COMPLÉMENTS SUR LA CINÉMATIQUE DU POINT

Transcription

1 COMPLÉMENTS SUR LA CINÉMATIQUE DU POINT

2 Mouvement de Translation Rectiligne Uniformément Varié MRUV Il sert de modèle à de nombreuses études simplifiées. Pour ces mouvements, accélérés (a>0) ou décélérés (a<0), l accélération reste constante au cours du temps Soient : ti : instant initial a=ai : l accélération (m/s²) xi : le déplacement initial, à t=ti (m) Vi : la vitesse initiale (m/s) x(t) : le déplacement à l instant t (m) V(t) : la vitesse à l instant t (m/s)

3 Mouvement de Translation Rectiligne Uniformément Varié MRUV On peut exprimer t en fonction de V(t) et Vi Exemple : conditions initiales 0,0 0 : D où

4 Mouvement de Translation Rectiligne Uniformément Varié MRUV

5 Mouvement de Translation Rectiligne Uniformément Varié MRUV

6 Travail et puissance d une force

7 Rappel RFD : relation fondamentale de la dynamique (pour un solide en translation) Deuxième loi de Newton. Soit un corps de masse constante, l'accélération subie par un corps dans un référentiel galiléen est proportionnelle à la résultante des forces qu'il subit, et inversement proportionnelle à sa masse. Ainsi, la force nécessaire pour accélérer un objet est le produit de sa masse et de son accélération : plus la masse d'un objet est grande, plus grande est la force requise pour l'accélérer à une vitesse déterminée (en un laps de temps fixé). Quelle que soit la masse d'un objet, toute force nette non-nulle qui lui est appliquée produit une accélération.

8 Travail et puissance d une force

9 Théorème de l énergie cinétique

10 Théorème de l énergie cinétique

11 11 Théorème de l énergie cinétique Dans un référentiel galiléen, pour un corps ponctuel de masse m constante parcourant un chemin reliant un point A à un point B, la variation d énergie cinétique est égale à la somme des travaux W des forces extérieures et intérieures qui s exercent sur le solide considéré : où E ka et E kb sont respectivement l énergie cinétique du solide aux points A et B.

12 MRUV : retour à notre skieur

13 Mouvement de Translation Rectiligne Uniformément Varié MRUV

14 Mouvement de Translation Rectiligne Uniformément Varié MRUV Cas particulier : Equations horaires du mouvement sans déplacement initial et sans vitesse initiale

15 Exercice 1: pour vous entraîner Exercice 1 Un chariot de masse 2 tonnes est tracté sur des rails à une vitesse de 0,2 m/s. Calculer la tension du câble (on néglige les frottements).

16 Exercice 1 - corrigé Exercice 1 Un chariot de masse 2 tonnes est tracté sur des rails à une vitesse de 0,2 m/s. Calculer la tension du câble (on néglige les frottements). formule : PFD : ΣF = m. a Application : T mgcos40 = 0 T = mgcos40 T =2000x10xcos40 =15321N

17 Exercice 2 Une automobile de masse 850 kg est arrêtée sur une route horizontale. Au démarrage, elle est propulsée par une force constante dont la composante horizontale a pour intensité 200 dan. 1) Quelle est la nature du mouvement? Calculer l accélération de la voiture. 2) Quelle distance aura-t-elle parcourue après 5 secondes? 3) Quelle sera sa vitesse à cet instant?

18 Exercice 2 - corrigé

19 Exercice 3 (pour vous entraîner) Rolph Montag conduit une voiture à 50 km/h dans une rue horizontale. La voiture a une masse de kg. Soudain, il freine pour s arrêter. En supposant que la décélération est constante pendant tout le freinage (a = -2 m/s²) : 1) Indiquer la direction et le sens de la force exercée sur la voiture, calculer son intensité 2) Calculer la durée du freinage 3) Calculer la distance du freinage

20 Exercice 3 - corrigé Ernst Jünger conduit une voiture à 50 km/h dans une rue horizontale. La voiture a une masse de kg. Soudain, il freine pour s arrêter. En supposant que la décélération est constante pendant tout le freinage (a = -2 m/s²) :

21 Exercice 4 (pour vous entraîner) Une automobile avec son conducteur a une masse de kg. Pour simplifier on admettra, dans tout le problème, que la somme de toutes les forces de frottement est constante, parallèle au déplacement et égale à 150 N. 1) L automobile monte une pente de 2,5 % (tan a = 0,025) à la vitesse de 72 km/h. Au cours de cette montée le chauffeur débraye (force motrice nulle). A quelle distance du point où il a commencé le débrayage, la voiture s arrête-t-elle? 2) Au cours de cette même montée, la voiture roulant toujours à 72 km/h, le chauffeur débraye et freine en même temps. La voiture s arrête après 50 m. Calculer la valeur de la force résistante due au freinage.

22 Exercice 4 - corrigé

23 LES LEVIERS 23

24 24 Moment d une force Le moment de force est l'aptitude d'une force à faire tourner un système mécanique autour d'un point donné, que l'on nomme pivot (ou axe). Les composantes et la norme d'un moment de force sont exprimées en newton-mètre (Nm), dans le système international d'unités On choisit un sens positif et négatif en fonction du sens de rotation provoqué par la force sur le système mécanique Exemple : Le moment est dit positif si la rotation engendrée est anti-horaire (sens trigonométrique). Le moment est dit négatif si la rotation engendrée est horaire.

25 25 Moment d une force Le moment de la force F par rapport à l axe o ( MF ) est égal au produit de la distance d de l axe à la droite d action de la force (bras de levier) par l intensité de cette force en newton. Il s exprime en mètre newton (mn). d x o F M F = F d

26 26 A retenir Le moment d une force est égal au produit de l intensité de cette force par la distance de cette force à l axe de rotation. A l équilibre, la somme des moments des forces qui font tourner le solide dans un sens est égale à la somme des moments des forces qui le font tourner dans le sens contraire.

27 27 Cas de nullité du moment d une force Puisqu'il s'agit ensuite d'établir la somme nulle des moments, on peut naturellement s'intéresser aux cas de nullité individuelle des moments de force ; de par les propriétés du produit vectoriel : 1. la force est nulle 2. le bras de levier est de longueur nulle. La force est donc appliquée sur l axe de rotation 3. La force est colinéaire au vecteur levier, la droite d'action passe par l axe, ce qui inclut aussi le cas précédent.

28 Méthodes de calcul du moment d une force 1. le produit vectoriel Produit de la Longueur du bras de levier par l intensité de la force 3. Par projection : On considère les 2 composantes de la force dans un repère où un des axes est le levier et l autre axe est orthogonal au premier : le moment de la composante de la force portée par l axe sera nul, on n en tient donc pas compte. Le moment de la force par rapport à l axe sera donc égal à au produit de la norme de la composante orthogonal par la distance à l axe du point d application de la force.

29 Moment d une force : produit vectoriel 29

30 Moment d une force: bras de levier 30

31 31 Moment d une force: bras de levier 3) Par projection : On considère les 2 composantes Fx et Fy de la force dans un repère où un des axes est le levier et l autre axe est orthogonal au premier le moment de la composante de la force portée par l axe sera nul car est colinéaire au levier. Le moment de la force par rapport à l axe sera donc égal à au produit de Fy par la distance à l axe du point d application de la force :

32 32 LEVIERS Un levier est un solide très léger dont la forme est assimilable à une barre. Il est soumis à trois forces : la réaction du point d appui R, la force à vaincre ou résistance Fr, la force motrice F appelée aussi parfois à tort Puissance (au sens de force de puissance) Selon la position relative de ces trois forces, on distinguera trois sortes de leviers : levier inter-appui : l appui est au centre levier inter-résistant : la résistance ou la charge est au centre levier inter-moteur ou inter-puissant : la force exercée est au centre

33 33 3 Les leviers Étudier un mouvement en vue de l'optimiser, nécessite de : 1 - déterminer la direction du déplacement, ce qui va déterminer le type de mouvement. 2 - situer le point d'appui fixe (A), c'est à dire l'articulation 3 - situer le point d'application de la résistance (R), c'est à dire le centre de gravité de l'ensemble. 4 - situer le point d'application et la direction de la force musculaire (F), c'est à dire le point d'insertion du muscle.

34 34 3. Les leviers différents types Levier inter-appui : le pied de biche Levier inter-résistant : la brouette

35 Leviers 35 1 er genre Levier inter-appui R Fr. OA = F. OB d où Fr A O B F F = Fr. ( OA / OB ) et R = Fr + F On voit que plus la distance OB est grande par rapport à OA, plus l effort F sera petit pour vaincre une même force Fr. Applications : barre à mine, pied de biche, tenailles, cisailles à main, diable, chariot à bouteilles (1er temps). Attention, c est au point d appui que la force exercée est la plus grande!

36 Leviers 36 2 ème genre Levier inter-résistant R Fr O A B F Fr. OA = F. OB d où F = Fr. ( OA / OB ) et R = Fr - F On voit que plus la distance OB est grande par rapport à OA, plus l effort F sera petit pour vaincre une même force Fr. Applications : brouette, cisaille à levier, casse noix, diable, chariot à bouteilles (2ème temps).

37 Leviers 37 3 ème Genre Levier inter-moteur ou inter-puissant R Fr Fr. OA = F. OB d où F = Fr. ( OA / OB ) O B F A et R = F - Fr On voit que plus la distance OB est petite par rapport à OA, plus l effort F devra être grand pour vaincre une même force Fr. Applications : étaux à chaud, brucelles, pince à épiler

38 Équilibre 38 Un système est en équilibre si : - la somme des forces est nulle (force résultante = 0), - la somme algébrique des moments des forces est nulle. A 20 N 30 N 1 m 2 m B C 10 N La barre ne tourne pas, on a donc en A une force dont le moment s oppose à celui de la force exercée en C. L ensemble ne chute pas, on a donc en B une force opposée à la résultante des deux autres forces. On peut constater que, quel que soit le point de rotation choisi (A B C ou un autre), la somme des moments est nulle.

39 Équilibre 39 Un système est en équilibre si : - la somme des forces est nulle (force résultante = 0), - la somme algébrique des moments des forces est nulle. A 20 N 30 N 1 m 2 m B C 10 N La barre ne tourne pas, on a donc en A une force dont le moment s oppose à celui de la force exercée en C. L ensemble ne chute pas, on a donc en B une force opposée à la résultante des deux autres forces. On peut constater que, quel que soit le point de rotation choisi (A B C ou un autre), la somme des moments est nulle.

40 40 Les leviers osseux " Il y a dans l'homme un instinct de mécanique que nous voyons produire tous les jours de très grands effets dans des hommes fort grossiers.. Le paysan le plus ignorant sait partout remuer les plus gros fardeaux par le secours du levier, sans se douter que la puissance faisant équilibre est au poids comme la distance du point d'appui à ce poids est à la distance de ce même point d'appui à la puissance. S'il avait fallu que cette connaissance précédât l'usage des leviers, que de siècles se seraient écoulés avant qu'on eût pu déranger une grosse pierre de sa place» Essai sur les mœurs (in1756) Voltaire

41 41 Les leviers osseux Les mouvements des pièces squelettiques sont comme des mouvements de leviers dont les points d application sont les points d insertion des muscles.

42 42 Les poulies La poulie, si elle fonctionne sans frottement est une machine qui change la direction d une force sans en modifier l intensité. En anatomie on utilise ce terme pour désigner la forme d un os, par exemple, la poulie astragalienne. Mais on désigne ainsi des ensembles fonctionnels nombreux.

43 Leviers inter-appui 43

44 Leviers inter-appui 44

45 Leviers inter-résistants 45

46 46 Leviers inter-puissants ou inter-moteurs L action du grand fessier sur le fémur(extension de la hanche), l action du quadriceps crural sur le tibia (extension du genou)

47 47 Leviers inter-puissants ou inter-moteurs L action du grand fessier sur le fémur(extension de la hanche), l action du quadriceps crural sur le tibia (extension du genou)

48 Avantage ou gain mécanique 48

49 Avantage ou gain mécanique 49

50 Avantage ou gain mécanique 50

51 51 Avantage ou gain mécanique Si AM > 1, le levier est efficace. Si AM = 1, l efficacité du levier est nulle. Si AM < 1, le levier est inefficace.

52 gain mécanique idéal et réel 52

53 gain mécanique réel 53

54 54 Avantage cinématique des leviers C est l inverse de l avantage mécanique. Il témoigne de l amplitude ou de la rapidité potentielle du mouvement. Avec ce «levier de vitesse» ce que l on perd en force on le gagne en déplacement et donc en vitesse. Le corps humain est composé majoritairement de leviers inter-puissants ou inter-appui inefficaces.

55 55 Avantage cinématique (AC) des leviers quand on doit maintenir une posture, le travail musculaire à produire est faible. On a par contre besoin couramment de produire des mouvements rapides. Dès que l on va avoir un petit raccourcissement d un muscle que l on sollicite, cela provoque un déplacement de grande amplitude. L avantage cinématique exprime l amplitude du déplacement ou la rapidité du mouvement. Si AC > 1, le levier sera inefficace mais rapide. Si AC = 1, le levier sera neutre, ni efficace, ni rapide. Si AC < 1, le levier sera lent mais efficace.

56 56 Exemple de calcul Le biceps ou la force musculaire se situe à une distance de 3 cm du coude (point d appui) alors que la résistance R est à 36 cm. Le rapport de bras de levier est de 3/36 ou de 1/12 pour un avantage mécanique (AM) très faible de 0,083. Donc la force développée par le biceps devra être 12 fois supérieure à celle du bras de levier de la force motrice. Ainsi, on exercera toujours une force plus élevée que celle de la résistance. Ce type de levier est le plus commun dans le système musculo-squelettique.

57 Exemple de calcul 57

58 Exemple de calcul :système simplifié 58

59 59 Exemple de calcul O : centre de rotation. G : centre de gravité en avant du point d appui. P : poids de la tête. I : point d insertion moyen des muscles de la nuque. F : force des muscles de la nuque qui s oppose à P. On a donc un levier inter-appui puisque le centre de rotation se situe entre les points d application de P et de F. R = - (P + F) = force appliquée au niveau du centre de rotation qui s oppose à P et à F. A l état d équilibre : Σ F = 0 Σ M = 0 P + F + R = 0 ( R = R P + R F ) R = - P + ( - F ) M P/O + M R/O + M F/O = 0 P. OG. sin β F. OI. sin α = 0

60 Exemple de calcul : application numérique 60

61 61 Exercice sur les moments des forces Une poutre de 100 N et de 1 m de longueur supporte une charge de 300 N à son extrémité droite. Un câble relié à un mur maintient la poutre en équilibre. (a) Quelle doit être la tension dans le câble? (b) Quelles sont les composantes (horizontale et verticale) de la force exercée par le mur sur la poutre? Solutions : attention il faut prendre en compte le poids de la poutre!! (a) 484 N (b) R x = 371 N et R y = 89,3 N

62 Exercice sur les moments des forces 62

63 Exercice sur les moments des forces 63

64 Exercice sur les moments des forces 64

65 Exercice sur les moments des forces 65

66 66 Exercice Calculer la force musculaire, FM, du biceps brachial pour maintenir la charge et calculer la force de réaction articulaire, FC, au niveau du coude. L avant-bras et la main ont une masse de 3 kg, le centre de masse est situé à 15 cm de l articulation du coude et le bras de levier du biceps est de 5 cm. Le poids possède une masse de 6 kg. La distance du poids P au coude est 40 cm. La force musculaire FM est localisée et dirigée vers le haut (c est en tension) et les poids sont dirigés vers le bas

67 67 Exercice: représentation Calculer la force musculaire, FM, du biceps brachial pour maintenir la charge et calculer la force de réaction articulaire, FC, au niveau du coude. L avant-bras et la main ont une masse de 3 kg, le centre de masse est situé à 15 cm de l articulation du coude et le bras de levier du biceps est de 5 cm. Le poids possède une masse de 6 kg. La distance du poids P au coude est 40 cm. La force musculaire FM est localisée et dirigée vers le haut (c est en tension) et les poids sont dirigés vers le bas

68 Exercice: solution 68

69 QCM sur les moments des forces 69

70 QCM sur les moments des forces 70

71 QCM sur les moments des forces 71

72 Soulever et porter correctement une charge 72

73 Soulever et porter correctement une charge 73

74 74 Règles de base Il faut penser à répartir la charge Garder le dos droit (pour des charges supérieures à 5kg)

75 Valeurs limites 75

76 76 bibliographie Bibliographie Physique ; Mpsi. Pcsi. Ptsi Editeur : Hachette Education Collection : H Prepa Biophysique. Cours, Exercices, Annales Et Qcm Corrigés, 2e édition Auteur : Salah Belazreg, Rémi Perdrisot, Jean-Yves Bounaud Editeur : DUNOD Edisciences - collection : 100% 1re année Santé