MAT-320 Probabilités et statistiques

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1 MAT-30 Probabilités et statistiques Exercices résolus El Mostapha Frih Maître d enseignement

2 Exercice 1. Dans une manufacture, on a voulu estimer le temps moyen nécessaire à une machine pour compléter une tache. On a alors mesuré les temps nécessaires pour compléter cette tâche 150 fois et on a obtenu un temps moyen de 85 minutes et un écart type de minutes. a) Donnez un intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95% pour le temps moyen nécessaire à la machine pour accomplir cette tache? b) Si le temps moyen a été estimé entre 83 et 87 minutes, quel est le niveau de confiance associé à cet intervalle? c) Combien de fois doit on mesurer les temps pour que l intervalle de confiance spécifies le temps moyen à 1 minute prés et ceci 19 fois sur 0? a) On a 85 t = et 85 + t , =.. L intervalle de 150, confiance pour µ ayant un niveau de confiance de 95% est , b) La marge d erreur est minutes. On résout = t α, et on obtient t α = 6. Par suite α, 149 = P( t > 6) où t suit une loi de Student avec 149 degrés de libertés. α = 155%. et 1 α = % c) On cherche n pour que la marge d erreur soit de 1 minute avec un niveau de confiance de 95%. Pour cela on résout 1 = t. On résout d abord cette équation en 0.05, n 1 n remplaçant t 0.05, 1 n par 0.05 Z, on et on trouve n = 385. À L aide de la

3 calculatrice, on résout n = = t en initialisant n avec la valeur 385 et on obtient α, n 1 n Exercice. Dans un échantillon aléatoire de 00 composantes électroniques fabriquées avec un certain procédé, 15 composantes se sont avérées défectueuses. a) Si p représente la proportion de composantes fabriquées avec ce procédé qui sont défectueuses, construire un intervalle de confiance pour p ayant un niveau de confiance de 95%. b) Combien de composantes doit on échantillonner pour estimer la proportion de composantes défectueuses à 3% près et ceci 19 fois sur 0? a) On a 15 p $ = = et α = 0.05, p$ z 00 α 1 p$( p$) n = et p$ + z α 1 p$( p$) = L intervalle recherché est 385%,1115%... n ) ) p(1 p) b) On résout 3% = z0.05 n. On prendra p ˆ = 11.15% qui est l estimation de p dont nous disposons et qui donnera la plus grande valeur de n (le cas le plus défavorable est la valeur la plus proche de 0.5). La solution obtenue est n = 43. Exercice 3. Dans chacune des situations suivantes, précisez les hypothèses H 0 et H 1 ; a) Un nouveau type de batterie doit être installé dans dispositif médical s il est démontré que sa durée de vie est supérieure à 1 an. 3

4 b) Un inspecteur de contrôle de la qualité doit réajuster une machine qui sert à remplir des bouteilles si la contenance des bouteilles n est pas de ml. c) Un inspecteur de contrôle de la qualité doit revoir le procédé de fabrication si la résistance à la pression est inférieure à 150 psi. d) On veut que la proportion de composantes défectueuses ne dépasse pas 4%. a) Paramètre à tester: la durée de vie moyenne de ce type de batterie Hypothèses : H 0 : µ = 1, H 1: µ > 1 b) Paramètre à tester: la contenance moyenne des bouteilles Hypothèses: H 0 : µ = H 1 : µ c) Paramètre: la résistance à la pression moyenne H 0 : µ = 150 H 1: µ < 150 d) Paramètre à tester: la proportion de composantes défectueuses Hypothèses: H0: p = 4% H1: p > 4% Exercice 4. Lors du test sur la moyenne d une population normale de variance 9, la règle de décision est de ne pas rejeter H 0 si X 16.3 en se basant sur les résultats d échantillons de taille 5. a) Posez les hypothèses H 0 et H 1. b) calculez la probabilité de commettre une erreur de première espèce. c) Calculez la probabilité de commettre une erreur de deuxième espèce si la vraie moyenne est d) Si un échantillon de taille 5 a donné une moyenne de 16, quel est le seuil descriptif ou p-value du test? 4

5 a) H 0 : µ = 15 H 1 : µ 15 b) On veut calculez α. De la formule On obtient α = 4.036% = 15 + Z α, on a 5 α Z α =.05 et par suite = PZ ( >.05). On peut le faire aussi comme suit : 1 α = P(13.77 X 16.3) où X suit une loi normale de moyenne 15 et d écart type α = 4.036%. 3. On obtient % 5 α = et Remarque : Ce dernier calcul peut se faire avec la variable Z en calculant α = P( Z ). ( 3 ) ( 3 ) 5 5 Dans le cas ou la loi de student s applique, les calculs de probabilités doivent se faire de cette dernière façon avec Z remplacé par t. c) On veut calculer β lorsque µ = On a β = P( X ) où X suit une loi normale de moyenne 16.5 et d écart type 3 5 et on a β = 3. 64%. Ce calcul peut se faire aussi avec β = P( Z ). ( 3 ) ( 3 ) 5 5 d) On a α p = P( X > 16) où X suit une loi normale de moyenne 15 et d écart type 3 5 Exercice 5. et donc α p = 9. 56% On a aussi α p = P( Z > = P Z > 5 = % ( ) ) ( ).. 5 Si H 0 : µ = 5 H 1 : µ > 5, n = 35, x = 5. 8, s = 3 et α = %. a) Quelle est la décision? 5

6 b) calculez la probabilité de commettre une erreur de deuxième espèce si la moyenne réelle est 6. c) quel est le seuil descriptif ou p-value du test? Solution: 3 a) La règle de décision est de rejeter H 0 si X > 5 + t01., 34 = et la décision 35 est donc de rejeter H 0 du fait que l échantillon avait donné 5.8. b) On veut calculer β lorsque µ = 6. On a β = P( X ) avec µ = 6.. Ce X 6 calcul se fait avec t = ( S ) et β = P( t = ( ) ) 535% c) On a α p = P( X > 58. ) avec µ = 5 et α p = P( t > Exercice = ( ) ) 6 3. % 35 Le temps nécessaire pour réparer un instrument électronique est normalement distribué. Le temps de réparation de 16 de ces instruments a donné un temps moyen de 41.5 heures et un écart type de 98.7 heures. On aimerait savoir si le temps de réparation moyen dépasse 5 heures. a) Faites un test en utilisant un seuil de 5% b) Quel est le seuil descriptif ou p-value du test? a) Les hypothèses sont: H 0 : µ = 5 H 1 : µ > 5 6

7 98. 7 La règle de décision est: Rejeter H 0 si X > 5+ t , = Décision: Comme la moyenne de l échantillon ne dépasse pas la valeur critique, on ne rejette pas H 0. Il n y a donc pas assez d évidence pour dire que le temps de réparation moyen dépasse 5 heures. X µ b) On a α p = P( X > 415. ) avec µ = 5. Comme t = 0 suit une loi de Student S n à 15 degrés de liberté et la valeur observée de t est = , on a ( ) 4 α p = P( t > ) = 5. 7%. Exercice 7. Un plan pour un club de voyageurs vip a été développé par une compagnie aérienne sous l hypothèse que 5% de ses clients seront qualifiés pour un membership. Dans un échantillon aléatoire de 500 clients, 40 se sont qualifiés pour le membership. a) En utilisant un seuil de signification de 1%, tester l hypothèse de la compagnie. b) Quelle est la p-value du test? c) Quelle est la puissance du test à détecter un écart positif de 3 % par rapport à l hypothèse de la compagnie? a) Les hypothèses sont: H0: p = 5% H1: p 5% α = 1% Statistique: $ P qui suit une loi normale de moyenne 5% et d écart type 0. 05( ) 500 7

8 Règle de décision: On rejette H 0 si ˆ (1 0.05) P< Z0.01 == ou 500 $ 0. 05( ) P > Z. = Décision: la valeur observée de $ P est compagnie est rejetée. = 8% et par conséquent l hypothèse de la b) On a α p =. P( P $ > ) où P $ qui suit une loi normale de moyenne 5% et d écart type 0. 05( ) 500. On obtient α p = 0. 1%. c) On veut calculer 1 β si la proportion réelle est 8%. On a 1 β = 1 P(0.049 Pˆ ) où P $ qui suit une loi normale de moyenne 8% et d écart type 0. 08( ) 500. Le calcul donne 1 β = %. Exercice 8. Une compagnie qui importe des fibres synthétiques exige de ses fournisseurs que la résistance à la rupture soit d au moins 30 livres. La résistance à la rupture d un échantillon aléatoire de 80 fibres d un lot a donné une résistance à la rupture moyenne de 9.6 livres et un écart type de livres. a) Posez les hypothèses. b) Quelle est le seuil descriptif ou p-value du test? c) En utilisant la question a), quelle décision doit prendre la compagnie au seuil de 5%? a) On a H 0 :µ = 30 H 1 :µ < 30 8

9 b) On a α p = PX ( < 9.6) avec µ = 30 et α p = Pt ( < ) = 3.87% ( ) 80 c) Comme 5% > α p, on rejette H 0. Exercice 9. Une étude sur l économie de carburant a été menée sur deux modèles de voitures. Une voiture de chaque modèle a été choisie et on a observé leurs performances en milles par gallon pour gallons d essence dans chaque voiture. On suppose que la performance de chaque modèle est distribuée normalement. les statistiques suivantes ont été obtenues : Modèle 1 Modèle a) Peut-on conclure à l égalité des variances. Utiliserα = 5%. b) Peut-on conclure que la performance moyenne du modèle 1 est supérieure à celle du modèle? Utiliserα = 5%. Solution. a) Les hypothèses sont: H : σ σ 0 1 = H1: σ1 σ. On a α = 5% et la statistique du test est 1 S F =. On rejettera H 0 si F > F0.05 S,9,9 = 4.06 ou F < = La valeur observée de F est F1 0.05,9,9 n est pas située dans la zone de rejet de H F = = 0.81 et elle 1.8 9

10 b) Les hypothèses sont: H 0: µ 1 µ test est X1 X t = S 1 1 c + n n observée de t est 1 = H 1: µ 1 µ >. On a α = 5% et la statistique du. On rejettera H si 0 t > t0.05,18 = La valeur t = =. L hypothèse H 0 est rejetée. On peut conclure que la performance moyenne du modèle 1 est supérieure à celle du modèle.