Dans la physique non-relativiste, l impulsion d un objet matériel ponctuel est définie comme:

Transcription

1 COURS 7,8. DYNAMIQUE RELATIVISTE. 14. Impulsion, masse, énergie. Dans la physique non-relativiste, l impulsion d un objet matériel ponctuel est définie comme: p n.r. = m 0 v = m 0 d x dt où m 0 est la masse de cet objet, v est sa vitesse. (1) En absence d une force appliquée, l impulsion est conservée, c est un vecteur constant, indépendant du temps. Si on a un ensemble d objets ponctuels, des particules par exemple, ou d objets materiels tout simplement, en interaction entre eux, alors leur impulsion totale sera conservée, au cours du temps. Dans la physique relativiste, on suppose que les lois de la physique sont les mêmes dans des référentiels différents, qui sont en mouvement relatif uniforme (vitesses relatives constantes). Alors, les quantités conservées (comme l impulsion, l énergie etc.) doivent, en toute généralité, être soit des quadri-vecteurs, soit, plus généralement, des quadritenseurs; tout simplement, pour qu on puisse faire des produits scalaires de ces quantités et obtenir des invariants. L amplitude de diffusion de particules, par exemple, s exprime en fonction des invariants, faits avec les impulsions des particules qui rentrent dans la collision, une autre façon de dire est que les lois de la physique, des interactions, sont les mêmes dans tous les référentiels. Les invariants ont des valeurs indépendantes des changements des référentiels. En conclusion, l impulsion p dans (1), qui est un vecteur dans l espace tridimensionel ordinaire, doit être remplacée par une quadri-impulsion p µ, qui doit se transformer comme un quadrivecteur. En plus, dans la limite non-relativiste, v c doit devenir égale à p n.r. dans (1). 1, la partie spatiale de pµ La seule quantité qui vérifie ces propriétés est la quadrivitesse de l objet matériel 1

2 ponctuel, multipliee par sa masse: p µ = m 0 u µ (2) La quadrivitesse a été définie dans le cours 3, éq.(84). On trouve alors: p µ = m 0 γ(v) c v (3) Dans la limite v c 1, γ = 1/ 1 v2 l impulsion non-relativiste dans (1). 1, la partie spatiale de p µ devient égale à La composante spatiale de p µ, éq.(3), est l impulsion, proprement dite, de l objet: p = m 0 γ(v) v (4) maintenant une impulsion relativiste. La différence avec p n.r., éq.(1), est dans le facteur γ(v). Souvent l expression (4) de l impulsion s écrit sous la forme: p = m v (5) avec m = m(v) = m 0 γ = m 0 (6) 1 v2 c.à.d. le facteur devant la vitesse est interpreté comme la masse de l objet, tout comme dans le cas non-relativiste, éq.(1). Dans le cas relativiste, si l impulsion s écrit comme dans (5), alors la masse de l objet dépend de sa vitesse, éq.(6). Dans ce cas m 0 est appelée la masse au repos de l objet, qui coincide avec la masse non-relativiste. D autre part, quand v c, la masse relativiste m(v), éq.(6), grandit et tend vers l infini. Il nous faut encore interpréter la composante temporelle de la quadri-impulsion p µ, éq.(3) : Nous allons donner des arguments pour conclure que p 0 = m 0 γ(v)c = m(v)c (7) cp 0 = m(v) (8) 2

3 est l énergie de l objet, ε(v), dans la physique relativiste. Retournons vers l impulsion p dans l éq.(4) ou (5). Tout comme dans la physique non-relativiste, sa variation avec le temps, la dérivée: doit être associée avec la force extérieure appliquée à l objet. d p dt (9) Parce qu en absence d influence exterieure (qui est appelée la force ), p est conservée, la dérivée dans (9) sera égale à zéro. Alors on peut écrire, comme dans le cas non-relativiste, que: d p dt = F (10) La différence avec le cas non-relativiste se trouve uniquement dans la forme de p, éq.(4),(5). L éq.(10) est l équation du mouvement de l objet, dans la physique relativiste, toujours à condition que p soit définie comme dans (4),(5). Ensuite, on se rappelle que F d x (11) est le travail élémentaire effectué par la force F, quand l objet, sous l influence de la force F, est déplacé sur un vecteur d x dans l espace. Ce travail s ajoute à l énegie de l objet. Donc: dε = F d x (12) En exprimant F en fonction de l impulsion de l objet, par l éq.(10), on trouve: dε = d p d x = d pd x dt dt = d p v (13) Mettons maintenant p, comme exprimée par l éq.(4), dans l équation (13) ci-dessus. On trouve: 1 1 = m 0 [ + (1 v2 ) c 3/2 vd v v2 2 = m 0 + v2 dε = m 0 dγ v 2 + m 0 γd v v + (1 v2 ) vd v = ) c 3/2 2 (1 v2 = 1 (1 v2 ) 1/2 vd v] m 0 (1 v2 ) 3/2 vd v m 0 vd v m 0 = d[ ] (14) (1 v2 ) c 3/2 (1 v2 ) 1/2 2 3

4 En résumé, on trouve: m 0 dε = d[ ] (15) (1 v2 1/2 Pour intégrer cette équation, il faut préciser l état de l objet au moment initial. Supposons qu au début, avant l application de la force, l objet était au repos, v initiale = 0. v finale nous allons toujours noter comme v. Alors, en intégrant l éq.(15), on trouve: Cette équation suggère que Autrement dit: ) ε finale ε initiale = m 0 m 0 (16) 1 v2 ε initiale = ε objet au repos = m 0 (17) ε finale = ε objet en mouvement = m 0 (18) 1 v2 ε(v) = m 0 = m (19) 1 v2 Nous rappelons que la masse m = m(v) de l objet en mouvement est définie par l éq.(6). Résumé: Dans la physique relativiste l énergie de l objet en mouvement est donnée par la formule (19). En plus, dans la physique relativiste, on associe m 0 (20) avec l énergie de l objet au repos. Cette énergie est associée, en effet, avec la masse au repos m 0 de l objet. En retournant maintenant vers la quadri-impulsion p µ, éq.(3), et vers sa composante temporelle l éq.(8), on trouve que: et que cp µ = cp 0 = m = ε(v) (21) mc2 c p = ε c p (22) la composante temporelle de la quadri-impulsion p µ représente l énergie relativiste de l objet. 4

5 En particulier, de cette forme est la quadri-impulsion des particules élémentaires, comme l électron, le proton, etc.. Plus bas nous allons donner une liste courte de particules élémentaires et de leurs masses au repos. Observons pour l instant que, pour la quadri-impulsion d un objet matériel avec masse au repos m 0, on a des relations suivantes: (p) 2 p µ p µ = ε 2 p 2 = m 2 c 4 m 2 v 2 = m 2 c 4 (1 v2 ) = m2 0 (1 v2 ) c4 (1 v2 ) = m2 0c 4 (23) (p) 2 = m 2 0c 4 (24) Les définitions des produits scalaires et de la norme des quadri-vecteurs ont été données dans les cours 3,4. Ces définitions sont appliquées ci-dessus à la quadri-impulsion, qui est un quadri-vecteur. En accord avec les cours 3,4, la norme de cp µ, (p) 2, est invariante. En plus, nous trouvons que cet invariant s exprime par la masse au repos de l objet. D après le calcul dans (23), l énergie au carré et l impulsion au carré sont liées entre elles par l équation: ε 2 p 2 = m 2 0c 4 (25) Soit ε 2 = m 2 0c 4 + p 2 (26) ε = m 2 0c 4 + p 2 (27) Observons que la limite non-relativiste correspond à p 2 m 2 0c 4 (28) En effet, dans cette limite v 2 (29) p = m0 1 v2 v m 0 v (30) 5

6 ( p) 2 m 2 0v 2 (31) ( p) 2 m 2 0v 2 (32) Alors l inegalité (28) s écrit comme: qui correspond bien à v 2, comme il était prevu. m 2 0v 2 m 2 0c 4 (33) Alors, dans la limite non-relativiste, l énergie dans l éq.(27) peut être développée comme suit: ε = m p2 m 2 0c m 0 (1 + p2 2 2m 2 0c +...) 2 Nous trouvons que l énergie cinétique non-relativiste: = m 0 + p2 2m (34) p 2 2m 0 (35) apparait dans la limite v 2 comme la première correction à l énergie de répos, correction due à l impulsion de la particule. Dans la limite inverse p 2 m 2 0c 4 (36) qui est appelée la limite ultra-relativiste, on trouve: ε = m 2 0c 4 + p 2 c p (37) Dans cette limite, l énergie ε d une particule est beaucoup plus grande que m 0. Pour une particule sans masse, m 0 trouvera, à partir de l éq.(27) : pour tout p. = 0, comme pour le photon par exemple, on ε( p) = c p (38) On peut dire que le photon se trouve toujours dans la limite ultrarelativiste. La limite non-relativiste n existe pas pour des particules sans masse, donc pour les photons. 6

7 15. Petite excursion dans le monde des particules élémentaires. Une liste courte de particules. Particule Symbole Masse(MeV) Demi-vie(sec.) Canaux principaux Electron e Muon µ µ e + ν e + ν µ Neutrinos ν e, ν µ 0 Pion chargé π +, π π µ + ν µ Pion neutre π π 0 γγ((2 photons) Proton p Neutron n n p + e + ν e Remarques. 1) Le neutron, n, avec une demi-vie de 898 s. en liberté, est stable à l intérieur du noyau, dans des atomes. 2) Les neutrinos, ν e (électronique), ν µ (muonique) ont été considérés, pendant une longue période, comme étant sans masse, m 0 = 0. Leurs masses non-nulles très faibles (< 0.23 ev) ont été établies (avec certitude) assez récemment. 3) Dans la physique des particules, les masses sont données, d habitude, dans les unités d énergie : au lieu de m 0 on donne m 0, l énergie qui est liée avec la masse au repos. Les unités d énergie, convenables pour des particules, sont: ev, KeV, MeV, GeV, 7

8 TeV. 1KeV = 10 3 ev 1MeV = 10 6 ev 1GeV = 10 9 ev 1T ev = ev 1eV = j kg m2 (j = 1 ) (39) se Masse de l électron en kg: m e = 0.511Mev = j c m/sec (40) m e = j m 2 /se kg (41) 4) La liste des particules ci-dessus est en effet très courte. La liste complète d aujourd hui contient des centaines de particules, toutes instables, sauf une toute petite fraction voir la liste courte, plus le photon. 5) Pour chaque particule il existe une anti-particule, de masse identique et avec tous les nombres quantiques de signe opposé; en particulier, de charge électrique opposée, pour des particules chargées. La première anti-particule découverte a été le positron, ou anti-électron: ē = e + (42) Le positron avait été prédit par la théorie relativiste de P.M.A. Dirac pour l électron (1930). Une deuxième solution de l équation de Dirac avait donné le positron. Cette particule a été découverte 2 ans plus tard dans des rayons cosmiques (D.C.Anderson, 1932). Actuellement des antiparticules sont produites en abondance, en particulier dans des expériences sur des accélérateurs. 6) Toutes les particules peuvent être divisées en deux groupes: les fermions et les bosons. 8

9 Les fermions sont de particules avec un spin s = 1/2, et, plus généralement, de spin demi-entier. Dans la liste courte, les fermions sont e, µ, ν e, ν µ, p, n. Ces particules obeissent à la statistique de Fermi-Dirac (voir le cours de la Physique Statistique en Maitrise). Les bosons sont des particules avec un spin s = 0, et, plus généralement, de spin entier. Dans la liste courte, les bosons sont π +, π, π 0, plus le photon. Ces particules obeissent à la statistique de Bose-Einstein. (Cours de la Physique Statistique de Maitrise) Plus précisement, le monde des particules s organise, d après les connaissances d aujourd hui, de la manière suivante. Les particules qui sont vraiment élémentaires sont séparées en deux groupes. Dans le premier groupe se trouvent 6 particules: e ν e µ ν µ τ ν τ (43) plus leurs anti-particules. Les particules de ce groupe sont appelées leptons. Ils sont tous des fermions, spin s = 1/2. Le deuxième groupe est fait par les 6 quarks (plus 6 antiquarks): u d s c t b (44) La notation générale pour des quarks est q. C.a.d., on peut avoir q = u, q = d, etc.. Ils sont tous des fermions, de s = 1/2 également. 2/3(u, s, t) et 1/3(d, c, b) de la charge de l élection. Leurs charges électriques sont Les autres particules, dans la liste courte, et dans des listes longues, sont des états liés des quarks. Par examples π ±, π 0 sont faits, chaqu un, de 2 quarks (q, q ). En changeant le type de q et q on trouve toutes les particules du type π ±, π 0, plus d autres. Ces particules, composées de quark-antiquark, sont appelées mesons. 9

10 Des particules comme p, n dans la liste courte, plus d autres dans des listes longues, sont faites de 3 quarks: (q, q, q ). Les particules composées de ce groupe sont appelées baryons. Les quarks n existent pas librement. Ce phénomène est appelé confinement de quarks. Interactions des particules. 1) Interactions Electro-Magnétiques. La particule qui transmet ces interactions est le photon, particule sans masse. Ces interactions sont à longue portée. 2) Interactions Faibles. Les particules qui transmettent ces interactions sont W +, W, Z 0. Elles sont appelées les bosons intermediaires des interactions faibles. Ces particules sont massives. Les interactions faibles sont à courte portée ( (m W ) 1, m W m Z 0 90GeV ). Ces interactions sont responsables pour la plupart des désintégrations des particules instables, voir la liste courte, sauf π 0 γγ qui est un processus électro-magnetique. 3) Interactions Fortes. Les particules intermédiaires de ces interactions sont les gluons. Grace à ces interactions les quarks q forment des particules composées, comme π ±, π 0 (q, q ), p, n (q, q, q ), etc.. Tout comme les quarks, les gluons n existent pas librement, ce qui est un autre aspect du phénomène de confinement dans les interactions fortes. Les interactions fortes sont de courte portée. 1) La théorie des intéractions électromagnetiques des particules a été développée à la fin des années 40. Les acteurs principaux en sont R.P.Feyman, J.Schwinger, S.- I.Tomonaga. La théorie est appelée Electrodynamique Quantique. 2) La théorie des interactions électrofaibles (électro-magnétiques + faibles) a été développée dans les années 50,60, début des années 70. 3) L invention des quarks (milieu des années 60) et la construction de la theorie des interactions fortes, qui est appelée Chromodynamique Quantique (1973), sont dues aux travaux de M. Gell-Mann. 10

11 Le classement actuel des particules et des leurs interactions, achevés principalement vers la fin des année 70, est appelé le Modèle Standard. La particule la plus recherchée actuellement, qui est présente dans le Modèle Standand, mais qui n a toujours pas été trouvée, est le Higgs. Cette particule est responsable des masses de W ±, Z 0, - des bosons intermediaires des interactions faibles. L autre type de particules recherchées depuis longtemps sont les particules super-symétriques, qui sont présentes dans des versions de la théorie des particules plus élaborées que le Modèle Standard. La symétrie du Modèle Standard est (en gros): U(1) SU(2) SU(3) (45) Le premier facteur représente la symétrie des interactions électromagnétiques. Le deuxième correspond à la symétrie des interactions faibles. Le troisième facteur correspond à la symétrie des interactions fortes de la Chromodynamique Quantique. Dans beaucoup d aspects, le Modèle Standard est une théorie phénoménologique. Elle n est pas tout à fait satisfaisante comme LA THEORIE des particules élémentaires. Les principes, sur lesquels le Modèle Standard est basé, sont multiples. Ces principes eux mêmes posent beaucoup de questions. Le Modèle apparait comme un collage de deux théorie différentes, des interactions électro-faibles (U(1) SU(2)) et des interaction fortes (SU(3), Chromodynamique Quantique). Des progrés théoriques dans ce domaine sont hautement souhaitables par la communauté des physiciens. 11