Les fractions à l école élémentaire

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1 Les fractions à l école élémentaire 1/ Il faut travailler les nombres décimaux avant les fractions. Faux. Il est préférable de travailler les fractions avant les nombres décimaux, ceux-ci étant ensuite présentés comme un cas particuliers de fractions à savoir une autre écriture des fractions décimales. 2/ Placer des fractions sur la droite graduée n est pas au programme du cycle 3. Faux. Ce travail est amorcé en cours moyen, mais sera repris au collège et approfondi. Il permet notamment d illustrer l encadrement d une fraction entre deux nombres entiers consécutifs et de faire utiliser la décomposition d une fraction en somme d un nombre entier et d une fraction inférieure à 1. 3/ Encadrer une fraction entre deux entiers consécutifs est au programme du CM. Vrai. Cela aide d ailleurs les élèves à placer plus facilement les fractions sur la droite graduée. 4/ L addition de fractions n est pas au programme du cours moyen. Faux et Vrai. Le travail d addition des fractions en général n est pas au programme du CM. Mais l addition de fractions décimales simples ou de fractions simples de même dénominateur peut être proposé en cours moyen. 5/ Dans une fraction le numérateur est toujours inférieur au dénominateur. Faux. Cela voudrait dire que la fraction désigne toujours un nombre inférieur à 1. Une fraction pouvant être supérieure ou inférieure à 1, le numérateur de la fraction n est pas toujours inférieur au dénominateur de cette fraction 6/ A l école élémentaire seules les fractions inférieurs à 1 sont au programme. Faux. A l école élémentaire on présente des fractions supérieures et inférieures à 1. 7/ La seule utilisation du partage d une surface en parts égales ne suffit pas à comprendre la notion de fractions. Vrai. Il est nécessaire de présenter des fractions dans d autres situations que le partage de surface en parts égales. L utilisation d autres grandeurs (longueurs, durées ) est nécessaire. Il ne faut pas, dans ce contexte, ne travailler que «l aspect quantité» de la fraction. Placer une fraction parmi d autres nombres, avec la relation «supérieur» ou «inférieur», ou bien, voir la fraction comme abscisse d un point par exemple, permet d intégrer différents points de vue, qui participent à la construction du concept de la notion de fraction. Cela ne suffira pas. Les opérations avec des fractions comme l addition, la multiplication, le quotient et leur utilisation dans la résolution de problèmes seront également très importants. Trois questions pour finir : 8/ Quels sont les pré-requis nécessaires à l apprentissage des fractions?

2 Les élèves doivent maîtriser les tables de multiplication par 2, 3, 5, 10, au minimum. Être capable de trouver des multiples et des diviseurs d un nombre donné. Connaître et pouvoir utiliser les expressions comme «n fois plus» et «n fois moins» Pour le partage égalitaire : Faire la différence entre partage égalitaire et non égalitaire. Du point de vue géométrique : les élèves doivent avoir rencontré des partages d un segment de longueur donnée en plusieurs segments de même longueur. Pour la droite graduée : Savoir ce qu est une graduation régulière (avec le choix d une unité) Savoir placer un nombre entier sur une droite graduée. 9/ Comment aider les élèves qui ne parviennent pas à décomposer une fraction supérieure à 1 en somme d un nombre entier et d une fraction inférieure à 1? Pour donner du sens aux décompositions additives il est nécessaire d avoir d abord travailler la notion de fraction supérieure ou inférieure à 1 ou à n importe quel entier, et de fraction égale à un entier. De plus il est important que les élèves sachent placer une fraction sur une droite graduée sans difficulté. A partir de ces pré requis, il est possible d aborder les décompositions des fractions en partie entière et partie fractionnaire. Plusieurs activités ludiques pourront être mises en place pour favoriser la mémorisation de ces décompositions et de leur principe. Par exemple on pourra utiliser le jeu du furet dans lequel on fera mettre l accent sur les différentes lecture des nombres comme qui sera lu etc On pourra aussi utiliser un jeu de loto ou un jeu de dominos constitué de plusieurs écritures différentes de fractions simples et en particulier des décompositions en partie entière et partie fractionnaire de ces nombres. Le raisonnement, appuyé sur le langage oral, doit également être sollicité dans des cas simples, en référence à des représentations matérielles :, c est sept quarts, c est donc quatre quarts plus trois quarts. Comme quatre quarts, c est 1, on a 10/ Comment utiliser les affichages sur les fractions et quel rôle leur assigner? Les affichages peuvent jouer des rôles différents au cours de l apprentissage en classe. Au début ils peuvent constituer une trace écrite des activités conduites collectivement. Ensuite ils serviront de mémoire pour la classe. Puis enfin, ils seront des supports présents dans la classe pour résoudre des problèmes avant de fournir des images mentales auxquelles les élèves peuvent se référer. Ils pourront être dissimulés à certains moments, en particulier lors des évaluations si nécessaire. Les affichages suivants sont indispensables : -La droite numérique avec une graduation tous les demis, une autre tous les tiers, tous les quarts, tous les dixièmes. -Les différentes familles avec : L écriture fractionnaire et le nom des familles : demis, quarts, tiers, cinquièmes, dixièmes, centièmes. -Les représentations avec des bandes, avec des disques (pendules, penser à l heure), avec des carrés, des rectangles non carrés, en prenant soin de préciser l unité (ce qui représente 1) -Des familles de fractions égales à 1, 2, égales à un demi, un tiers, un quart, un dixième.

3 Les nombres décimaux des rationnels particuliers 1/ Tout nombre qui s écrit avec une virgule est un nombre décimal. Faux. Il existe des nombres écrits avec une virgule qui ne sont pas des nombres décimaux. C est le cas des nombres dont la partie décimale comporte une période. Ils peuvent seulement s écrire sous forme de fractions non décimales. Exemple = 0,3333.n est pas décimal. C est également le cas de P qui est irrationnel et ne peut pas s écrire sous forme de quotient et encore moins sous forme de fraction décimale. 2/ Tout nombre qui s écrit sous forme de fraction décimale est un nombre décimal. Vrai. C est la définition même d un nombre décimal. 3/ Un nombre décimal peut s écrire sous forme de fraction non décimale. Vrai. Il peut s écrire sous forme de fraction non décimale mais cette fraction peut se convertir en fraction décimale. Exemple : 0,5 =. Or n est pas une fraction décimale mais elle peut se convertir en une fraction décimale 5/10. De même 0,5 =. Or n est pas une fraction décimale mais elle peut se convertir en fraction décimale en simplifiant la fraction. Une fraction réduite désigne un nombre décimal si son dénominateur ne contient que des facteurs 2 et/ou des facteurs 5. 4/ Tout nombre décimal s écrit avec une virgule. Faux (et vrai d un certain point de vue). Il existe des nombres décimaux qui ne s écrivent pas nécessairement avec une virgule. C est le cas des nombres entiers. On peut bien sur écrire un nombre entier avec une virgule et avec une partie décimale composée de 0. Exemple : 2 = 2,000. Il est donc vrai que tout nombre décimal peut s écrire avec une virgule. 5/ Il est nécessaire de présenter les nombres décimaux dès le CE2. Faux. Les programmes officiels indiquent qu il faut présenter les décimaux seulement à partir du Cours moyen première année. Mais au CE2, les élèves peuvent rencontrer des écritures à virgule, notamment dans le cadre de la monnaie. 2,45 est alors interprété comme 2 euros et 45 centimes et non 2 euros et 45 centièmes d euros. 6/ Il faut commencer par introduire les nombres décimaux avant les fractions en cycle 3. Faux. Là encore les programmes officiels conseillent de partir des fractions décimales

4 pour introduire les nombres décimaux ce qui sous-entend que les fractions en général doivent être traitées avant les décimaux et que ces derniers nombres ne seront qu un cas particulier de fractions, les fractions décimales. 7/ Il est nécessaire de proposer aux élèves des exercices de représentation des fractions décimales sous forme de partage de surface unité. Vrai. En effet différentes représentations des fractions décimales ou pas doivent être proposées aux élèves afin d élargir le champ de leur connaissance et leur permettre de généraliser les notions de fractions à différents partages. Trois questions pour finir : 1/ Quelles activités spécifiques mettre en place pour travailler sur les fractions décimales. Nous avons proposé différentes activités ludiques permettant de travailler en particulier les fractions décimales, jeu de loto, de mariages, dominos et de mémory. Les partages de surfaces doivent également être utilisés ainsi que des activités concernant le placement sur différentes droites graduées. 2/ Comment permettre aux élèves de comprendre le lien entre fraction décimale et nombre décimal? En fait ce lien est historique mais aussi arbitraire. On a décidé de noter les fractions décimales d une autre façon plus légère et pour cela on a utilisé les nombres à virgule. Il faut seulement faire comprendre la signification de la notation à virgule et sa correspondance avec les fractions décimales. La lecture des nombres décimaux utilisant le vocabulaire dixième, centième etc.. sera d une grande aide pour faire comprendre le lien entre les deux écritures. Exemple : 2,437 sera lu 2 4 dixièmes 3 centièmes 7 millièmes ou 2 et 437 millièmes. 3/ Pourquoi est-il nécessaire de proposer des nombres entiers pendant toutes les activités concernant les nombres décimaux? Il est indispensable de présenter les nombres entiers comme des nombres décimaux particuliers afin que les élèves puissent les utiliser convenablement lors des différents calculs qu ils auront à faire. En effet il faut qu ils sachent qu un nombre entier peut s écrire avec une virgule et peut aussi s écrire sous forme de fraction décimale. Cela pourra ainsi permettre aux élèves de mieux aborder les comparaisons de nombres décimaux.

5 Les désignations écrites et orales des nombres décimaux (numération positionnelle.) 1/ Il n y a qu une seule façon d écrire un nombre décimal sous forme de fraction décimale ou sous forme de somme de fractions décimales. Faux. Il y a de multiples façons d écrire un nombre décimal sous forme de fraction décimale. Exemple : 5,467 = = etc et 5,467 = + = +. etc 2/ La compréhension de l écriture à virgule d un nombre décimal ne demande aucun prérequis. Faux : Il faut absolument savoir que l écriture chiffrée d un nombre décimal est régie par les règles de la numération de position et que la valeur d un chiffre est dix fois plus petite que celle du chiffre écrit immédiatement gauche et dix fois plus grande que celle du chiffre qui est écrit immédiatement à sa droite. Ceci est d ailleurs vrai aussi bien pour la partie entière que pour la partie décimale. Il faut aussi savoir qu un même nombre décimal peut avoir plusieurs écritures chiffrées et en particulier qu il peut s écrire de plusieurs façons sous forme de fraction décimale. Il faut donc qu ils connaissent bien la signification des fractions décimales et leur utilisation. Si les élèves n ont pas compris la notion d échange de dix unités contre une dizaine de dix dizaines contre une centaine et surtout qu on échange 10 contre 1 de l ordre supérieur (échange bien visible avec un abaque), on ne peut pas espérer qu ils comprennent la signification des chiffres de la partie décimale et la façon dont s effectuent les échanges, à savoir : 10 contre 1 10 contre 1 10 contre 1 10 contre 1 dizaines unités dixièmes Centièmes millièmes Virgule 3/ Il faut faire apprendre par cœur aux élèves comment décomposer un nombre décimal en utilisant 10, 100, 1000 et 0,1 ; 0,01 etc Ce n est pas nécessaire. Il est indispensable cependant de donner du sens à l écriture chiffrée d un nombre décimal et en particulier faire apprendre que 0,1 désigne un dixième, 0,01 désigne un centième et 0,001 désigne un millième etc Ceci doit être appris car il s agit bien sur d une convention d écriture relativement récente et ne peut pas être inventé pas les élèves. Il faut connaître aussi les rapports avec l unité (10 fois moins, 100 fois moins ) et les rapports entre par exemple 0,1 et 0,001 (0,001 c est 100 fois moins que 0,1) 4/ L écriture à virgule des nombres décimaux n obéit pas aux même règles que notre système décimal de position. Faux. L écriture à virgule des nombres décimaux obéit aux mêmes règles que notre système décimal de position. Cependant l une des dénominations d un nombre décimal à savoir lecture de la partie entière comme un entier et la partie décimale comme un entier tend à faire croire qu il s agit de deux parties totalement indépendantes et donc risque d occulter les principes de la numération de position. Les élèves ont tendance à oublier que 10 dixièmes sont échangés contre une unité, comme 10 unités sont échangées contre une dizaine.

6 5/ Il faut proposer des nombres entiers, dans les exercices concernant l écriture à virgule des nombres décimaux? Vrai. Les nombres entiers sont des décimaux particuliers et il est donc nécessaire de proposer des entiers parmi les nombres décimaux. On peut ainsi montrer qu un nombre entier est un nombre décimal dont la partie décimale est composée de zéros. Ceci facilitera grandement l apprentissage des opérations dans l ensemble des nombres décimaux. 6/ Il est nécessaire de travailler les différentes désignations des nombres décimaux ayant une partie décimale pouvant aller jusqu à 3 chiffes au moins. Vrai. Si l on veut être sur que les élèves ont vraiment compris le système d échange concernant la partie décimale, il faut travailler avec des nombres dont la partie décimale est de longueur variée et comporte aussi trois chiffes voir quatre. Cela permet l apprentissage des millièmes, dix millièmes et la compréhension des échanges possibles. Trois questions pour finir : 1/ Pourquoi faut-il faire le lien entre écriture à virgule et écriture fractionnaire d un nombre décimal? Faire ce lien est la seule façon de donner du sens à chacun des chiffres de la partie décimale et également de faire comprendre qu entre deux nombres décimaux différents on peut toujours en mettre un autre. On peut ainsi faire comprendre aux élèves qu un intervalle si petit soit-il peut être partagé en dix parties égales et ce à l infini. 2/ Pourquoi faut-il travailler les différentes façons d oraliser des nombres décimaux? Il est très important de travailler différentes façons d oraliser les décimaux car la lecture traditionnelle cache la signification de la partie décimale. En effet lire 5,69 cinq virgule soixante-neuf, peut conforter les élèves dans l idée qu un nombre à virgule est la juxtaposition de deux nombres entiers qu on «entend» d ailleurs dans une telle lecture et donc favoriser les erreurs lors de la comparaison des nombres à virgule entre autre. Il est donc indispensable de ne pas introduire trop tôt cette façon de lire les nombres à virgule et de travailler explicitement les différentes lectures possibles de ces nombres. Par exemple 5,68 peut se lire cinq et six dixièmes et 8 centièmes, mais aussi cinq et soixante huit centièmes, mais aussi cinq cent soixante huit centièmes, mais aussi cinquante six dixièmes et huit centièmes, mais aussi cinq et six cent quatre-vingt millièmes etc.c est seulement quand cette gymnastique sera bien installée qu on pourra introduire la lecture traditionnelle qui intervient alors comme une simplification comme l écriture à virgule intervient comme une simplification de l écriture sous forme de somme de fractions décimales. 3/Quels sont les prérequis nécessaires à la production d une suite orale ou écrite de nombres décimaux de 0,1 en 0,1? Les prérequis sont justement la compréhension de la numération de position et donc de la façon de faire les échanges concernant la partie décimale. Dix dixièmes sont échangés contre une unité, c est à dire que dix éléments sont échangés contre 1 de l ordre supérieur. Donc après 0,9 ne vient pas 0,10 mais 1 car 10 dixièmes sont échangés contre une unité et 0,10 désigne 1 dixième et non pas 10 dixièmes.

7 Ordre sur les décimaux 1/ Pour comparer des nombres décimaux il ne suffit pas de connaître les règles de comparaison sur les nombres entiers. Vrai. En effet les règles de comparaison sur les nombres entiers peuvent même interférer avec celles valables sur les nombres décimaux. Il faut bien connaître la signification de chacun des chiffres de la partie décimale pour effectuer une comparaison convenable. Il ne faut cependant pas oublier les règles de comparaison qui permettent de comparer les parties entières des nombres décimaux. Cependant, les stratégies de comparaison se rapprochent si on procède à une comparaison chiffre à chiffre en partant des chiffres de plus grande valeur. 2/ Pour comparer des nombres décimaux il est préférable d utiliser l écriture sous forme de fractions décimales. Vrai et faux. L écriture des décimaux sous forme de somme de la partie entière et de fractions décimales permet de redonner du sens à chacun des chiffres de la partie décimale et donc facilite la comparaison. L écriture des décimaux sous forme d une seule fraction décimale permet facilement de comparer des décimaux si les deux fractions ont le même dénominateur. Si ce n est pas le cas il faut convertir ces deux fractions au même dénominateur ce qui n est pas toujours chose aisée pour les élèves. En fait si l écriture à virgule est bien maîtrisée c est à dire si les élèves connaissent bien la signification de chaque chiffre de la partie décimale alors la comparaison est aussi facile qu avec l écriture sous forme de somme de fractions décimales. 3/ Pour commencer l apprentissage, il vaut mieux donner à comparer des nombres décimaux ayant le même nombre de chiffres à leur partie décimale. Faux. En effet cela va conforter les élèves dans l idée fausse qu un décimal est la juxtaposition de deux entiers indépendants. En effet si les nombres ont le même nombre de chiffres à leur partie décimale il suffit de comparer ces parties décimales comme s il s agissait d entiers et il n est plus nécessaire de connaître la signification de chacun des chiffres de la partie décimale. Il est donc préférable de tout de suite donner à comparer des nombres n ayant pas le même nombre de chiffres à leur partie décimale. 4/ Il faut éviter de donner des entiers dans les listes de nombres décimaux à ranger dans l ordre croissant ou décroissant. Faux. Au contraire il est recommandé de donner des nombres entiers qui sont des décimaux particuliers à ranger dans une liste de nombres décimaux. Cela va permettre de voir si les élèves ont bien assimilé l ordre sur les nombres décimaux et s ils savent que ce n est pas le nombre de chiffres du nombre décimal qui permet de savoir s il est supérieur ou inférieur à un autre nombre décimal, mais bien la valeur positionnelle de ces chiffres qui permet de conclure. 5/ La lecture traditionnelle des nombres décimaux à comparer est une aide pour les ranger dans l ordre croissant ou décroissant. Faux. La lecture traditionnelle des nombres décimaux tend à faire croire qu un nombre décimal est la juxtaposition de deux nombres entiers et donc renforce les idées fausses des élèves. En effet quand on veut comparer cinq virgule quatre et cinq virgule dix-huit on entend «quatre» et «dix-huit» et on a envie de dire que 5,4 < 5,18 car 4 est inférieur à 18. La lecture traditionnelle occulte la signification de chacun des chiffres après la virgule. Il vaut mieux utiliser une lecture utilisant les mots dixième, centième etc 6/ Pour travailler l ordre dans l ensemble des nombres décimaux, l utilisation de la droite graduée n est pas adaptée au cycle 3. Faux. Le placement des nombres décimaux sur la droite graduée est au programme du cycle 3 car justement c est une aide pour comprendre l ordre sur les nombres décimaux et également l intercalation toujours possible d un nombre décimal entre deux nombres décimaux. La droite graduée permet de donner une image mentale de l ordre sur les nombres décimaux.

8 7/ Si un élève sait intercaler un ou plusieurs nombres décimaux entre 5,2 et 5,9 puis entre 3,34 et 3,39 on est sur qu il a compris la notion d intercalation. Faux. En effet dans les deux cas cités le fait de considérer les nombres décimaux comme des entiers permet d intercaler un ou plusieurs nombres décimaux entre les deux nombres donnés. Pour être sur que les élèves ont bien compris la notion d intercalation il faut leur demander d intercaler un ou plusieurs nombres entre deux nombres décimaux séparés par une dixième ou par un centième etc Exemple : intercaler 3 nombres entre 5,2 et 5,3. Intercaler 4 nombres entre 4,56 et 4,57. On peut ensuite même demander d intercaler 15 nombres entre 1,2 et 1,3 par exemple. Trois questions pour finir :. 1/ Quels sont les avantages et les inconvénients à enseigner la règle suivante : «pour comparer des nombres décimaux ayant la même partie entière mais n ayant pas le même nombre de chiffres à leur partie décimale, il suffit d ajouter des zéros à la droite du nombre afin de ramener les deux parties décimales au même nombre de chiffres.»? Cette règle permet en effet de comparer les nombres décimaux sans erreur mais là encore cela conforte les élèves dans le fait de considérer les nombres décimaux comme la juxtaposition de nombres entiers et ne leur permet pas de donner du sens aux chiffres de la partie décimale. Ils ne pourront réussir avec une telle règle les exercices d intercalation ni les exercices de comptage de 0,1 en 0,1 ou de 0,01 en 0,01 etc qui ne peuvent être réussis que si l on a compris la signification de chacun des chiffres de la partie décimale. 2/ Quels sont les dangers à utiliser uniquement des prix pour travailler le rangement des nombres décimaux en général? Le fait d utiliser uniquement des prix pour travailler sur les nombres décimaux en général confrontent les élèves à des nombres décimaux à deux chiffres au maximum après la virgule et donc ne permet pas de généraliser la notion. De plus il est difficile de comprendre qu on peut toujours intercaler un nombre décimal entre deux nombres décimaux car entre deux prix on ne peut pas toujours trouver un nombre décimal exprimant un autre prix puisqu il n existe pas d unité de monnaie en dessous des centimes. Cela va à nouveau conforter les élèves dans l idée que le rangement des décimaux se fait avec les mêmes règles que pour les nombres entiers. D autre part, cela revient souvent à comparer des écritures complexes en et c qui n utilisent donc que des entiers 3/ Comment aider des élèves qui ne parviennent pas à ranger des nombres décimaux dans l ordre? L utilisation de la droite graduée et de différents grossissements des écarts entre deux nombres décimaux va permettre aux élèves de comprendre comment s organise l ordre sur les décimaux. L utilisation du jeu des étiquettes avec la droite graduée sera également d une grande aide. La manipulation de l abaque pour redonner du sens aux échanges et permettre de comprendre la numération positionnelle de la partie décimale est également fortement recommandée. De plus la fréquentation régulière des nombres décimaux et leur placement sur la droite graduée permettront aux élèves de s approprier les règles de rangement des nombres décimaux. L utilisation d un matériel de numération (surfaces par exemple) permet aussi de visualiser la «taille respective» des différents chiffres.