Modélisation algébrique MAT Cahier de l élève. Nom : Date :

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1 Modélisation algébrique MAT L A M O D É L I S A T I O N, O N L A! Cahier de l élève Nom : Date :

2 Situation d apprentissage : La modélisation, on l a! Il vous est déjà arrivé d avoir à louer un outil ou un camion pour faire des rénovations? Dans ce cas, vous n avez sûrement pas manqué de constater la liste impressionnante d outils offerts. Régulièrement, le prix de location de ces outils doit être modifié, de nouveaux outils s ajoutent, des rabais sont offerts selon la demande. Toute modification à la liste d outils en location demande de faire des calculs. Grâce à des logiciels tels le tableur et l utilisation de formules algébriques, ce travail prend beaucoup moins de temps et permet de réduire les risques d erreurs. Dans cette situation d apprentissage, vous allez apprendre à créer et à utiliser des modèles algébriques pour le traitement de grandes quantités de données ou pour l utilisation de calculs récurrents (répétitifs). À la fin des différentes tâches, vous serez capable d utiliser quelques fonctions du tableur pour le traitement efficace de données. La réalisation de cette activité vous amènera à repérer des relations explicites entre diverses quantités telles le prix et la durée de location d outils. Vous aurez également à vous créer des modèles algébriques et à sélectionner des formules et des opérations pour calculer la valeur de plusieurs données. Matériel à utiliser pour l activité : Pour réaliser cette activité, vous devrez avoir en main (imprimés) votre cahier de l élève et la procédure d utilisation du tableur. À l ordinateur, ouvrez le fichier Excel de l activité Location_outils. 1 1 Source de l image : Microsoft, RÉCIT FGA, région des Laurentides mai 2011

3 Tâche A : Majorer les prix de 2,9 % Rappel Une augmentation de 5% signifie que pour chaque 100$ de prix initial, on ajoute 5$. Par exemple, une augmentation de 4% sur un prix de 75$ sera calculée de cette façon : 75 $ = 3$. Ensuite, afin de connaître le nouveau prix, on ajoute l augmentation au prix initial : 75 $ + 3$ = 78$ À votre tour maintenant : Quelle sera l augmentation en dollars si l essence, au prix de 1,28$ le litre, augmente de 2%? Quel sera le nouveau prix de l essence? Quelle sera l augmentation, en dollars, si votre loyer, actuellement de 425$ par mois, est augmenté de 5%? Quel sera le nouveau montant mensuel du loyer? RÉCIT FGA, région des Laurentides mai 2011

4 Mise en situation Pour compenser la hausse des salaires des employés ainsi que d autres frais, le gérant du magasin Location Modèle décide de majorer (augmenter) les prix de location de tous les outils de la liste. Tâche demandée Votre tâche est d afficher les nouveaux prix dans la liste de location. Étant donné le nombre important d items dans la liste, vous utiliserez une formule algébrique pour majorer tous les prix plutôt que de faire les calculs un à un. L augmentation demandée est de 2,9% et elle reste la même pour tous les items. La seule chose qui varie, c est le prix de location de chaque item. Ce sera la variable. L utilisation de cette formule vous permettra de sauver du temps et de diminuer les risques d erreurs. Ouvrez votre fichier Excel. RÉCIT FGA, région des Laurentides mai 2011

5 Au travail! Prix de location pour 4 heures du premier item : 35$ Calcul de l augmentation : 35$ x 2,9 100 = 1,02$ Nouveau prix : 35$ + 1,02$ = 36,02$ Expression arithmétique : 35 x 2, Prix de location pour 4 heures du deuxième item : 40$ Calcul de l augmentation : 40$ x 2,9 100 = 1,16$ Nouveau prix : 40$ + 1,16$ = 41,16$ Expression arithmétique : 40 x 2, En comparant les deux calculs précédents, quelle est la variable? Si vous remplacez la variable par une lettre dans l expression arithmétique, ça devient une expression algébrique. Écrivez-la. Dans notre fichier, la variable se trouve dans une cellule. Par exemple, le prix actuel de la location de 4 heures pour le premier item est dans la cellule C7. C est donc le nom de cette variable dans la formule pour calculer le nouveau prix de location. En vous aidant de la procédure, faites calculer les prix pour tous les items de la liste du fichier. Vous allez donc compléter les colonnes nouveaux prix. (Feuille Outils, colonnes E et F.) RÉCIT FGA, région des Laurentides mai 2011

6 Savoirs essentiels Quelle est la différence entre une expression algébrique et une équation? Voici quelques expressions Une expression algébrique ne contient pas algébriques : de signe d égalité. Une expression algébrique est un ensemble de nombres et de variables liés par des symboles d opérations arithmétiques. L expression algébrique nous permet de trouver un résultat lorsque nous connaissons la valeur des variables. 2,5x + 1, c 1 3 d Une équation contient un signe d égalité. Lorsqu une équation ne contient qu une seule variable, nous pouvons trouver sa valeur. Vous verrez comment faire à la tâche C. Voici quelques équations : 2,5x + 1,75 = 18, c 1 3 d = 7 Les équations de plus d une inconnue seront vues à la tâche D. RÉCIT FGA, région des Laurentides mai 2011

7 Tâche B : Ajouter un nouvel outil Rappel Une proportion est un rapport entre deux mesures de même type. La proportion est une donnée numérique qui se présente sous la forme d une fraction. Par exemple, la proportion entre le nombre de clients qui fréquentent le commerce la fin de semaine par rapport au nombre de clients total se calcule comme suit: Fin de semaine Total la fin de semaine. 800 = = , donc 4 clients sur 7 viennent au magasin durant Cette proportion peut ensuite être utilisée pour, par exemple organiser les horaires des employés: Sur les 35 employés de l entreprise, combien travailleront la fin de semaine? 4 35 = 28. Donc, on fera entrer 28 employés durant la fin de semaine. 7 À votre tour maintenant : La fenêtre d une chambre mesure 120 cm de large. Le rideau mesure 300 cm de large. On veut avoir le même drapé (la même proportion de plis) pour un rideau d une fenêtre de 90 cm. Quelle largeur devra avoir le rideau de cette fenêtre? Quelle est la proportion entre le rideau et la fenêtre? Quelle sera la largeur du rideau de la deuxième fenêtre? L utilisation d engrenages permet d augmenter la vitesse d un mécanisme. Sur un moteur par exemple, il y a une roue dentée de 40 dents qui est reliée à une roue dentée de 8 dents. Quel est le rapport d engrenage? Si la vitesse du moteur est de 12 rotations par minute, combien de rotations par minute fera la deuxième roue dentée? RÉCIT FGA, région des Laurentides mai 2011

8 Mise en situation L entreprise Location Modèle vient de se procurer un compacteur à plaque vibrante d une valeur de 849 $, le prix de location pour 4 heures a été fixé à 38 $. Vous aurez à suggérer un prix de location pour la journée Tâche demandée Votre tâche est d ajouter le Compacteur à plaque vibrante dans la catégorie 6 ainsi que les informations sur sa valeur (849$) et sur le prix de la location pour 4 heures (38$). Vous aurez ensuite à calculer le prix de location pour une journée en vous basant sur la proportion des prix des autres items de la catégorie. Ouvrez votre fichier Excel. Afin de proposer un prix de location pour une journée, calculez la proportion entre le prix pour la journée et le prix pour 4 heures d un item au choix de la même catégorie. Au travail! Prix de location à la journée du pilon compacteur : 61$ Prix de location pour quatre heures : 43$ 61 $ Proportion entre les prix : = 1, 45 43$ Prix de location pour quatre heures d un item : 40$ Calcul du prix suggéré pour une journée : 40 $ 1,45 = 58$ En remplaçant le prix de la location pour quatre heures du compacteur à plaque vibrante par une variable, écrivez l expression algébrique permettant de calculer le prix de location pour une journée. Dans votre fichier, inscrivez le nom, la valeur et le prix de location du nouvel outil dans les cellules A47 à C47. (Feuille Outils) Ensuite, écrivez l expression algébrique pour calculer le prix à la journée dans la cellule D47. Votre réponse (arrondissez la valeur au dollar) : Votre réponse sera différente selon votre choix de l item pour le calcul de la proportion. RÉCIT FGA, région des Laurentides mai 2011

9 Savoirs essentiels La loi fondamentale des proportions permet de trouver la valeur d une inconnue dans une équation comportant une relation de proportionnalité. Lorsque deux rapports sont égaux, le produit des extrêmes (le premier et le dernier terme d une proportion) est égal au produit des moyens (les deux éléments situés entre les extrêmes d un ensemble de 4 éléments). On nomme souvent cette opération : produits croisés. a c = b d a d = b c a et d sont les extrêmes b et c sont les moyens Lorsqu on cherche une valeur inconnue dans la proportion, on l isole. Dans l exemple, à droite, on cherche la valeur de d a c = b d a d = b c b c d = a Dans cet exemple, nous cherchons le temps moyen par 50 mètres pour un nageur qui a parcouru 1000 mètres en 32 minutes = 32 x 1000 x = x = 1000 x = 1,6 Le temps moyen par 50 mètres est donc de 1,6 minute. En utilisant la loi fondamentale des proportions, trouvez le nombre de litres d essence nécessaire pour parcourir 860 km pour une voiture ayant un rendement moyen de 9,3 litres au 100 km Écrivez ici la proportion en utilisant une variable pour l inconnue Votre réponse : RÉCIT FGA, région des Laurentides mai 2011

10 Tâche C : Calculer l acompte demandé pour une location Rappel À la tâche A, nous avons vu que pour calculer un pourcentage d un nombre, il faut multiplier le nombre par le pourcentage et diviser par 100. Par exemple, 10% de 250 peut se calculer : 250 $ = 25$. Toutefois, on écrit généralement l opération de cette façon : 250 $ 10% = 25$. Une division s écrit en fraction, un pourcentage également, nous avons donc les équivalences suivantes : % = = 100 À la tâche B, nous avons vu la loi fondamentale des proportions. En utilisant cette loi, on peut trouver le pourcentage d un nombre par rapport à un autre. Voici comment : Quel est le pourcentage de rabais pour un rabais de 8$ sur un montant de 60$ : Proportion : 8 x = x = Calcul : 60 x = 13,33 Réponse : Le pourcentage de rabais est donc de 13,33% À votre tour maintenant : Dans le centre, sur les 126 élèves présents aujourd hui, 82 sont venus en autobus. Quel est le pourcentage des élèves qui ont pris l autobus? Au magasin, le camion a été loué 25 fois durant le mois, dont 15 fois durant les fins de semaine. Quel pourcentage des locations a eu lieu les fins de semaine? RÉCIT FGA, région des Laurentides mai 2011

11 Mise en situation Chez Location Modèle, comme pour la plupart de ces types de commerces, un acompte est pris sur la carte de crédit pour la location d outils. Le montant de l acompte correspond à 100 $ plus 10 % de la valeur de l outil jusqu à un maximum de 250 $. Tâche demandée Votre tâche est de calculer l acompte demandé pour chacun des outils des deux premières catégories. Ouvrez votre fichier Excel. Au travail! Peu importe la valeur de l outil loué, on demande un minimum de 100$. S ajoute à ce montant, 10% de la valeur de l outil. Valeur du premier item : 74,99$ Calcul du 10% : 74,99$ 10% = 7,50$ Remarquez que nous devons arrondir le résultat au centième de dollar. On ajoute ce montant au 100$ : 100 $ + 7,50$ = 107,50$ Formule algébrique utilisée pour calculer le montant de l acompte : En vous aidant de la procédure, complétez la colonne Acompte dans le tableur pour les deux premières catégories. (Feuille Outils, cellules G7 à G25.) Pour les deux premières catégories, avez-vous un acompte qui dépasse 250$? Si oui, quelle est la valeur de cet item? À partir de quelle valeur de l outil l acompte sera-t-il de 250 $? Démontrez algébriquement cette affirmation : (Piste : identifiez la variable et écrivez l équation correspondante) RÉCIT FGA, région des Laurentides mai 2011

12 Savoirs essentiels Quelle est la valeur de la variable x dans l équation suivante : Pour trouver la valeur d une variable dans une équation, nous devons l isoler, c est-à-dire simplifier les termes de l équation afin que la variable se retrouve seule dans un des termes. Comme il s agit d une équation (avec un signe d égalité), l autre terme aura la valeur de la variable. Voici comment on peut procéder pour isoler la variable x dans cette équation : Trouve la valeur de la variable dans les équations suivantes : a) 4 x + 11 = 39 2,5x + 1,75 = 18,25 2,5x + 1,75 = 18,25 2,5x + 1,75 1,75 = 18,25 1,75 2,5x = 16,50 2,5x = 2,5 x = 6,6 16,50 2,50 2 b) x 41 = c) 250 = ,1 p 7 a d) a = e) 42 y = RÉCIT FGA, région des Laurentides mai 2011

13 Tâche D : Évaluer le coût de la location du camion Rappel Dans le langage courant, l heure est exprimée parfois en heure-fraction (une heure et demie), parfois en heure-minutes (trois heures et vingt). Dans les calculs, on doit convertir les heures en données numériques semblables. Avec un tableur, l heure est généralement mise en nombre décimal. Voici comment convertir l heure en décimal : 1 Une heure et demie = 1 = 1+ ( 1 2) = 1+ 0,5 = 1, 5 2 Trois heures moins cinq = 2 heures 55 minutes = = 2 + = 2 + ( 11 12) = 2 + 0,916 = 2, 917 (on arrondit au millième) À votre tour maintenant : Dans l activité suivante, écrivez l heure en nombre décimal. Heure-fraction ou Heure-fraction ou Décimal minutes minutes Une heure et demie 1,5 Une heure et dix Trois heures moins cinq 2,917 Trois quarts d'heure Dix heures et quart Neuf minutes Quatre heures et cinq Deux heures moins vingt Deux heures dix Trois heures quarantecinq minutes minutes Trente-cinq minutes Deux heures quinze minutes Cinq heures et vingt Douze minutes Quatre heures Une demi-heure quarante-quatre minutes Quatre-vingt-dix minutes Soixante minutes Décimal RÉCIT FGA, région des Laurentides mai 2011

14 Mise en situation Si vous voulez louer un camion chez Location Modèle le coût de la location du camion tient compte de deux variables. La première variable est la durée de la location et la deuxième variable est le nombre de kilomètres parcourus par le camion. Cette tâche vous amènera donc à utiliser une formule algébrique incluant plus d une variable. Tâche demandée Votre tâche est de calculer les coûts de location du camion pour les cas inscrits. Vous ajouterez ensuite quelques cas en variant la durée de location et la distance. Ouvrez votre fichier Excel et allez sur la feuille Camion. Voici les modalités de location pour le camion : Le prix de base est fixé à 21,45 $ pour une heure et demie. On ajoute 18 $ par heure supplémentaire. On ajoute également 0,25 $ du kilomètre, mais le client doit faire le plein du camion avant de le remettre. En utilisant les variables suivantes : durée= t, distance= d, écrivez l expression algébrique qui sera utilisée pour calculer le coût de la location du camion. RÉCIT FGA, région des Laurentides mai 2011

15 Au travail! Un client loue le camion durant deux heures et vingt minutes et il a parcouru 28 km, combien devra-t-il payer sa location? Il faut d abord trouver combien de temps de plus d une heure et demie il a pris le camion. 1 heure et demie 1,5 Deux heures vingt 20 1 minutes 2 = 2 = 2, Ensuite, on soustrait ces deux valeurs : 2,33 1,5 = Après, on multiplie le résultat par 18$ : 0.83 heure 18$ / heure = 14,94$ Puis, on calcule le montant de location pour les kilomètres parcourus : 28 km 0,25$ / km = $7,00 Pour terminer, on calcule le total pour la location : 21,45$ + 14,94$ + 7,00$ = $43,39 Vous devez maintenant compléter la colonne du coût de la location dans le tableur. (Feuille Camion, cellules C9 à C18.) Utilisez la procédure pour le tableur si nécessaire. Ajoutez quelques lignes à votre feuille afin de calculer d autres situations avec des durées et des distances différentes. RÉCIT FGA, région des Laurentides mai 2011

16 Savoirs essentiels Lorsqu une équation contient plus d une variable, plusieurs solutions sont possibles. On fait alors des simulations en remplaçant les variables par des nombres. Dans l exemple précédent, le coût de la location du camion dépend de la durée de location t et de la distance parcourue avec le camion d. Nous avons donc une expression algébrique ayant deux variables. 21, ( t 1,5) + 0, 25 d Si nous avons une facture de location au montant de 43,20$, il n est pas possible de connaître la valeur de t et de d, car plusieurs cas donnent ce résultat. Voici l équation : 21, ( t 1,5) + 0,25 d = 43, 20 Résolvez l équation pour : a) t = 2 heures b) d = 15 kilomètres RÉCIT FGA, région des Laurentides mai 2011

17 Voici une autre situation. Lorsqu on veut soulever un objet, un levier est utile pour éviter d avoir à trop forcer. C est le principe utilisé pour le pied-de-biche, le sécateur ou la brouette. La formule modélisant ce principe est : F 1 d1 = F2 d2 (ici, F est en Newton et d en mètres) F1 F2 d1 d2 La charge en F1 est de 200 N et elle est à une distance d1 du point d appui de 0,5 m. Résolvez l équation pour : a) À quelle distance d2 devrez-vous être pour soulever la charge si vous exercez une force F2 de 100 N? b) Quelle force F2 devrez-vous exercer pour soulever la charge si vous vous placez à une distance d2 de 0,8 m? RÉCIT FGA, région des Laurentides mai 2011

18 Tâche E : Déterminer un rabais retraite Rappel Lorsque vous avez fait la tâche A, vous avez majoré le prix de location en calculant une augmentation donnée en pourcentage. L expression algébrique se calculait ainsi : 35 x 2, Le calcul d un rabais se fait de la même façon. Un rabais de 30% signifie que pour chaque 100$ de prix initial, on soustrait 30$. Par exemple, un rabais de 30% sur un prix de 75$ sera calculé de cette façon : 75 $ = 22,50$. Ensuite, afin de connaître le nouveau prix, on soustrait le rabais au prix initial : 75 $ 22,50$ = 52,50$ Il existe une façon plus rapide de calculer le nouveau prix après rabais. En réalité, si nous avons un rabais de 30%, nous payons 70% du prix initial (100%-30%=70%). Voici donc le calcul simplifié pour obtenir le nouveau prix d un item de 75$ après un rabais de 30% : 75 $ = 52,50$ À votre tour maintenant : Quel sera le prix à payer pour un téléviseur marqué au prix de 448$ auquel on offre un rabais de 15%? Pourcentage du prix : Expression algébrique? Prix payé : Combien d élèves fréquenteront le centre l an prochain si le nombre d inscrits est actuellement de 275 élèves et qu on prévoit une baisse de 4% de la clientèle? RÉCIT FGA, région des Laurentides mai 2011

19 Mise en situation C est connu, les jeunes retraités font beaucoup de rénovations. Afin de les encourager à venir durant la semaine, le gérant offre des rabais pour la location des outils les lundis, mardis et mercredis. Tâche demandée Votre tâche est de calculer les prix après rabais pour le spécial rabais retraite. Ouvrez votre fichier Excel et ajoutez des colonnes dans le tableau permettant de faire rapidement le calcul du prix de la location. (Vous ne ferez les calculs que pour les deux premières catégories d outils). Les rabais offerts les lundis, mardis et mercredis sont les suivants : Location d un outil pour 4 heures, on offre un rabais de 30%. Location pour une journée, le rabais passe à 44%. Pour une location de trois jours (du lundi matin au mercredi en fin de journée), le rabais sera de 50%. RÉCIT FGA, région des Laurentides mai 2011

20 Au travail! À faire : Ajoutez deux colonnes «Rabais retraite», une pour la location 4 h et une pour la location quotidienne. Calculez les montants de location suivants en tenant compte du rabais : Location pour quatre heures avec un rabais de 30 % Variables utilisées : Formule algébrique utilisée : Location pour une journée avec un rabais de 44 % Variables utilisées : Formule algébrique utilisée : De plus, si le client vient chercher l outil le lundi et le ramène le mercredi avant 17 h, il ne paie que 50 % du prix régulier pour chaque journée. Calculez le prix pour les trois jours pour un outil de votre choix. Outil choisi : Variables utilisées : Formule utilisée : Si le client prend un outil le lundi matin et le ramène le mardi soir, serat-il plus avantageux pour lui de louer deux fois une journée ou de bénéficier du rabais spécial trois jours? Faites la démonstration de votre affirmation : RÉCIT FGA, région des Laurentides mai 2011

21 Savoirs essentiels La simplification d expressions algébriques consiste à regrouper les termes semblables. Dans la tâche que vous venez de réaliser, le calcul du prix après rabais pouvait se calculer de cette façon : Prix initial prix initial x rabais en pourcentage Identifions le prix initial par P et écrivons l expression algébrique pour un rabais de 20% : P P On peut également écrire : 20 P P ou encore P 0, 2P 100 Dans cette expression, la variable P se trouve dans les deux termes. Ce sont des termes semblables. On peut donc simplifier l expression en regroupant les termes semblables : P 0,2P 0, 8P Simplifiez les expressions algébriques suivantes en regroupant les termes semblables : f) 4x x g) x y x y h) ( 4 p 3) + 5 p 5 7a i) a 2b + 3b 7 10 j) 2m 5n + 3o m + 4n 7o 5 4 RÉCIT FGA, région des Laurentides mai 2011

22 Retour sur l activité Au cours des cinq tâches de cette situation d apprentissage, vous avez vus les notions suivantes : Tâches Notions Tâche A : Majorer les prix Variable, inconnue, expression algébrique, équation Tâche B : Ajouter un nouvel outil Loi fondamentale des proportions Tâche C : Calculer l acompte demandé Résolution algébrique d équations à une inconnue Tâche D : Évaluer le coût de la location du camion Tâche E : Déterminer un rabais retraite Substitution de variables par des valeurs connues dans une formule algébrique afin d obtenir une équation à une seule inconnue Simplification d expressions algébriques Demandez à votre enseignant de vous proposer d autres situations d apprentissage afin d approfondir ces notions. RÉCIT FGA, région des Laurentides mai 2011