ETI. II Etude des filtres de Butterworth et de Chebychev. III Filtres actifs. IV Filtres à capacités commutées. IOGS 1A 2015 Sylvie Lebrun

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1 ETI Filtrage analogique I Introduction II Etude des filtres de Butterworth et de Chebychev III Filtres actifs IV Filtres à capacités commutées IOGS A 205 Sylvie Lebrun

2 Domaines d application 2 Traitement de signaux audio, vidéo, radio Télécommunications, télémétrie Instrumentation scientifique, me dicale, radars Acquisition numérique de données (anti-repliement) t) Réjection de bruit (alimentation électrique ) Miniature Filters Active/Bandpass/Band-Reject gabarit de filtre vidéo

3 Introduction 3 AIL : Amplificateur Intégré Linéaire

4 Introduction 4 Historique : : filtres passifs RLC 960 : filtres actifs avec ALI 970 : circuits intégrés (VLSI) 980 : filtres numériques, DSP 980 : filtres analogiques

5 Généralités 5 Soit un signal u(t) comprenant plusieurs composantes sinusoïdales. Un filtre est un dispositif dont la fonction de transfert complexe T permet d isoler certaines composantes en éliminant les composantes de fréquences indésirables. i Pour qu un filtre ne déforme pas les signaux compris dans une certaine bande passante (BP), il faut réunir deux conditions : -Le module de la fonction de transfert doit être le plus constant possible dans la BP 2-Le temps de propagation de groupe t g doit être le plus constant possible dans la BP d Par définition, t g =>phase linéaire d Si de plus T =0 pour les fréquences à éliminer, alors le filtre est idéal. En pratique, on se contente d approcher ce filtre Idéal. La réalisation de filtres se fait à partir de polynômes d approximation optimisant au mieux les contraintes t demandéesdé puis d un éventuel ajout en cascade d un correcteur de phase. -une BP plate au maximum pour les filtres de Butterworth -une bande de transition étroite au dépend d d une ondulation dans la BP pour les filtres de Chebychev -une phase linéaire dans la BP pour les filtres de Bessel -autres filtres (Chebychev de type II, Cauer )

6 Caractérisation d un filtre 6 Pour une étude complète : Réponse fréquentielle : =>Diagrammes de Bode -module de la fonction de transfert -t g Réponse temporelle : -réponse impulsionnelle -réponse indicielle

7 Notations 7 Notations : Fonction de transfert complexe : T(j) Module : T()= T(j) Gain en db : G db =20.log T() T(j) c Filtre passe-bas T(j) T(j) c Filtre passe-haut T(j) 2 2 Filtre passe-bande Filtre coupe-bande Etude précise des filtres passe-bas Il suffira d effectuer des changements de variables pour les autres filtres Bonne connaissance des filtres passe-bas d ordre et 2

8 Rappels sur les filtres passe-bas 8 Passe-bas er ordre Tj j C G db 0-5 0,0 0, 0 c (log) c est la fréquence de coupure à -3 db db/dec Passe-bas 2 nd ordre T j j 2 jm j j 0 0 Q m est le facteur d amortissement Q est le facteur de qualité 0 est la fréquence propre 0<m<0,7 : résonance à r 0 2m m>0,7 : il n y a plus de résonance m=0,7 : réponse la plus plate dans la BP G db 0-5 m=0,5 m=0, 0 (log) 0,0 0, m=0,7 0 m=2 m= m : T est décomposable en un produit de er ordre -40 Pente : -40 db/dec

9 Notion de gabarit 9 Cahier des charges : Construire un filtre passe-bas qui ne transmet que les signaux de fréquence < à f 0. G db doit posséder : -une valeur minimale a dans la bande de fréquences à transmettre -une valeur maximale b dans la bande de fréquences à éliminer -Le gabarit est caractérisé par 2 points (f 0, a) et (f, b). G db 0 f 0 f f 0 0 log a b Bande Bande de Bande passante transition coupée Autres spécifications possibles d un gabarit : Ondulation dans la BP Largeur de la bande de transition Etc Utilisation d approximations de filtres réels : Butterworth, Chebychev, Bessel, Cauer

10 Ex : Gabarit de transmission téléphonique 0 ) khz (db) Expanded scale gain at Gain relative to g Typical filter transfer function 00 Hz khz 0 khz Frequency (Hz) Copyright 975, ATT company

11 Filtrage analogique I Introduction II Etude des filtres de Butterworth et de Chebychev III Filtres actifs IV Filtres à capacités commutées

12 Filtres de Butterworth 2 Utilisé pour sa réponse extrêmement plate dans la BP Le module de la fonction de transfert T() est cherché sous la forme : 2n T C où n est l ordre du filtre La réponse fréquentielle est normalisée par rapport à la pulsation de coupure (ou caractéristique) c pour laquelle l atténuation est de -3 db x 2 On pose x=/ c. T x n Pour x= : 20.logT(x)= - 3dB Quel que soit n, toutes les courbes passent par -3dB pour x=, soit f=f c Pour x< : 20.logT(x)> logt(x)>- 3dB La fréquence de coupure est définie à - 3dB quel que soit n

13 Détermination de n et fc : cas général 3 20.log T(x) (db) a - 3dB x 0 x x (log) x = f / f c n = ordre du filtre a - 3 db Conditions limites : T(x) x 2n b 20.logT(x 0 ) > a x 2n 0 <0 -a/0 - () 20.logT(x ) < b x 2n > 0 -b/0 - (2) (2) divisé par () donne la valeur de n minimum. En pratique on prend la plus petite valeur entière de n qui satisfait : n a 0 0 log b log f f 0 On calcule alors avec () et (2) les fréquences de coupure limites : f c,0 0 f 0 a 0 2n c, b 0 0 f On choisit la fréquence de coupure au «milieu» (moyenne géométrique) : c c,0 c, f 2n f f f

14 Fonction de transfert 4 But : trouver une fraction rationnelle complexe T(s) (avec s=jx) qui admette T(x) comme module. T x n x 2 Méthode : on factorise le polynôme P(x) = + x 2n On montre que P(x) apparaît ainsi comme le carré du module du polynôme P(s) suivant (n impair) : P(s) = (+s) (a 2 +b 2 +2bs+s 2 ) ( La fonction de transfert normalisée s écrit alors : T s si n est impair s a b bs s... En pratique l expression de P(s) donc de T(s) ne dépend que de En pratique, l expression de P(s) donc de T(s) ne dépend que de l ordre n du filtre => utilisation de tables pour les coefficients

15 Quelques polynômes de Butterworth 5

16 Exemple récapitulatif 6 Déterminer la fonction de transfert du filtre passe-bas de Butterworth qui satisfait au gabarit suivant : G db 0 khz 3 khz f - log -40 ) Détermination de l ordre : n>4,8 donc on choisit n=5 2) Fréquences de coupure : f c,0 =,45 khz ; f c, =,94 khz d où f c =,7 khz 3) Détermination de la fonction de transfert normalisée à partir de la table : Ts s, 68ss 2 0, 68ss 2 4) Fonction de transfert : Tj 2 2 j, 68j j 0, 68j j C C C C C T jf j. 850,. f j. 380,. f 730,. f j. 520,. f 730,. f

17 Filtres de Chebychev 7 Utilisé quand les spécifications du gabarit permettent une ondulation dans la BP La fonction T(x) est cherchée sous la forme : T x 2 C 2 n x=/ r où r est la pulsation délimitant la bande dans laquelle on accepte une ondulation r définie par r² = + 2 x est un nombre C n (x) est un polynôme défini i par récurrence C 0 (x) = ; C (x) = x ; C n+ (x) = 2 x C n (x) - C n- (x) C n est oscillante dans la BP et décroissante dans la bande d arrêt Normalisation par rapport à r 2 La fréquence de coupure r est définie à 0.log (+ ) db qui vaut 3dB uniquement pour =. -Le nb d extrema présents dans la bande d ondulation est égal à n. am mplitude Bande d ondulation r Bande de transition a Bande d arrêt /r

18 Calcul de l ordre 8 La donnée de la largeur de la bande d ondulation fixe r. Il suffit de connaître : -un point de la bande d arrêt ( a, G db ( a )=G db,a ) -l amplitude de l ondulation admise pour déterminer l ordre n du filtre n 0 0 arg cosh b /0 arg cosh a / 0 a r

19 Polynômes de Chebychev 9 On détermine T(x) compte tenu de l ondulation tolérable r et de l ordre n Voici quelques polynômes de Chebychev :

20 Exemple récapitulatif 20 Déterminer la fonction de transfert du filtre passe-bas de Chebychev qui satisfait au gabarit suivant (on admet une ondulation de db dans la BP) : G db 0 khz 3 khz f - log -40 ) Détermination de l ordre du gabarit : r= db=,22 donc =0,5089 D où n>3,4 donc on choisit n=4 2) Détermination de la fonction de transfert normalisée à partir de la table : T s 2, 4s 3, 579s 2 0, 283s, 04s 2 3) Fonction de transfert : Tj 2 2 2, 4 j 3, 579j 0, 283j, 04j r r r r

21 Comparaison Butterworth - Chebychev Butterworth La fréquence de coupure est la même quel que soit n Coupure de pente relativement faible (mais peut être augmentée avec n plus grand) Réponse très plate dans la BP Assez bien adapté aux signaux rapides GdB 00 0,0 0 0, n= n=2 n=3-20 n=4 n=5-30 GdB x (log) 0,0 0, 0 0 Chebychev Coupe à ordre identique plus rapidement n= que Butterworth -0 n=2 Ondulations dans la BP Déconseillé pour les signaux rapides n=3 (déformation importante) n=4-20 n=5 x (log) 2-30

22 Comparaison Butterworth - Chebychev ,0 0, (db) Gain Butterworth n=4 Chebychev n=

23 Autres formes de réponse 23 Filtres de Legendre : -Il n y a pas d ondulation dans la bande passante. -La coupure est plus raide que Butterworth, mais moins raide que Chebychev Filtres de Bessel : -La coupure n est pas très raide -La phase est très linéaire Filtres de Cauer (non polynômiaux) : - Comportement de Chebychev en bande passante et en bande d arrêt - La coupure est très raide - La phase n est pas linéaire (les signaux sont assez déformés).

24 Transformations 24 Cas fréquent : a = -3dB et normalisation par rapport à 0 20.log T(x) (db) x a b Passe-haut passe-bas 20.log T(X) x (log) (db) X a s S = / s x X = / x log x log X = - log x Symétrie par rapport à x = b X (log) 20.log T(x) (db) a Passe-bande passe-bas x x 2 x 3 x log T(X) x (log) (db) a Min (X,X 4 ) X (log) b c Min (b,c) s S = (s + / s) / x avec x = (f 3 -f 2 )/f 0 et f0 f2f3 x X f f 2 (f 3 f - f )

25 Transformations 25 Coupe-bande passe-bas 20.log T(x) (db) a x x 2 x 3 x 4 x (log) 20. log T(X) (db) Min (X,X 4 ) a X (log) b b s S = x/(s + / s) avec x = (f 3 -f 2 )/f 0 et f0 f2f3

26 Exemple 26 Déterminer à l aide d un polynôme de Butterworth la fonction de transfert T(s) du filtre passe-haut défini par le gabarit ci-contre : ) Normalisation du gabarit : 20.log T(x) (db) 0,4-3 f 0 =0 MHz 0 x (log) 20.log T(x) (db) 4 MHz MHz f (log) -8 2) Transposition vers le passe-bas correspondant : 3) Étude du filtre passe-bas : n>2,25 donc n=3 T S 2S 2S S 2 SSS 4) Transformation vers le passe-haut : s T s soit 2s2s 2 s 3 Tj 20.log T(X) (db) 2, j 0 j j j X (log)

27 27 Filtrage analogique I Introduction II Etude des filtres de Butterworth et de Chebychev III Filtres actifs IV Filtres à capacités commutées

28 Filtrage actif 28 Principe = mise en cascade de cellules élémentaires du second ordre à base d ALI Intérêts cellules élémentaires de faible impédance de sortie (et forte impédance d entrée) => on peut utiliser la mise en facteur de T(s) Conception et mise en œuvre simplifiée Intégration possible (car pas d inductance) Limitations Sensibilité aux variations des valeurs des composants Distorsion du signal : saturation -> excursion limitée slew rate -> bande passante limitée Nécessite des alimentations continues pour les ALI (consommation d énergie) Bruit généré par les ALI Risque d instabilité (systèmes à contre-réaction)

29 Filtres de Sallen-Key 29 V e Cellule de Sallen-Key d ordre 2 Y 2 Vs Ve = K Y Y 3 Y +Y 2 Y 3 +Y 4 +Y 3 Y 4 K Y 2 Y Y 3 AO avec K = +r 2 /r Y r r 2 V s On choisit les admittances Y i (capacités ou résistances) suivant le type de filtre à réaliser Passe-bas Passe-haut Passe-bande Résistances Y et Y 3 Y 2 et Y 4 Y, Y 2 Capacités Y 2 et Y 4 Y et Y 3 Y 3 Y 4 = R // C

30 Filtres de Rauch 30 Cellule de Rauch d ordre 2 Vs Ve = -Y Y 3 Y 5 Y +Y 2 +Y 3 +Y 4 +Y 3 Y 4 Voir TD pour le calcul On choisit les admittances Y i (capacités ou résistances) suivant le type de filtre à réaliser Passe-bas Passe-haut Passe-bande Résistances Y, Y 3 et Y 4 Y 2 et Y 5 Y, Y 2 et Y 5 Capacités Y 2 et Y 5 Y, Y 3 et Y 4 Y 3 et Y 4

31 Autres types de filtres 3 Filtres actifs à convertisseur d impédance (Q >20) Exemple : filtre à girateur d'antoniou Les impédances Z i sont des C ou des R Filtres actifs à variables d états Filtres «Capa Com» à variables d états (MF0) From TI Application Note 779 A Basic Introduction to Filters - Active, Passive,and Switched Capacitor

32 Quelle technologie choisir? 32 Technologie Composants Spécificités Exemples d application Filtres numériques Circuits logiques (voir cours STNS en 2A) intégrés (FPGA, microcontroleur, ) nécessaire!) F < 00MHz Filtres passifs Composants discrets L et C, Quartz pour les HF Signaux numérisés (pré et post filtrage (re)programmable Production en grande série possible F élevée (< 500MHz) Pas d alimentation Non intégrable Anti-repliement Rejection du bruit d alimentation Filtres actifs AO, R et C F < MHz Anti-repliement Tension de sortie Audio «High limitéeité Fidelity» Filtres à capacité commutée AO, interrupteurs commandés MOS, RetCintégrés F < qq MHz Intégrable Fréquence programmable et précise Détection de «tonalité» Analyseur de spectre

33 Comparaison filtre actif filtre passif 33 Filtre passif : -Fonctionne sans alimentation et à des fréquences élevées -L utilisation de bobines et de capacités permet d obtenir tous types de réponse -Nécessite des bobines : cher (bobine à faible tolérance), encombrant, non-idéal (résistance => facteur de qualité faible en basses fréquences), risque de couplage parasite entre bobines -Difficulté de mise en œuvre pour les filtres d ordres élevés (étages dépendants) -La fonction de transfert dépend de la charge qui doit donc être déterminée très précisément -Performants jusque 500 MHz Filtre actif : -Moins cher en grandes quantités -Petite taille => parasites moindres -Intégration possible -Nécessité d alimentation de tension, consommation d énergie -Excursion du signal limité par la saturation des AO et par le bruit des AO -Les imperfections des AO à hautes fréquences modifient la fonction de transfert du filtre -La contre-réaction sur les AO peut conduire à l instabilité du système -Utilisation pour des fréquences inférieures à quelques 00 khz