H43. Comparaison d'une distribution expérimentale à une distribution normale. Distribution expérimentale - Distribution normale H43.

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1 Distribution expérimentale - Distribution normale H43.1 H43 Comparaison d'une distribution expérimentale à une distribution normale 1 ) Conditions de Borel La loi normale, ou loi de Gauss, ou loi de Laplace-Gauss, s'applique à "une variable aléatoire continue soumise à de nombreux paramètres indépendants, dont les effets s'additionnent et dont aucun n'est prépondérant". Comme les conditions de Borel sont en général difficiles à vérifier, pour apprécier si une distribution expérimentale suit une loi normale, on peut utiliser quatre méthodes : * droite de Henry, * papier gausso-arithmétique, * test de Kolmogorov-Smirnov, * test du Khi-deux. Les deux premières méthodes permettent de trouver la "meilleure" loi normale modélisant la série statistique observée. Les deux dernières permettent de mesurer la qualité de l'adéquation entre la série statistique observée et le modèle proposé. 2 ) Droite de Henry Joseph HENRY ( ) est un physicien américain qui a principalement étudié l'électromagnétisme. Il a découvert, en 1832, le phénomène d'auto-induction. On a donc donné son nom à l'unité de mesure de ce phénomène. Lorsque la variable statistique X peut être modélisée par une variable aléatoire continue Y qui suit une loi normale N(µ;σ), pour chaque abscisse x i du polygone des fréquences cumulées croissante, la fréquence cumulée de X en x i i fk F(x i ) = k=1 est approximativement égale à G(x i ) où G est la fonction de répartition de Y G(x i ) = P(Y x i ) = P Y-µ σ x i-µ σ = π x i-µ σ = π(t i). Mise en œuvre de cette méthode : * pour chaque x i (borne supérieure de la classe c i ), on calcule F(x i ) qui est la fréquence cumulée croissante en x i pour la variable statistique X, * pour chaque fréquence cumulée F(x i ), on calcule le réel t i = π -1 [F(x i )] ( soit à l'aide de la calculatrice soit à partir de la table 1 : π(t i ) = F(x i )) * on représente graphiquement les t i en fonction des x i, * si les points obtenus sont approximativement alignés, la répartition est proche d'une loi normale. La droite d'équation t = x-µ alors obtenue est appelée droite de Henry. σ

2 H43.2 JooBle - HSE Exemple : pour contrôler la fabrication d'une machine automatisée, on a prélevé au hasard 250 pièces. L'étude porte sur la cote X. En fonction du tableau ci-dessous, déterminez si la variable statistique X peut être modélisée par une loi normale. Classe 44 à à à à à à à à à à 55 Effectif Eff. cumulé x i F(x i ) t i t 2,5 2 1,5 1 0, x - 0, ,5-2

3 Distribution expérimentale - Distribution normale H ) Papier gausso-arithmétique Exemple : on reprend l'exemple précédent. F(xi) 99,5 % 99 % 98 % 97 % 96 % 95 % 90 % 85 % 80 % B µ+σ 75 % 70 % 65 % 60 % 55 % 50 % 45 % 40 % 35 % 30 % 25 % 20 % 15 % 10 % A M µ µ σ 5 % 4 % 3 % 2 % x i

4 H43.4 JooBle - HSE Le principe de cette méthode est identique au principe de la méthode de la droite de Henry. Simplement on évite le recours à la table 1 en utilisant un papier gradué directement en π(t), appelé papier gausso-arithmétique. Sur l'axe des abscisses du papier gausso-arithmétique, on répartit au mieux les points x i puis on place les points de coordonnées (x i ; F(x i )). Si les points obtenus sont approximativement alignés, la répartition est proche d'une loi normale. Sur la droite obtenue (droite de Henry), il est possible de lire approximativement µ et σ: * µ est l'abscisse du point M qui se trouve à l'intersection de la droite de Henry et de l'horizontale marquée µ. * σ = x B - x A 2 où x B est l'abscisse du point M qui se trouve à l'intersection de la droite de Henry et de l'horizontale marquée µ+σ et x A est l'abscisse du point M qui se trouve à l'intersection de la droite de Henry et de l'horizontale marquée µ-σ. Remarques : * Si Y suit une loi normale N(µ,σ), P(Y < µ) = π(0) = 50 %. Ceci justifie le choix du point M µ 0,5 pour obtenir µ. * Le paramètre µ est plus proche de la médiane que de la moyenne. Ceci justifie à postériori la définition de la médiane. P(Y < µ-σ) = π(-1) 15,9 % * Si Y suit une loi normale N(µ,σ), P(Y < µ+σ) = π(+1) 84,1 % des points A x A 0,159 et B x B 0,841 pour obtenir 2σ = x B - x A.. Ceci justifie le choix 4 ) Test de Kolmogorov-Smirnov On voudrait savoir si la variable statistique X peut être modélisée par une variable aléatoire Y qui suit une loi normale N(µ;σ). Notations : n = effectif total et r = nombre de classes x i = borne supérieure de la classe c i F(x i ) = fréquence cumulée correspondant à x i = effectif réalisant x x i effectif total valeur en x i de la fonction de répartition de la G(x i ) = variable aléatoire Y qui modélise la série statistique X = P(Y x i) = Π x-µ σ

5 Distribution expérimentale - Distribution normale H43.5 Pour faire le test, avec le seuil d'erreur α * Pour chaque x i (borne supérieure de la classe c i ), on calcule, # F(x i ) qui est la fréquence cumulée croissante en x i pour la variable statistique X, # G(x i ) = Π x i-µ puis F(x i ) - G(x i ), σ * On calcule d = max 1<i<r ( F(x i ) - G(x i ) ). * Dans la table de la distribution de Kolmogorov (ci-dessous), on lit le réel x o qui se trouve à l'intersection de la ligne n et de la colonne α. * L'hypothèse "X suit la loi testée" est acceptée (avec le seuil d'erreur α) lorsque d < x o. Exemple : d'après les paragraphes précédents, on pense que la variable statistique X, donnée dans le tableau ci-dessous, peut être modélisée par une variable aléatoire Y qui suit une loi normale N(49,6 ; 2,02). Peut-on accepter cette hypothèse? Vous utiliserez le test de Kolmogorov- Smirnov bilatéral avec un seuil de 5 % puis de 1 %. Classe 44 à à à à à à à à à à 55 Effectif ) Distribution de Kolmogorov-Smirnov : valeur de x o tel que P(D > x o ) = α. Effectif total n > 35 α = 5 % α = 1 % 0,521 0,486 0,457 0,432 0,410 0,391 0,375 0,361 0,349 0,338 0,328 0,318 0,309 0,301 0,294 0,27 0,24 0,23 1,36 n 0,618 0,577 0,543 0,514 0,490 0,468 0,450 0,433 0,418 0,404 0,392 0,381 0,371 0,363 0,356 0,32 0,29 0,27 1,63 n