmhg. On chauffe le système à T 1 = 100 C. Quel est le déplacement du piston? On prendra g = 9.81 m/s 2. 11

12 Exercice 11b Pour gonfler un ballon de volume invariable V au moyen d air (assimilé à un gaz parfait de température constante dans tout le problème et égale à T ), on utilise une pompe à vélo, constituée d une chambre dont le volume peut varier entre V min et V max selon la position du piston. Avant le premier coup de pompe, la pression dans le corps de la pompe augmente au fur et à mesure que le volume diminue. Lorsque la pression dans la pompe devient supérieure à celle qui règne à ce moment dans le ballon, la soupape s ouvre et l équilibre s établit. On continue à pomper jusqu à amener le volume de la pompe à sa valeur V min (Fig.3b). Dès qu on retire sur le piston, la soupape se ferme. Fig Déterminer la pression P n après le n-ième coup de pompe. Trouver la limite de P n lorsque n tend vers l infini. Commenter la valeur trouvée. 2. Proposer une amélioration qualitative du modèle précédent. Exercice 12b 1. Une mole de gaz de Van der Walls a pour équation d état : (P + a )(V b) = RT (5) V 2 Exprimer P en fonction de T et V et calculer les dérivées partielles ( P/ V ) T et ( 2 P/ V 2 ) T. 2. Montrer qu il existe un unique état C tel que : ( P/ V ) T = 0 et ( 2 P/ V 2 ) T = 0. Déterminer son volume molaire V C, sa température T C et sa pression P C. 3. On pose θ = T/T C, ν = V/V C et ϖ = P/P C. Montrer que l équation d état liant θ, ν et ϖ ne fait plus intervenir aucune constante dépendant du gaz. 12

13 8 Exercices bonus sur le Chapitre 3 Notions de température et de pression Exercice 13b Un solide de volume 12 cm 3 à 0 C et de coefficient linéique moyen de dilatation ( C) 1 est complètement immergé dans un liquide contenu dans un récipient gradué (graduations exactes à 0 C). Le coefficient absolu du liquide est ( C) 1 et le coefficient linéique du récipient est ( C) 1. À 0 C, le niveau d affleurement du liquide est cm 3. À quelle graduation correspond le sommet du liquide à 50 C? Exercice 14b On considère le dispositif de la figure 4, rempli partiellement de mercure (ρ Hg = 13.6 g/cm 3 ) et dont chacune des deux branches contient une même quantité de gaz parfait à la température T 0 = 293 K, sous la pression P 0 = bar. La hauteur commune aux deux colonnes de gaz est h = 40 cm et la section des deux récipients est S. On chauffe au moyen de la résistance le gaz contenu dans l une des deux branches jusqu à la température T 1. À l équilibre, la dénivellation entre les deux surfaces libres du mercure est d = 10 cm. Calculer T 1. Fig. 4 Exercice 15b Un baromètre est constitué par une colonne de mercure. Une règle en laiton placée parallélement à la colonne permet de mesurer la hauteur de mercure au-dessus de la cuve. Cette règle a été graduée à 0 C. À la température ambiante θ = 25 C, on mesure une hauteur de mercure L = 756 mm correspondant à la pression atmosphérique. 1. Compte tenu de la dilatation de la règle, calculer la hauteur réelle L de mercure à la température θ. On appellera λ laiton = C 1 le coefficient de dilatation linéaire du laiton. 2. Quelle est la hauteur L de mercure à 0 C, équivalent à cette pression atmosphérique, sachant que la dilatation volumique du mercure est κ Hg = C 1? Exercice 16b Une mole d eau liquide est caractérisée dans un certain domaine de températures et de pressions autour de l état 0 (P 0 = 1 bar, T 0 = 293 K, V 0 = 10 3 m 3 ), par un coefficient de dilatation isobare α = K 1 et par un coefficient de compressibilité isotherme χ T = P a 1 constants. Établir que l équation d état liant V, P et T de l eau est : ln V V 0 = α(t T 0 ) χ T (P P 0 ) (6) Calculer son volume molaire sous P = 1000 bars et à T = 293 K. Une mole d eau liquide est enfermée dans une bouteille métallique de volume V 0 constant. Par suite d un incendie, la température passe de T 0 = 293 K à T = 586 K. Calculer la pression P dans le récipient. Reprendre le calcul pour un gaz parfait. Réponse question 2 : V = m 3 soit V V 0 = 5% Réponse question 3 : P = P 0 + α(t T 0) χ T = bar. Cette pression est très élevée et la bouteille risque d exploser. 13

14 Exercice 17b Montrer que, pour les gaz parfaits, le coefficient de dilatation volumique à pression constante κ est égal à 1/T. Montrer ensuite que le coefficient de compression à volume constant α vaut également 1/T. Exercice 18b Un tube cylindrique retourné sur la cuve de mercure contient dans sa partie supérieure un gaz parfait. La hauteur de la colonne gazeuse est h 1 = 10 cm, celle de la colonne de mercure h 1 = 60 cm. On enfonce le tube de d = 20 cm, la température restant constante. La nouvelle hauteur de la colonne de mercure est h 2 = 45 cm. Calculer h 2 et la pression atmosphérique. On donne la masse volumique du mercure : ρ Hg = kg/m 3. Exercice 19b L atmosphère est assimilée à un gaz parfait diatomique de masse molaire M = 29 g/mol. Elle est à l équilibre dans le champ de pesanteur uniforme (g = 9.81 m/s 2 ). À l altitude z = 0, sa pression est P 0 = 1 atm, sa température T 0 = 293 K et sa masse volumique ρ 0. On suppose que la température évolue avec l altitude z selon T = T 0 (1 z/h), pour z en km inférieur à 10 km et H = 44 km. 1. Établir l expression de P en fonction de z, P 0, H et q = MgH/(RT 0 ). Faire l application numérique à 5 km. 2. Établir l expression de la masse volumique ρ(z) en fonction de z, ρ 0, H et q. Exercice 20b Une atmosphère est constituée par un gaz parfait de masse molaire M = 29 g/mol et de coefficient γ = 1.4. La pression et la température à l altitude 0 sont P 0 = 1 atm et T 0 = 290 K. On donne g = 9.8 m/s L atmosphère est isotherme. Déterminer la pression P en fonction de l altitude. Pour quelle altitude, la pression est-elle P 0 /2? 2. La pression P et la masse volumique ρ varient selon la loi : P = kρ n, où k et n sont des constantes avec n > 0 et n 1. Déterminer P en fonction de l altitude. Calculer la hauteur de l atmosphère. Faire l application numérique pour une atmosphère adiabatique (n = γ). Calculer alors la différence de température entre Jérusalem (altitude +750 m) et la mer Morte (altitude 400 m). Montrer que la différence de température entre deux points ne dépend que de la différence d altitude. 3. Un petit volume d air peut s élever ou descendre dans l atmosphère en subissant une transformation adiabatique. Montrer que l équilibre de l atmosphère n est stable que si n < γ. Exercice 21b La dilatation du mercure suit la loi suivante, V étant le volume du mercure et V 0 sa valeur à 0 1 dv C : V 0 dθ = C 1. On utilise un thermomètre entre 0 et 100 C dont le tube de verre présente un diamètre de 0.1 mm et dont la hauteur fait 20 cm entre les deux températures indiquées ci-dessus. 1. Quel doit être le rayon intérieur du réservoir sphérique contenant le mercure placé juste en dessous de la graduation 0 C? 2. Sachant que la densité du mercure (par rapport à l eau) est de 13.6 à 0 C, calculer la masse de mercure que renferme le thermomètre ainsi que sa densité à 100 C. Exercice 22b On note ρ 0 et ρ les masses volumiques d un corps solide à 0 C et θ, et κ son coefficient de dilatation volumique. Sachant que la masse d un corps ne varie pas avec la température, déterminer la variation relative de ρ avec la température. Faire une application numérique pour θ = 100 C, κ = C 1 et ρ 0 = 710 kg/m 3. Exercice 23b Un tube cylindrique fermé à la partie supérieure est retourné sur une cuve à mercure de grande surface par rapport à la section du tube. Quand la hauteur de la chambre barométrique est de 5 cm, le mercure monte à 75 cm au-dessus de la surface en contact avec l atmosphère. Quand elle est de 10 cm, il monte à 75.5 cm, la température restant la même (0 C) et P atm = 1 atm. Montrer qu on peut expliquer ce résultat par la présence d un gaz dans la chambre barométrique. Calculer l incertitude sur la pression atmosphérique si toutes les valeurs précédentes sont connues à 0.25 mm près. 14

15 Exercice 24b L air est assimilé à un gaz de masse molaire M suivant une relation de la forme : P (z)/ρ(z) k = Cte, appelée relation polytropique d indice k 1. Au niveau du sol en z = 0, on note la pression P 0, la température T 0 et la masse volumique ρ 0. Établir que P (z) est donnée par la relation suivante : k k 1 (P 1 1/k P 1 1/k 0 ) = ρ 0gz P 1/k (7) En déduire T (z) et montrer que dt/dz est une constante. Calculer k pour dt/dz = K/m. 9 Exercices bonus sur le Chapitre 4 Énergie thermique Exercice 25b Dans un moteur, l air considéré comme un gaz parfait diatomique est chauffé à pression constante de θ 1 = 200 C à θ 2 = 500 C. Calculer la quantité de chaleur ainsi reçue par une masse d air m égale à 20 g. On rappelle que la masse molaire de l air vaut 29 g/mol. Exercice 26b Un tube en U comporte deux branches verticales de même section 20 cm 2 fermées au même niveau à la partie supérieure. Du mercure isole dans chacune des branches de l air qu on assimilera à un gaz parfait (γ = 7/5). La pression initiale 76 cm de mercure et la température initiale 0 C sont les mêmes de chaque côté. La hauteur de gaz est de 100 cm dans chaque branche. 1. On chauffe lentement le gaz de droite, en maintenant constante la température du gaz de gauche, jusqu à ce que la différence des niveaux du mercure devienne 20 cm. Quelle est la température finale du gaz de droite? 2. On recommence l opération, le gaz de gauche étant isolé thermiquement du milieu extérieur. Quelles sont les températures des deux gaz quand la dénivellation du mercure est de 20 cm? 3. Calculer la quantité de chaleur qu il a fallu fournir au gaz de droite pendant chacune des deux transformations. Exercice 27b Un récipient de volume V = 1 litre contient un mélange en équilibre sous la pression atmosphérique normale d eau liquide et de vapeur d eau. Le volume de l eau liquide est 50 cm 3. On donne les volumes spécifiques du liquide υ l = m 3 /kg, de la vapeur υ v = m 3 /kg et la chaleur latente de vaporisation L v = 2090 kj/kg. Montrer que L v peut être considérée comme constante (indépendante de la température) pendant la vaporisation. En déduire la quantité de chaleur à fournir à l eau liquide pour la vaporiser entièrement. Exercice 28b On porte la température d un bloc d aluminium, de masse m = 100 g, de la valeur initiale θ i = 20 C à la valeur finale θ f = 220 C. 1. La chaleur massique de l aluminium est prise égale à c = cal/(g. C). Calculer la quantité de chaleur absorbée par le bloc. 2. La chaleur massique varie en fait avec la température suivant la loi : c = a + bθ avec a = cal/(g. C) et b = cal/(g. C 2 ). Calculer la quantité de chaleur absorbée entre θ i et θ f. Comparer avec le résultat de la question précédente. 10 Exercices bonus sur le Chapitre 5 Premier principe Exercice 29b Une balle de plomb de masse m = 2 g animée d une vitesse horizontale v = 200 m/s vient s incruster dans un bloc de bois de masse M = 2 kg initialement immobile. Calculer l élévation de température de la balle en supposant que toute la chaleur libérée est reçue par la balle. On donne la chaleur massique du plomb c P b = 0.03 cal/(g. C). 15

16 Exercice 30b Un cylindre non dilatable et indéformable, fermé par un piston de masse négligeable et mobile sans frottement, renferme 0.1 m 3 d un gaz parfait (M = 44 g/mol, c v = 0.71 J/g/K) à la température de 27 C et à la pression de 10 5 Pa. Il est placé dans une atmosphère où la pression est constante et fixée à 10 5 Pa. 1. Calculer le travail effectif qu il faut fournir au piston pour exécuter une compression isotherme réduisant le volume à 0.01 m Quelle est la quantité de chaleur échangée par le gaz avec le milieu extérieur pendant cette compression? 3. La compression n ayant pas été isotherme, on constate que la température finale du gaz à la fin de l opération est de 50 C. Sachant que la quantité de chaleur reçue par le milieu extérieur a été de 22 kj, calculer le travail effectif qu il a fallu fournir au piston. Exercice 31b On considère une maison dont la température intérieure est notée θ int, la température extérieure θ e = 10 C est supposée constante. Cette maison est chauffée par un dispositif fournissant une puissance constante P = 6000 Watts. La maison bien qu isolée perd une partie de cette puissance. La puissance perdue est proportionnelle à θ int θ e avec un coefficient de proportionnalité k à déterminer. 1. Calculer k (W/ C) sachant que la température maximale intérieure est θ max = 20 C. 2. Déterminer la capacité calorifique C (J/ C) de la maison, sachant que la maison, initialement à 10 C, atteint au bout de 7 heures, la température de θ int = 18 C, par l apport de la puissance de chauffage. Pour cela, écrire l équation d évolution de θ int en fonction du temps. Intégrer cette équation entre un temps initial t = 0 pour lequel θ int = θ e et un temps final t = t 1 pour lequel θ int = 18 C. En déduire la valeur de la capacité calorifique C. 3. On coupe le chauffage (P = 0 kw) alors que θ int = 18 C. Écrire la nouvelle équation d évolution de θ int au cours du temps. Intégrer cette équation entre un temps initial t = t 1 pour lequel θ int = 18 C et un temps final t 2. Quelle est la température de la maison au bout de t = t 2 t 1 = 7 heures? Exercice 32b Une perceuse dépense P = 200 W pendant t = 120 s pour faire un trou dans un bloc de cuivre Cu de masse m = 1 kg. 75% de la chaleur libérée est absorbée par le cuivre. Quelle est l élévation de température θ du bloc de cuivre? On donne la chaleur spécifique du cuivre c Cu = 0.09 cal/(g. C). Exercice 33b Une voiture de masse M = 1000 kg roule à la vitesse v = 100 km/h sur une surface horizontale. Le conducteur freine jusqu à l arrêt complet. 1. En supposant que les frottements avec l air sont négligeables, quelle quantité de chaleur doit-on évacuer au niveau des freins et des pneus? 2. Les plaquettes de frein s échauffent de θ 1 = 20 C et les disques de freins de θ 2 = 30 C. Quelles quantités de chaleur ont reçu les disques et les plaquettes? Les 4 disques de frein sont en fonte (chaleur massique c = 0.5 J/g/K, masse volumique ρ = 7.8 g/cm 3 ), ont un diamètre d de 27.3 cm et une épaisseur e = 1.3 cm. Les 8 plaquettes de frein ont une surface S = 37 cm 2 chacune et une épaisseur e = 0.4 cm. Leur chaleur massique vaut c = 0.8 J/g/K et leur masse volumique ρ = 0.8 g/cm Quelle quantité de chaleur a été dissipée au niveau des pneus? Exercice 34b L air est chauffé dans un conduit par un élément électrique délivrant une puissance thermique de 15 kw. L air pénètre dans le conduit à 100 kpa et à 17 C avec un débit volumique de 150 m 3 /min. Le conduit perd 200 W de chaleur au profit du milieu extérieur. Déterminer la température de l air à la sortie du conduit. 16

17 Exercice 35b Soit un réservoir rigide que divise une paroi en deux compartiments égaux. Au départ, un des compartiments contient 5 kg d eau à 200 kpa et à 25 C, alors que l autre est sous vide. La paroi est brusquement retirée et l eau se détend dans tout le réservoir. L eau et le milieu extérieur échangent de la chaleur jusqu à ce que la température du réservoir retrouve sa valeur initiale de 25 C. Déterminer le volume du réservoir, la pression finale dans le réservoir et la chaleur échangée pendant l évolution. Exercice 36b On considère une enceinte vide parfaitement calorifugée, de volume V, reliée par un robinet (fermé dans un premier temps) à l atmosphère ambiante assimilée à un gaz parfait à la température T 0 = K et à la pression P 0 qu on suppose toujours constantes. On ouvre le robinet et dès que le remplissage est terminé, on le referme. Déterminer la température T f du gaz, lorsque, le robinet refermé, l état d équilibre est atteint. Exercice 37b Un écoulement d air à 80 kpa et à 10 C pénètre dans le diffuseur d une turbine à gaz avec une vitesse de 200 m/s. L aire d entrée du diffuseur est de 0.4 m 2. L air ressort du diffuseur avec une vitesse très petite par rapport à sa vitesse d entrée. Déterminer le débit massique d air et la température de l air à la sortie du diffuseur. Exercice 38b Un cylindre de 1 dm 2 de section est fermé par un piston situé à 50 cm du fond. Le cylindre contient de l air (gaz parfait diatomique de masse molaire M = 29 g/mol) sous une pression de 75 cm de mercure. Il est immergé dans un calorimètre contenant de l eau et 10 g de glace. On enfonce le piston de 20 cm d une façon réversible. On donne la chaleur latente de fusion de la glace : L f = 335 kj/kg. Calculer la masse de glace fondue. Exercice 39b Un récipient indéformable cylindrique fermé à ses deux extrémités est divisé en deux parties par un piston mobile sans frottement et conducteur de la chaleur. Les parois du récipient sont imperméables à la chaleur. Dans chacun des compartiments, on a disposé une certaine masse d air (gaz parfait diatomique de masse molaire M = 29 g/mol). Initialement, dans le compartiment 1 : P 1 = 2 atm, V 1 = 1 litre, T 1 = 300 K et dans le compartiment 2 : P 2 = 1 atm, V 2 = 1 litre, T 2 = 300 K. Le piston abandonné à lui-même atteint une position d équilibre. Déterminer la pression finale et la température finale du gaz. Exercice 40b Un courant d eau chaude est obtenu en injectant un flux de vapeur dans un courant d eau froide. les enthalpies de l eau et de la vapeur à l entrée sont respectivement h e = 85 kj/kg et h v = 2760 kj/kg. Le débit et l enthalpie de l eau chaude provenant du mélange par liquéfaction de la vapeur sont respectivement q ms = 100 kg/s et h s = 383 kj/kg. Déterminer les débits d entrée de vapeur q mv et d eau q me. Exercice 41b Dans une tuyère, le fluide est accéléré entre la section d entrée S 1 et la section de sortie S 2 sans échanger de chaleur avec l extérieur. Le fluide considéré est de la vapeur d eau à 30 bar. A l entrée de la tuyère, son enthalpie massique est h 1 = 2995 kj/kg et sa vitesse moyenne v 1 peut être considérée comme produisant une énergie cinétique négligeable. Sachant que la vitesse d éjection de la vapeur est v 2 = 450 m/s, quelle est l enthalpie massique de la vapeur à la sortie? 11 Exercices bonus sur le Chapitre 6 Relations calorimétriques Exercice 42b Un calorimètre a pour capacité calorifique totale C = 2140 J/ C y compris celle de l eau qui y est contenue. Sa température initiale est de 18 C. 1. On y verse à la température de 100 C, 200 g d un liquide de chaleur massique 1.76 J/g/ C. Quelle est la température d équilibre? Il n y a pas de fuite thermique. 2. On immerge dans le calorimètre un serpentin de volume intérieur négligeable et on enlève de l eau pour ramener la capacité calorifique totale du calorimètre à 2140 J/ C. On fait alors circuler dans le serpentin le liquide précédent au débit de 2 g/s. Il entre à la température de 100 C et 17

18 sort à la température du calorimètre. Déterminer la variation de température T du calorimètre en fonction du temps t, la température initiale étant de 18 C. Quelle est la température du calorimètre quand 200 g du corps l ont traversé? 3. Dans le cas de la question précédente, on suppose que le calorimètre perd par fuite thermique une quantité de chaleur proportionnelle au temps et à l écart de température avec l extérieur, soit 0.2 J/s/ C. Montrer que, lorsque le liquide parcourt le serpentin, la température du calorimètre tend vers une limite que l on calculera. La température extérieure est de 16 C. Exercice 43b Un calorimètre de capacité calorifique 420 J/ C contient un litre de solution de soude normale à la température de 15 C. On y fait couler une solution d acide sulfurique normal au débit de 5 cm 3 /s et à la température de 10 C. Le mélange est rendu constamment homogène. Établir la loi de variation de la température en fonction du temps. Quelle est la température maximale atteinte? On assimilera les solutions qui interviennent dans le problème à de l eau pure du point de vue des propriétés physiques (ρ = 1 g/cm 3, c = 4.2 J/g/ C). La chaleur de la réaction de salification est de 57.3 kj par mole d eau formée. Exercice 44b Un calorimètre de capacité calorifique totale C = 800 J/ C (y compris celle des corps qui y sont contenus) dont la température initiale est T 0 = 20 C se refroidit par fuite thermique. La puissance de fuite est proportionnelle à l écart entre la température T du calorimètre à chaque instant et la température extérieure T E = 10 C constante. Établir la loi de variation de T en fonction du temps t, de la capacité calorifique C, du coefficient de proportionnalité k de la perte de fuite et des températures T 0 et T E. Au bout d une minute, la température est de 19.5 C. Calculer le temps au bout duquel elle sera de 15 C. Exercice 45b Un calorimètre de capacité calorifique totale C = 1200 J/ C est traversé par un serpentin de très faible volume parcouru par un gaz qui entre à la température constante T 1 = 40 C et sort à la température T du calorimètre. Le débit de masse par unité de temps est n = 1 g/s et sa chaleur massique à pression constante (ce qui est le cas dans l expérience) est c p = 1.01 J/g. La température initiale du calorimètre est T 0 = 20 C. Établir la loi de variation de la température du calorimètre en fonction du temps. Au bout de combien de temps la température du calorimètre sera-t-elle de 39.9 C? Exercice 46b Calculer les coefficients α, β et χ T pour un gaz parfait. Quelle relation y a-t-il entre eux? Faire la même chose pour un gaz réel obéissant à : P V = RT + bp pour une mole. Exercice 47b Un récipient métallique de masse m = 2 kg contient m = 4 kg d eau. Le tout est initialement à θ 1 = 40 C. On plonge dans le récipient un morceau de même métal que le récipient, de masse m = 1 kg et à la température θ 2 = 84 C. La nouvelle température d équilibre de l ensemble est θ f = 44 C. Quelle est la chaleur massique c met du métal? Exercice 48b Quelle est la masse m de glace à θ 1 = 4 C qu il faut ajouter à un litre d eau, de masse m et de température θ 2 = 10 C pour le refroidir à 0 C? À l état final, le système ne comprend que de l eau. On donne la chaleur spécifique de la glace c g = 0.5 cal/(g. C) et la chaleur latente de fusion de la glace L f = 80 cal/g. Exercice 49b On possède M = 1 kg de glace à 10 C dans une enceinte calorifugée fermée dont on négligera la masse. On donne les chaleurs latentes de fusion L f = 333 kj/kg et de vaporisation L v = 2257 kj/kg, et la capacité calorifique de l eau à pression constante c = c p,glace = c p,liquide = c p,vapeur = 4185 J/kg/K, supposée constante. 1. Quelle est la chaleur totale à apporter pour changer cette glace en eau à 20 C? 2. On veut obtenir de la vapeur à 150 C. Quelle chaleur supplémentaire doit-on fournir? 3. Combien de temps cela prendrait pour réaliser les 2 transformations précédentes si on disposait d un dispositif de chauffage de 1 kw de puissance? Combien de temps aurait pris la simple transformation réalisée en 1? 18

19 4. Que peut on conclure sur la puissance des machines industrielles devant réaliser de telles transformations? Exercice 50b Soit un calorimètre de valeur en eau négligeable, contenant une masse m 1 = 100 g d eau à 10 C. On ajoute m 2 = 100 g de glace à 10 C. On donne la chaleur massique de la glace c g = 0.5 cal/(g.k) et la chaleur latente de fusion de la glace L f = 80 cal/g. 1. Décrire l état final du système, en supposant le calorimètre parfaitement adiabatique. 2. Le calorimètre n est en fait pas parfaitement isolé. Son coefficient de pertes k est de 45 calories par minute et par degré. S il reste de la glace, au bout de combien de temps toute la glace sera-t-elle fondue, si la température ambiante θ a est de 20 C? 3. Une fois toute la glace fondue, le calorimètre va se réchauffer. Ecrire l équation qui régit le réchauffement de ce calorimètre. 4. Résoudre cette équation. Exercice 51b Calculer la sensibilité en calories d un calorimètre à glace (voir Fig.5). La masse de mercure mesurée est déterminée à 0.01 g près. La chaleur massique de fusion de la glace est de 333 J/g. La densité de la glace par rapport à l eau est de 0.92 et celle du mercure est de Fig. 5 Calorimètre à glace de Bunsen 12 Exercices bonus sur le Chapitre 7 Transformations réversibles d un gaz parfait Exercice 52b L équation d état d une substance élastique est : F = KT ( L L 0 L2 0 L 2 ) (8) où F est la tension exercée sur le fil, K une constante, T la température, L la longueur du fil et L 0 la longueur du fil sous tension nulle. Calculer le travail nécessaire pour faire passer la longueur de L 0 à L 0 /2 de manière isotherme et réversible. Exercice 53b Un récipient cylindrique vertical, de section S = 100 cm 2, fermé à la partie inférieure, contient un piston horizontal de masse négligeable, mobile sans frottement. Dans l état initial, la hauteur du gaz est l = 10 cm et la température vaut 0 C. La partie du cylindre de hauteur initiale h = 10 cm située au-dessus du piston est emplie de mercure jusqu au bord supérieur. La pression atmosphérique extérieure est H = 76 cm de mercure. On chauffe lentement le gaz jusqu à ce que le mercure se soit entièrement écoulé par débordement. Calculer la température finale et la chaleur fournie au gaz (γ = 1.4). 19

20 Exercice 54b Un cylindre indéformable, d axe horizontal, fermé à ses deux extrémités, est séparé en deux parties par un piston mobile sans frottement. L une des deux parties contient un gaz parfait (γ = 4/3), l autre un ressort tel que la pression exercée sur le gaz soit proportionnelle au volume du gaz. L état initial du gaz est caractérisé par P 0 = 1 atm, V 0 = 1 l et T 0 = 293 K. On le chauffe lentement jusqu à ce son volume ait doublé. Calculer la température finale et la quantité de chaleur fournie. Exercice 55b Un cylindre horizontal fermé aux deux extrémités, de volume invariable, est séparé en deux parties par un piston mobile sans frottement. Dans l état initial, les deux compartiments contiennent des volumes égaux d un même gaz parfait. On donne la section S = 100 cm 2 du cylindre, la longueur initiale l = 20 cm de chaque compartiment, la température initiale T 0 = 273 K et la pression initiale P 0 = 1 atm des deux gaz dont γ = 1.4. On fournit de la chaleur au gaz de droite tandis que la transformation du gaz de gauche est adiabatique. 1. Calculer les températures des deux gaz quand le piston s est déplacé d une longueur h = 5 cm. 2. Quelle est la quantité de chaleur fournie au gaz de droite? Exercice 56b Du phosphore liquide est placé dans un récipient ouvert à l atmosphère. On abaisse progressivement sa température jusqu en dessous de la température normale de solidification, sans provoquer d apparition du solide (liquide surfondu). Calculer la chaleur latente massique de fusion du phospore à la température T du phosphore surfondu. On donne la température normale de fusion 44 C, la chaleur massique du phosphore liquide 1.05 J/g/ C, celle du phosphore solide 0.84 J/g/ C et la chaleur latente de fusion à 44 C 18.4 J/g. En dessous de quelle température faut-il amener le liquide surfondu pour qu en provoquant la solidification, la masse entière du liquide se prenne à l état solide? Exercice 57b On appelle transformation polytropique une transformation réversible au cours de laquelle les transferts de travail et thermique vérifient : δw = kδq, où k est une constante. On étudie de telles transformations pour un gaz parfait à γ = Cte. 1. Établir la relation liant P et V le long de cette transformation, sous la forme P V n = Cte. Déterminer les différents cas particuliers. 2. L air de l atmosphère est en équilibre polytropique. En déduire la loi de variation de la température avec l altitude. On considèrera n 1 et on notera g = 9.8 m/s 2 l accélération de la pesanteur. 3. Évaluer la hauteur totale de l atmosphère pour n = 1.2, l atmosphère étant de l air (masse molaire M = 29 g/mol) de température au sol 0 C. Exercice 58b Une masse d air (considéré comme un gaz parfait diatomique) occupe un volume V 0 = 100 litres à la pression atmosphérique P 0 = 1 atm et à la température ambiante θ 0 = 15 C. On la comprime par une opération réversible jusqu à la pression P 1 = 10 atm. 1. En supposant que la température du gaz soit, pendant cette compression, maintenue constante, calculer le travail qu il faut dépenser pour effectuer cette compression. 2. En supposant que la compression soit faite d une manière adiabatique, calculer le volume final et la température finale du gaz. Calculer le travail qu il faut dépenser pour effectuer la compression. Montrer que ce travail s exprime très simplement en fonction de la température initiale et de la température finale du gaz, et retrouver ce résultat directement par la prise en compte de l énergie interne. Exercice 59b Calculer la chaleur nécessaire pour chauffer de 0 à 20 C de l air (γ = 7/5) dont le volume initial est de 50 m 3 et la pression initiale de 1 atm dans les conditions suivantes : 1. le volume reste constant ; 2. la pression reste constante ; 3. l air, chauffé lentement, est celui contenu dans une pièce de volume constant qui communique par une petite ouverture avec l atmosphère extérieure à P = 1 atm. 20

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