SYSTEMES DE NUMERATION

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Denis Guérard
il y a 7 ans
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1 SYSTEMES DE NUMERATION I. La base 8 (octal). Codage d un nombre en base 8 Le système de numération positionnelle de base 8 est un moyen de représenter les nombres avec 8 symboles : ; ; ; ; 4 ; 5 ; 6 ; 7. Selon sa place, le symbole indique une valeur particulière. Plusieurs notations peuvent être utilisées pour écrire un nombre xyz en base 8 : ( xyz) 8 ; 8 xyz ou xyz 8.. Passage de la base 8 à la base Chaque chiffre du nombre écrit en base 8 est multiplié par une puissance de 8, c'est-à-dire : pour le chiffre le plus à droite (chiffre des unités), la puissance de 8 n'apparaît pas explicitement, car il s'agit de 8 qui vaut. par par Exemples : ( 6) 8 = 6 x ( 45) 8 = x 8 pour le deuxième chiffre en partant de la droite, 8 pour le troisième chiffre en partant de la droite, x 8 + x 8 + x x 8 = x 8 = 6. Passage de la base à la base 8 On veut trouver l'écriture en base 8 d'un nombre écrit en base (par exemple 4). Première méthode Cette méthode consiste d'abord à chercher quelle est la plus grande puissance de 8 que peut contenir 4. Pour répondre à cette question, il est nécessaire d'écrire les puissances de 8 jusqu'à ce que l'on dépasse 4. On a : 8 = 8 = 8 8 = 64 8 = 5 Systèmes de numération / 5 Sup de Cours - Etablissement d'enseignement privé RNE 9 L - 7, rue de Marseille - Bordeaux

2 On voit donc que le plus grand groupement sera un groupement de 64. On cherche alors combien de groupements de 64 peuvent aller dans 4. Il y aura donc 6 groupements de 64 et il restera 4 84 = 9. On recommence alors le même raisonnement avec 9 : 4 groupements de 8 pourra aller dans 9 et il restera 7. Finalement, on a : 4 = 6 x x = 6 x x x 8 = ( 647) 8 On peut présenter le raisonnement dans un tableau de numération. 8 = 5 8 = 5 8 = 64 8 = 8 8 = Deuxième méthode Cette méthode consiste à effectuer une succession de divisions euclidiennes avec 8 comme diviseur afin de déterminer progressivement le nombre de groupements pour chaque puissance de 8. Pour 4, cela donne : Cette première division permet de savoir que l'on peut constituer 5 paquets de 8 avec 4 et qu'il restera 7 éléments. On sait donc que le chiffre le plus à droite dans l'écriture en base 8 sera un Cette deuxième division permet de savoir que l'on peut constituer 6 paquets de 64 = (8 x 8) avec les 5 paquets de 8 obtenus à la division précédente. Il restera alors 4 paquets de 8. Le deuxième chiffre en partant de la droite sera donc un 4. Le troisième chiffre en partant de la droite sera donc un 6. Finalement, on a : 4 = ( 647) 8 Systèmes de numération / 5 Sup de Cours - Etablissement d'enseignement privé RNE 9 L - 7, rue de Marseille - Bordeaux

3 4. Premiers nombres en base 8 La suite des nombres en base 8 s écrit selon le même procédé que la suite des nombres en base. On peut représenter ce procédé comme un compteur qui modifie, par exemple, le chiffre des dizaines lorsque les chiffres des unités (de à 9) ont défilé. En base 8, il n'y a que huit chiffres qui défilent (de à 7) avant de changer un chiffre au rang suivant. ( ) 8 8 ( ) 8 6 ( ) 8 4 ( ) 8 ( ) 8 9 ( ) 8 7 ( ) 8 5 ( ) 8 ( ) 8 ( ) 8 8 ( ) 8 6 ( ) 8 ( ) 8 ( ) 8 9 ( ) 8 7 ( ) 8 4 ( 4) 8 ( 4) 8 ( 4) 8 8 ( 4) 8 5 ( 5) 8 ( 5) 8 ( 5) 8 9 ( 5) 8 6 ( 6) 8 4 ( 6) 8 ( 6) 8 ( 6) 8 7 ( 7) 8 5 ( 7) 8 ( 7) 8 ( 7) 8 II. La base 6 (hexadécimal). Codage d un nombre en base 6 Le système hexadécimal ou base 6, utilisé en informatique, fonctionne avec des groupements de 6 éléments. Il est alors nécessaire, pour écrire les nombres, d utiliser d'autres symboles que les chiffres habituels de notre système décimal. Dans le système de base 6, on utilise généralement les chiffres de à 9, puis les lettres A, B, C, D, E et F pour désigner les groupements de,,,, 4 et 5 éléments. ( ) 6 8 ( 8) 6 6 ( ) 6 4 ( 8) 6 ( ) 6 9 ( 9) 6 7 ( ) 6 5 ( 9) 6 ( ) 6 ( A) 6 8 ( ) 6 6 ( A) 6 ( ) 6 ( B) 6 9 ( ) 6 7 ( B) 6 4 ( 4) 6 ( C) 6 ( 4) 6 8 ( C) 6 5 ( 5) 6 ( D) 6 ( 5) 6 9 ( D) 6 6 ( 6) 6 4 ( E) 6 ( 6) 6 ( E) 6 7 ( 7) 6 5 ( F) 6 ( 7) 6 ( F) 6 Systèmes de numération / 5 Sup de Cours - Etablissement d'enseignement privé RNE 9 L - 7, rue de Marseille - Bordeaux

4 . Passage de la base 6 à la base La technique de conversion de la base 6 vers la base est identique à celle présentée pour la base 8. Exemple : écriture en base du nombre ( EDC) 6 ( EDC) 6 = 4 x 6 + x 6 + x 6 = 84. Passage de la base à la base 6 Les techniques de conversion de la base vers la base 6 sont identiques à celles présentées pour la base 8. Exemple : écriture en base 6 du nombre On peut écrire les premières puissances de la base : 6 = 6 = 6 6 = 56 6 = = On voit donc qu'avec 6 84, on pourra réaliser un groupement de 4 96, mais pas de groupement de Une fois que l'on a réalisé le groupement de 4 96, il reste : = 746 éléments à grouper En divisant ce nombre par 56, on trouve que l'on peut constituer groupements de 56 éléments. Il reste alors : x 56 = 86 éléments à grouper. En divisant ce nombre par 6, on voit que l'on peut réaliser groupements de 6 éléments et il reste : On aura donc : 6 84 = ( ABA) x 6 = éléments isolés. - On peut aussi procéder par divisions successives se décompose donc en dix unités, onze groupements de 6, dix groupements de 6 et un groupement de 6. Comme = ( B) 6 et = ( A) 6, on retrouve que 6 84 = ( ABA) 6. Systèmes de numération 4 / 5 Sup de Cours - Etablissement d'enseignement privé RNE 9 L - 7, rue de Marseille - Bordeaux

5 III. Généralisation On peut créer un système de numération positionnelle à partir de n'importe quelle taille de groupement supérieure ou égale à. La taille du groupement est appelée la base.. Codage d un nombre en base b Un système de numération de base b utilise b symboles pour écrire tous les nombres. Généralement, pour les bases inférieures à, on utilise les chiffres de la base (par exemple,, et en base 4). Pour les bases supérieures à, il est nécessaire d'introduire de nouveaux symboles au-delà de 9. Ces symboles peuvent être des lettres majuscules. En base b, les nombres se décomposent de droite à gauche, partant des éléments «isolés» (c'est-à-dire ceux que l'on n'a pas pu grouper en paquets de b éléments), puis allant vers les paquets de b éléments, puis les paquets de b x b éléments, puis les paquets de b x b x b et ainsi de suite. L'écriture ( en base b correspond à : xyzt) b ( xyzt) b = x (b b b) + y (b b) + z b + t ( xyzt) b = x b + y b + z b + t b. Passage d une écriture à une autre On peut passer d'une écriture en base b à une écriture en base ou l'inverse par le biais des méthodes présentées précédemment.. Règles de comparaison Les règles de comparaison de deux nombres sont identiques en base b et en base : on compare d'abord la longueur de l'écriture des nombres, puis à longueur égale, on compare les nombres chiffre à chiffre de la gauche vers la droite. De même, les techniques de calcul restent identiques, notamment la gestion des retenues. Systèmes de numération 5 / 5 Sup de Cours - Etablissement d'enseignement privé RNE 9 L - 7, rue de Marseille - Bordeaux

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