La division à l école élémentaire Une approche par les collections

Transcription

1 La division à l école élémentaire Une approche par les collections Rappel : La division enseignée à l école élémentaire est la division euclidienne. Un résultat mathématique affirme que : Étant donnés deux entiers positifs non nuls a et b, il existe un unique couple d entiers positifs ou nuls, notés ici q et r, tels que a = bq + r, avec 0 r< b. Ce résultat permet de modéliser deux types de situations de partage équitable : Premier type de situation : On connaît la taille de la collection à partager et le nombre de parts ; on s intéresse à la taille des parts (leur cardinal). La taille du reste (son cardinal) est nécessairement inférieure au nombre de parts. (sinon, on peut augmenter la taille des parts). Exemple: On partage de manière équitable 29 bonbons entre 6 enfants. Combien chaque enfant recevra-t-il de bonbons? Est-ce qu il restera des bonbons à l issue du partage? Si oui, combien? Chaque enfant recevra 4 bonbons ; il restera 5 bonbons. Ces situations se rencontrent très tôt dans les situations fonctionnelles de distribution. Deuxième type de situation : On connaît la taille de la collection à partager et la taille des parts (leur cardinal commun); on s intéresse au nombre maximum de parts que l on peut obtenir. La taille du reste (son cardinal) est nécessairement inférieure à la taille des parts (sinon, on peut obtenir une ou plusieurs parts supplémentaire). Exemple: On se propose d emballer 29 oeufs en boîte de six. Combien de boîtes complètes de six oeufs obtiendra-t-on? Est-ce qu il restera des œufs? si oui, combien? On obtiendra six boîtes complètes de six œufs ; il restera 5 œufs. Ces situations se rencontrent dans les situations fonctionnelles de rangement particulières (celles où l on utilise des contenants recevant un nombre fixé d objets d un type donné) : par exemple : boîtes à œufs ; casiers à bouteilles. Elles correspondent aussi aux situations de groupements (codage des nombres). 1

2 Dans les deux cas : les parts et le reste sont des sous collections deux à deux disjointes de la collection de départ. Situation 1 : Partant d une collection inorganisée : on peut délimiter six secteurs, et distribuer les objets dans chaque secteur. On s arrête lorsque l on ne peut plus mettre un objet dans chaque secteur. On compte le nombre d objet dans un secteur donné. La mise en correspondance biunivoque permet de contrôler que la distribution est équitable. Chacun des 6 paquets comprend 4 objets; il reste 3 objets. Situation 2 : Partant d une collection inorganisée, on isole des paquets de 6 (groupements) ; on compte le nombre de paquets et le nombre d objets restant. Le nombre de paquets de 6 objets que l on a obtenu est 4 ; il reste trois objets. En résumé : Une relation de la forme a = bq+r, avec 0 r < b peut s interpréter comme : Situation de type 1 : Le partage d une collection composée de a objets en b parts équitables (division partition) Situation de type 2 : le partage d une collection composée de a objets en parts de taille b.(division quotition) Dans la situation de type 1 : le quotient q fournit la taille des b parts équitables Dans la situation de type 2 : le quotient q fournit le nombre de parts de taille b (C est la valeur approchée entière par défaut de la taille de la collection mesurée avec un étalon de taille b). Dans les deux cas, le reste r fournit la taille de la sous-collection restante à l issue du partage. Ceci est lié à la commutativité de la multiplication : b parts de taille q et q parts de taille b correspondent à des collections équipotentes (ayant le même cardinal). Cette connaissance permet de convertir les situations de type 1 en situation de type 2, ce qui se traduit par une écriture mathématique qui gomme la distinction entre les deux types de situation en les rassemblant sous un même modèle. Attention à la contrainte sur les restes dans les interprétations : «27 = » correspond à quatre interprétations possibles 2

3 27 objets à partager (distribuer) en 6 parts ; 27 objets à partager (ranger) en parts ayant 6 éléments ; 27 objets à partager (distribuer) en 4 parts ; 27 objets à partager (ranger) en part ayant 4 éléments. Ce n est pas toujours le cas! «27 = » correspond à deux interprétations possibles : Nombre de parts de taille 5, ou taille de 5 parts équitables «29 = » correspond à deux interprétations également : nombre de parts de taille 6, ou taille de 6 parts équitables. Cette égalité ne traduit pas les cas où la taille des parts est 4 (on peut rajouter une part), ni le cas où le nombre de parts est 4 (on peut rajouter un objet dans chaque part). «31 = » ne correspond à aucune interprétation possible ; cette égalité ne caractérise pas une division euclidienne. Au cycle 2 et au début du cycle 3 1. On rencontre des situations de distribution fonctionnelle ; 2. On travaille avec la moitié, le tiers, le quart (calcul mental) 3. On peut donner des problèmes de partage de l un ou l autre type avec des nombres pas trop grands, qui permettent de résoudre le problème par manipulation, puis par schématisation. 4. Le travail sur la numération décimale de position mobilise des situations de type 2 avec un diviseur égal à une puissance de 10. D une manière générale, les situations de groupements échanges sont des situations de type 2. Exemples : Combien de dizaines et combien d unités dans le nombre 147 ; autrement dix : combien de paquet de dix (nombre de dizaines) et combien reste-t-il ( nombre d unités)? 5. En comptant de trois en trois, ou de quatre en quatre, etc on peut encadrer un nombre donné entre deux multiples consécutifs (ceci correspond à mesurer la collection avec un étalon autre que l unité). 6. Étant donnée une collection inorganisée, fabriquer autant de parts d une taille donnée que possible. Déterminer le nombre de parts et la taille du reste. Contrôler les contraintes 3

4 7. Étant donnée une collection inorganisée, fabriquer un nombre donné de parts équitables les plus grandes possibles. Déterminer la taille des parts et du reste. Contrôler les contraintes 8. On peut représenter les deux types de situations à l aide d un tableau Situation de type 1 1 er enfant 2 ème enfant 3 ème enfant 4 ème enfant 5 ème enfant 6 ème enfant X X X X X Situation de type 2 1 ère boïte 2 ème boîte 3 ème boîte 4 ème boîte 5 ème boîte X X X X X Ceci permet de faire le lien avec la commutativité de la multiplication : 6 paquets de 4 objets ou 4 paquets de 6 objets correspondent à des collections de même taille. 9. Travailler à partir des tables de multiplication pour : trouver des quotients exacts ; encadrer un nombre entre deux multiples consécutifs ; déterminer le quotient et le reste dans des cas simples. Exemple : soit à diviser 38 par 7 ; 38 égal 35 plus 3 ; 35 égal 7 fois 5 ; le quotient est 5 et le reste 3 (calcul réfléchi). On peut aussi utiliser la calculatrice pour alléger les calculs de produits 10. Les objets du type jetons permettent de valider les résultats obtenus par le calcul. Les premiers éléments de la technique de la division Encadrer le dividende entre deux multiples consécutifs du produit du diviseur par une puissance de dix bien choisie. Ceci permet de déterminer le nombre de chiffres du quotient Soustraire le plus petit des deux nombres. Faire le même travail avec le reste. S arrêter lorsque le reste est plus petit que le diviseur. 4

5 Exemple : soit à diviser par < < = x = < < = x = < Conclusion : le quotient est 35, le reste est 1727 Ceci est déjà une forme de l algorithme de la division. Ceci justifie l algorithme standard. Remarques : 1. On peut parfois calculer en ligne 1986 = 9 x x = 9 x Conclusion : le quotient est 220 et le reste est 6 2. Déterminer a priori le nombre de chiffres du quotient fournit un contrôle 5