Algèbre linéaire et géométrie vectorielle

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1 Statut provincial: pondération: bloc ministériel préalable: Algèbre linéaire et géométrie vectorielle L objet et la place du cours dans le programme En Sciences humaines, c est pendant la deuxième année du programme qu un étudiant suit le cours Algèbre linéaire et géométrie vectorielle; dans ce cours, on introduit une nouvelle branche importante des mathématiques postsecondaires, celle de l algèbre linéaire, où les notions de base qui y sont vues permettent de traiter de la géométrie vectorielle dans l espace. L étude des concepts faisant l objet du cours exige peu de préalables; il suffit de connaître les mathématiques de base et quelques éléments de géométrie élémentaire. Les notions du cours ont des applications diverses en sciences humaines. Dans ce cours, l étudiant sera appelé à présenter sa démarche mathématique de façon rigoureuse, à visualiser dans l espace, à maîtriser de nouveaux algorithmes, à développer des habiletés mathématiques en résolution de problèmes, problèmes associés aux concepts de matrice, de déterminant, de vecteur, de système d équations linéaires, de système d'inéquations linéaires et de géométrie analytique de l espace. Les objectifs généraux du cours 1. Les connaissances: l étudiant doit 1.1 connaître et savoir appliquer divers algorithmes de résolution de systèmes d équations linéaires (méthodes de Cramer, de la matrice inverse, de Gauss et de Gauss-Jordan *) et de système d'inéquations linéaires, connaître la structure d un espace vectoriel, savoir modéliser divers problèmes à l aide de l algèbre linéaire ou de la géométrie vectorielle (systèmes de référence dans l espace, indépendance linéaire, base et dimension, droite et plan dans l espace); 1.2 connaître et utiliser correctement les définitions, la terminologie, le symbolisme et les conventions relatives à la géométrie analytique de l espace et aux concepts de matrice, de déterminant et de vecteur; 1.3 connaître et savoir utiliser diverses stratégies de résolution de problèmes relevant de l algèbre linéaire et de la géométrie vectorielle; 1.4 savoir situer le développement des concepts de l algèbre linéaire et de la géométrie vectorielle dans un contexte historique. 2. Les habiletés: l étudiant doit pouvoir 2.1 lire et interpréter correctement un texte ou un problème relatifs à l algèbre linéaire ou la géométrie vectorielle; 2.2 visualiser dans l espace et dessiner une représentation géométrique d un point, d un vecteur, d une droite et d un plan de l espace; 2.3 reconnaître les hypothèses d un problème théorique ou pratique, bien identifier ce qui est recherché; résoudre le problème en appliquant une stratégie de résolution de problème développée dans le cours; porter un jugement critique sur un résultat obtenu; 2.4 appliquer des algorithmes aux opérations de matrices et de vecteurs, au calcul d un déterminant et à la résolution d un système d équations linéaires et d'un système d'inéquations linéaires; 2.5 rédiger une solution d un problème selon un déroulement logique, clair et complet, dans un français convenable, tout en employant correctement le vocabulaire et la notation utilisés en algèbre linéaire et en géométrie vectorielle; 2.6 utiliser l ordinateur et la calculatrice à des fins de simulation, d exploration ou de résolution de problèmes d algèbre linéaire et de géométrie vectorielle; Collège de Maisonneuve 1 Mathématiques-105

2 2.7 relier les aspects géométriques et algébriques du cours; 2.8 établir, s il y a lieu, des liens avec les connaissances mathématiques acquises dans les différents cours du programme. 3. Les attitudes: ce cours doit amener l étudiant à 3.1 développer sa créativité et sa curiosité intellectuelle; 3.2 se responsabiliser face à son processus d apprentissage; 3.3 développer sa capacité de collaborer avec autrui; 3.4 développer sa rigueur intellectuelle et son souci d être clair, précis, ordonné et systématique; 3.5 accepter d être confronté à des problèmes où la recherche de solutions demande temps et énergie; 3.6 augmenter sa confiance face aux mathématiques et se valoriser dans l effort; 3.7 développer son initiative en utilisant ses connaissances mathématiques dans les différents cours du programme; Les objectifs spécifiques (le contenu) Remarques Les éléments marqués d une étoile sont des éléments d enrichissement. Des notes historiques seront présentées au moment approprié tout au long du cours. Matrice, déterminant et système d équations linéaires (25 périodes) Matrice donner la définition d une matrice, identifier ses éléments (terme général a ij ), déterminer ses dimensions définir et utiliser l égalité de deux matrices effectuer les opérations (addition et soustraction, multiplication par un scalaire, produit matriciel), énoncer les principales propriétés de ces opérations identifier différents types de matrices (matrice-ligne, matrice-colonne, matrice carrée et sa diagonale principale, matrice nulle, matrice identité, matrice inverse, matrice triangulaire, matrice diagonale, matrice transposée), utiliser les principales propriétés.. identifier les matrices symétriques et antisymétriques. appliquer les notions matricielles dans diverses situations (par exemple, matrice des distances, matrice d'interaction, matrice de communication, matrice de production, matrice de transformation linéaire, matrice de codage, matrice de transition, chaînes de Markov et autres) Déterminant évaluer le déterminant d une matrice carrée d ordre n (n 4) suivant une ligne ou une colonne évaluer le mineur et le cofacteur d un élément a ij énoncer les principales propriétés d un déterminant et les utiliser identifier une matrice singulière et une matrice régulière (matrice inversible) trouver la matrice des cofacteurs et la matrice adjointe d une matrice carrée (n 3) trouver la matrice inverse d une matrice carrée (n 3) par la méthode des cofacteurs et utiliser ses principales propriétés Collège de Maisonneuve 2 Mathématiques-105

3 Système d équations linéaires définir et trouver des matrices équivalentes à une matrice donnée (opérations élémentaires sur les lignes) transformer une matrice en une matrice-échelon ou matrice-échelon réduite équivalente* définir et trouver le rang d une matrice à partir de la matrice-échelon ou matrice échelon-réduite * identifier un système linéaire, deux systèmes équivalents, un système homogène écrire un système linéaire sous sa forme matricielle (matrices des coefficients, des inconnues, des constantes) écrire la matrice augmentée d un système linéaire et trouver une matrice-échelon ou la matrice-échelon réduite équivalente résoudre un système linéaire par la méthode de Gauss ou de Gauss-Jordan* (système incohérent et système cohérent avec une solution unique ou une infinité de solutions) résoudre un système linéaire par la méthode de Cramer résoudre un système linéaire par la méthode de la matrice inverse * situer au niveau historique les différents éléments de l'algèbre linéaire * Espace vectoriel (12 périodes) Vecteur algébrique définir un vecteur algébrique (n-uple) et identifier ses composantes définir l égalité de deux vecteurs algébriques effectuer les opérations sur deux vecteurs algébriques (addition, soustraction, multiplication par un scalaire) et utiliser les principales propriétés Vecteur géométrique donner les caractéristiques d un vecteur géométrique (direction, sens, longueur) représenter un vecteur géométrique (origine, extrémité, support, longueur) identifier un vecteur nul, deux vecteurs de sens opposé déterminer l équipollence (égalité) de deux vecteurs géométriques additionner deux vecteurs géométriques (méthode du triangle, méthode du parallélogramme et relation de Chasles), multiplier un vecteur géométrique par un scalaire et vérifier les principales propriétés de ces opérations identifier deux vecteurs parallèles Espace vectoriel donner la définition d un espace vectoriel, des opérations et des propriétés qui définissent cette structure algébrique identifier certains espaces vectoriels (matrices, vecteurs algébriques, vecteurs géométriques) établir une correspondance entre un vecteur algébrique et un vecteur géométrique d un plan et de l espace évaluer la longueur d un vecteur trouver un vecteur unitaire dans une direction donnée définir une combinaison linéaire de vecteurs vérifier si un vecteur est une combinaison linéaire de vecteurs donnés donner la définition de l indépendance et de la dépendance linéaire et vérifier que des vecteurs sont linéairement indépendants ou linéairement dépendants définir une base d un espace vectoriel donner la dimension d un espace vectoriel interpréter géométriquement les notions d indépendance linéaire, de base et de dimension et les propositions s y rapportant, pour des vecteurs du plan et de l espace (colinéarité, coplanarité) Collège de Maisonneuve 3 Mathématiques-105

4 Produits de vecteurs (8 périodes) Produit scalaire donner la définition du produit scalaire de deux vecteurs évaluer un produit scalaire énoncer les principales propriétés du produit scalaire interpréter géométriquement le produit scalaire (projection, angle entre deux vecteurs) évaluer l angle entre deux vecteurs interpréter un produit scalaire nul (vecteurs orthogonaux) Produit vectoriel donner la définition du produit vectoriel de deux vecteurs évaluer un produit vectoriel énoncer les principales propriétés d un produit vectoriel interpréter géométriquement le produit vectoriel de deux vecteurs linéairement indépendants (vecteur perpendiculaire à un plan engendré par ces deux vecteurs) évaluer l aire d un parallélogramme ou d un triangle construit sur deux vecteurs Produit mixte donner la définition du produit mixte de trois vecteurs évaluer un produit mixte énoncer les principales propriétés d un produit mixte interpréter géométriquement le produit mixte de trois vecteurs linéairement indépendants (volume d un parallélépipède construit sur ces trois vecteurs) interpréter un produit mixte nul (trois vecteurs coplanaires ou dépendants ) évaluer le volume d un prisme triangulaire Droite et plan dans l espace (20 périodes) Droite écrire les équations vectorielle, paramétriques et symétriques d une droite trouver des points d une droite et vérifier si un point appartient à une droite identifier un vecteur parallèle ou perpendiculaire à une droite établir les équations d une droite déterminée par deux points ou par un point et un vecteur directeur étudier la position relative de deux droites (parallèles, concourantes, perpendiculaires, gauches) évaluer l angle entre deux droites trouver l intersection de deux droites calculer la distance d un point à une droite, entre deux droites parallèles trouver le point d une droite le plus rapproché d un point donné de l espace Plan écrire les équations paramétriques et linéaire d un plan trouver des points d un plan et vérifier si un point appartient à un plan identifier un vecteur parallèle ou perpendiculaire à un plan établir les équations d un plan défini par trois points, par un point et un vecteur normal au plan, par un point et deux vecteurs qui engendrent un plan étudier la position relative de deux plans (parallèles, sécants, perpendiculaires) évaluer l angle entre deux plans établir les équations de la droite d intersection de deux plans étudier la position relative de trois ou plusieurs plans étudier la position relative d une droite par rapport à un plan (parallèle, sécante, perpendiculaire) évaluer l angle entre une droite et un plan trouver le point de percée d une droite sécante à un plan calculer la distance d un point à un plan, entre une droite parallèle et un plan qui lui est parallèle, entre deux plans parallèles résoudre des problèmes faisant appel à la géométrie vectorielle de la droite et du plan dans l espace Collège de Maisonneuve 4 Mathématiques-105

5 programmation linéaire (10 périodes) inéquations linéaires. représenter graphiquement l'ensemble-solution d'une inéquation linéaire à deux et à trois variables. représenter graphiquement par un polygône ou polyèdre convexe l'ensemblesolution d'un système d'inéquations linéaires à deux et à trois variables programmation linéaire reconnaître un problème de programmation linéaire (production, transport, réseau et affectation). exprimer sous forme d'inéquations linéaires les contraintes d'un problème de programmation linéaire à deux et à trois variables. trouver la fonction à optimiser dans un problème de programmation linéaire à deux et à trois variables. résoudre algébriquement et graphiquement un problème de programmmation linéaire à deux et à trois variables. interpréter le(s) résultat(s) dans le contexte présenté. résoudre un problème de programmation linéaire à l'aide de la méthode du simplexe à deux et à trois variables. résoudre algébriquement un problème de programmmation linéaire à n variables *. résoudre un problème de programmation linéaire à l'aide de la méthode du simplexe à n variables* Les objectifs relatifs aux technologies de l'information sont: 1. d'utiliser un logiciel dans le but de solutionnner des problèmes utilisant les notions matricielles (chaînes de Markov, etc.); 3. d'utiliser un logiciel dans le but de résoudre des systèmes d'équations linéaires à n variables. 2. d'utiliser un logiciel dans le but de résoudre des problèmes de programmation linéaire (problème d'affectation, problèmes de transport et de production); Évaluation L évaluation sommative de 100 points se fait dans le cadre suivant: un minimum de 4 examens durant la session; un maximum de 30 points pour un examen; un maximum de 20 points pour d autres formes d évaluation. Collège de Maisonneuve 5 Mathématiques-105