Logique/Ensembles. Logique 2. 1 Rudiments de logique. 1.1 Assertions, connecteurs, synonymie.
|
|
- Jean-Marie Mélançon
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Logique 2 Logique/Ensembles 1 Rudiments de logique. 1.1 Assertions, connecteurs, synonymie. La notion d'assertion est considérée comme intuitive : on se donne la dénition vague ci-dessous. Dénition 1. Une assertion est une phrase qui peut prendre deux valeurs de vérité : Vrai (V) ou Faux (F). Par exemple, les phrases "4 est pair", "1 + 1 = 2" et "1 + 1 = 1" sont des assertions. On peut estimer que "Il a plu le jour de la rentrée 2015 sur le Lycée Schweitzer" est une assertion. En revanche, "Comment allezvous?" n'en est pas une. Les assertions "4 est pair", "1+1 = 2" sont vraies, l'assertion "1+1 = 1" est fausse. On appelle négation d'une assertion P l'assertion qui est vraie quand P est fausse, et fausse quand P est vraie. Formalisons. Dénition 2. Soit P une assertion. On appelle négation de P, et on note (non P ), ou encore P, l'assertion dénie par la table de vérité suivante : P P V F F V On peut aussi combiner des assertions à l'aide de connecteurs logiques binaires. Si truc est un tel connecteur logique, et P et Q deux assertions, P truc Q est une assertion dont la valeur de vérité est fonction des valeurs de vérité de P et Q. Dénition 3. La table de vérité ci-dessous dénit les connecteurs logiques suivants : La conjonction : "et". La disjonction : "ou". La disjonction exclusive : "ou bien". L'implication : "implique" ou "= " L'équivalence : "équivaut à" ou " " P Q P et Q P ou Q P ou bien Q P = Q P Q V V V V F V V V F F V V F F F V F V V V F F F F F F V V 1 PCSI1 Ly c é e A l be r t S chwe i t z e r
2 Exemples. ("Aurélien est un garçon et "Elsa est une lle") est vraie. ("Aurélien est un garçon" ou "Elsa est une lle") est vraie. ("Aurélien est un garçon" ou bien "Elsa est une lle") est fausse. ("Aurélien est un garçon" et "Elsa est en PCSI1") est fausse. ("Aurélien est un garçon" ou "Elsa est en PCSI1") est vraie. ("6 est pair"= "7 est impair") est vraie. ("5 est pair"= "7 est impair") est vraie. ("5 est impair"= "7 est pair") est fausse. ("5 est pair"= "je suis votre père") est vraie. En combinant deux à deux des assertions, on peut obtenir des assertions "complexes", du type (("6 est impair" ou "7 est impair") et "3 est pair") = ("2 est pair"). Soient P 1, P 2,... P n des assertions. A l'aide de connecteurs logiques, on forme des assertions A(P 1,..., P n ) et B(P 1,..., P n ). Lorsque ces assertions ont la même valeur de vérité, quelles que soient les valeurs de vérité des assertions P 1,..., P n, on dira dans ce cours qu'elles sont synonymes et on écrira 1.2 Connecteurs et et ou. Proposition 4. A(P 1,..., P n ) B(P 1,..., P n ). Soient P, Q, R des assertions. On a les synonymies suivantes. a) ( P ) P, (P et P ) P, (P ou P ) P. b) (P et Q) (Q et P ), (P ou Q) (Q ou P ). c) ((P et Q) et R) (P et (Q et R)), ((P ou Q) ou R) (P ou (Q ou R)). d) P et (Q ou R) (P et Q) ou (P et R) P ou (Q et R) (P ou Q) et (P ou R). e) (P et Q) ( P ) ou ( Q), (P ou Q) ( P ) et ( Q) (formules de Morgan). Remarques. c) est une propriété d'associativité et montre que certaines parenthèses sont superues. d) est une propriété de distributivité où et tient lieu de multiplication et ou d'addition. a) et c) montrent que toute assertion utilisant un et peut être réécrite en n'utilisant que et ou. Preuve : On laisse au lecteur le soin d'écrire les tables de vérité nécessaires. Voici celle qui démontre d). P Q R Q ou R P et (Q ou R) P et Q P et R (P et Q) ou (P et R) V V V V V V V V V V F V V V F V V F V V V F V V V F F F F F F F F V V V F F F F F V F V F F F F F F V V F F F F F F F F F F F F 2
3 1.3 Implication, équivalence. On énonce dans ce qui suit des synonymies concernant l'implication et en tire des conclusions pratiques sur la preuve d'une implication, et d'une équivalence. Proposition 5. Soient P, Q des assertions. On a la synonymie P = Q ( P ) ou Q. Corollaire 6 (Négation d'une implication). Soient P et Q deux assertions. La négation de P = Q est (P = Q) P et ( Q). Conséquence pratique de la proposition 5 : Preuve directe d'une implication (voir aussi Raisonner/Rédiger, 3.1). Si P est fausse alors P = Q sera vraie, quelle que soit la valeur de vérité de Q. En pratique, démontrer P = Q demande seulement de vérier que lorsque P est vraie, Q l'est aussi. C'est pourquoi on lit souvent P = Q comme Pour démontrer une telle implication, Si P, alors Q. On SUPPOSE P (et on l'écrit) puis on MONTRE Q. Vocabulaire Dans P = Q, l'assertion Q est dite condition nécessaire dans, et P condition susante. En eet, supposons que l'implication soit vraie. Alors Q est nécessairement vraie si P l'est, et il sut que P soit vraie pour que Q le soit. Dénition 7. Soient P et Q deux assertions. On appelle contraposée de l'implication P = Q, l'implication ( Q) = ( P ). Théorème 8. Soient P, Q des assertions. On a la synonymie P = Q ( Q) = ( P ) Autrement dit, une implication est vraie, si et seulement si sa contraposée l'est. 3
4 Conséquence pratique : Preuve par contraposition d'une implication (voir aussi Raisonner/Rédiger, 3.2). Au lieu de démontrer qu'une implication est vraie, on peut choisir si cela parait plus simple, de démontrer sa contraposée. Proposition 9. Soient P, Q des assertions. On a la synonymie P Q (P = Q) et (Q = P ). Conséquence pratique : Preuve par "double-implication" d'une équivalence (voir aussi Raisonner/Rédiger, 3.3). Il s'agit, pour démontrer que P Q est vraie, de démontrer séparément les implications P = Q (Q est une condition nécessaire pour P ) puis Q = P (Q est une condition susante pour P ). Exercice. En guise d'application des trois techniques ci-dessus, on propose la preuve pour n entier, de l'équivalence Proposition 10. Soient P, Q, R des assertions. n pair n 2 est pair Si P = Q et Q = R sont vraies, alors P = R est vraie. Le résultat reste vrai lorsqu'on remplace les implications par des équivalences. 1.4 Quanticateurs. Soit E un ensemble. On se donne P(X) un prédicat sur E, c'est à dire une phrase utilisant la variable X E. Lorsque dans le prédicat, on substitue à X un élément de l'ensemble E, on obtient une assertion P(x). Par exemple, le prédicat "X est pair" permet, lorsqu'on substitue des entiers à X de former les assertions "4 est pair" et "3 est pair". On rappelle les notations suivantes. L'assertion "pour tout élément x de E, l'assertion P(x) est vraie" s'écrit x E P(x). L'assertion "il existe un élément de E, disons x, telle que l'assertion P(x) est vraie" s'écrit quant à elle x E P(x). Dans l'assertion ci-dessus, il faut comprendre le "il existe un élément" comme "il existe (au moins) un élément". En eet, il se peut que l'assertion P(x) soit vraie pour plusieurs éléments x de E. L'assertion "il existe un unique élément de E, que l'on note x, telle que l'assertion P(x) est vraie" s'écrit à l'aide du symbole! :!x E P(x). 4
5 Un prédicat peut dépendre de plusieurs variables et on peut être amené à utiliser plusieurs quanticateurs. Soient E, F deux ensembles et P(X, Y ) un prédicat où X prend ses valeurs dans E et Y dans F. Signalons les synonymies : x E ( y F P(x, y)) y F ( x E P(x, y)) x E ( y F P(x, y)) y F ( x E P(x, y)) En revanche, les assertions suivantes ne sont pas synonymes! (A) x E ( y F P(x, y)) (B) y F ( x E P(x, y)). On lit (A) en deux temps : " x E" A partir de maintenant et jusqu'à la n de la phrase, on considère en pensée un élément x de E particulier (le nous autorisant à choisir n'importe lequel). On considère ensuite l'assertion " y F P(x, y)" (et ne contient pas y...) On apprend qu'il existe un élément de F, qu'on va ici appeler y tel que P(x, y) est vraie. Mais ce y qui dépend de x a priori, et change pour chaque élément x de E que l'on peut considérer. On lit (B) en deux temps : " y F " Pour un (au moins) des éléments de F ce qui suit va être vrai. A partir de maintenant et jusqu'à la n de la phrase, on considère en pensée un de ces éléments de F que l'on appelle ici y. " x E P(x, y)" L'élément y a été xé. La phrase P(x, y) est vraie pour tous les couples (x, y), où x est n'importe quel élément de E. Exemple. 1. Une théorie arme que chacun sur Terre a une âme s ur. Il faut comprendre cette phrase sous la forme d'une assertion de type (A) : "pour toute personne sur Terre, il existe une âme s ur". Bien sûr, cette âme s ur dépend de la personne considérée. Si on écrivait une assertion de type (B), cela signierait "il existe des gens qui sont l'âme s ur... de tout le monde"! (ces gens-là auraient une vie compliquée...) Exemple. 2. Soit f une fonction dénie sur R. Écrire à l'aide de quanticateurs "la fonction f est majorée sur R". Changer maintenant l'ordre des quanticateurs. Remarquer alors que l'assertion obtenue est vraie pour toutes les fonctions. Les deux synonymies ci-dessous montrent comment nier une assertion contenant un quanticateur. Proposition 11 (Négation d'une proposition contenant des quanticateurs). Soit P(X) un prédicat sur un ensemble E. On a les synonymies ( x E P(x)) x E P(x) ( x E P(x)) x E P(x) Exemple. Soit f une fonction dénie sur R. On note P l'assertion "f est majorée sur R", c'est à dire : P : M R x R f(x) M. On a donc P : M R x R f(x) > M. 5
6 2 Ensembles. 2.1 Vocabulaire, parties. À nouveau, on se donne une dénition vague. Dénition 12. Un ensemble non vide E est une collection d'éléments, c'est à dire d'objets x tels que l'assertion "x appartient à E" est vraie. On suppose qu'il existe un ensemble n'ayant pas d'éléments. On l'appelle ensemble vide et on le note. Pour tout objet x, l'assertion x est fausse. On conviendra que l'assertion x est vraie, quel que soit le prédicat P(X). Puisqu'il n'y a pas d'éléments dans l'ensemble vide, on peut dire que tous les éléments de l'ensemble vide sont verts. Ils sont aussi bleus à poils durs, d'ailleurs. Dénition 13. P(x) On dit que deux ensembles E et F sont égaux s'ils sont tous les deux vides, ou s'ils ont les mêmes éléments. On écrit alors E = F. Pour décrire un ensemble non vide, on utilise des accolades, ainsi qu'une description de ses éléments, qui peut être de deux formes. En extension : les éléments sont présentés sous forme de liste, par exemple {1, 2, 3}. Signalons que l'ordre dans notre liste n'a pas d'importance : {1, 2, 3} = {3, 2, 1}. L'ensemble {2k, k N} est l'ensemble des entiers naturels pairs, qu'il faut lire {0, 2, 4, 6,...} en comprenant le sens des points de suspension. Un ensemble ayant un seul élément est appelé singleton. Un ensemble ayant exactement deux éléments est appelé paire. En compréhension : on sélectionne dans un autre ensemble, des éléments possédant une certaine propriété. Par exemple, l'ensemble des entiers pairs se note, en compréhension {n N : p N : n = 2p}. L'ensemble des nombres réels positifs se note en compréhension : {x R : x 0}. Dans la notation en compréhension {x E : P(x) est vraie} on écrit, dans l'ordre, l'accolade, x : l'élément typique, E : l'ensemble de sélection, P(x) : le prédicat de sélection. 6
7 Dénition 14. Soit E un ensemble Une partie de E est un ensemble F tel que l'assertion x F x E est vraie. Cette assertion est notée F E et se lit F est inclus dans E. De façon moins abstraite, une partie de E est vide, ou est un ensemble d'éléments de E. Exemple. Si E = {1, 2, 3}, le singleton {1} est inclus dans E : son unique élément 1 est dans E. On a donc {1} E, à ne pas confondre avec "1 E". On a aussi {1, 3} E Remarque. Pour tout ensemble E, les ensembles E et sont des parties de E. Conséquence pratique : Preuve par "double-inclusion" d'une égalité entre ensembles (voir aussi Raisonner/Rédiger, 5.2.) Dénition 15. L'ensemble des parties d'un ensemble E est noté P(E). Remarque. Pour deux ensembles E et F, F E F P(E). Exemples. P({1}) = {, {1}}, P({1, 2}) = {, {1}, {2}, {1, 2}}, P( ) = { }, P (P({1})) = {, { }, {{1}}, {, {1}}} Proposition 16. Soient E et F deux ensembles. On a E = F E F et F E. Conséquence pratique : Preuve par "double-inclusion" d'une égalité entre ensembles (voir aussi Raisonner/Rédiger, 5.2). 2.2 Opérations sur les parties d'un ensemble. Dénition 17. Soient A et B deux parties d'un ensemble E. On dénit la réunion de A et B, notée A B, et leur intersection A B par A B := {x E : x A ou x B} et A B := {x E : x A et x B}. Figure. Les diagrammes de Venn, ou patates, permettent de visualiser les ensembles ainsi dénis. 7
8 Proposition 18. Soit E un ensemble. Les égalités d'ensembles suivantes sont vraies pour toutes parties A, B, C dans P(E). a) A A = A et A A = A b) A B = B A et A B = B A (commutativité). c) A =, A = A, A E = A, et A E = E. d) (A B) C = A (B C) et (A B) C = A (B C) (associativité). e) A (B C) (A B) (A C) et A (B C) (A B) (A C) (distributivité). Dénition 19. Soient A et B deux parties d'un ensemble E. On appelle diérence de A et de B, ( A privé de B ) la partie A \ B := {x E : x A et x / B}. On appelle complémentaire de A dans E et on note A ou C A E la partie A := E \ A = {x E : x A}. Proposition 20. Soit E un ensemble. Les égalités d'ensembles suivantes sont vraies pour toutes parties A, B, C dans P(E). a) = E et E =. b) A = A (complémentaire du complémentaire). c) A B = B A. d) A B = A B et A B = A B (dualité/formules de Morgan). 8
9 2.3 Produit cartésien. Dénition Soient E et F deux ensembles. On appelle produit cartésien de E et F et on note E F l'ensemble {(x, y) : x E, y F }. Les éléments de E F sont appelés couples. 2. Soient E 1, E 2,... E n, n ensembles. On appelle produit cartésien de E 1, E 2,..., E n et on note E 1 E 2... E n l'ensemble {(x 1, x 2,..., x n ) : x 1 E 1, x 2 E 2,..., x n E n }. Les éléments de E 1, E 2,..., E n sont appelés n-uplets. Notation. On note E 2 = E E. Par exemple, R 2 = {(x, y) : x R, y R}. Exemples. E = {1, 2, 3}, F = {, }, E F = {(1, ), (2, ), (3, ), (1, ), (2, ), (3, )}. Notons Card(E) ("cardinal") le nombre d'éléments d'un ensemble E. On remarque sur l'exemple précédent que Card(E F ) = 6 = 3 2 = Card(E) Card(F ). Le résultat sera prouvé en général dans le cours sur le dénombrement. Nous faisons cette remarque dès maintenant pour expliquer la notation pour le produit cartésien : il est commode que le cardinal du produit soit le produit des cardinaux. 9
Cours de Probabilités et de Statistique
Cours de Probabilités et de Statistique Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université Paris-Est Cours de Proba-Stat 2 L1.2 Science-Éco Chapitre Notions de théorie des ensembles 1 1.1 Ensembles
Plus en détailChapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé
Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données
Plus en détailCouples de variables aléatoires discrètes
Couples de variables aléatoires discrètes ECE Lycée Carnot mai Dans ce dernier chapitre de probabilités de l'année, nous allons introduire l'étude de couples de variables aléatoires, c'est-à-dire l'étude
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailProblème : Calcul d'échéanciers de prêt bancaire (15 pt)
Problème : Calcul d'échéanciers de prêt bancaire (15 pt) 1 Principe d'un prêt bancaire et dénitions Lorsque vous empruntez de l'argent dans une banque, cet argent (appelé capital) vous est loué. Chaque
Plus en détail6. Les différents types de démonstrations
LES DIFFÉRENTS TYPES DE DÉMONSTRATIONS 33 6. Les différents types de démonstrations 6.1. Un peu de logique En mathématiques, une démonstration est un raisonnement qui permet, à partir de certains axiomes,
Plus en détailProbabilités. C. Charignon. I Cours 3
Probabilités C. Charignon Table des matières I Cours 3 1 Dénombrements 3 1.1 Cardinal.................................................. 3 1.1.1 Définition............................................. 3
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailVers l'ordinateur quantique
Cours A&G Vers l'ordinateur quantique Données innies On a vu dans les chapîtres précédents qu'un automate permet de représenter de manière nie (et même compacte) une innité de données. En eet, un automate
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détailD'UN THÉORÈME NOUVEAU
DÉMONSTRATION D'UN THÉORÈME NOUVEAU CONCERNANT LES NOMBRES PREMIERS 1. (Nouveaux Mémoires de l'académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, année 1771.) 1. Je viens de trouver, dans un excellent
Plus en détailPeut-on tout programmer?
Chapitre 8 Peut-on tout programmer? 8.1 Que peut-on programmer? Vous voici au terme de votre initiation à la programmation. Vous avez vu comment représenter des données de plus en plus structurées à partir
Plus en détailProbabilité. Table des matières. 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables... 2 1.2 Définitions... 2 1.3 Loi équirépartie...
1 Probabilité Table des matières 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables........................... 2 1.2 Définitions................................. 2 1.3 Loi équirépartie..............................
Plus en détailGEA II Introduction aux probabilités Poly. de révision. Lionel Darondeau
GEA II Introduction aux probabilités Poly. de révision Lionel Darondeau Table des matières Énoncés 4 Corrigés 10 TD 1. Analyse combinatoire 11 TD 2. Probabilités élémentaires 16 TD 3. Probabilités conditionnelles
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailFctsAffines.nb 1. Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008. Fonctions affines
FctsAffines.nb 1 Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008 Fonctions affines Supports de cours de mathématiques de degré secondaire II, lien hpertete vers la page mère http://www.deleze.name/marcel/sec2/inde.html
Plus en détailDate : 18.11.2013 Tangram en carré page
Date : 18.11.2013 Tangram en carré page Titre : Tangram en carré Numéro de la dernière page : 14 Degrés : 1 e 4 e du Collège Durée : 90 minutes Résumé : Le jeu de Tangram (appelé en chinois les sept planches
Plus en détailRéalisabilité et extraction de programmes
Mercredi 9 mars 2005 Extraction de programme: qu'est-ce que c'est? Extraire à partir d'une preuve un entier x N tel que A(x). π x N A(x) (un témoin) (En fait, on n'extrait pas un entier, mais un programme
Plus en détail9 5 2 5 Espaces probabilisés
BCPST2 9 5 2 5 Espaces probabilisés I Mise en place du cadre A) Tribu Soit Ω un ensemble. On dit qu'un sous ensemble T de P(Ω) est une tribu si et seulement si : Ω T. T est stable par complémentaire, c'est-à-dire
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailchapitre 4 Nombres de Catalan
chapitre 4 Nombres de Catalan I Dénitions Dénition 1 La suite de Catalan (C n ) n est la suite dénie par C 0 = 1 et, pour tout n N, C n+1 = C k C n k. Exemple 2 On trouve rapidement C 0 = 1, C 1 = 1, C
Plus en détailProblèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres
Énoncé Soit E un ensemble non vide. On dit qu un sous-ensemble F de P(E) est un filtre sur E si (P 0 ) F. (P 1 ) (X, Y ) F 2, X Y F. (P 2 ) X F, Y P(E) : X Y Y F. (P 3 ) / F. Première Partie 1. Que dire
Plus en détailSérie TD 3. Exercice 4.1. Exercice 4.2 Cet algorithme est destiné à prédire l'avenir, et il doit être infaillible! Exercice 4.3. Exercice 4.
Série TD 3 Exercice 4.1 Formulez un algorithme équivalent à l algorithme suivant : Si Tutu > Toto + 4 OU Tata = OK Alors Tutu Tutu + 1 Tutu Tutu 1 ; Exercice 4.2 Cet algorithme est destiné à prédire l'avenir,
Plus en détailCH.6 Propriétés des langages non contextuels
CH.6 Propriétés des langages non contetuels 6.1 Le lemme de pompage 6.2 Les propriétés de fermeture 6.3 Les problèmes de décidabilité 6.4 Les langages non contetuels déterministes utomates ch6 1 6.1 Le
Plus en détail2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R
2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R Dans la mesure où les résultats de ce chapitre devraient normalement être bien connus, il n'est rappelé que les formules les plus intéressantes; les justications
Plus en détailTraitement de texte : Quelques rappels de quelques notions de base
Traitement de texte : Quelques rappels de quelques notions de base 1 Quelques rappels sur le fonctionnement du clavier Voici quelques rappels, ou quelques appels (selon un de mes profs, quelque chose qui
Plus en détailDistribution Uniforme Probabilité de Laplace Dénombrements Les Paris. Chapitre 2 Le calcul des probabilités
Chapitre 2 Le calcul des probabilités Equiprobabilité et Distribution Uniforme Deux événements A et B sont dits équiprobables si P(A) = P(B) Si il y a équiprobabilité sur Ω, cad si tous les événements
Plus en détailRecherche dans un tableau
Chapitre 3 Recherche dans un tableau 3.1 Introduction 3.1.1 Tranche On appelle tranche de tableau, la donnée d'un tableau t et de deux indices a et b. On note cette tranche t.(a..b). Exemple 3.1 : 3 6
Plus en détailI. Cas de l équiprobabilité
I. Cas de l équiprobabilité Enoncé : On lance deux dés. L un est noir et l autre est blanc. Calculer les probabilités suivantes : A «Obtenir exactement un as» «Obtenir au moins un as» C «Obtenir au plus
Plus en détailGlossaire des nombres
Glossaire des nombres Numérisation et sens du nombre (4-6) Imprimeur de la Reine pour l'ontario, 008 Nombre : Objet mathématique qui représente une valeur numérique. Le chiffre est le symbole utilisé pour
Plus en détailSuites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite
Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n
Plus en détailCondition de stabilité d'un réseau de les d'attente à deux stations et N classes de clients 1
General Mathematics Vol. 18, No. 4 (2010), 85108 Condition de stabilité d'un réseau de les d'attente à deux stations et N classes de clients 1 Faiza Belarbi, Amina Angelika Bouchentouf Résumé Nous étudions
Plus en détailLE PROBLEME DU PLUS COURT CHEMIN
LE PROBLEME DU PLUS COURT CHEMIN Dans cette leçon nous définissons le modèle de plus court chemin, présentons des exemples d'application et proposons un algorithme de résolution dans le cas où les longueurs
Plus en détailLe chiffre est le signe, le nombre est la valeur.
Extrait de cours de maths de 6e Chapitre 1 : Les nombres et les opérations I) Chiffre et nombre 1.1 La numération décimale En mathématique, un chiffre est un signe utilisé pour l'écriture des nombres.
Plus en détailIntroduction a l'algorithmique des objets partages. Robert Cori. Antoine Petit. Lifac, ENS Cachan, 94235 Cachan Cedex. Resume
Introduction a l'algorithmique des objets partages Bernadette Charron{Bost Robert Cori Lix, Ecole Polytechnique, 91128 Palaiseau Cedex, France, charron@lix.polytechnique.fr cori@lix.polytechnique.fr Antoine
Plus en détailLogique : ENSIIE 1A - contrôle final
1 Logique : ENSIIE 1A - contrôle final - CORRIGÉ Mardi 11 mai 2010 - Sans documents - Sans calculatrice ni ordinateur Durée : 1h30 Les exercices sont indépendants. Exercice 1 (Logique du premier ordre
Plus en détail6 - La conscience est-elle un processus algorithmique?
6 - La conscience est-elle un processus algorithmique? par Hervé Zwirn Le problème de la conscience est sans doute l'un des plus difficiles sinon le plus difficile auquel on puisse s'attaquer. J'en veux
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailRapidMiner. Data Mining. 1 Introduction. 2 Prise en main. Master Maths Finances 2010/2011. 1.1 Présentation. 1.2 Ressources
Master Maths Finances 2010/2011 Data Mining janvier 2011 RapidMiner 1 Introduction 1.1 Présentation RapidMiner est un logiciel open source et gratuit dédié au data mining. Il contient de nombreux outils
Plus en détailCHAPITRE VIII : Les circuits avec résistances ohmiques
CHAPITRE VIII : Les circuits avec résistances ohmiques VIII. 1 Ce chapitre porte sur les courants et les différences de potentiel dans les circuits. VIII.1 : Les résistances en série et en parallèle On
Plus en détailCarl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939)
Par Boris Gourévitch "L'univers de Pi" http://go.to/pi314 sai1042@ensai.fr Alors ça, c'est fort... Tranches de vie Autour de Carl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939) est transcendant!!! Carl Louis
Plus en détailCompte-rendu de projet de Système de gestion de base de données
Compte-rendu de projet de Système de gestion de base de données Création et utilisation d'un index de jointure LAMBERT VELLER Sylvain M1 STIC Université de Bourgogne 2010-2011 Reponsable : Mr Thierry Grison
Plus en détailLicence Sciences, Technologies, Santé Mention Informatique Codage de l'information
1 Licence Sciences, Technologies, Santé Mention Informatique Codage de l'information année universitaire 2013-2014 Licence Creative Commons cbea 2 Introduction Objectifs du cours Le cours de Codage de
Plus en détailExercices de dénombrement
Exercices de dénombrement Exercice En turbo Pascal, un entier relatif (type integer) est codé sur 6 bits. Cela signifie que l'on réserve 6 cases mémoires contenant des "0" ou des "" pour écrire un entier.
Plus en détailCompression Compression par dictionnaires
Compression Compression par dictionnaires E. Jeandel Emmanuel.Jeandel at lif.univ-mrs.fr E. Jeandel, Lif CompressionCompression par dictionnaires 1/25 Compression par dictionnaire Principe : Avoir une
Plus en détail1. Qu'est-ce que SQL?... 2. 2. La maintenance des bases de données... 2. 3. Les manipulations des bases de données... 5
1. Qu'est-ce que SQL?... 2 2. La maintenance des bases de données... 2 2.1 La commande CREATE TABLE... 3 2.2 La commande ALTER TABLE... 4 2.3 La commande CREATE INDEX... 4 3. Les manipulations des bases
Plus en détailIntroduction. I Étude rapide du réseau - Apprentissage. II Application à la reconnaissance des notes.
Introduction L'objectif de mon TIPE est la reconnaissance de sons ou de notes de musique à l'aide d'un réseau de neurones. Ce réseau doit être capable d'apprendre à distinguer les exemples présentés puis
Plus en détailSeconde et première Exercices de révision sur les probabilités Corrigé
I_ L'univers. _ On lance simultanément deux dés indiscernables donc il n'y a pas d'ordre. Il y a répétition, les dbles. On note une issue en écrivant le plus grand chiffre puis le plus petit. 32 signifie
Plus en détailPar combien de zéros se termine N!?
La recherche à l'école page 79 Par combien de zéros se termine N!? par d es co llèg es An dré Do ucet de Nanterre et Victor Hugo de Noisy le Grand en seignants : Danielle Buteau, Martine Brunstein, Marie-Christine
Plus en détailNOTATIONS PRÉLIMINAIRES
Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel
Plus en détailCRÉER DES LEÇONS AVEC L'ÉDITEUR DU LOGICIEL 1000 MOTS POUR APPRENDRE À LIRE EN FRANÇAIS, ANGLAIS ET ALLEMAND
93 CRÉER DES LEÇONS AVEC L'ÉDITEUR DU LOGICIEL 1000 MOTS POUR APPRENDRE À LIRE EN FRANÇAIS, ANGLAIS ET ALLEMAND 1 - LE LOGICIEL 1000 MOTS 1000 mots est un logiciel destiné aux classes du cycle II en France
Plus en détailGéométrie dans l espace Produit scalaire et équations
Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire
Plus en détailTravaux pratiques. Compression en codage de Huffman. 1.3. Organisation d un projet de programmation
Université de Savoie Module ETRS711 Travaux pratiques Compression en codage de Huffman 1. Organisation du projet 1.1. Objectifs Le but de ce projet est d'écrire un programme permettant de compresser des
Plus en détailCalcul de développements de Puiseux et application au calcul du groupe de monodromie d'une courbe algébrique plane
Calcul de développements de Puiseux et application au calcul du groupe de monodromie d'une courbe algébrique plane Poteaux Adrien XLIM-DMI, UMR-CNRS 6172 Université de Limoges Soutenance de thèse 15 octobre
Plus en détailTable des matières. 10 Gimp et le Web. Option de traitement d'images Mémento pour la séance N o 8. 10.1 Création d'animation
Université de NiceSophia Antipolis Semaine du 26 novembre 2007 Licence de Sciences de la vie, semestre 1 Option de traitement d'images Mémento pour la séance N o 8 Table des matières 10 Gimp et le Web
Plus en détail= 1 si n = m& où n et m sont souvent des indices entiers, par exemple, n, m = 0, 1, 2, 3, 4... En fait,! n m
1 épartement de Physique, Université Laval, Québec Pierre Amiot, 1. La fonction delta et certaines de ses utilisations. Clientèle Ce texte est destiné aux physiciens, ingénieurs et autres scientifiques.
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailCNAM UE MVA 210 Ph. Durand Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul dierentiel 2
CNAM UE MVA 210 Ph. Duran Algèbre et analyse tensorielle Cours 4: Calcul ierentiel 2 Jeui 26 octobre 2006 1 Formes iérentielles e egrés 1 Dès l'introuction es bases u calcul iérentiel, nous avons mis en
Plus en détailProbabilités. I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 Définitions... 2 I.2 Propriétés... 2
Probabilités Table des matières I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 s................................................... 2 I.2 Propriétés...................................................
Plus en détailPremiers exercices d Algèbre. Anne-Marie Simon
Premiers exercices d Algèbre Anne-Marie Simon première version: 17 août 2005 version corrigée et complétée le 12 octobre 2010 ii Table des matières 1 Quelques structures ensemblistes 1 1.0 Ensembles, relations,
Plus en détailAlgorithmes d'apprentissage
Algorithmes d'apprentissage 1 Agents qui apprennent à partir d'exemples La problématique : prise de décision automatisée à partir d'un ensemble d'exemples Diagnostic médical Réponse à une demande de prêt
Plus en détailDéfinition : On obtient les nombres entiers en ajoutant ou retranchant des unités à zéro.
Chapitre : Les nombres rationnels Programme officiel BO du 8/08/08 Connaissances : Diviseurs communs à deux entiers, PGCD. Fractions irréductibles. Opérations sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire.
Plus en détailAxiomatique de N, construction de Z
Axiomatique de N, construction de Z Table des matières 1 Axiomatique de N 2 1.1 Axiomatique ordinale.................................. 2 1.2 Propriété fondamentale : Le principe de récurrence.................
Plus en détailEquations cartésiennes d une droite
Equations cartésiennes d une droite I) Vecteur directeur d une droite : 1) Définition Soit (d) une droite du plan. Un vecteur directeur d une droite (d) est un vecteur non nul la même direction que la
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailRappel. Analyse de Données Structurées - Cours 12. Un langage avec des déclaration locales. Exemple d'un programme
Rappel Ralf Treinen Université Paris Diderot UFR Informatique Laboratoire Preuves, Programmes et Systèmes treinen@pps.univ-paris-diderot.fr 6 mai 2015 Jusqu'à maintenant : un petit langage de programmation
Plus en détailI3, Probabilités 2014 Travaux Dirigés F BM F BM F BM F BM F B M F B M F B M F B M 20 20 80 80 100 100 300 300
I3, Probabilités 2014 Travaux Dirigés TD 1 : rappels. Exercice 1 Poker simplié On tire 3 cartes d'un jeu de 52 cartes. Quelles sont les probabilités d'obtenir un brelan, une couleur, une paire, une suite,
Plus en détailTexte Agrégation limitée par diffusion interne
Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse
Plus en détailProbabilités. I - Expérience aléatoire. II - Evénements
Probabilités Voici le premier cours de probabilités de votre vie. N avez-vous jamais eut envie de comprendre les règles des grands joueurs de poker et de les battre en calculant les probabilités d avoir
Plus en détailIUT de Laval Année Universitaire 2008/2009. Fiche 1. - Logique -
IUT de Laval Année Universitaire 2008/2009 Département Informatique, 1ère année Mathématiques Discrètes Fiche 1 - Logique - 1 Logique Propositionnelle 1.1 Introduction Exercice 1 : Le professeur Leblond
Plus en détailNombre de marches Nombre de facons de les monter 3 3 11 144 4 5 12 233 5 8 13 377 6 13 14 610 7 21 15 987 8 34 16 1597 9 55 17 2584 10 89
Soit un escalier à n marches. On note u_n le nombre de façons de monter ces n marches. Par exemple d'après l'énoncé, u_3=3. Pour monter n marches, il faut d'abord monter la première. Soit on la monte seule,
Plus en détailOrdonnancement. N: nains de jardin. X: peinture extérieure. E: électricité T: toit. M: murs. F: fondations CHAPTER 1
CHAPTER 1 Ordonnancement 1.1. Étude de cas Ordonnancement de tâches avec contraintes de précédences 1.1.1. Exemple : construction d'une maison. Exercice. On veut construire une maison, ce qui consiste
Plus en détailMathématiques Algèbre et géométrie
Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches
Plus en détailCoefficients binomiaux
Probabilités L2 Exercices Chapitre 2 Coefficients binomiaux 1 ( ) On appelle chemin une suite de segments de longueur 1, dirigés soit vers le haut, soit vers la droite 1 Dénombrer tous les chemins allant
Plus en détailMode d emploi base de données AIFRIS : Commande et inscriptions
Mode d emploi base de données AIFRIS : Commande et inscriptions Vous trouverez dans les pages qui suivent la démarche à suivre pour les inscriptions en ligne au congrès de l AIFRIS. La présentation suit
Plus en détailFait opinion. Département EEO CUEEP-USTL
Fait opinion Département EEO CUEEP-USTL Avril 2007 Table des Matières ChapitreI. Exercices d'observation... 4 A. Exercice d'observation n 1...4 A.1. Réponses attendues...5 B. Exercice d'observation n 2...5
Plus en détailCapacité d un canal Second Théorème de Shannon. Théorie de l information 1/34
Capacité d un canal Second Théorème de Shannon Théorie de l information 1/34 Plan du cours 1. Canaux discrets sans mémoire, exemples ; 2. Capacité ; 3. Canaux symétriques ; 4. Codage de canal ; 5. Second
Plus en détailConstruction de l'intégrale de Lebesgue
Université d'artois Faculté des ciences Jean Perrin Mesure et Intégration (Licence 3 Mathématiques-Informatique) Daniel Li Construction de l'intégrale de Lebesgue 10 février 2011 La construction de l'intégrale
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailTP n 2 Concepts de la programmation Objets Master 1 mention IL, semestre 2 Le type Abstrait Pile
TP n 2 Concepts de la programmation Objets Master 1 mention IL, semestre 2 Le type Abstrait Pile Dans ce TP, vous apprendrez à définir le type abstrait Pile, à le programmer en Java à l aide d une interface
Plus en détailLa recherche d'information sur Internet
La recherche d'information sur Internet Compétence du socle : Je sais utiliser les fonctions principales d'un outil de recherche sur le Web (moteur de recherche, annuaire...) CDI du collège Léon Cazeneuve
Plus en détailMarc HINDRY. Introduction et présentation. page 2. 1 Le langage mathématique page 4. 2 Ensembles et applications page 8
COURS DE MATHÉMATIQUES PREMIÈRE ANNÉE (L1) UNIVERSITÉ DENIS DIDEROT PARIS 7 Marc HINDRY Introduction et présentation. page 2 1 Le langage mathématique page 4 2 Ensembles et applications page 8 3 Groupes,
Plus en détailt 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :
Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant
Plus en détailÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2008 - Partie D
ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2008 - Partie D TITRE : Les Fonctions de Hachage Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant le jury :.10 minutes Entretien avec le jury :..10 minutes GUIDE
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailMIS 102 Initiation à l Informatique
MIS 102 Initiation à l Informatique Responsables et cours : Cyril Gavoille Catherine Pannier Matthias Robine Marc Zeitoun Planning : 6 séances de cours 5 séances de TD (2h40) 4 séances de TP (2h40) + environ
Plus en détailPourquoi l apprentissage?
Pourquoi l apprentissage? Les SE sont basés sur la possibilité d extraire la connaissance d un expert sous forme de règles. Dépend fortement de la capacité à extraire et formaliser ces connaissances. Apprentissage
Plus en détailmodélisation solide et dessin technique
CHAPITRE 1 modélisation solide et dessin technique Les sciences graphiques regroupent un ensemble de techniques graphiques utilisées quotidiennement par les ingénieurs pour exprimer des idées, concevoir
Plus en détailUEO11 COURS/TD 1. nombres entiers et réels codés en mémoire centrale. Caractères alphabétiques et caractères spéciaux.
UEO11 COURS/TD 1 Contenu du semestre Cours et TDs sont intégrés L objectif de ce cours équivalent a 6h de cours, 10h de TD et 8h de TP est le suivant : - initiation à l algorithmique - notions de bases
Plus en détailPROBLEMES D'ORDONNANCEMENT AVEC RESSOURCES
Leçon 11 PROBLEMES D'ORDONNANCEMENT AVEC RESSOURCES Dans cette leçon, nous retrouvons le problème d ordonnancement déjà vu mais en ajoutant la prise en compte de contraintes portant sur les ressources.
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailManuel d utilisation 26 juin 2011. 1 Tâche à effectuer : écrire un algorithme 2
éducalgo Manuel d utilisation 26 juin 2011 Table des matières 1 Tâche à effectuer : écrire un algorithme 2 2 Comment écrire un algorithme? 3 2.1 Avec quoi écrit-on? Avec les boutons d écriture........
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailBases de Données. Le cas des BD relationnelles ouverture sur les BD relationnelles spatiales Séance 2 : Mise en oeuvre
Bases de Données Le cas des BD relationnelles ouverture sur les BD relationnelles spatiales Séance 2 : Mise en oeuvre Synthèse : conception de BD langage de modélisation famille de SGBD SGBD Analyse du
Plus en détailDéfinition 0,752 = 0,7 + 0,05 + 0,002 SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS = 7 10 1 + 5 10 2 + 2 10 3
8 Systèmes de numération INTRODUCTION SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS Dans un système positionnel, le nombre de symboles est fixe On représente par un symbole chaque chiffre inférieur à la base, incluant
Plus en détailFiche animateur : module écriture collaborative
Fiche animateur : module écriture collaborative Rédactrice : Isabelle Cailleau Sous-titre Niveau collège I. Objectifs pédagogiques du module Ce module doit permettre aux collégiens de comprendre comment
Plus en détailLE MODELE CONCEPTUEL DE DONNEES
LE MODELE CONCEPTUEL DE DONNEES Principe : A partir d'un cahier des charges, concevoir de manière visuelle les différents liens qui existent entre les différentes données. Les différentes étapes de réalisation.
Plus en détailA. Définition et formalisme
Les cardinalités et les différents types d'associations I. Les cardinalités A. Définition et formalisme Les cardinalités sont des couples de valeur que l'on trouve entre chaque entité et ses associations
Plus en détailDemande d admission au Centre pédagogique Lucien-Guilbault Secteur primaire
Date d envoi : Demande d admission au Centre pédagogique Lucien-Guilbault Secteur primaire QUESTIONNAIRE AU TITULAIRE Ce document doit être complété par le titulaire de classe et/ou par l orthopédagogue
Plus en détail