THÉORIE DES CORDES ET SUPERCORDES

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1 THÉORIE DES CORDES ET SUPERCORDES Il faut bien considérer dans le présent chapitre que la théorie des cordes (et in extenso des supercordes) est actuellement spéculative et n'a pas pu être vérifiée (confirmée) par l'expérience comme le veut la démarche scientifique. Il convient donc de prendre avec prudence les développements qui vont suivre et d'être le plus critique possible! L'avantage indéniable de la théorie des cordes, outre le fait que mathématiquement elle soit assez indigeste mais n'est pas vraiment pire que la relativité générale, est quelle permet d'éviter les nombreuses singularités dans les calculs des autres théories moderne qui considèrent les objets comme des points (donc de volume et longueur nuls...). Cette théorie tout en étant esthétique et remarquable dans le sens qu'elle utilise des bases de calculs qui ont plus de 200 ans a pour défaut de s'imposer par analogies successives, comme nous le verrons, avec les théories relativistes et quantiques actuelles. Même si cela n'est par dramatique en soit, la théorie peut sembler perdre un peu son autonomie propre même si au fait il n'en est rien. Il ne faut alors donc pas être supris en mal lors du parcours des développements qui vont suivre... Avant d'aborder le formalisme des cordes (relativistes), le lecteur devra au préalable avoir lu attentivement et compris les chapitres suivants disponibles sur le site (dans l'ordre) où sont démontrés dans les détails les outils nécessaires à la lecture des éléments qui vont suivre (il y a de la lecture ) : 1. Mécanique analytique (formalisme lagrangien et hamiltonien) 2. Mécanique ondulatoire (équation différentielle de la propagation de l'onde d'une corde et son lagrangien non relativiste) 3. Calcul tensoriel (notations et propriétés) 4. Mécanique relativiste (matrices de Lorentz, lagrangien relativiste, cônes de lumière, lagrangien généralisé, métriques, équations du mouvement) 5. L'électrodynamique (équations de Maxwell, équation de conservation de la charge et du courant, tenseur du champ électromagnétique et lagrangien relativiste d'une particule chargée) 6. Le chapitre de physique quantique ondulatoire (équation de Klein-Gordon généralisée, équation de Dirac) 7. Le chapitre de physique quantique des champs (l'équation d'euler-lagrange des champs et les différents lagrangiens) avec bien évidemment une excellente maîtrise du calcul vectoriel, différentiel et intégral (cela va de soit!). ÉQUATION D'ONDE NON RELATIVISTE D'UNE CORDE TRANSVERALE

2 L'objectif ici va être de déterminer l'équation d'onde non relativiste d'une corde excitée transversalement à l'aide des calculs que nous avions effectué en mécanique ondulatoire. Une fois ce travail effectué, nous passerons à l'étude des cordes relativistes et nous verrons que leur équation d'onde, au même titre que la version non relativiste, peuvent s'assimiler à l'équation de conservation du courant que nous avions démontré en électrodynamique. Nous commençons en rappelant la forme de l'action que nous avions obtenu en mécanique ondulatoire pour une corde non-relativiste : avec donc : Maintenant, comme nous l'avons fait en mécanique analytique (ainsi qu'en physique quantique des champs), nous allons définir une notation par une analogie aux moment canoniques de la corde : avec. Il s'agit simplement des dérivées de la densité lagrangienne en fonction respectivement du premier et second argument. De manière plus explicite, nous avons : Ainsi, si nous récrivons le variationnel d'action obtenu en mécanique ondulatoire avec cette notation canonique, nous obtenons : Faisant usage des mêmes méthodes qu'en mécanique ondulatoire, notre variationnel s'exprime après simplification à nouveau sous la forme de trois termes :

3 Les conditions pour trouver l'extremum (selon le principe de moindre action) restent les mêmes qu'en mécanique ondulatoire. Ainsi, pour le troisième terme, nous avons bien l'équation d'onde d'une corde excitée de manière transversale donnée avec la forme canonique par : Remarque : il convient bien évidemment de remarquer que cette forme d'écriture va considérablement nous faciliter la tâche (et faire des économies de craies ). Il faut bien observer (car c'est remarquable!) aussi que comme en mécanique analytique, le moment canonique tel que défini plus haut, coïncide parfaitement (le hasard fait bien les choses ) avec la densité de quantité de moment que nous avions obtenue en mécanique ondulatoire : Ainsi, par analogie avec la mécanique analytique (où rappelons-le, la dérivée du lagrangien par rapport à la vitesse donne la quantité de mouvement), joue bien le rôle de la vitesse et ainsi la dérivée de la densité lagrangienne par celui-ci donne la densité de quantité de mouvement!!! Rappelons aussi un autre point qui a été vu dans le chapitre de mécanique ondulatoire, l'extremum de l'action ( ) nous impose les conditions de Neumann, ce qui nous amène à écrire. De plus, il convient aussi de rappeler pour ce qui va suivre, que pour les conditions de Dirichlet nous avions aussi. ÉQUATION D'ONDE RELATIVISTE D'UNE CORDE TRANSVERSALE Nous allons maintenant déterminer l'action d'une corde relativiste. Nous pouvons, pour poser les bases de notre étude, nous rappeler qu'une particule ponctuelle trace un ligne dans l'espace-temps (chaque point de la ligne étant repérer par une coordonnée temporelle et trois spatiales). Dès lors, par extension, une corde qui est un élément bidimensionnel (si nous la considérons sans épaisseur) trace une surface dans l'espacetemps. Ainsi, au même titre que la ligne que trace une particule dans l'espace-temps est appelée une "ligne d'univers" (cf. chapitre de relativité restreinte), la surface tracée par une corde sera appelée "surface d'univers". Une corde fermée dans l'espace-temps de Minkowski trace, par exemple, un tube, alors qu'une corde ouverte tracera une bande :

4 Sur la figure ci-dessus, à deux dimensions spatiales et une temporelle, la corde est immobile dans note espace courant. Elle se meut dans l'espace-temps (car le temps s'écoule) mais pas dans l'espace dans l'exemple-ci-dessus (il faudrait une composante spatiale supplémentaire pour voir un tel mouvement). Remarque : R1. Attention! rappelez-vous bien que le schéma ci-dessous est dans trois dimensions alors que l'espace-temps a lui quatre dimensions. R2. Rappelez-vous également que le vecteur temps de la base orthogonale est toujours perpendiculaire à toutes les autres composantes spatiales (cette remarque sera utile lors de notre démonstration de l'action de Nambu-Goto) Lors de notre démonstration de l'équation du mouvement en relativité générale, nous avons reparamétré la ligne d'univers de la particule à l'aide d'un paramètre invariant relativiste qui était soit le temps propre de la particule, soit son abscisse curviligne. Nous étions ainsi arrivé à construire l'expression de l'action S de celle-ci avant d'y appliquer le principe variationnel. Nous allons faire de même pour une corde relativiste à la différence que nous allons reparamétrer les surfaces engendrées par les cordes cette fois-ci. Les contraintes que nous nous imposerons sont que les paramètres choisis devront aussi (en faisant référence au cas de la particule) être des invariants relativistes. Comme nous l'avons vu en relativité générale, une ligne d'univers peut être paramétrée en utilisant seulement un paramètre (temps propre ou abscisse curviligne). Une surface dans l'espace est cependant un objet bi-dimensionnel, ainsi il requiert par extension deux paramètres pour être décrit complètement. Etant donné une surface paramétrée, nous pouvons dessiner sur celle-ci les isolignes des paramètres (les lignes ou les deux paramètres sont constants sur toute la surface). Ces isolignes couvrent la surface comme une grille. L'équation paramétrique d'un volume requiert dans l'espace trois paramètres comme nous l'avons vu dans le chapitre de géométrie analytique. Ainsi, si une surface paramétrée peut dans l'espace euclidien être représentée par un vecteur du type :

5 lors d'une reparamétrisation et en faisant usage de la notation tensorielle de l'espacetemps de Minkowski tel que vu dans le chapitre de relativité générale, nous aurons (deux dimensions spatiales et une temporelle) : Ainsi, la surface est l'image des paramètres les composantes. Alternativement, nous pouvons voir comme les "coordonnées" de la surface, au moins localement. Nous voulons maintenant calculer la surface d'un élément de n'importe quel-type d'espace au même type que nous l'avions fait pour l'abscisse curviligne de n'importe quelle ligne d'univers en relativité générale. Se pose alors la question de la forme de l'élément différentiel de surface??? Faut-il prendre la multiplication du différentiel des deux paramètres choisis précédemment pour un carré, un rectangle, un cercle ou autre? Au fait, nous allons reporter notre choix sur une parallélogramme! Ce choix peut sembler complètement arbitraire pour l'instant mais comme nous allons le voir quelques lignes plus loin, ce choix coïncide pour des raisons mathématiques à ce que nous appelons la "métrique induite" de la surface elle-même (résultat assez remarquable!). Ainsi, notons et les côtés du parallélogramme. Ils sont l'image par des couples et respectivement. Ainsi, nous pouvons écrire trivialement :

6 et donc : Maintenant calculons la surface da (nous ne prendrons pas la lettre S pour éviter la confusion avec l'action dans ce chapitre) du parallélogramme (cf. chapitre de calcul vectoriel) : en utilisant le produit scalaire, cela peut se récrire : en utilisant, les relations établies précédemment cela peut s'écrire : cette dernière relation est forme générale d'un élément de surface d'une nappe paramétrée. La surface totale étant évidemment donnée par : Au même titre que dans le cadre du principe de moindre action nous avons cherché l'optimum du chemin optimum pour une particule parcourant une ligne d'univers, pour une corde, nous aurons à optimiser la surface A en minimisant la fonction. Cette dernière forme est cependant un peu lourde et ne faire ressortir de particulier ou de choses similaires à quelque forme déjà connue dans un autre domaine de la physique. Nous allons voir qu'en creusant un peu il est possible d'obtenir quelque chose de pas mal du tout. Rappelons que dans notre étude du calcul différentiel et intégral (cf. chapit du même nom), nous avions démontré que le changement de coordonnées s'écrivait :

7 Ainsi, nous pouvons faire de même : avec bien évidemment données par. Identiquement : Par identification des deux dernières relations, il vient trivialement : Considérons maintenant un vecteur produit scalaire : et sa longueur (norme) au carré donnée par son Le vecteur peut être exprimé sous forme de termes de dérivées partielles de, tel que nous obtenions sa différentielle totale exacte (cf. chapitre de calcul différentiel et intégral) : Ainsi, la longueur au carré de peut s'exprimer sous la forme tensorielle : ce que nous noterons par convention à l'avenir : La quantité est appelée la "métrique induite de la surface paramétrée". Il est évident que le choix de cette dénomination provient de la ressemblance avec la métrique habituelle telle que nous l'avons définie lors de notre étude du calcul tensoriel et de son utilisation en relativité générale. La matrice à la forme :

8 Revenons maintenant à notre expression de la surface engendrée par la corde : et calculons rapidement le déterminant (cf. chapitre d'algèbre linéaire) de la matrice : et donc quoi? Eh ben voilà : Ainsi, le choix du parallélogramme comme surface élémentaire s'explique mieux ici. Il n'était pas du au hasard. Maintenant, nous allons adopter les écritures traditionnelles de la théorie des cordes relativement à l'expression de la surface. Ainsi, au même titre que les coordonnées d'espace-temps sont décrites par, nous décrirons les surfaces d'univers par (nous passons maintenant à l'écriture en faisant usage des 4 dimensions de l'espace-temps): ce choix s'expliquera plus tard. Suivant également une convention standard en théorie des cordes, nous utiliserons la fonction image avec une majuscule tel que : cela nous évitera à l'avenir d'avoir à confondre, si la théorie nous y amène, les coordonnes d'espace-temps avec la fonction image de la surface d'univers et ce d'autant plus que les physiciens étant un peu flemmard abrègent cette dernière Il devient alors difficile de distingue et alors qu'ils représenteraient deux choses totalement différentes. Il est donc beaucoup plus convenable de changer de notation. A partir de maintenant, nous appellerons "coordonnées de corde" la surface d'univers décrite par.

9 Cela ne change pas cependant l'interprétation de la fonction image. Etant donnée un couple, ce point est projeté sur un point de l'espace-temps de coordonnées : ACTION DE NAMBU-GOTO Dans le cas d'une surface d'univers les paramètres sont donc par convention et, où et, et les coordonnées de cette surface qui correspondent à l'espace des paramètres sont donc. Le paramètre peut être considéré comme une variable décrivant l'écoulement du temps (il en faut bien une!), et une variable décrivant l'extension dans l'espace d'une corde (i.e. la condition correspond à la longueur finie de cette corde). Les paramètres décrivent ainsi une surface de l'espace des préimages : Les extrémités de la corde ont une valeur constante. Cependant, comme le temps s'écoule et que les extrémités de la corde sur la surface d'univers se meuvent il faut noter une condition essentielle de la surface d'univers concernant les deux bouts d'une corde ouverte : Remarque : cette condition se fait sur la composante car elle correspond à la composant du quadrivecteur d'espace-temps qui n'est d'autre, en unités naturelles, que t (le temps propre). Dès lors, le temps s'écoule et n'est jamais constant d'où le fait d'imposer cette dérivée comme différente de zéro. et en utilisant les conventions habituelles en physique pour la notations des dérivées par rapport au temps ou composante spatiale, nous convenons d'adopter les écritures suivante :

10 La surface s'écrit alors : Cependant, il y a un problème ici! Le terme sous la racine est toujours négatifs (cela suppose que travail avec des surfaces imaginaires est gênant en théorie des cordes mais cela change peu de choses car la norme serait toujours égale). Effectivement, pour le prouver, nous allons démontrer que : Pour cela, il faut d'abord considérer la partie gauche de la figure ci-dessous qui représente la surface (nappe) décrite par une corde ouverte : En chaque point P de cette nappe (supposée dérivable en tout point) il existe une infinité de tangentes, toutes dans le même plan, que nous noterons pour l'exemple qui forment donc une surface tangente au point P. et Maintenant, comme l'espace dans lequel la nappe de la corde est engendrée est plongée dans une base orthonormale spatiale et temporelle, les vecteurs tangents peuvent alors aussi à leur tour être décomposés dans une base orthogonale spatiale et temporelle locale bidimensionelle au point P tel que les vecteurs de cette base soient deux vecteurs: tous les autres vecteurs tangents s'exprimant comme combinaison linéaire de ceux-ci.

11 Cependant un problème subsiste dans notre décomposition ( ) : les unités des vecteurs de la base orthogonale locale au point P ont des unités qui diffèrent. Pour cela, rajoutons un facteur de dimensionnement à la composante spatiale (cela est arbitraire car la conclusion sera identique quelque soit la composante sur laquelle vous mettez le facteur de dimensionnement) : ce facteur de dimensionnement peut aussi être utilisé pour obtenir tous les vecteurs tangents tel que : Effectivement, si, pour, nous obtenons le vecteur et pour le vecteur. Et pour toutes les valeurs intermédiaires, nous obtenons tous les vecteurs tangents comme indiqué sur la partie gauche de la figure précédent. Maintenons, rappelons que nous avons en relativité générale qu'il existait des vecteurs de type temps (à l'intérieur du cône de lumière) et d'autres de types espace (distance géométrique usuelle sans temps). Puisque la corde est un objet non ponctuel, lorsque nous prenons un photo de sa trajectoire dans l'espace-temps, les événements définissant la corde sont simultanés mais séparés dans l'espace. Il doit donc exister une norme de certains vecteurs purement de type espace pour l'étude de l'ensemble de la corde elle-même à un instant donné (il faut nous munir de la distance géométrique usuelle). De même, si nous considérons la nappe générée par la corde comme constituée d'une infinité de ligne d'univers, chacune de celles-ci a pour tangente un vecteur de type purement temps. Ainsi, si nous avons : alors, nous devons avoir des normes de ces vecteurs tangents, tantôt purement spatial (norme négative), tantôt purement temps (norme positive). Dès lors, la norme étant donnée par : ce qui correspond à une équation du deuxième degré en, doit pour avoir des valeurs négatives ou positives avoir au moins deux racines (voir partie droite de la figure

12 précédente). Cela nous ramène à la condition que le discriminant soit strictement positif (cf. chapitre de calcul algèbrique) : Soit : sous forme condensée cela nous ramène à écrire : La surface doit donc alors s'écrire en fin de compte : Rappelons maintenant que l'action S d'une particule ponctuelle est proportionnelle à sa ligne d'univers. Ainsi par analogie, l'action S d'une corde sera proportionnelle à la surface d'univers : ce qui donne : Ce qui nous amène très fréquemment dans la litérature à trouver l'action d'une corde sous la forme suivante : Relation à comparer avec le lagrangien d'une particule libre (cf. chapitre de mécanique analytique) et la densité lagrangienne d'un champ (cf. chapitre de physique quantique des champs) :

13 La fonctionnelle S a pour unités celles d'une surface. Cela parce que les ont une unité de longueur et dans la racine chacun est à la puissance quatrième et que les unités s'annulent entre l'intérieure de la racine et les différentielles en dehors. Maintenant, par définition même de l'action, les unités que nous devons obtenir doivent correspondre à celle d'une énergie multiplié par le temps, des joules J ou en utilisant le système international, des. Pour l'instant, nous avons : Pour obtenir pour l'action les unités que nous voulons, il nous faut alors multiplier l'expression de la surface A par une quantité ayant pour unités des. Pour choisir ces quantités, nous allons nous inspirer de notre étude la mécanique ondulatoire. Quand nous avions travaillé avec des cordes (non relativistes) nous avions vu que les propriétés à prendre en comptent étaient la tension et la vitesse de l'onde de propagation de la corde. Nous allons donc faire l'essai de prendre le rapport tension/vitesse suivant : où apparaît donc la tension de la corde au repose et la vitesse de la lumière. Remarque : cela est similaire à la physique du point où dans l'action nous retrouvons la masse au repos (équivalent de la tension au repos de la corde) et la vitesse de la lumière (cf. chapitre de relativité restreinte) Ainsi, l'action s'écrit maintenant : Remarque : nous démontrerons pourquoi nous avons posé un facteur "-" plus loin. Cependant, une petite analogie avec l'action d'une particule ponctuelle, pour lequel nous avons aussi un signe "-" (cf. chapitre de relativité restreinte), peut facilement déjà se faire. Maintenant, nous pouvons faire encore mieux avec cette action et y inclure la métrique. Effectivement, rappelons que nous avions démontré (cf. chapitre de relativité générale) que l'élément élémentaire de chemin dans une métrique était donnée par : Ainsi, pour nos cordes, nous avons simplement :

14 en utilisant la métrique de Minkowski (cf. chapitre de relativité générale), cette dernière relation s'écrit donc : Les indices prennent les valeurs 1 ou 2, et nous avons pris :. Maintenant, définissons la "métrique induite de la surface d'univers" (à ne pas confondre avec la métrique induite de la surface paramétrée vue plus haute) : Or, rappelons que : Dès lors : ce que nous pouvons écrire sous forme matricielle : en utilisation le déterminant de cette matrice :

15 nous pouvons alors récrire l'action d'une corde relativiste sous la forme finale condensée suivante : qui n'est d'autre que "l'action de Nambu-Goto" d'une corde relativiste. Nous allons maintenant obtenir l'équation du mouvement en faisant varier l'action. Nous allons pour cela nous inspirer exactements des méthodes vues lors de la détermination au début de chapitre de l'équation d'onde non-relativiste d'une corde. Ainsi, nous récrivons l'action de Nambu-Goto en définissant une densité lagrangienne tel que : où est donc définie par : Nous allons maintenant appliquer le principe variationnel sur l'action afin d'en tirer l'équation de mouvement d'une corde. Le développement et l'approximation sont parfaitement similaires à celles vue en mécanique ondulatoire pour la corde non relativiste. Rappelons que nous avions obtenu comme densité lagrangienne et comme expression de l'action : et que l'application du principe variationnel nous avait donné : Or, ce que nous n'avions pas vu en mécanique ondulatoire, c'est que cette dernière relation pouvait facilement s'écrire aussi à partir de la densité lagrangienne :

16 Dès lors, pour la corde relativiste, nous avons une forme identique en appliquant des développements en tout points similaires (et ce même si la densité lagrangienne à une forme différente) : et comme nous l'avons faite au début de ce chapitre pour les cordes non relativistes, nous allons introduire les moments canoniques (densités d'impulsion/quantité de mouvement si vous préférez) de la corde en optant pour la notation : où dans les détails, nous obtenons très facilement (c'est une simple dérivée mais si vous le souhaitez en nous contactant, nous pouvons vous le détailler) : en faisant usage de cette notation, nous pouvons alors écrire : Faisant usage des mêmes méthodes qu'en mécanique ondulatoire, notre variationnel s'exprime après simplification à nouveau sous la forme de trois termes : Les conditions pour trouver l'extremum (selon le principe de moindre action) restent les mêmes qu'en mécanique ondulatoire. Ainsi, pour le troisième terme, nous avons bien l'équation d'onde d'une corde excitée de manière transversale donnée avec la forme canonique par :

17 Il s'agit de l'équation du mouvement (ou onde) d'une corde ouverte ou même fermé (car finalement dans les développements précédents à aucun moments nous n'avions contraints les termes à êtres ouverts ou fermés). Cette équation est horriblement difficile mais le choix d'une para métrisation adéquate peut néanmoins simplifier la tâche