Arbres. Stéphane Grandcolas. Arbres Stéphane Grandcolas p. 1/38

Transcription

1 Arbres Stéphane Grandcolas p. 1/38 Arbres Stéphane Grandcolas

2 Arbres Stéphane Grandcolas p. 2/38 Arbres Un arbre syntaxique représentant une expression arithmétique x + / t 75 z y 2 (y/2 t) (75 + z)

3 Arbres Stéphane Grandcolas p. 3/38 Arbres Un arbre syntaxique représentant l analyse d une phrase phrase groupe nominal groupe verbal article nom commun verbe complément le chat lit article nom commun le livre

4 Arbres Stéphane Grandcolas p. 4/38 Arbres Un arbre généalogique descendant Georges Ginette Paul Lilly Tom Victor Naomi Mattéo Lucie Théo Mélanie Léon

5 Arbres Stéphane Grandcolas p. 5/38 Arbres Un arbre lexicographique, ou arbre en parties communes, ou dictionnaire. m a i i l e t c n e e p i l e s o t r e main male mie mite pic pile pis port porte

6 Arbres Stéphane Grandcolas p. 6/38 Arbres : définition 1 Un arbre est un ensemble organisé de noeuds : chaque noeud a un père et un seul, un seul noeud la racine n a pas de père. Les fils d un noeud p sont les noeuds dont le père est p Les feuilles d un arbre sont les noeuds qui n ont pas de fils racine feuilles

7 Arbres Stéphane Grandcolas p. 7/38 Arbres : définition 2 (récursive) Un arbre est constitué d un noeud p, sa racine, d une suite de sous-arbres (a 1,a 2,...,a k ). Les racines des arbres a 1,a 2,...,a k sont les fils de p p... a a a 1 2 k

8 Arbres Stéphane Grandcolas p. 8/38 Arbres : définition 3 (graphes) Un graphe G = (S,A) est défini par l ensemble de ses sommets S et l ensemble de ses arêtes A

9 Arbres Stéphane Grandcolas p. 9/38 Arbres : définition 3 (graphes) Un chemin dans un graphe est une séquence de sommets s 0,s 1,...,s k telle qu il existe une arête entre chaque couple (s i,s i+1 ). Un graphe est connexe s il existe un chemin entre tout couple de sommets

10 Arbres Stéphane Grandcolas p. 10/38 Arbres : définition 3 (graphes) Un cycle est une séquence de sommets s 0,s 1,...,s k, k 3, telle que s 0 = s k, les sommets s 1,...,s k sont distincts, et il existe une arête entre chaque couple (s i,s i+1 )

11 Arbres Stéphane Grandcolas p. 11/38 Arbres : définition 3 (graphes) Un arbre est un graphe connexe sans cycles muni d un sommet particulier, sa racine. racine feuilles

12 Arbres Stéphane Grandcolas p. 12/38 Arbres : définition 3 (graphes) Soit G un graphe, les propositions suivantes sont équivalentes : G est un arbre, pour tout couple de sommets u,v il existe un chemin et un seul allant de u à v, la suppression d une arête quelconque rends G non connexe G est connexe et A = S 1 G est acyclique et A = S 1 G est acyclique et l ajout d une arête quelconque crée un cycle

13 Arbres Stéphane Grandcolas p. 13/38 Arbres : définitions racine chemin à la racine ancetre profondeur=2 niveaux noeud de degré 3 hauteur=5 descendant frère

14 Arbres Stéphane Grandcolas p. 14/38 Arbres binaires Chaque noeud a au plus 2 fils : le fils gauche et le fils droit sous arbre droit sous arbre gauche (sa racine est ) (sa racine est ) fils droit fils gauche

15 Arbres Stéphane Grandcolas p. 15/38 Arbres binaires racine nombre de noeuds 16 Arbre binaire complet de hauteur h à la profondeur p on a 2 p noeuds le nombre total de noeuds est donc h 1 i=0 2 i = 2 h 1 Un arbre quelconque de hauteur h contient au plus 2 h 1 noeuds (hauteur = nombre de niveaux)

16 Arbres Stéphane Grandcolas p. 16/38 Arbres binaires : représentation Arbre vide : Arbre non vide : triplet p = x,g,d x est l information ou étiquette ou valeur, G est le sous-arbre gauche de p, noté filsg(p), D est le sous-arbre droit de p, noté filsd(p) x 61 +, 8,,,, +, 75,,, 4,,, 61,, 75 4

17 Arbres Stéphane Grandcolas p. 17/38 Arbres binaires : implémentation Définition du type ARBRE, pointeur sur un noeud typedef struct noeud *ARBRE ; Ici eventuellement l inclusion d autres définitions utilisant le type ARBRE déja défini struct noeud { TYPE_VALEUR val; ARBRE fg, fd; };

18 Arbres Stéphane Grandcolas p. 18/38 Arbres binaires : implémentation a 12 a >fg 12 a >fg >fd

19 Arbres Stéphane Grandcolas p. 19/38 Arbres binaires : implémentation Fonction de création d un nouveau noeud ARBRE CreerNoeud(VALEUR v, ARBRE fg, ARBRE fd) { ARBRE p; p = malloc(sizeof(struct noeud)); assert(p!= NULL); p->val = v; p->fg = fg; p->fd = fd; return p; } ARBRE a; a = CreerNoeud(x, p, NULL);

20 Arbres Stéphane Grandcolas p. 20/38 Arbres binaires : parcours en profondeur Principe : parcourir récursivement les fils dans l ordre fils gauche puis fils droit. void Parcours(ARBRE a) { if (a!= NULL) { /* traitement avant */ Parcours (a->fg); /* traitement entre */ Parcours (a->fd); /* traitement apres */ } }

21 Arbres Stéphane Grandcolas p. 21/38 Arbres binaires : parcours préfixé (affichage) Parcours préfixe : affichage de la valeur d un noeud avant les valeurs figurant dans ses sous-arbres void ParcoursPrefixe(ARBRE a) { if (a!= NULL) { AfficherLaValeur(a->val); ParcoursPrefixe (a->fg); ParcoursPrefixe (a->fd); } }

22 Arbres Stéphane Grandcolas p. 22/38 Arbres binaires : parcours infixé (affichage) Parcours infixé : affichage de la valeur d un noeud après les valeurs figurant dans son sous-arbre gauche et avant les valeurs figurant dans son sous-arbre droit void ParcoursInfixe(ARBRE a) { if (a!= NULL) { ParcoursInfixe (a->fg); AfficherLaValeur(a->val); ParcoursInfixe (a->fd); } }

23 Arbres Stéphane Grandcolas p. 23/38 Arbres binaires : parcours postfixé (affichage) Parcours postfixé : affichage de la valeur d un noeud après les valeurs figurant dans ses sous-arbres

24 Arbres Stéphane Grandcolas p. 24/38 Arbres binaires : hauteur Proposition. La hauteur h(a) d un arbre binaire a de n noeuds est au moins égale à log 2 n. Preuve. Par récurrence en utilisant la propriété a h(a) = max(h(a 1 ), h(a 2 )) + 1 Supposons n1 n2, et donc n1 n/2. Hypothèse : h(a 1 ) log 2 n 1. Donc h(a 1 ) log 2 (n/2) = log 2 n 1. Puisque h(a) h(a 1 ) + 1 log 2 n 1 + 1, on a h(a) log 2 n. A 1 A 2 n 1 noeuds n 2 noeuds C est aussi vrai si n est le nombre de feuilles.

25 Arbres Stéphane Grandcolas p. 25/38 Arbres binaires de recherche Soit E un ensemble muni d une relation d ordre Un arbre binaire a étiqueté avec des éléments de E est un arbre binaire de recherche si pour tout noeud p = x,g,d q G, val(q) x, q D, val(q) x.

26 Arbres Stéphane Grandcolas p. 26/38 Arbres binaires de recherche valeurs inférieures à p valeurs comprises entre 22 et 29 plus petit plus grand que 66 dans le sous arbre p

27 Arbres Stéphane Grandcolas p. 27/38 Arbres binaires de recherche Définition du type. typedef struct noeud *ARBRE; struct noeud { VALEUR val; ARBRE fg, fd, pere; }; L accès au père est utile par exemple pour chercher le successeur d un noeud

28 Arbres Stéphane Grandcolas p. 28/38 Arbres binaires de recherche : parcours infixé Le parcours infixé de l arbre produit la suite ordonnée des clés

29 Arbres Stéphane Grandcolas p. 29/38 Arbres binaires de recherche : recherche d une clé Idée : descendre à gauche ou à droite suivant la valeur de la clé tant que la valeur n est pas trouvée (et qu on peut descendre) recherche de la valeur 27 < > < > <

30 Arbres Stéphane Grandcolas p. 30/38 Arbres binaires de recherche : insertion d une clé Idée : on fait comme pour la recherche (ici la valeur 31)

31 Arbres Stéphane Grandcolas p. 30/38 Arbres binaires de recherche : insertion d une clé Idée : on fait comme pour la recherche (ici la valeur 31)

32 Arbres Stéphane Grandcolas p. 31/38 Arbres binaires de recherche : successeur 32 n a pas de fils droit : son successeur est 34, premier ascendant de 32 tel que 32 figure dans son sous arbre gauche a un fils droit : son successeur est 67 dernier fils gauche de son sous arbre gauche

33 Arbres Stéphane Grandcolas p. 32/38 Arbres binaires de recherche : suppression Cas 1 : le noeud n a pas de fils (feuille)

34 Arbres Stéphane Grandcolas p. 32/38 Arbres binaires de recherche : suppression Cas 1 : le noeud n a pas de fils (feuille)

35 Arbres Stéphane Grandcolas p. 33/38 Arbres binaires de recherche : suppression Cas 2 : le noeud a un fils et un seul

36 Arbres Stéphane Grandcolas p. 33/38 Arbres binaires de recherche : suppression Cas 2 : le noeud a un fils et un seul

37 Arbres Stéphane Grandcolas p. 34/38 Arbres binaires de recherche : suppression Cas 3 : le noeud a deux fils plus grand des plus petits plus petit des plus grands

38 Arbres Stéphane Grandcolas p. 34/38 Arbres binaires de recherche : suppression Cas 3 : le noeud a deux fils

39 Arbres Stéphane Grandcolas p. 34/38 Arbres binaires de recherche : suppression Cas 3 : le noeud a deux fils

40 Arbres Stéphane Grandcolas p. 35/38 Arbres n-aires racine fils ainé frères..... a 1 a 2 a k

41 Arbres Stéphane Grandcolas p. 36/38 Arbres n-aires : implémentation Chaque noeud porte une valeur et la liste de ses fils typedef struct noeud * ARBREn; typedef struct maillon * LISTE_DARBRES; struct noeud { TYPE_VALEUR val; LISTE_DARBRES fils; }; struct maillon { ARBREn le_fils; LISTE_DARBRES suiv; };

42 Arbres Stéphane Grandcolas p. 37/38 Arbres n-aires : implémentation Forme condensée avec une seule structure : un lien vers le fils aîné et un lien vers le frère typedef struct noeud * ARBREn; struct noeud { TYPE_VALEUR val; ARBREn fa; ARBREn fr; };

43 Arbres Stéphane Grandcolas p. 38/38 Arbres n-aires : arbres lexicographiques racine * A D I R U E R L T * X * * * * *