Logique L2, phs / DS 2

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1 Logique L2, phs / DS 2 Le 16 avril Pour chacun des énoncés suivants, donnez une analyse aussi complète que possible en termes de logique des prédicats ; c est-à-dire, spécifiez une clé de traduction et trouvez une représentation logique appropriée. [3/20] Solutions : (i) «Quelqu un cite tout le monde» x yc(x, y) (ii) «Quelqu un est cité par tout le monde» x yc(y, x) (iii) «Quelque philosophe cite tout poète» x(p 1 (x) y(p 2 (y) C(x, y))) Ici : P 1 (x) : x est un philosophe, P 2 (x) : x est un poète. (iv) «Tout le monde est différent». Clé de traduction D(x, y) : x est différent de y. Forme logique : x y(x y D(x, y)) Une autre lecture concevable : x yd(x, y) En tout cas la forme n est pas : xd(x). Dire «Tout le monde est différent» ne signifie pas «a est différent, b est différent, c est différent,...», il s agit d une relation (être différent de). La lecture la plus naturelle est : «deux individus quelconques sont différents l un de l autre», autrement dit «tout individu est différent de tout autre individu» ce qui siginifie la même chose que «il n existe pas deux individus qui ne sont pas différents l un de l autre». (La forme ne peut pas être simplement x yd(x, y) parce que cela impliquerait xd(x, x) ; or personne n est différent de soi-même.)

2 2 2. (a) Soient «A» et «B» des prédicats unaires, «C» un prédicat binaire, et x et y des variables. Démontrez que l expression x(a(x) y(c(x, y) B(y))) est bien formée, en dessinant son abre syntaxique. Solution : Voilà l arbe syntaxique très schématiquement : x(a(x) y(c(x, y) B(y))) x(a(x) y(c(x, y) B(y))) (A(x) y(c(x, y) B(y))) A(x) y(c(x, y) B(y)) A unaire, x une variable (C(x, y) B(y)) C(x, y) B(y) C binaire, x,y des variables B(y) B unaire, y une variable Quelles sont ses sous-formules? Solution : Voilà les sous-formules : x(a(x) y(c(x, y) B(y))), x(a(x) y(c(x, y) B(y))), (A(x) y(c(x, y) B(y))), A(x), y(c(x, y) B(y)), (C(x, y) B(y)), C(x, y), B(y), B(y).

3 3 (b) Pour toute occurrence d un quantificateur dans la formule ( y( xr(x, y) P (y)) x(x = y yp (y))), indiquez sa portée. Déterminez quelles occurrences des variables sont liées et quelles libres. La formule est-elle un énoncé (formule close)? Justifiez vos réponses. [(a) : 2/20, (b) : 3/20] Solution : La portée de l occurrence de y à gauche : ( xr(x, y) P (y)). La portée de l occurrence de x : R(x, y). La portée de l occurrence de x : (x = y yp (y)). La portée de l occurrence de y à droite : P (y). Déterminez quelles occurrences des variables sont liées et quelles libres. Solution : L unique occurrence libre d une variable est celle de y dans «x = y». L identité «x = y» ne signifie en rien que y soit lié dû au fait que l occurrence de x en question est liée. La formule est-elle un énoncé (formule close)? Solution : Non, car pas toutes les occurrences des variables sont liées. 3. (a) Est-ce que la formule x [ P (x) y C(y, x)] exprime la négation de la formule x [P (x) y C(y, x)]? Justifiez votre réponse. [2/20] Solution : Oui. Il y a des différentes manières de justifier la réponse. Voilà quelques-unes : On avait noté les séquivalences suivantes : xψ x ψ et (ψ χ) ( ψ χ), pour toutes les formules ψ et χ. En appliquant ces équivalences on observe que x[p (x) y C(y, x)] x [P (x) y C(y, x)] x[ P (x) y C(y, x)]. Un argument sémantique direct serait comme suit : il y a deux choses a montrer : (1) si x [P (x) y C(y, x)] est faux, alors x [ P (x) y C(y, x)] est vrai, et (2) si x [ P (x) y C(y, x)] est vrai, alors x [P (x) y C(y, x)] est faux. On commence par (1). Supposons que x [P (x) y C(y, x)] est faux dans un modèle M. Cela signifie qu il existe un individu, disons α, qui n exemplifie

4 4 pas la formule [P (x) y C(y, x)], quand on prend α pour la valeur de la variable libre x. Cela à son tour signifie que soit α n exemplifie pas la formule P (x) soit α n exemplifie pas la formule y C(y, x) (soit ni l un ni l autre). Autrement dit α exemplifie la formule P (x) y C(y, x), et donc l énoncé x [ P (x) y C(y, x)] est vrai, car effectivement il existe un individu qui exemplifie la formule P (x) y C(y, x), à savoir α. Pour (2), supposons que x [ P (x) y C(y, x)] est vrai. Donc il existe un individu, disons α, qui exemplifie la formule [ P (x) y C(y, x)]. C-à-d (i) α exemplifie P (x) ou (ii) α exemplifie y C(y, x). On veut montrer que l énoncé x[p (x) y C(y, x)] est faux. Maintenant, si cet énoncé était vrai, alors tout individu, y compris α, exemplifierait la formule [P (x) y C(y, x)], autrement dit α exemplifierait à la fois P (x) et y C(y, x). Or le fait que α exemplifierait P (x) contredirait (i) et le fait que α exemplifierait y C(y, x) contredirait (ii). Cependant par l hypothèse au moins une des conditions (i) et (ii) tient. Donc l énoncé x[p (x) y C(y, x)] ne peut pas être vrai et on conclut qu il est faux. Si on utilise la clé de traduction P (x) : x est un philosophe, C(x, y) : x cite y, on peut constater que x [P (x) y C(y, x)] signifie «Tout le monde est un philosophe cité par quelqu un» et donc la négation de cet énoncé est exprimée en français par la phrase «Pas tout le monde est un philosophe ou quelqu un n est cité par personne» : soit il existe au moins un non-philosophe, ou bien tout le monde est un philosophe mais au moins un d entre eux n est cité par personne. C-à-d il faut qu il existe un individu qui soit n est pas un philosophe soit n est cité par personne. D autre part l énoncé x [ P (x) y C(y, x)] signifie «Il existe quelqu un qui n est pas un philosophe ou n est cité par personne». Or les phrases «Pas tout le monde est un philosophe ou quelqu un n est cité par personne» et «Il existe quelqu un qui n est pas un philosophe ou n est cité par personne» expriment la même condition (sont équivalentes).

5 5 (b) Est-ce que les cinq phrases suivantes peuvent être simultanément vraies? 1. Tout le monde cite Jacques. 2. Jacques cite Philippe. 3. Jacques ne cite qu une personne. 4. Philippe est un philosophe. 5. Jacques n est pas un philosophe. Si vous considérez que la réponse est «oui», décrivez un modèle qui rend chacune de ces phrases vraie ; autrement expliquez pourquoi les phrases ne peuvent pas être vraies simultanément. [2/20] Solution : Non. Selon la phrase (1), tout le monde cite Jacques, donc en particulier Jacques se cite. Selon la phrase (2), Jacques cite Philippe, et selon la phrase (3) Jacques ne cite qu une seule personne. Donc forcément Jacques est identique à Philippe! (Il s agit d une seule et même personne, «Jacques» et «Philippe» sont deux noms d une personne.) Or si cela est bien le cas, selon la phrase (4) Philippe est un philosophe et selon la phrase (5) Philippe n est pas un philosophe, ce qui n est pas possible. 4. (a) L énoncé x y z(x y y z) est-il vrai dans un modèle dont le domaine contient exactement 2 éléments? Justifiez votre réponse. [2/20] Solution : Oui. Si les deux objets sont par ex. α et β, on peut choisir α pour la valeur de x, β pour la valeur de y et α pour la valeur de z, tout en respectant les conditions x y et y z.

6 6 (b) Traduisez les énoncés qui suivent vers la logique des prédicats, en utilisant la clé de traduction suivante : R(x) : x est un roi ; B(x) : x est chauve ; P (x) : x est un philosophe ; C(x, y) : x cite y. (i) Il existe un roi chauve qui n est pas un philosophe. [0,5/20] x(r(x) B(x) P (x)) (ii) Il existe un philosophe cité par tous les rois. [0,5/20] x(p (x) y(r(y) C(y, x))) (iii) Quelqu un cite quelqu un d autre. [0,5/20] x y(c(x, y) x y) (iv) Il existe exactement deux rois. ou bien : ou bien : x y(r(x) R(y) x y z(r(z) [z = x z = y])) x y(r(x) R(y) x y z(r(z) z x z y)) x y(r(x) R(y) x y z([z x z y] R(z))) 5. Choisissez (a) ou (b) : (a) Considérez la formule (( z y y = z zp (z)) P (x)). Notez bien que la seule variable libre de cette formule est x. Est-il possible de trouver un modèle M et un individu I dans son domaine tels que la formule est exemplifiée dans M si on prend l individu I pour la valeur de x? Justifiez votre réponse. [3/20] Solution : Non. Si la formule (( z y y = z zp (z)) P (x)) est exemplifiée dans un modèle M par un individu α (pris comme la valeur de la variable libre x), alors le domaine de M comporte un seul individu (car z y y = z est vrai dans M). Il s ensuit donc que le domaine est le singleton {α}. Puisque zp (z) est vrai, l individu α doit appartenir à l interprétation de «P». D autre part pour exemplifier P (x) il faut que α n appartient pas à l interprétation de «P». Cela est impossible.

7 7 (b) Une relation binaire est asymétrique si pour tout x et y, on a : si R(x, y), alors non R(y, x). Par exemple les relations x est antérieur à y et x est père de y sont asymétriques. On rappelle qu une relation binaire est transitive si pour tout x, y et z, on a : si R(x, y) et R(y, z), alors R(x, z). Décrivez un modèle M (avec un domaine non vide) tel que l énoncé x y C(x, y) est vrai dans M et l interprétation du prédicat «C» dans M est une relation asymétrique et transitive. [3/20] Solution : Soit N l ensemble des nombres naturels : 0, 1, 2, 3,.... Soit Int(C ) la relation «être inférieur à»entre des nombres naturels, c-à-d Int(C ) = {(n, m) : n N et m N et n < m}. Alors Int(C ) est une relation transitive et asymmétrique. Soit M = (N, Int(C )). Maintenant l énoncé x y C(x, y) est vrai dans M, car pour tout nombre naturel a on peut trouver un nombre naturel b tel que (a, b) Int(C ), c-à-d tel que a < b. Par ex. on peut prendre pour b le nombre a + 1. On peut noter qu il serait impossible de trouver un modèle M dont le domaine serait fini, remplissant toutes les conditions requises. Essayons de construire un tel modèle. Si a 0 se trouve dans le domaine, il faut relier a 0 à un autre élément a 1. (Le relier à a 0 lui-même serait contre asymétrie.) Pour que x y C(x, y) soit vrai, il faut relier a 1 à quelque nouvel élément a 2 : a 0 et a 1 sont exclus par asymétrie. Généralement, supposons que a 0 est déjà relié à a 1 qui est relié à a 2 qui est relié à a 3... qui est relié à a n. Il faut relier a n à quelque élément. Est-ce qu on pourrait le relier à l un des éléments a 0,..., a n? On ne peut pas relier a n à a n lui-même parce que cela serait contre asymétrie. Est-ce qu on peut relier a n à quelque a k (avec 0 k < n)? Maintenant par transitivité a k et relié directement à a n. Donc en reliant a n à a k on violerait asymétrie. Il s ensuit que le domaine de la relation qui interprète «C» doit être infini.