Mathématiques Discrètes et Algorithmique

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1 Université François Rabelais de Tours Laboratoire de Mathématiques et Physique Théorique Mathématiques Discrètes et Algorithmique UE 5-4 Option Semestre 5 6. Théorie des graphes : Généralités 6.1. Graphes non-orientés. Pour définir un graphe, on a besoin de définir l ensemble de ses sommets et l ensemble de ses arêtes. Il faut aussi prendre en considération le nombre d arêtes reliant deux sommets. Soit V un ensemble. On notera P 2 (V ) l ensemble des sous-ensembles de V contenant un ou deux éléments. Afin d homogéniser les notations, on pose { {x} si x = y, [x, y] = {x, y} si x y. Définition 6.1. Un graphe G est un triplet (V, E, N) où V est l ensemble des sommets N un ensemble qui sert à étiqueter les arêtes E P 2 (V ) N, l ensemble des arêtes. Ainsi, une arête a s écrit a = ([x, y], n) où x et y sont les extrémités de a et n son étiquette. Si a = ([x, y], n) E on dira que a est incidente à x et y ; x et y sont adjacents ; a est une boucle si x = y. On dira que 2 arêtes sont adjacentes si elles ont un sommet en commun. On définit la fonction d incidence par ε : E V ([x, y], n) [x, y]. L ensemble N n est utile que si il y a plusieurs arêtes entre deux sommets donnés. Il permet de différencier ces arêtes. Exemple 6.2. Figure 1. Premier exemple de graphe Définition 6.3. Un graphe simple est un graphe sans boucle et dans lequel il y a au plus une arête reliant deux sommets est au plus 1. Dans le cas des graphes simples, on n a plus besoin de l ensemble N et nous noterons les arêtes de la manière suivante a = {x, y}. La notion de sous-graphe est naturelle. Elle nous sera très utile pour prouver des résultat sur les graphes par récurrence... Définition 6.4. Soit G = (V, E, N) un graphe. Un sous-graphe G = (V, E, N ) de G est un graphe tel que V V et E E (P 2 (V ) N ). Lorsque l ensemble des sommet V = V on dit que G est un graphe partiel de G. Lorsque E = {a E ε(a) P 2 (V )} pour un sous-ensemble V de V on dit que G est le sous-graphe induit par V (on garde toutes les arêtes de G entre deux sommets de V ). On le note G(V ). 1

2 2 Exemple 6.5. Figure 2. Un graphe et deux sous-graphes Degré d un sommet. Définition 6.6. Soit G = (V, E, N) un graphe. Le degré d un sommet x V est le nombre d arêtes incidentes à x. Une boucle incidente à x contribue 2 fois dans le calcul du degré. On notera d G (x) (ou simplement d(x)) le degré de x dans G. Un graphe est dit k-régulier si tous les sommets sont de degré k. Définition 6.7. Soit v V. On définit l ensemble des voisins de v par Soit A V. On définit les voisins de A par N(v) := {u V u et v sont adjacents} N(A) := N(v) Exemple 6.8. Soient G = (V, E) et H = (W, F ) les graphes définis dans la figure 1 (où l on a omis les étiquettes n N pour alléger les notations). v A Dans le graphe G on a Dans le graphe H on a Figure 3. Graphes G et H N(b) = {a, f, c, e}, deg(b) = 4 et deg(g) = 0 N(b) = {b, a, e, d, c}, deg(b) = 5 et deg(c) = 6 Lemme 6.9. Soit G = (V, E, N) un graphe. On a d(x) = 2Card(E) Un graphe a donc un nombre impair de sommets de degré impair. Démonstration. C est simple mais instructif à écrire proprement. On fait une récurrence sur Card(E). Initialisation. Si Card(E) = 0, c est clair, on a 0 = 0. Hypothèse de récurrence. Soit n 0. Supposons le résultat vrai pour tout graphe (V, E, N) tel que Card(E) = n. Hérédité. Soit G = (V, E, N) un graphe tel que Card(E) = n + 1 et soit a = ([x, y], n) E. Considérons le graphe partiel G = (V, E\{a}, N). Alors G contient n arêtes et on a d G (x) = d G (x) 1 et d G (y) = d G (y) 1 si x y ; d G (x) = d G (x) 2 si x = y ; d G (z) = d G (z) pour tout z V {x, y} On voit donc que d G (x) = d G (x) + 2 = 2Card(E ) + 2 = Card(E)

3 Chaînes et cycles. Définition Soit G = (V, E, N) un graphe et soit x, y V. Une chaîne de x à y est une suite finie d arêtes ([x, x 1 ], n 0 ), ([x 1, x 2 ]),..., ([x k 1, y], n k 1 ) Le nombre k est la longueur de la chaîne et on note l(c) = k. Une chaîne est simple si elle ne contient pas deux fois la même arête. Une chaîne est élémentaire si elle ne contient pas deux fois le même sommet. Une chaîne est fermée si ses deux extrémités coïncident. Un cycle est une chaine fermée simple. Définition un graphe est dit connexe si pour tout x, y V il existe une chaîne reliant x et y. On dit alors que x et y sont connectés. Les composantes connexes d un graphe sont les sous-graphes induits par les classes d équivalence de V de la relation R définie par Exemple xry x = y ou (x et y sont connectés). Figure 4. Un graphe et ses trois composantes connexes H 1, H 2, H 3 Définition Soit G = (V, E, N) un graphe. On définit la distance entre x et y par 0 si x = y d(x, y) = + si x et y ne sont pas reliés la longueur minimale d une chaîne reliant x à y sinon Le diamètre d un graphe est défini par d(g) = sup{d(x, y) x, y V } N {+ }. Exemple (1) La diamètre du graphe H dans la figure 1 est 2. (2) Le Rubik s cube est une illustration spéctaculaire de la notion de diamètre : on représente le problème par un graphe dont les sommets sont les 8! 12! (soit environ 4, ) configurations du Rubik s cube. On place une arête entre deux configurations x et y si l on peut passer de l une à l autre par un "mouvement" (un "mouvement" est une rotation d une face d angle π/2, π, 3π/2 et de centre le centre de cette face). Chaque sommet est donc de degré 18 (3 rotations par faces 6 faces). Par des considérations algorithmiques sophistiquées, Rokicki,Ciemba, Davidson et Dethridge ont montré en Juillet 2010 que le diamètre de ce graphe est 20! Cela signifie qu à partir de n importe quelle configuration, on peut, en moins de 20 mouvements, retrouver le cube ayant chaque face de la même couleur Graphes orientés. Définition Un graphe orienté G est un triplet (V, E, N) où V est l ensemble des sommets ; E V V N, l ensemble des arcs ; N un ensemble qui sert à étiqueter les arcs. Ainsi, un arc a s écrit a = (x, y, n). On écrira parfois a = ((x, y), n). On définit les deux applications d incidence suivantes : Soit a = ((x, y), n) E : i(a) = x est appelé le sommet initial de a ; t(a) = y est appelé le sommet terminal de a ; i : E V et t : E V (x, y, n) x (x, y, n) y

4 4 l arrête a est incidente à x et y ; x et y sont adjacents Une boucle est un arc a tel que i(a) = t(a). Soit x V. On pose d G (x) = Card{a E i(a) = x} d + G (x) = Card{a E t(a) = x} Le degré de x est défini par d(x) = d + (x) + d (x). On a comme dans le cas des graphes non-orientés : Lemme Soit G = (V, E) un graphe. On a d + (x) = d (x). (le degré sortant) (le degré entrant) Définition Soit G = (V, E, N) un graphe orienté et soit x, y V. Une chemin de x à y est une suite finie de la forme (x 0, a 0, x 1,..., x k 1, a k 1, y) où i(a j ) = x j et t(a j ) = x j+1. Le nombre k est la longueur de la chaîne et on note l(c) = k. Une chemin est simple s il ne contient pas deux fois le même arc. Une chemin est élémentaire s il ne contient pas deux fois le même sommet. Une chemin est fermé si ses deux extrémités coïncident. Un circuit est une chemin fermé simple. On écrit x y s il x = y ou s il existe un chemin de x à y. On dit qu un graphe est fortement connexe si pour tout x et y dans V, on a x y et y x. Les composantes fortement connexes de G sont les sous-graphes induits par les classes d équivalence de V de la relation R définie par xry x y et y x. Exemple Un graphe orienté et ses composantes fortement connexes. Figure 5. Composantes fortement connexes C 1, C 2, C 3, C Graphes simples. On rappelle qu un graphe simple G = (V, E, N) (orienté ou non) est un graphe dans lequel il n y a pas de boucle et tel que pour tout (x, y) V 2, il y a au plus une arête (respectivement un arc) reliant x à y. Dans le cas d un graphe orienté, il est possible d avoir un arc de x à y et un arc de y à x. On remarque que l ensemble N est inutile pour un graphe simple et on écrira simplement G = (V, E). Exemple Le graphe complet K n est l unique graphe simple possédant n sommets tous reliés deux à deux par une arête. Figure 6. Graphes complets K 1 K 6. Proposition Soit G = (V, E) un graphe simple à n sommets. 1. G possède au plus ( n 2) arêtes ; 2. Si G est connexe alors G possède au moins n 1 arêtes ; 3. Si G est acyclique alors G possède au plus n 1 arêtes.

5 Démonstration. 1. C est clair : il y a ( n 2) possibilités pour choisir 2 sommets de V. On peut mettre au plus une arête entre chaque paire de sommet. 2. On va prouver le résultat par récurrence sur le nombre n de sommets. Le résultat est clair pour n = 1. Il y a un sommet et pas d arête possible puisque les boucles sont interdites. Soit n 1 et supposons le résultat vrai pour tout graphe contenant moins (au sens large) de n sommets. Soit G un graphe simple connexe contenant n + 1 sommets et soit x V. Soit G le sous-graphe induit par V \{x} et soit G 1, G 2,..., G k ses composantes connexes. On désigne par n k le nombre de sommets de G k. On a donc n i = n 1. En appliquant l hypothèse de récurrence à G i, on voit que chaque composante connexe possède au moins n k 1 arêtes. Comme G est connexe, le sommet x est nécessairement relié à chacune des composantes connexes G i. Le nombre d arêtes dans G est donc au moins k (n i 1) + k 1 = n 1. i=1 3. Exercice. 5