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1 Formation Ingénieur 2000, filière «Génie Energétique». Ecoulements multiphasiques, partie B Ecoulements en conduite: méthodes d ingénierie classiques. 1 F. Ravelet a a Arts et Metiers ParisTech, DynFluid, 151 boulevard de l Hôpital, Paris, France. contact: florent.ravelet@ensam.eu 1 Ce document a été écrit en L A TEX, en utilisant la distribution GNU/Linux Ubuntu ( ubuntu-fr.org/).

2 ii TABLE DES MATIÈRES Table des matières 1 Remarques préliminaires Applications industrielles Nécéssité d une modélisation Difficultés liées à la modélisation Limites de toute modélisation Paramètres descriptifs Paramètres de contrôle globaux Titres Vitesses superficielles Débit massique surfacique Relations immédiates entre ces grandeurs Paramètres décrivant l état adopté par le système Opérateurs de moyenne Fonction indicatrice de phase Fraction volumique (taux de vide) Vitesses moyennes Différence entre titre volumique et fraction volumique Notations en diphasique Identités remarquables en diphasique Exemple illustrant la différence entre α et β Techniques de mesures Fonction indicatrice de phase Fraction volumique Mesure de capacité Méthode par atténuation de rayons γ Débits Les méthodes par séparation des phases Les méthodes de mesures en ligne Vitesses Tube de Pitot Particle Image Velocimetry et méthodes dérivées Phase Doppler Anemometry Configurations Ecoulements verticaux Description des régimes Ecoulements verticaux avec changement de phase Cartes de prédiction des régimes

3 TABLE DES MATIÈRES iii 4.2 Ecoulements horizontaux Description des régimes Ecoulements horizontaux transportant des solides Ecoulements horizontaux avec changement de phase Cartes de prédiction des régimes en écoulement liquide / gaz Prédiction du régime en transport solide Modélisation Rappels sur l établissement de bilans intégrés sur la section de conduite Bilan de masse Bilan de quantité de mouvement Bilan d énergie Bilans en écoulements multiphasiques Equations de bilan moyennées sur la section de la conduite version simplifiée, en conduite de section constante Modèle homogène en écoulement diphasique Détermination de la fraction volumique Modèle homogène Cas général Friction Friction en modèle homogène Autres modèles de friction pour écoulements dispersés Friction en modèle séparé A Annexes 41 a Lien entre fraction volumique, vitesses moyennes et titre massique b Vitesse terminale d une particule solide c Réponse au problème posé au 2.3, p d Code Matlab pour la méthode de Taitel en écoulement vertical Bibliographie 45

4 iv TABLE DES FIGURES Table des figures 1 Exemples industriels Exemples de régimes d écoulements Fonction indicatrice de phase Fraction volumique instantanée Illustration de la différence entre titre volumique et fraction volumique Deux notions différentes de «concentration» Sonde résistive, sonde optique Wire-mesh sensor Sonde capacitive Atténuation de rayonnement γ Débimètre en ligne Ecoulement vertical co-courant ascendant air / eau Ecoulement eau / vapeur vertical avec apport de chaleur Cartes de régime pour écoulements air / eau en conduite verticale Régimes en écoulement horizontal Ecoulement eau / vapeur horizontal avec apport de chaleur Carte de régime pour écoulements air / eau en conduite horizontale Exemple type de courbe de perte de charge Tronçon élémentaire de conduite Corrélations pour la fraction volumique Test du modèle homogène en transport solide Test de la corrélation de Lockhart & Martinelli Trainée d une sphère

5 1. Remarques préliminaires 1 1 Remarques préliminaires 1.1 Applications industrielles Les écoulements multiphasiques en conduite interviennent dans de nombreuses applications industrielles, notamment dans le génie nucléaire (écoulements liquide / vapeur, voir Ref. [1]) ou le génie chimique et pétrolier (transport d émulsions eau / huile, problématique de séparation de phase pour des mélanges gaz / liquides, pompage d un liquide par injection de gaz, lits fluidisés dans les centrales à charbon, voir Ref. [2]). Deux exemples sont présentés en Fig. 1. Figure 1 Ecoulement triphasique en génie pétrolier ; les phases extraites sont du pétrole, de l eau et du gaz que l on sépare ensuite. Séparateur de phase automobile pour purger le circuit de refroidissement. Attention, tous ces acteurs ont parfois leurs propres jargons et notations pour désigner la même quantité (par exemple, la fraction volumique 1 de vapeur en diphasique liquide / vapeur devient le taux de vide). 1.2 Nécéssité d une modélisation Les mécanismes gouvernant ce type d écoulement sont au carrefour de plusieurs disciplines. Il s agit en effet de mécanique des fluides, éventuellement couplée à de la thermique, de la thermodynamique des changements de phase, des transferts de masse et des réactions chimiques. En outre, les écoulements multiphasiques pouvant présenter plusieurs configurations telles que des cas où une phase est finement dispersée dans une autre (bulles, petites particules) ou bien des cas où les phases sont présentes sous forme de strates (eau et huile dans une conduite horizontale), on sent bien la difficulté de décrire précisément avec un seul modèle une telle variété de situations. On doit alors faire appel à de nombreuses approximations et à des modèles différents selon le degré de finesse de la description que l on souhaite. A l heure actuelle, on sait décrire les propriétés moyennes des écoulements en conduite, telles que les pertes de charges, avec une précision suffisante pour les besoins pratiques.

6 2 1. Remarques préliminaires Figure 2 En haut : photographies d un écoulement co-courant ascendant liquide / gaz pour différents débits de gaz et de liquide illustrant différents régimes d écoulement en conduite. De gauche à droite : écoulement à bulles dispersées, à bulles agglomérées, à poches, pulsatile et annulaire dispersé. En bas : photographies dans un écoulement de liquide chargé en particules solides pour les mêmes débits de solides et de liquide mais pour différents angles d inclinaison. On remarque que la répartition spatiale des solides et la concentration locale varient fortement. 1.3 Difficultés liées à la modélisation L un des paramètres clés pour la modélisation d un écoulement multiphasique en conduite est la concentration locale ou fraction volumique occupée par chaque constituant. En effet, on peut se convaincre de manière intuitive que la masse volumique moyenne du mélange va jouer un grand rôle notamment pour les pertes de charges. Or, il existe divers régimes ou configurations d écoulement, comme illustré en Fig. 2. Pour une même concentration délivrée à l entrée de la tuyauterie, on peut ainsi avoir d importantes variations de la concentration locale selon l inclinaison de la conduite (Fig. 2 en bas). La prédiction de la fraction volumique en fonction 1 Tous ces termes (fraction volumique, concentration locale, concentration délivrée, taux de vide,... ) sont définis au Chap. 2.

7 1. Remarques préliminaires 3 des paramètres du système est donc capitale, mais repose essentiellement sur des corrélations empiriques, qui sont loin d être universelles (voir par exemple la Ref. [3] pour du diphasique gaz /liquide). Parmi le grand nombre de paramètres contrôlant les régimes en écoulements multiphasiques en conduite, on peut citer : Les débits massiques de chaque phase ; Un éventuel apport de chaleur ; Les propriétés physiques de chaque phase (masse volumique, viscosité, capacité calorifique, conductivité thermique, tension de surface,... ) ; La géométrie de la conduite (forme et aire de la section) ; L inclinaison de la conduite et le sens des écoulements par rapport à la gravité. Du point de vue expérimental, si des méthodes de mesures très sophistiquées permettent des mesures précises, résolues en temps et en espace et non intrusives des principales grandeurs physiques en écoulement monophasique, c est loin d être le cas pour les écoulements polyphasiques. Les données locales fournies par les modèles (par exemple le taux de vide) s avèrent alors difficiles à valider expérimentalement. 1.4 Limites de toute modélisation Un modèle est une représentation d une réalité restreinte de la nature. Un modèle est fait pour décrire, interpréter et prévoir des événements dans le cadre de cette réalité et ne s applique qu à un nombre limité de phénomènes. Un modèle n est pas la réalité. Le modèle se substitue parfois à la théorie à cause de sa simplicité relative. Il a donc comme rôle de décrire une réalité complexe de manière simple et compréhensible. Par exemple, en chimie, on peut expliquer bien des réactions à partir du modèle atomique simplifié, sans avoir à utiliser la théorie de la mécanique quantique. Pour citer M. Planck [4] : «Que nous déclarions avec Ptolémée : la Terre est le centre immobile de l univers et le Soleil tourne autour d elle avec toutes les étoiles, ou que nous disions avec Copernic, la Terre est un grain de poussière dans le cosmos qui tourne en un jour sur lui-même et en un an autour du Soleil, ces deux assertions ne sont [...] que deux manières différentes de formuler des observations». On préfère généralement prendre le modèle héliocentré pour décrire le mouvement de la planète Mars par commodité. Enfin, il faut garder à l esprit que les modèles employés ne sont souvent valides que dans des gammes restreintes de paramètres. Voici deux exemples significatifs, en écoulements monophasiques, de considérations très pratiques mais s avérant fausses dans le cas du génie nucléaire, où les variations de températures et de pressions dans les différents circuits sont très fortes : L eau est «incompressible» : le débit volumique se conserve. Faux : pour le circuit primaire la masse volumique de l eau à 155 bars varie de 10% entre 280 o C et 320 o C 2. Le débit volumique ne se conserve donc pas. Seul le débit massique se conserve. D ailleurs, aucun fluide n est «incompressible», on ne devrait jamais parler que de fluide en écoulement compressible ou incompressible. 2 D après le NIST ( à 155 bars et 280 o C, ρ = kg.m 3 et à 155 bars et 320 o C, ρ = kg.m 3

8 4 1. Remarques préliminaires La vapeur d eau est un gaz parfait. A 1 bar et 100 o C, c est quasiment le cas : le calcul de la masse volumique pour un gaz parfait de constante r = 462 J.K 1.kg 1 donne ρ = 5.8 kg.m 3 et la mesure ρ = 5.9 kg.m 3 soit 1.5% d écart. Mais à 60 bars et 275 o C (pression en sortie du générateur de vapeur dans un Réacteur à Eau sous Pression du palier 900 MWe) ce n est plus du tout vrai : le calcul pour un gaz parfait donne une masse volumique ρ v = 23.7 kg.m 3 alors qu en réalité elle est de 30.8 kg.m 3, soit un écart de 30%. Objectifs des démarches abordées dans ce cours De ce qui précède, on peut conclure que la modélisation des écoulements multiphasiques en conduite n est pas chose aisée, et doit être maniée avec un grand sens critique. L objet des modèles présentés dans ce cours est de fournir des valeurs moyennes dans la conduite des vitesses, concentrations, et pressions, à partir de bilans globaux. Les notions sur les moyennes et les paramètres utilisés sont tout d abord abordées au 2, puis les méthodes de mesures de ces différentes quantités le sont au 3. Les principales configurations d écoulements multiphasiques observées sont décrites au 4. Enfin, les principales équations de bilan établies pour les grandeurs moyennées et les relations de fermeture des modèles sont développées au 5. Pour aller au delà (autres moyennes de type statistique ou filtrées «à la LES», modèles pour les moyennes et les variances des quantités), on pourra consulter la Ref. [2].

9 2. Paramètres descriptifs 5 2 Paramètres descriptifs Afin de décrire un écoulement multiphasique en conduite, outre des données géométriques et les propriétés physiques des fluides, un certain nombre de paramètres concernant l écoulement sont nécessaires, comme des vitesses ou bien des concentrations. La première question est donc de bien préciser ces différents paramètres. Plaçons nous dans un cas où l on maîtrise les débits de matière de plusieurs phases à l entrée d une conduite, sans transferts de masse entre phases, et à propriétés physiques des phases constantes. Nous distinguerons alors deux types de paramètres : ceux que l on contrôle (paramètres de contrôle) et ceux que le système adopte 1 (paramètres d ordre). Le choix adopté ici de présentation des paramètres décrivants un écoulement multiphasique est arbitraire. Une autre présentation plus classique et universelle [2] consiste à partir de la description la plus locale 2 pour finalement, par des opérations de moyennes spatiales et / ou temporelles, arriver à des paramètres descriptifs globaux. 2.1 Paramètres de contrôle globaux On considère N phases indicées par i = 1...N s écoulant dans une conduite de section A(z) (z est une coordonnée curviligne le long de l axe de la conduite). Les débits volumiques sont notés Q i, les masses volumiques sont notées ρ i. Les débits massiques sont notés M i. On a ainsi : On notera : Q = i=1...n M i = ρ i Q i Q i et M = i=1...n Ces quantités représentent les débits volumiques et massiques du mélange. Titres Les titres volumiques β i et massiques χ i sont des paramètres globaux définis à partir des débits. Pour le titre volumique, parfois appelé «concentration de transport» ou «concentration délivrée», la définition est la suivante : Et pour le titre massique 3 : On a en outre les relations immédiates : i=1...n β i = Q i Q χ i = M i M β i = i=1...n χ i = 1 1 Nous avons ainsi vu au 1.3 qu il pouvait exister différentes notions de concentrations dans un écoulement multiphasique, notamment à cause de l existence de nombreuses configurations d écoulements et de «glissement» entre les phases (différences de vitesse). 2 Voir partie A du cours de V. Daru pour la forme locale des équations. 3 Cette notion rejoint la notion de titre thermodynamique dans le cas d un écoulement avec changement de phase à l équilibre thermodynamique. M i

10 6 2. Paramètres descriptifs Vitesses superficielles Pour la phase i, on définit : J i = Q i A Son interprétation est la suivante : il s agit de la vitesse qu aurait la phase i si elle s écoulait seule dans toute la conduite. On définit également la vitesse de mélange : J = J i i=1...n Il s agit d une vitesse déduite et elle n a de signification physique qu en cas d écoulement homogène et de non-glissement entre les phases. Débit massique surfacique Par abus de langage, on parle aussi de «vitesse massique». On définit : G i = M i A On définit aussi le débit massique surfacique du mélange : G = i=1...n Relations immédiates entre ces grandeurs G i J i = β i J G i = Gχ i G i = ρ i J i 2.2 Paramètres décrivant l état adopté par le système Opérateurs de moyenne Avant d introduire les différents paramètres utilisés pour décrire en moyenne l état du système en écoulements multiphasiques, il est nécessaire de préciser les moyennes considérées. Moyenne temporelle On peut définir pour toute quantité f(x, t) définie au point x et au temps t une moyenne sur un intervalle de temps T par : f(x, t) = 1 T t+t/2 t T/2 f(x, t )dt Cet intervalle de temps T est choisi grand devant les fluctuations que l on veut lisser (dues à la turbulence par exemple), mais petit devant les variations temporelles globales que l on souhaite étudier, par exemple celles dues à des variations contrôlées des débits alimentant le système considéré.

11 2. Paramètres descriptifs 7 Moyenne spatiale De même, on peut moyenner toute variable locale instantanée sur un segment, une surface ou un volume. En pratique, on considérera des moyennes sur les sections de conduites A(z) : Fonction indicatrice de phase f(z, t) z = 1 f(x, t)ds A(z) A(z) En tout point x et à tout instant t dans la conduite, on définit pour une phase i la fonction indicatrice de phase { 1 x i X i (x, t) = 0 x i Figure 3 Exemple de fonction indicatrice de phase. Il s agit d une quantité mesurable, par différents moyens présentés au Chap. 3. Un exemple de fonction indicatrice de phase est tracé en Fig. 3. On peut noter qu il s agit d une fonction continue par morceaux. Fraction volumique (taux de vide) La fraction volumique locale αi loc (x), appelée également taux de vide dans le cas particulier d un écoulement liquide / vapeur, est la moyenne temporelle de X i (x, t) : α loc i = X i (x, t) La fraction volumique instantanée αi inst (z, t) est la moyenne spatiale de X i (x, t) sur la section de conduite de cote z : αi inst = X i (x, t) z = 1 X i (x, t)ds A Celle-ci a une interprétation géométrique simple. En notant a i (z, t) la section de conduite occupée par la phase i au temps t, on a (voir Fig. 4) : A α inst i = a i(z, t) A Enfin, on définit la fraction volumique globale comme la moyenne spatiale et temporelle de la fonction indicatrice de phase (on peut montrer que ces deux opérateurs commutent pour la

12 8 2. Paramètres descriptifs Figure 4 Fraction volumique instantanée de la phase blanche = somme des aires blanches / aire de la section de conduite. fonction X i, voir Ref. [1]) : α i = αi loc z = αi inst Sauf mention contraire, dans la suite du manuscrit, c est cette fraction volumique globale qui sera utilisée. De même, les autres quantités seront des quantités moyennées spatialement sur la section de conduite et moyennées temporellement. Pour ne pas alourdir les notations, on omettra les symboles et z et on utilisera des capitales pour les grandeurs moyennées. La fraction volumique n est pas maîtrisée : c est la configuration de l écoulement qui la fixe. A géométrie, fluides et configuration thermodynamique donnés, on a : Vitesses moyennes α i = f(j, β i...n ) = g(m, χ i...n ) Si on note w(x, t) la composante selon l axe de la conduite de la vitesse au point x et au temps t, la vitesse selon l axe de la conduite de la phase i en ce point est X i (x, t)w(x, t) (c està-dire w(x, t) si en ce point on est en présence de la phase i, et 0 si en ce point on n est pas en présence de la phase i). On écrira w i = X i w. Le débit volumique instantané de la phase i sur la section de conduite de cote z est donc : q i (z, t) = = A(z) a i (z) = A w i z En prenant la moyenne temporelle, on a : X i (x, t)w(x, t)ds w i ds Q i = A w i z = A i α i w i z On introduit alors une «vitesse moyenne pour la phase i» : U i = Q i A i = w i z α i Il s agit donc de la vitesse moyenne débitante de la phase i à travers la portion de conduite occupée en moyenne par la phase i.

13 2. Paramètres descriptifs 9 Différence entre titre volumique et fraction volumique Figure 5 Illustration de la différence entre titre volumique et fraction volumique. Les titres volumiques (β i ) et fractions volumiques (α i ) correspondent à deux notions de concentration (resp. «de transport» et «spatiale») différentes. Ces deux notions ne sont identiques que dans le cas où les vitesses moyennes des phases sont égales. Cela est illustré en Fig. 5 pour deux phases repérées par les indices 1 et 2. La phase 1 occupe une aire A 1, la phase 2 une aire A 2. La fraction volumique de la phase 1 est donc : A 1 α 1 = A 1 + A 2 Les deux vitesses moyennes sont U 1 et U 2. Le débit de la phase 1 est donc Q 1 = A 1 U 1 et le titre volumique de la phase 1 est : β 1 = On voit que U 1 U 2 β 1 α 1. Notations en diphasique Q 1 Q 1 + Q 2 = A 1 U 1 A 1 U 1 + A 2 U 2 Traditionnellement, dans un écoulement entre un gaz et un liquide ou bien un écoulement transportant des solides, on omet l indice, et on ne considère que le titre du gaz ou des solides. Par exemple, pour de l air a et de l eau e, on ne parlera que du titre en air β = β a, le titre en eau étant immédiatement β e = 1 β. Il en va de même pour les fractions volumiques et titres massiques. Identités remarquables en diphasique Pour un mélange de deux phases 1 et 2, dont on ne considère les titres que relativement à la phase 1, on peut montrer les deux relations suivantes entre le titre massique et la fraction volumique globale (démonstration en annexe a, page 41) : χ = α = ρ 2 U 2 (1 α) ρ 1 U 1 α 1 + U 1 1 (1 χ) ρ 1 U 2 χ ρ 2

14 10 2. Paramètres descriptifs De ces deux équations, on peut tirer une expression du «rapport de glissement» ( Slip ratio ) S : S = U 1 = 1 α χ U 2 α 1 χ 2.3 Exemple illustrant la différence entre α et β Prenons le cas d un transport de solides dans une conduite verticale. On suppose connus les débits volumiques des solides s et du liquide l, c est-à-dire que Q s, Q l et β = Qs Q l +Q s sont connus. On cherche alors à exprimer α (relativement à la phase s) en fonction de ces paramètres et des propriétés des solides et du liquide. Pour une particule de diamètre d, de masse volumique ρ s lachée dans un fluide au repos de masse volumique ρ l s étendant à l infini, sous l action de la gravité g, on rappelle que la vitesse terminale en régime permanent s écrit : ρs ρ l 4gd V t = ρ l 3C d avec C d le coefficient de trainée de la particule (Vous pouvez le démontrer à titre d exercice : solution en annexe b, page 41). Exercice : En considérant l écoulement du fluide comme un écoulement homogène à la vitesse moyenne U l dirigée vers le haut et que la vitesse moyenne des particules dans ce référentiel est U s = U l V t (voir Fig. 6, gauche), obtenir une relation simple entre la fraction volumique et la vitesse de mélange J. ρ 2 ρ β=0.05 α J (m.s 1 ) Figure 6 Gauche : Illustration du glissement entre deux phases. Droite : Fraction volumique α fonction de la vitesse de mélange J pour des sphères en alumine de diamètre 5 mm, de densité 3650 kg.m 3 pour un titre volumique (concentration délivrée) de 5%. Ici, C d = 0.44, coefficient de trainée pour une sphère en régime turbulent, et donc V t = 0.63 m.s 1. Commentaires : Sous ces hypothèses, la solution obtenue est illustrée en Fig. 6, droite (voir la solution du problème en annexe c, page 42). Le tableau 2.1 regroupe quelques valeurs numériques. On remarque que : à haute vitesse, la différence de vitesse entre les phases (qui est constante) devient négligeable devant les vitesses moyennes, donc S = U s U l = U l V t U l = 1 V t U l

15 2. Paramètres descriptifs 11 Donc S 1 et α β ; pour des vitesses de l ordre de grandeur de la vitesse terminale on a α β (α = 2β pour J = 1 m.s 1 dans l exemple présenté en Fig. 6). Le tuyau se bouche. J α J s J l U s U l % % % Table 2.1 Résultats du modèle pour quelques valeurs de J et β = 5%. Vitesses en m.s 1. En toute rigueur, il y a des corrections à apporter en conduite pour l expression de la vitesse terminale à cause d effets de confinement, ainsi que des corrections lorsqu on considère plusieurs particules proches (le sillage des unes perturbe les autres : le comportement collectif est différent du comportement individuel). En première approximation, on considérera que cette loi reste valable dans le cas du transport solide évoqué ici. Le modèle utilisé ici reflète qualitativement les observations réelles de manière très satisfaisante.

16 12 2. Paramètres descriptifs

17 3. Techniques de mesures 13 3 Techniques de mesures expérimentales pour les écoulements multiphasiques en conduite Les quantités d intérêt à mesurer dans un écoulement multiphasique en conduite sont principalement les fractions volumiques (α) ainsi que les vitesses de chaque phase et les débits. Pour plus de détails, on pourra consulter les Refs. [2, 5]. 3.1 Fonction indicatrice de phase Afin de mesurer localement le taux de présence d une phase (voir page 7), on peut dans le cas d écoulements à plusieurs fluides utiliser des techniques de mesures intrusives, basées sur la différence d une des propriétés physiques des phases en présence. Il existe ainsi des sondes électriques qui mesurent la résistivité. Le principe est présenté en Fig. 7. La fonction indicatrice de phase est calculée par seuillage. Pour des phases transparentes, si les indices de réfraction de chaque phase sont suffisamment contrastés, on peut utiliser des sondes optiques. Le principe de fonctionnement repose sur le phénomène de réflexion totale. Une source envoie un faisceau incident de lumière à travers une fibre optique d indice n f, biseautée à son extrémité. L indice de la fibre et l angle du biseau sont tels que le faisceau sera totalement réfléchi pour une des deux phases (celle de plus petit indice) et passera dans l autre phase. Un photomultiplicateur détecte si le faisceau a été réfléchi ou non. En utilisant deux sondes séparées d une distance connue, on peut accéder aux vitesses locales par des techniques de traitement de signal du type cross-correlation. Figure 7 Mesure de la fonction indicatrice de phase par sonde résistive et optique.

18 14 3. Techniques de mesures Le Wire-mesh sensor (Ref. [6]), est un capteur placé dans la conduite entre deux brides. Basé sur une mesure électrique, il permet d obtenir quasi-simultanément en plusieurs points la fonction indicatrice de phase (voir Fig. 8). Figure 8 Wire-mesh sensor. Il y a deux réseaux croisés de fils (épaisseur 100 µm, matrice de 64 64). L un des deux est lu séquentiellement, l autre en parallèle jusqu à 10 khz. On reconstruit ainsi une image de la fraction volumique. Exemple de mesures en écoulement vertical ascendant air / eau, D = 200 mm. J eau = 1m.s 1. La direction verticale correspond au temps (c est une reconstruction 3D artificielle).

19 3. Techniques de mesures Fraction volumique La fraction volumique instantanée (α i (z, t)) est une mesure globale sur la section. Là aussi il existe différentes techniques de mesures, reposant sur le contraste d une propriété physique des phases en présence. Mesure de capacité. Cette méthode consiste à fabriquer un condensateur, dont la capacité va dépendre de la permittivité (constante diélectrique) effective du milieu situé entre les électrodes (voir Fig. 9). Figure 9 Principe de la mesure de fraction volumique instantannée par capacité. La valeur de la constante diélectrique pour quelques corps est donnée dans le tableau 3.1. Air Huile Eau ɛ r Table 3.1 Permittivité relative. Méthode par atténuation de rayons γ. Il s agit d une méthode de mesure non-intrusive et ne nécessitant pas de démontage sur la conduite (voir Fig. 10). Le principe en est le suivant [7, 8] : Un rayonnement γ d intensité I est atténué dans un milieu i selon la loi de Beer-Lambert : di = µ i Idx Le coefficient d atténuation µ i dépend de la fréquence f du rayonnement et de la densité du milieu. Dans un tuyau de diamètre D contenant deux phases de coefficients d atténuation différents, l intensité I m recueillie sur le détecteur s exprime de la manière suivante, avec I 0 (f) l intensité incidente du faisceau : 2 I m (f) = I 0 (f) exp( α i µ i (f)d) En notant I 1 et I 2 les intensités mesurées pour chaque phase présente toute seule dans la conduite (c est-à-dire lorsque respectivement α 1 = 1 et α 2 = 1), et sachant que α 1 +α 2 = 1, on a : α 1 = ln(i 2) ln(i m ) ln(i 2 ) ln(i 1 ) i=1

20 16 3. Techniques de mesures Figure 10 Mesure de fraction volumique par atténuation de rayonnement γ. Ce système peut fonctionner avec trois phases en utilisant deux fréquences différentes. Ce principe fonctionne également avec une phase solide. 3.3 Débits Afin de mesurer le débit de mélange ou bien les débits de chaque phase, il existe plusieurs techniques. On peut les séparer en deux grandes catégories.

21 3. Techniques de mesures 17 Les méthodes par séparation des phases Dans ce cas, on doit placer sur la conduite un séparateur de phases et on dirigera les n phases vers n débimètres monophasiques «classique». Cette méthode s inscrit bien dans le cadre d un procédé où on cherche à récupérer une phase précieuse (voir Fig. 1). Dans le cas contraire où on va remélanger les phases, l inconvénient est de générer des pertes de charges importantes. Les méthodes de mesures en ligne Dans le cas de faibles fractions volumiques, les débimètres électromagnétiques peuvent permettre de mesurer la vitesse du mélange. On peut utiliser des systèmes déprimogènes avec une calibration spéciale tenant compte de la fraction volumique, que l on doit mesurer par ailleurs. Dans le domaine de l exploitation pétrolière, Schlumberger commercialise depuis peu un débitmètre multiphasique en ligne ( testing/multiphase.aspx#) permettant de mesurer les débits et les fractions volumiques de trois phases (eau, huile, gaz) avec une résolution temporelle de 45 Hz. Ce système est présenté en Fig. 11, et consiste en un venturi avec un rapport de contraction de 0.5 et un système de mesure de fraction volumique à deux faisceaux par atténuation de rayons γ produits par une source radioactive de 133 Ba. Ce système est relativement complexe mais très performant [9]. Figure 11 Dual-Energy Gamma Venturi multiphase flowmeter.

22 18 3. Techniques de mesures Il y a encore de nombreux progrès technologiques à accomplir dans le domaine de la mesure de débits en écoulements multiphasiques! On pourra également consulter l article de référence [10]. 3.4 Vitesses Tube de Pitot On peut employer des tubes de Pitot en écoulement diphasique, plutôt dans le cas d écoulements dispersés liquide /liquide ou liquide /gaz. On a alors accès à la vitesse moyenne du mélange, si l on connait par ailleurs la fraction volumique donc la masse volumique du mélange. Des facteurs correctifs sont à utiliser éventuellement. Particle Image Velocimetry et méthodes dérivées La PIV est une méthode standard de mesures de champs de vitesse (à 2D) en écoulements monophasiques. Le principe est le suivant : le fluide est ensemencé en petites particules qui agissent comme des traceurs. On illumine alors un plan au moyen d une nappe laser. En prenant deux images séparées par un temps très court (laser pulsé à double cavité), on remonte à la vitesse moyenne de paquets de particules dans des petites portions de l image par des calculs de corrélation. Si les particules sont suffisamment peu nombreuses et assez grosses pour avoir une image résolue des particules, on peut calculer la vitesse de chaque particule par PTV (Particle Tracking Velocimetry). En écoulement multiphasique, à concentration raisonnable en phase dispersée, on peut ensemencer la phase continue avec des particules fluorescentes (rhodamine 6G ou B, fluoréscéine, vapeurs d acétone par exemple), puis en utilisant un filtre de couleur, réaliser de la PIV sur la phase continue, et de la PTV sur la phase dispersée. Cette technique est possible avec une phase dispersée se déformant, en faisant appel à des techniques poussées de traitement d image [11]. Phase Doppler Anemometry La PDA est une technique basée sur l utilisation d un faisceau laser et sur la mesure par plusieurs photodétecteurs disposés judicieusement de la lumière réfléchie ou réfractée par des inclusions. Elle permet de mesurer à la fois la vitesse et la taille des particules.

23 4. Configurations 19 4 Configurations Comme nous l avons mentionné dans l introduction, un écoulement multiphasique en conduite peut présenter diverses organisations spatiales pour les phases (voir par exemple la Fig. 2 page 2). Ces structures d écoulement sont appelées «régimes d écoulement». Ceux-ci sont définis visuellement, les transitions entre régimes sont de plus graduelles et la classification reste bien souvent subjective. Toutefois, on s accorde à classer les régimes en trois grands groupes, selon l homogénéité en temps ou en espace de la répartition spatiale des phases. On distingue ainsi : 1. Régimes dispersés : homogènes en r et z, par exemple un écoulement à bulles en conduite verticale (Fig. 12 à gauche) ; 2. Régimes séparés : non-homogènes en r, homogènes en z, par exemple un écoulement stratifié en conduite horizontale (Fig. 15 page 23) ; 3. Régimes intermittents : non homogènes en z et localement non stationnaires, par exemple le régime slug flow en conduite verticale (Fig. 12 au milieu). Au premier ordre, la topologie de l écoulement va dépendre des paramètres suivants : les conditions d opération (pression, température, apport de chaleur) ; les propriétés physiques des phases (densités, viscosités, tension de surface,... ) ; les débits de chaque phase, qui jouent à la fois sur l inertie et sur la concentration respective de chaque phase ; la géométrie et l orientation de la conduite. Ainsi, de manière générale, on aura plutôt des écoulements dispersés si une des phases est peu concentrée et que les forces d inertie sont plus fortes que les effets de flottabilité (nombre de Froude élevé) ou que les effets de tension de surface (nombre de Weber élevé). 4.1 Ecoulements verticaux Description des régimes La figure 12 présente les principales configurations rencontrées en conduite verticale pour des écoulements co-courant ascendants d eau et d air. Dans le cas de l écoulement de deux liquides immiscibles (eau / huile), on rencontre les mêmes régimes [12]. Dans le cas d écoulements solides / liquide, en conduite verticale, on n a en revanche pas de distinction entre divers régimes. Pour des fortes vitesses d eau et de faibles vitesses d air, on se trouve en présence d écoulements dispersés à bulles (en anglais bubbly flow). Plus l écoulement est turbulent et plus ces bulles vont se fragmenter. Dans le cas de l air et de l eau aux conditions usuelles, les bulles ont une forme sphérique si leur diamètre est inférieur au millimètre [13]. Pour de plus faibles vitesses d eau, on observe des écoulements intermittents. Tout d abord, on obtient un écoulement à poches (en anglais slug flow, c est-à-dire «écoulement à limaces»). Il s agit d un écoulement intermittent constitué de poches d air allongées, avec un avant arrondi et un arrière plat (que l on appelle «bulles de Taylor»), entrainant des bulles dans leur sillage. Le film liquide au niveau de la poche de gaz a un mouvement descendant. Lorsque la vitesse de l eau reste faible et que la vitesse de l air augmente, les poches d air vont se fractionner et l écoulement va être de plus en plus désordonné. Il s agit en fait d un

24 20 4. Configurations Figure 12 Ecoulement vertical co-courant ascendant air / eau dans une conduite de diamètre D = 32 mm. 1- Bulles indépendantes ( bubbly). 2- Bulles agglomérées. 3- Poches gaz - bouchons liquides ( slug). 4- Pulsatile ( churn). 5- Annulaire dispersé ( dispersed annular). écoulement qui tend à devenir annulaire mais où la vitesse de l air n est pas assez importante et où le film liquide en paroi retombe périodiquement. On a alors un écoulement pulsatile, ou semi-annulaire (en anglais churn flow). Enfin, pour de grandes vitesses de l air, le film liquide va être plaqué en paroi, et on aura des écoulements séparés. On aura ainsi un écoulement annulaire (en anglais annular flow), avec éventuellement des goutelettes transportées au cœur de la conduite, ou bien un écoulement à brouillard sans film liquide en paroi dans les cas extrêmes. Figure 13 Evolution de l écoulement eau / vapeur dans un tube vertical chauffé (en haut), et autour d un barreau vertical chauffant (en bas).

25 4. Configurations 21 Ecoulements verticaux avec changement de phase Dans le cas d écoulements avec transfert de chaleur et changement de phase (type écoulement eau / vapeur), l écoulement va rencontrer différents régimes au cours de sa montée dans la conduite (voir Fig. 13). Il y a un couplage non-trivial entre l écoulement et différents régimes d ébullition. La vapeur peut en effet se former par deux mécanismes : soit par nucléation en paroi, soit par vaporisation au niveau des interfaces au sein de l écoulement. Les différentes étapes, illustrées sur la Fig. 13 sont les suivantes : Tout d abord, on suppose que l écoulement rentre sous forme liquide à une température inférieure à la température d ébullition en bas de la colonne. Celui-ci va se réchauffer par convection jusqu à la température d ébullition (A). On rentre alors dans la zone d ébullition nucléée sous-refroidie : le liquide en paroi est à la température de saturation et il y a formation de bulles qui se recondensent dans le courant de liquide de température inférieure à celle de saturation (B). L ébullition nucléée se développe dans toute la masse de liquide qui arrive à la température de saturation. Le coefficient de transfert thermique est le plus fort (C). Les bulles très nombreuses coalescent pour former des bouchons de vapeur se rassemblant au centre de la conduite : on est en régime à poches (D). Puis on passe en écoulement annulaire. On observe que la surface de la pellicule liquide en contact avec le noyau central de vapeur est extrêmement agitée et par la suite se produit une évaporation intense en même temps qu un arrachement des gouttelettes liquides (E-F). Il y a maintenant un contact direct entre la vapeur et la paroi chauffante. Il ne reste que de minuscules gouttelettes en suspension dans la vapeur, d où l appellation d écoulement à brouillard (mist flow). Dans cette zone de vapeur saturée humide le transfert de chaleur a lieu par convection forcée en vapeur et par évaporation des gouttes de liquide (G). Il n y a plus de phase liquide. Il existe seulement un écoulement simple de vapeur sèche qui respecte les lois de la convection forcée monophasique (H). Cartes de prédiction des régimes La prédiction du régime d écoulement fait le plus souvent appel à des cartes d écoulement. Ces cartes (voir par exemple Fig. 14) sont le plus souvent d origine empirique, leurs coordonnées dépendent des auteurs, et les frontières entre régimes sont plus ou moins bien définies. Taitel et al. [14] ont établi une méthode basée sur des corrélations semi-empiriques afin d établir une carte des régimes d écoulements gaz / liquide co-courant ascendant en conduite verticale. Un exemple est présenté en Fig. 14, et un script Matlab permettant de tracer cette carte est fourni en annexe d. Dans cette analyse [14], l écoulement pulsatile, (en anglais churn flow) est considéré comme un phénomène transitoire à l entrée, disparaissant au delà d une certaine altitude dans la conduite.

26 22 4. Configurations Figure 14 (a) Carte de Hewitt & Roberts (1969) pour écoulements air / eau en conduite de diamètre 31.2 mm pour P [ ] bars. (b) Carte établie par la méthode de Taitel et al. [14] pour conduite de diamètre D = 40 mm, z obs = 3 m : Dispersed bubbles / bubbly, Bubbly / slug, Dispersed bubbles / churn, Slug / churn, Churn / dispersed annular. (c) Carte de Weisman & Kang [15] pour écoulements air / eau en conduite de diamètre 25 mm.

27 4. Configurations Ecoulements horizontaux Description des régimes En conduite horizontale, le nombre de configurations d écoulement est plus élevé. En effet, la pesanteur, normale à l axe de la conduite, va avoir tendance à créer une stratification si les phases ont des densités différentes. En outre, cet effet se fera sentir que ce soit pour des écoulements solides / liquides, liquides / liquides ou gaz / liquides. Figure 15 A gauche : représentation schématique des régimes d écoulement gaz /liquide en conduite horizontale. A droite, photographies d un écoulement de billes de verre de diamètre 5 mm dans une conduite horizontale de diamètre 100 mm, pour β = 5%, et, de haut en bas J = 1.2 (écoulement séparé à lit stationnaire), 2.1 (écoulement séparé à lit mouvant), et 4.9 m.s 1 (écoulement dispersé pseudo-homogène). En bas, photographies en écoulement air /eau. La figure 15 présente ainsi, à gauche les configurations schématiques rencontrées en écoulement gaz / liquide en conduite horizontale, et à droite des photographies d écoulements solides / liquide en conduite horizontale illustrant divers régimes. On remarque ainsi l apparition des ré-

28 24 4. Configurations gimes séparés stratifiés lisses ou à vagues. Sur ce schéma on a une distinction que tous les auteurs ne font pas pour les régimes intermittents entre écoulements à poches de gaz (plug flow) et à bouchons liquides (slug flow). En écoulement horizontal d air et d eau, la situation est typiquement la suivante : Pour de très faibles vitesses d eau et d air, les écoulements sont laminaires et le régime est séparé stratifié lisse. Partant de là, si la vitesses de l air augmente, on obtient un régime séparé à vagues. Si la vitesse de l air augmente encore, on obtient un régime dispersé annulaire. Pour des vitesses d eau moyennes, on observe des régimes intermittents de type bouchons liquides / slug ou poches de gaz / plug. Pour des vitesses d eau importantes, on observe des régimes dispersés à bulles. Ecoulements horizontaux transportant des solides Dans le cas du transport de solides, pour des particules inférieures à 10 µm et pour des vitesses élevées, on observe des régimes d écoulements dispersés homogènes. Pour de plus grandes particules, et pour des vitesses plus faibles, les effets de sédimentation deviennent importants et d autres régimes sont observés. Il y a dans la littérature une grande variété de termes et de descriptions de régimes. Toutefois, la classification la plus commune est la suivante [16] : Régimes dispersés hétérogènes ou pseudo-homogènes avec un gradient vertical de concentration (Fig. 15, photo en bas). Ces régimes sont rencontrés à moyenne vitesse. Lorsque la vitesse décroit, la concentration en particules dans le bas de la conduite atteint la limite de compacité (on trouve souvent une valeur de 0.52 correspondant à un empilement aléatoire lâche). Il se forme alors un lit mouvant (Fig. 15, photo en haut à droite) et on a un régime d écoulement séparé à lit mouvant. Pour des vitesses encore plus faibles, on a formation d un lit stationnaire en dessous d un lit mouvant (Fig. 15, photo en haut à gauche) : on a donc trois strates. Ecoulements horizontaux avec changement de phase L évolution des régimes d écoulements dans un tube horizontal chauffé, avec changement de phase, est présentée en Fig. 16. Le scénario est identique au cas vertical (Fig. 13) à ceci près qu on peut maintenant avoir un assèchement périodique précoce de la paroi supérieure du tube, qui va avoir de fortes conséquences sur les températures et les transferts en paroi. Cartes de prédiction des régimes en écoulement liquide / gaz Pour les écoulements gaz / liquide en conduite horizontale, parmi les nombreuses cartes empiriques, nous présentons celle établie par Mandhane et al. [17] (voir Fig. 17). Cette carte compile plus de 5900 observations. Son domaine de validité est le suivant : Diamètre D [13; 165] mm ; Masse volumique du liquide ρ l [700; 1000] kg.m 3 ; Masse volumique du gaz ρ g [0.8; 50] kg.m 3 ; Viscosité dynamique du liquide µ l [ ; ] Pa.s ; Viscosité dynamique du gaz µ g [ ; ] Pa.s ; Tension interfaciale σ [25; 100] mn.m 1 ;

29 4. Configurations 25 Figure 16 Evolution de l écoulement eau / vapeur dans un tube chauffé horizontal. Une méthode de prédiction, basée sur des analyses de stabilité et des bilans de forces, a été établie par Taitel & Duckler [18]. Par exemple, la transition entre écoulement stratifié lisse et à vagues repose sur le seuil de génération de vagues sur une surface libre ; la transition entre écoulement stratifié et écoulement intermittent est basée sur une analyse des instabilités de Kelvin-Helmholtz,... Une comparaison entre les prédictions et la carte de Mandhane est réalisée en Fig. 17. On peut remarquer que l allure générale est bien reproduite, mais que la prédiction sous-estime notamment la zone d écoulements intermittents. En conclusion, on ne peut faire une confiance aveugle ni aux cartes, ni aux prédictions théoriques. Figure 17 Carte de Mandhane et al. [17] pour un écoulement gaz / liquide en conduite horizontale. Hachures : observations expérimentales, lignes et points : prédictions par la méthode de Taitel & Duckler [18] pour une conduite de diamètre 25 mm, à 1 bar et 25 o C.

30 26 4. Configurations Prédiction du régime en transport solide Dans le cas du transport solide, nous avons vu qu il existe plusieurs classifications des régimes d écoulement [16], et donc plusieurs vitesses critiques de transition. Un résultat néanmoins robuste est le suivant : pour des particules transportées assez larges (de quelques mm), les courbes de pertes de charge à concentration délivrée constante présentent un minimum (voir Fig. 18). Ce minimum est observé autour d une vitesse correspondant à un nombre F d ordre unité, défini de la manière suivante : F = J = 1 2gD ρs ρ l ρ l Cette vitesse coïncide avec la transition entre un régime séparé à trois strates avec lit stationnaire et un régime séparé à deux strates avec lit mouvant.

31 5. Modélisation 27 5 Modélisation L une des attentes les plus évidentes d une étude d un écoulement multiphasique en conduite est la prédiction des pertes d énergie qui se produisent lors de l écoulement. Dans ce cours, il ne s agit pas de donner un catalogue exhaustif de corrélations empiriques ou de méthodes particulières, mais de mettre l accent sur les mécanismes principaux générateurs de pertes de charge propres aux écoulements multiphasiques, puis d introduire les principaux types de modèles. Quelques exemples seront traités en exercice. Figure 18 Exemple typique de pertes de charges en écoulement solides / liquide horizontal [19]. Billes d alumine de diamètre 6 mm ( ) et 15 mm ( ), dans une conduite de diamètre 100 mm, à une concentration de transport β = 5%. Perte de charge exprimée sous forme de gradient hydraulique, en m de colonne d eau par m de conduite. La figure 18 présente une courbe typique du gradient hydraulique, qui est la perte de charge régulière en mètre de colonne de fluide porteur par mètre de conduite, en fonction de la vitesse de mélange J pour un écoulement d eau transportant des solides en conduite horizontale. La fraction volumique (ou concentration délivrée ou encore concentration de transport) est constante. Le cas de l écoulement monophasique est représenté par la ligne continue épaisse. On remarque tout d abord que la perte de charge est plus élevée qu en écoulement monophasique : il faut plus de puissance pour déplacer le même débit volumique de matière. En outre, les courbes ne sont pas monotones mais présentent une forme de cuvette avec un minimum local. Des visualisations, schématisées en Fig. 18 montrent que les régimes d écoulement varient avec la vitesse de mélange : à basse vitesse on a un écoulement séparé avec présence d un lit stationnaire ; à haute vitesse, on

32 28 5. Modélisation va tendre vers un écoulement dispersé pseudo-homogène. Le minimum de la courbe correspond à F 1 (voir page 26). On sent bien que ce type de courbe est délicat à modéliser, puisque les mécanismes générateurs de perte sont multiples et que leur importance relative varie en fonction de la vitesse. Plusieurs pistes sont possibles, parmi lesquelles l utilisation : de «corrélations» empiriques ; de modèles semi-empiriques, basés sur des bilans globaux (masse, quantité de mouvement, énergie) auxquels on adjoint des corrélations empiriques pour la fraction volumique et les pertes de charge ; d outils de résolutions des équations locales 1, type CFD (Computational Fluid Dynamics). Il existe de très nombreuses corrélations empiriques souvent dédiées à une situation particulière. Quand à l emploi de la CFD, il devient rapidement très coûteux en écoulement multiphasique. Son utilisation industrielle est ainsi réservée à certains domaines, dans le cadre de la R&D. Un exemple d utilisation de la méthode VOF (Volume Of Fluid) de capture d interface, couplée à la résolution des équations de Navier-Stokes dans chaque phase sera abordé en TP. L utilisation de bilans globaux établis sur des portions de domaine est particulièrement adaptée au cas des écoulements en conduite. On réduit ainsi fortement la complexité du problème, qui devient unidimensionnel ; on pose de plus le problème en terme de quantités intégrales que l on sait mesurer expérimentalement : fractions volumiques, débits (voir 3). L établissement de tels bilans pour un cas simple monophasique est rappelé en 5.1. En écoulements multiphasiques, on utilisera différents modèles basés sur deux grands type de bilans présentés en 5.2, complétés par des modèles et corrélations pour la fraction volumique et les pertes de charges ( 5.3 et 5.4). 5.1 Rappels sur l établissement de bilans intégrés sur la section de conduite L idée est de découper la conduite en tronçons élémentaires (voir Fig. 19) et d effectuer pour chaque tronçon des bilans sur ce volume de contrôle fixe, appelé volume de contrôle géométrique fixe non matériel 2. Figure 19 Tronçon de conduite élémentaire. 1 Voir le cours de V. Daru. 2 On appelle volume de contrôle matériel V m(t) un volume constitué à chaque instant des mêmes éléments de matière : c est un système fermé contrairement au volume de contrôle pris ici, qui constitue un système ouvert.

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