AGRANDISSEMENT - REDUCTION

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Luc Marier
il y a 7 ans
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1 I- Exemples et définitions: AGRANDISSEMENT - REDUCTION Figure initiale: Reproduction: On a divisé les longueurs de la figure initiale par 3 (ou, ce qui revient au même on les a multipliées par 1/3) On dit que la reproduction est à l'échelle 1/3, ou encore que c'est une reproduction de rapport 1/3 La reproduction est plus petite que la figure initiale. On dit que l'échelle 1/3 est une échelle de réduction Figure initiale: Reproduction: On a multiplié les longueurs de la figure initiale par 2 On dit que la reproduction est à l'échelle 2, ou encore que c'est une reproduction de rapport 2 La reproduction est plus grande que la figure initiale. On dit que l'échelle 2 est une échelle d'agrandissement II- Calculs sur les longueurs: 1) Calcul de la longueur sur la reproduction: Le Transsibérien (ligne de chemin de fer de Moscou à Vladivostok) a une longueur de km. Calculer la longueur, en cm, du tracé correspondant sur une carte à l'échelle 1/ km = cm : = 92,9 cm La longueur du tracé du Transsibérien sur une carte au 1/ est 92,9 cm On photocopie un document en prenant comme rapport 150% Quelle est la longueur sur la photocopie d'un trait mesurant 12 cm sur le document d'origine. 1

2 Le rapport 150% signifie 150/100, ou encore 1,5 On a donc un agrandissement de rapport 1,5 12 x 1,5 = 18 La longueur du trait sur la photocopie est donc de 18 cm 2) Calcul de la longueur réelle: Exemple: Une maquette de la fusée Ariane 5, à l'échelle 1/300, a pour hauteur 19,1 cm. Quelle est la hauteur réelle, en m, de cette fusée? 19,1 x 300 = cm = 57,3 m La hauteur réelle de la fusée Ariane est donc 57,3 m 3) Calcul de l'échelle: Exemple: Le plus long paquebot du monde, le Queen Mary 2, a une longueur de 315 m Une maquette de ce bateau a une longueur de 63 cm. Quelle est l'échelle de cette maquette? 315 m = cm : 63 = 500 Le bateau est, dans la réalité, 500 fois plus grand que sur la maquette (ou, inversement, on a divisé la longueur réelle par 500 pour effectuer la maquette). L'échelle de cette maquette est donc 1/500 III- Effet d'une échelle sur les aires: 1) Découverte: La figure initiale est un rectangle de longueur 5 cm et de largeur 3 cm On en fait une reproduction à l'échelle 4 Cette reproduction est donc un rectangle de longueur 20 cm et de largeur 12 cm L'aire du rectangle initial est 5 x 4 = 20 cm 2 L'aire de la reproduction est 20 x 12 = 240 cm = 20 x 16 = 20 x 4 2 Dans un agrandissement de rapport 4, l'aire est multipliée par 4 2 La figure initiale est un disque de rayon 18 cm On en fait une reproduction à l'échelle 1/3 Cette reproduction est donc un disque de rayon 6 cm L'aire du disque initial est π x 18 2 = 324 π cm 2 L'aire de la reproduction est π x 6 2 = 36 π cm 2 36 π = 324 π : 9 = 324 π x 1/9 = 324 π x (1/3) 2 Dans une réduction de rapport 1/3, l'aire de la figure initiale est multipliée par (1/3) 2 2) Propriété: Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k, les aires sont multipliées par k 2 2

3 3) Exemple: Le quatre-mâts Esmeralda, navire-école de la marine chilienne, a une surface de voilure de 2870 m 2 Quelle est la surface des voiles, sur une maquette de ce bateau à l'échelle 1/200? 2870 m 2 = cm 2 Pour avoir la surface des voiles sur la maquette, il faut multiplier cette surface par (1/200) 2, ou encore la diviser par : = : = cm 2 La surface des voiles, sur une maquette de ce bateau à l'échelle 1/200 est cm 2 IV- Effet d'une échelle sur les volumes: 1) Découverte: Le solide initial est une pyramide de hauteur 12 cm dont la base est un carré de côté 5 cm On en fait une reproduction à l'échelle 3 Cette reproduction est donc une pyramide de hauteur 36cm dont la base est un carré de côté 15 cm Le volume de la pyramide initiale est (5 x 5 x 12) : 3 = 100 cm 3 Le volume de la reproduction est (15 x 15 x 36) : 3 = 2700 cm = 100 x 27 = 100 x 3 3 Dans un agrandissement de rapport 3, le volume du solide initial est multiplié par 3 3 Le solide initial est un une boule de rayon 15cm On en fait une reproduction à l'échelle 1/5 Cette reproduction est donc une boule de rayon 3 cm Le volume de la boule initiale est (4 x π x 15 3 )/3 = 4500 π cm 3 Le volume de la reproduction est (4 x π x 3 3 )/3 = 36 π cm 2 36 π = 4500 π : 125 = 4500 π x 1/125 = 4500 π x (1/5) 3 Dans une réduction de rapport 1/5, le volume du solide initial est multiplié par (1/5) 3 2) Propriété: Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k, les volumes sont multipliés par k 3 3) Exemple: La cathédrale d'amiens, a un volume intérieur de m 3 Quel est le volume intérieur d'une maquette de cette cathédrale à l'échelle 1/500? m 3 = cm 3 Pour avoir le volume intérieur de la maquette, il faut multiplier ce volume par (1/500) 3, ou encore la diviser par : = : = cm 3 Le volume intérieur de cette maquette est cm 3 3

4 V- Exercices: Exercice 1: La cathédrale d'amiens a une longueur de 145 m. Quelle est la longueur d'une maquette de cette cathédrale à l'échelle 1/250? Exercice 2: On a mesuré, sur une carte au 1/ , la longueur de la frontière entre le Mexique et les Etats-Unis. le résultat de cette mesure est 62,3 cm. Quelle est la longueur réelle de cette frontière? Exercice 3: La hauteur du clocher neuf de la cathédrale de Chartres est de 115 m. La hauteur correspondante sur une maquette de cette cathédrale est 23 cm. Quelle est l'échelle de cette maquette? Exercice 4: La France a une superficie de km 2. Quelle est, en cm 2, la surface correspondante sur une carte à l'échelle 1/ ? Exercice 5: Un camion citerne a une capacité de litres. Quelle est la capacité, en litres, de la citerne de ce camion sur une maquette à l'échelle 1/43? (arrondir au cl) 4

5 AGRANDISSEMENT - REDUCTION CORRECTION DES EXERCICES Exercice 1: La cathédrale d'amiens a une longueur de 145 m. Quelle est la longueur d'une maquette de cette cathédrale à l'échelle 1/250? 145 m = cm : 250 = 58 La longueur de cette maquette est 58 cm Exercice 2: On a mesuré, sur une carte au 1/ , la longueur de la frontière entre le Mexique et les Etats-Unis. le résultat de cette mesure est 62,3 cm. Quelle est la longueur réelle de cette frontière? 62,3 x = cm = km La longueur réelle de cette frontière est km Exercice 3: La hauteur du clocher neuf de la cathédrale de Chartres est de 115 m. la hauteur correspondante sur une maquette de cette cathédrale est 23 cm. Quelle est l'échelle de cette maquette? 115 m = cm : 23 = 500 L'échelle de cette maquette est 1/500 Exercice 4: La France a une superficie de km 2. Quelle est, en cm 2, la surface correspondante sur une carte à l'échelle 1/ ? Dans une réduction de rapport (1/ ), les aires sont multipliées par (1/ ) 2, ou encore sont divisées par , c'est à dire par km 2 = cm x / = x 10-2 = 5490 La superficie de la France sur cette carte est cm 2 Exercice 5: Un camion citerne a une capacité de litres. Quelle est la capacité, en litres, de la citerne de ce camion sur une maquette à l'échelle 1/43? (arrondir au cl) Dans une réduction de rapport 1/43, les volumes sont multipliés par (1/43) 3, ou encore sont divisées par : ,25 L (résultat arrondi au cl) La capacité de la citerne sur cette maquette est 0,25 L 5

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