6.1 Théorème de superposition
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- Bérengère Perras
- il y a 7 ans
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1 6. éorème de superposition Dans un circuit linéaire à plusieurs générateurs, continus ou variables, le courant électrique, dans chaque branche ou impédance, est égal à la somme Σ des courants que produiraient seul, chacun des générateurs, les autres étant remplacés par des court-circuits. fig 6. Etape ous calculerons d abord les courants n dus à seul, puis les courants n dus à 2 seul. Etape 2 Les courants réels seront la somme Σ, en tenant compte de leur sens, des courants n' et n''. Décomposition: Etape plus fig 6.2 Etape 2 fig 6. D:\électronique\cours\THEVE.doc lhr
2 = ' '' = 2 2' 2'' = ' '' Exemple Calculer le courant dans la résistance de [] Etape éponse fig 6.4 fig 6.5 Etape éponse fig 6.6 D:\électronique\cours\THEVE.doc lhr 2
3 Etape 2 éponse CQFD! fig éorème de évenin Le théorème de évenin s'énonce de la façon suivante: "En courant continu, tout réseau linéaire bilatéral à 2 bornes peut être remplacé par un générateur constitué d'une source de tension et d'une résistance série avec cette source." Générateur de évenin fig 6.8 Ce théorème permet d'isoler une partie d'un réseau de résistances, le reste du réseau étant représenté par un générateur. 0 2 x éseau quelconque Générateur de évenin fig 6.9 D:\électronique\cours\THEVE.doc lhr
4 ous devons trouver le circuit équivalent de la partie encadrée pour être en mesure de déterminer rapidement le courant qui traverse la résistance variable x, pour les diverses valeurs que celle-ci peut prendre ou encore la tension présente à ses bornes. l est important de se rendre compte que le générateur de évenin ainsi calculé ne peut être qu'un montage série assurant ainsi le même courant et la même tension aux bornes de l'élément raccordé entre et ( ). Ce montage, propre à notre esprit, porte le nom de GEETE DE THEVE. Voici les étapes à suivre pour déterminer les valeurs correctes de et de :. etirer du réseau la branche à laquelle sera raccordé le générateur. Dans notre cas, il s'agit de la branche contenant x. 2. epérer les 2 bornes du réseau (déjà fait dans notre cas).. Calculer. Pour ce faire, court-circuiter toutes les sources de tension et mettre en circuit ouvert toutes les sources de courant; déterminer ensuite la résistance équivalente totale présente aux 2 bornes repérées (vue depuis la résistance x ). Si les résistances internes des sources sont indiquées sur le schéma ou réseau, il faut les considérer comme des résistances ordinaires. 4. Calculer. Pour ce faire, restituer au réseau ses sources de tension et de courant puis déterminer la tension en circuit ouvert aux bornes repérées. (C'est à ce moment-là que les erreurs sont les fréquentes. Se rappeler que dans le tous les cas, il s'agit de déterminer la tension en circuit ouvert.) 5. emplacer le réseau par le générateur et raccorder aux bornes de ce dernier la branche qui avait été retirée du réseau. Quelques exemples permettront de bien comprendre cet important théorème. Exemple (entièrement résolu) Trouver le générateur de évenin de la partie encadrée du réseau ci-dessous. Calculer ensuite le courant traversant la résistance x lorsqu'elle est égale à 2 [], 0 [] et 00 []. 2 V 9 x fig 6.0 Etapes et 2 D:\électronique\cours\THEVE.doc lhr 4
5 2 V 9 fig 6. Etape court-circuiter les sources de tension 9 fig 6.2 Calculons la résistance de évenin = Etape 4 emettre en circuit la source de tension. 9 = V 9 fig 6. Calculons la tension de évenin (circuit ouvert entre et ) = 0 - ce qui implique que la résistance totale tot est de 2 [] et que le courant est de [].(2 / 2). Donc le générateur de évenin est de : 9 [V] car: 0 = 0 = 0 9 Etape 5 = 2 2 = 9[ V] 9 D:\électronique\cours\THEVE.doc lhr 5
6 x fig 6.4 Calculons le courant circulant dans la résistance x de 2 []. 9 = = = x Calculons le courant circulant dans la résistance x de 0 []. 9 = = = x Calculons le courant circulant dans la résistance x de 00 []. 9 = = = x Etude de circuit avec plusieurs sources de tension et de courant. Dans l'exercice de votre profession, il y a parfois des applications ne reposant pas seulement sur des sources de tensions, mais aussi sur une source de courant. Définition de la source de courant source produisant un courant continu d'intensité fixe malgré les variations de la tension induite à ses bornes par la charge. Symbole: fig 6.5 Les transistors sont l'application pratique essentielle des sources de courant. ous pouvons donc rencontrer des montages avec un mélange de sources de tension et courant. D:\électronique\cours\THEVE.doc lhr 6
7 2 0 4 éseau quelconque fig 6.6 Exemple 2: V V fig 6.7 Trouvons le générateur de évenin de la partie encadrée du circuit (depuis et ) En appliquant évenin, les sources de courant sont considérées comme une interruption du circuit. Etapes et V fig 6.8 Etape court-circuiter les sources de tension et ouvrir la source de courant D:\électronique\cours\THEVE.doc lhr 7
8 fig 6.9 Calculons la résistance de évenin = 6 = 4[ ] 2 24 Etape 4 ppliquer le théorème de superposition à l'aide de la source de tension de 72 [V] V 2 0 fig 6.20 Calculons la tension de évenin intermédiaire ' (circuit ouvert entre et ) ' = 0 - ce qui implique que la résistance totale tot est de 6 [] et que le courant est de 2[].(72 / 6). Donc le générateur de évenin est de : 24 [V] car: 0 = 0 = 0 72 = = 24[ V] 24 2 La source de courant 6 [] est remise en circuit et nous pouvons calculer un diviseur de courant entre les résistances et du montage fig 6.2 D:\électronique\cours\THEVE.doc lhr 8
9 ( ) [ ] = = 4 2 = 48 V = [ ] [ ] = = = 72 V 24 6 = = Etape 5 4 soit: fig V 8 V fig 6.2 Calculons le courant. = = = [ ] 6. éorème de orton Le théorème de orton s'énonce de la façon suivante: "En courant continu, tout réseau linéaire bilatéral à 2 bornes peut être remplacé par un générateur constitué d'une source de courant et d'une résistance en parallèle avec cette source." D:\électronique\cours\THEVE.doc lhr 9
10 Générateur de orton fig x éseau quelconque Générateur de orton fig 6.25 Ce qui a été dit pour le générateur de évenin peut se dire pour le théorème de orton. Voici les étapes à suivre pour déterminer les valeurs correctes de et de :. etirer du réseau la branche à laquelle sera raccordé le générateur. Dans notre cas, il s'agit de la branche contenant x. 2. epérer les 2 bornes du réseau (déjà fait dans notre cas).. Calculer. Pour ce faire, court-circuiter toutes les sources de tension et mettre en circuit ouvert toutes les sources de courant; déterminer ensuite la résistance équivalente totale présente aux 2 bornes repérées (vue depuis la résistance x ). Si les résistances internes des sources sont indiquées sur le schéma ou réseau, il faut les considérer comme des résistances ordinaires. 4. Calculer. Pour ce faire, restituer au réseau ses sources de tension et de courant puis déterminer l'intensité de courant qui passerait dans un court-circuit reliant les 2 bornes repérées. 5. emplacer le réseau par le générateur et raccorder aux bornes de ce dernier la branche qui avait été retirée du réseau. D:\électronique\cours\THEVE.doc lhr 0
11 Quelques exemples permettront de bien comprendre cet important théorème. Exemple (entièrement résolu) Trouver le générateur de orton de la partie encadrée du réseau ci-dessous. ( x = 0 [] 2 9 x fig 6.26 Etapes et Etape ouvrir les sources de courant fig fig 6.28 Calculons la résistance de orton = 9 = 2[ ] Etape 4 emettre en circuit la source de courant et calculer le courant de orton. D:\électronique\cours\THEVE.doc lhr
12 Calculons le courant de orton (court-circuit entre et ) C'est un diviseur de courant (proportionnel aux valeurs des résistances) = [ ] = = Etape x fig 6.29 Calculons le courant circulant dans la résistance x de 0 []. = x 2 9 = = [ ] Etude de circuit avec une source de tension. Dans l'exercice de votre profession, il y a parfois des applications où il est nécessaire de passer par le théorème de orton pour résoudre un problème de courant d'une source de tension. Exemple 4 2 V 9 x fig 6.0 Etapes et 2 D:\électronique\cours\THEVE.doc lhr 2
13 2 V 9 fig 6. Etape court-circuiter les sources de tension et ouvrir les sources de courant 9 fig 6.2 Calculons la résistance de orton = = 2. 25[ ] Etape 4 emettre en circuit la source de tension. 9 2 V 9 0 fig 6. Calculons l'intensité de courant de orton (court-circuit entre et ) = [ ] = 2 = 4 Etape 5 D:\électronique\cours\THEVE.doc lhr
14 x fig 6.4 Calculons le courant circulant dans la résistance x de 2 [] = = [ ] = 22.. x Ce circuit est identique à celui que nous avons étudié par la méthode de évenin. ous pouvons parler de transposition de la source de courant en une source de tension avec : = = [ ] [ ] = = = 9 V fig 6.5 Etude de circuit avec plusieurs sources de tension et de courant. ous pouvons donc rencontrer des montages avec un mélange de sources de tension et courant. ous pouvons résoudre par le théorème de orton ces problèmes. D:\électronique\cours\THEVE.doc lhr 4
15 2 0 4 éseau quelconque fig 6.6 Exemple 5: V V fig 6.7 Trouvons le générateur de orton de la partie encadrée du circuit (depuis et ) En appliquant orton, les sources de courant sont considérées comme une interruption du circuit. Etapes et V fig 6.8 Etape court-circuiter les sources de tension et ouvrir la source de courant D:\électronique\cours\THEVE.doc lhr 5
16 fig 6.9 Calculons la résistance de orton = 6 = 4[ ] 2 Etape 4 ppliquer le théorème de superposition à l'aide de la source de tension de 72 [V] V 2 ' fig 6.40 Calculons le courant de orton intermédiaire ' (circuit fermé entre et ) 2 ' = => ' = 7. 6 La source de courant 6 [] est remise en circuit et nous pouvons calculer un diviseur de courant entre les résistances, et 2 du montage et définir ''. [ ] D:\électronique\cours\THEVE.doc lhr 6
17 '' fig 6.4 = tot '' = tot '' = 2 = [ ] [ ] soit.7.4 = soit 54. = = '' = =. 2 4 [ ] Etape V fig 6.42 l est plus simple de reprendre le générateur de évenin. D:\électronique\cours\THEVE.doc lhr 7
18 fig soit: V 8 V fig 6.44 Calculons le courant. = 72 8 = = x [ ] CQFD voir page D:\électronique\cours\THEVE.doc lhr 8
19 6.4 Entraînement Superposition Exercice Calculer dans la résistance de 5 []. fig 6.44 Exercice 2 Calculer la tension aux bornes dans les résistances de 0 []. fig 6.45 Exercice Soit une machine électronique alimentée par un chargeur réseau avec un accumulateur en tampon. Le chargeur est représenté par une source de tension continue de 8 [V], en série avec une résistance i. L accumulateur, en parallèle sur le chargeur, est composé d une tension 2 de 2 [V] et d une résistance interne i2 de.5 [] en série. Les circuits électroniques de la machine sont représentés par une résistance, en parallèle sur l accumulateur. Le courant qui recharge l accumulateur vaut 60 [m]. Le courant dans vaut 20 [m].. Dessiner le schéma. 2. Calculer la tension 2 aux bornes de l accumulateur.. Calculer. 4. Calculer. Exercice 4 D:\électronique\cours\THEVE.doc lhr 9
20 Calculer la tension. évenin Exercice 5 fig 6.46 Calculer la tension aux bornes de la résistance de 6 [] et les courants. fig 6.47 Exercice 6 fig Déterminer le générateur de évenin. 2. Lui brancher successivement une des 4 résistances de charge et calculer chaque fois la puissance dissipée par cette résistance. Exercice 7 D:\électronique\cours\THEVE.doc lhr 20
21 fig Calculer le générateur de évenin aux bornes et. 2. rancher la résistance entre et puis calculer le courant qui la traverse Exercice 8 fig Calculer le générateur de évenin aux bornes des diodes. 2. Sachant que chacune des diodes ne laisse passer le courant que dans le sens de la flèche, déterminer laquelle conduit et quel est le courant qui la traverse d après la courbe çi-dessous. Diode f() [m] Exercice [V] fig 6.5 D:\électronique\cours\THEVE.doc lhr 2
22 fig Calculer le générateur de évenin aux bornes et. 2. Quel est le genre d appareil placé entre la résistance et le point du montage. D:\électronique\cours\THEVE.doc lhr 22
23 D:\électronique\cours\THEVE.doc lhr 2
24 orton Exercice 0 fig 6.5. Déterminer le générateur de orton. 2. Lui brancher successivement une, puis 2, puis et pour finir les 4 résistances de charge et calculer chaque fois la puissance dissipée par cette résistance. Exercice fig Calculer le générateur de orton aux bornes et. 2. rancher la résistance entre et puis calculer le courant qui la traverse Exercice 2. Calculer le générateur de orton aux bornes des diodes. fig 6.54 D:\électronique\cours\THEVE.doc lhr 24
25 2. Sachant que chacune des diodes ne laisse passer le courant que dans le sens de la flèche, déterminer laquelle conduit. et quel est le courant qui la traverse d après la courbe çi-dessous. Diode f() 20 5 [V] [m] fig 6.55 Exercice fig Calculer le générateur de orton aux bornes et. D:\électronique\cours\THEVE.doc lhr 25
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