CONTRÔLE DE RECHERCHE OPÉRATIONNELLE. Le devoir est noté sur 30 points. Tout document autorisé. Calculatrices et calculettes interdites.

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1 CONTRÔLE DE RECHERCHE OPÉRATIONNELLE FÉVRIER 2014 Le devoir est noté sur 30 points. Tout document autorisé. Calculatrices et calculettes interdites. 1. UN PROBLÈME DE SAC-À-DOS (5 POINTS) Considérons le problème de sac-à-dos avec n objets. L objet i a un poids égal à a i et une valeur égale à v i. La capacité est notée K. Pour rappel, on souhaite trouver I {1,...,n} maximisant i I v i et tel que i I a i K. 1. Ecrire ce problème comme un programme linéaire en nombres entiers, avec des variables binaires. (1 pt) On spécifie maintenant les valeurs n = 13, K = 48 et i v i a i Résoudre la relaxation continue de programme donné en 1., pour ces valeurs. (2 pts) On pourra s aider des valeurs approchées suivantes : 7/6 = 1.17, 13/6 = 2.17, 17/6 = 2.83, 13/7 = 1.86, 16/7 = 2.29, 20/7 = 2.86, 20/9 = Trouver une solution de programme donné en 1. qui soit à moins de 4% de l optimum. Justifier votre réponse. (2 pts) 2. UN PROBLÈME DE DISTRIBUTION (7 POINTS) On considère une entreprise fabriquant des voitures. Cette entreprise possède n usines numérotées de 1 à n. Elle produit m modèles différents de voitures. L usine i peut produire par mois entre l i j et u i j voitures du modèle j, et au total pas plus de q i voitures. Il y a de plus r concessionnaires numérotés de 1 à r. Tous les mois, chaque concessionnaire k émet une demande d k j de voitures du modèle j. Les nombres l i j, u i j, q i et d k j sont tous supposés entiers. L entreprise connaît le coût de production unitaire p i j du modèle j au sein de l usine i. Elle connaît également le coût de transport unitaire c i j k d une voiture du modèle j depuis l usine i jusqu au concessionnaire k. On suppose que les coûts de production et de transport sont proportionnels au nombre de voitures concernées. 1

2 2 FÉVRIER 2014 L entreprise souhaite minimiser ses coûts totaux mensuels (production + transport) tout en satisfaisant la demande de chaque concessionnaire. Une première méthode consiste à modéliser le problème comme un programme linéaire en nombres entiers. Pour cela, on introduit deux familles de variables : y i j le nombre de voitures du modèle j produites dans l usine i. x i j k le nombre de voitures du modèle j produites dans l usine i et acheminées vers le concessionnaire k. Ces variables sont des variables entières (on ne s autorise pas à approximer les quantités qu elles représentent par des réels). 1. Ecrire ce problème de minimisation sous la forme d un programme linéaire en nombres entiers. (2 pts) On pourrait donc résoudre ce problème à l aide d un solver de programme linéaire en nombres entiers. A ce stade, il est difficile de dire si ce problème est polynomial ou NPdifficile. On s intéresse maintenant à une seconde méthode basée sur les flots. 2. Montrer que l inégalité n q i i=1 r k=1 j =1 est une condition nécessaire à l existence d une solution. (1 pt) On suppose désormais que l inégalité (1) est satisfaite. m d k j (1) 3. Montrer que ce problème se modélise en fait comme un problème de b-flot. (2 pts) Pour cela, on introduira un graphe orienté avec un sommet pour chaque usine, i.e. pour chaque i {1,..., n} un sommet pour chaque couple (usine,modèle), i.e. pour chaque (i, j ) avec i {1,...,n} et j {1,...,m} un sommet pour chaque couple (concessionnaire,modèle), i.e. pour chaque (k, j ) avec k {1,...,r } et j {1,...,m} un sommet dummy, noté o, et on précisera les arcs de ce graphe, ainsi que pour chaque sommet la valeur de la fonction b( ), et pour chaque arc les capacités et les coûts attachés. 4. Expliquer alors pourquoi le problème se résout en temps polynomial. (2 pts) 3. PLUS COURTS CHEMINS ET ACHAT DE POUTRES (6 POINTS) 3.1. Plus courts chemins avec contrainte de nombre d arcs. On se donne un graphe orienté D = (V, A) sans circuit, muni d une fonction de coût c : A R +. On se fixe un entier b. Etant donnés deux sommets s et t, on souhaite trouver le s-t chemin de plus petit coût ayant

3 CONTRÔLE DE RECHERCHE OPÉRATIONNELLE 3 au plus b arcs. Expliquer pourquoi ce problème peut se résoudre à l aide d un algorithme polynomial. (1 pt) 3.2. Application: achat de poutres. La construction d une structure métallique nécessite l utilisation d un ensemble P de poutres. On va donc acheter ces poutres. Pour chaque poutre p P, on connaît σ p la valeur minimale que doit prendre sa section. On dispose d un catalogue dans lequel sont proposés n types de poutres, chaque type i {1,...,n} étant caractérisé par une section S i. Le prix d une poutre de section S i est q i > 0. On suppose que les S i et les q i sont ordonnées par valeurs croissantes, i.e. que si i < j, alors S i < S j et q i < q j. On souhaite pouvoir réaliser la structure en minimisant les coûts liés aux achats de poutres. Pour toute poutre p, tout type i tel que S i σ p convient. On supposera que S n max p P σ p. 1. Montrer que ce problème de minimisation peut être résolu en temps polynomial par un algorithme direct tout simple. (1 pt) A ce stade, on ne se sert pas de l algorithme proposé en 3.1. On suppose maintenant que pour des raisons de gestion, le nombre de types différents que l entreprise s autorise à acheter est borné par un certain k entier. Notez que si k n, le problème est identique à celui traité en 1. On considère un graphe orienté D = (V, A) dont les sommets sont les types de poutres ainsi que deux autres sommets s et t. Il y a donc n + 2 sommets. Les arcs sont de trois types les arcs (s,i ) pour tout i {1,...,n}, les arcs (i, j ) pour tous i, j {1,...,n} tels que i < j et l arc (x, t) où x est le plus petit indice tel que S x max p P σ p. 2. En mettant des coûts judicieux sur les arcs de D, montrer que ce problème peut se résoudre par l algorithme proposé en 3.1, en choisissant la bonne valeur de b. (2 pts) 3. Le problème reste-t-il polynomial si la condition devient : le type i convient pour p si et seulement si (1 + θ)σ p S i σ p pour un certain θ > 0 fixé? Justifier la réponse. (2 pts) 4. OPTIMISATION DU TEMPS DE CYCLE D UNE CHAÎNE DE MONTAGE (8 POINTS) Une chaîne de montage est formées de stations placées les unes derrières les autres. Dans chaque station, les produits qui circulent le long de la chaîne de montage subissent des opérations. Les stations sont en nombre fixé sur la chaîne de montage et il faut affecter les opérations aux stations, i.e. indiquer pour chaque station les opérations qui y sont effectuées. Ces opérations sont liées par des contraintes de précédence et la durée de chacune d elles est connue. L objectif est de minimiser le temps de cycle. Les produits entrent les uns après les autres dans la chaîne de montage. Chaque produit entre dans la chaîne de montage par la première station, dans laquelle il subit certaines opérations, puis passe à la deuxième station, où il subit d autres opérations, et ainsi jusqu à la dernière station. Lorsqu un produit

4 4 FÉVRIER 2014 quitte une station, le produit qui le suit y pénètre. Chaque produit reste un temps identique dans chaque station, et c est ce temps qui est appelé temps de cycle. On dispose donc d une chaîne de montage formée de stations numérotées de 1 à m, placées en ligne, de la gauche vers la droite dans l ordre croissant. On a à effectuer n opérations sur les produits. Une opération i prend une durée d i > 0. Les opérations sont liées par des contraintes de précédences, qui forment un ordre partiel noté. Chaque opération doit être affectée à une unique station avec cette règle, dite règle de précédence : Si une opération i doit précéder une opération j, alors i et j doivent se suivre dans cet ordre sur la chaîne. Cette règle peut être reformulée de manière équivanlente: Une opération j peut être affectée à une station s si et seulement si toute opération devant précéder j est affectée à une station de numéro inférieur ou égal à s. Pour une affectation donnée, on note T s la somme des durées des opérations affectées à la station s. Le meilleur temps de cycle C est alors C = max s T s. Exemple. On suppose que l on a 4 stations que l on peut se représenter comme cela: Station 1 Station 2 Station 3 Station 4 De plus, on se donne 8 opérations de durées Opérations Durées avec les prédécesseurs directs de chaque opération encodés par le graphique suivant En affectant les opérations 1 et 2 à la station 1, les opérations 3 et 4 à la station 2, l opération 5 à la station 3, et enfin les opérations 6, 7 et 8 à la station 4, on peut obtenir un temps de cycle C = Montrer que l on ne peut pas obtenir de meilleur temps de cycle. (1 pt) On va écrire un programme linéaire en nombres entiers modélisant le problème de minimisation du temps de cycle. Pour cela, on va utiliser la variable x s,i {0,1} qui vaut 1 si l opération i est affectée à la station s, et 0 sinon. On utilisera également une variable C R + représentant le temps de cycle.

5 CONTRÔLE DE RECHERCHE OPÉRATIONNELLE 5 2. Ecrire pour chaque opération i la contrainte la forçant à être affectée à exactement une station. (1 pt) 3. Ecrire, pour chaque station s et chaque couple d opérations i et j telles que i j, une contrainte interdisant le non-respect de la règle de précédence. (1 pt) Cette contrainte doit utiliser l expression s t=1 x t,i. 4. Ecrire un programme linéaire en nombres entiers modélisant le problème, utilisant les contraintes précisées aux questions 2. et 3. et utilisant m autres contraintes à préciser. (1 pt) On va maintenant calculer des bornes inférieures par relaxation lagrangienne. 5. Dualiser les contraintes ajoutées à la question 4. et, en notant λ = (λ 1,...,λ m ) les multplicateurs de Lagrange associés à ces contraintes, écrire le programme linéaire en nombres entiers paramétré par λ donnant des bornes inférieures. (1 pt) Nommons (Q λ ) ce programme linéaire en nombres entiers, et considérons (P λ ) sa relaxation continue, i.e. avec les variables x s,i prises maintenant dans [0,1]. On va montrer que, bien qu à variables réelles, (P λ ) possède toujours une solution optimale à composantes entières. Nous allons procéder à un raisonnement par l absurde. Considérons une solution optimale (x s,i ) de (P λ ) avec le plus de composantes entières. Supposons que certaines de ses composantes ne sont pas entières et choisissons l indice ī le plus petit pour tel qu il existe s avec x s,ī Z. Notons s la plus petite station s telle que x s,ī Z 6. Montrer que la solution (y s,i ) définie par y s,ī = 1, par y s,ī = 0 pour tout s s, et y s,i = x s,i pour toute station s et toute opération i ī, est également optimale. Conclure. (2 pts) 7. Montrer que cela implique que la valeur optimale du critère de (Q λ ) peut être trouvée en temps polynomial. (1 pt) 5. ROTATIONS D AVIONS ET MAINTENANCE (4 POINTS) Une compagnie aérienne dispose d une flotte d avions. Elle doit organiser les vols de ses avions pour le mois qui vient. Chaque vol à réaliser est connu, i.e. on connaît ses horaires de départ et d arrivée, ainsi que les aéroports de départ et d arrivée. L ensemble de ses vols forment un ensemble V. Programmer la rotation d un avion consiste à spécifier la séquence des vols qu il réalise. Le planning des rotations est soumis à certaines contraintes. Chaque vol doit être réalisé par exactement un avion. Deux vols v 1 et v 2 peuvent être réalisés consécutivement par le même avion si l aéroport d arrivée de v 1 est l aéroport de départ de v 2, et si l horaire d arrivée de v 1 précède l horaire de départ de v 2 d un temps suffisant. On note l ensemble de couples de vols satisfaisant ces contraintes A. Cet ensemble A est donc une partie de V V. Le graphe des correspondances est le graphe orienté dont les sommets sont les vols et dont les arcs sont les couples de vols dans A. C est donc le graphe D = (V, A). On le suppose fixé. On note S l ensemble de ses sommets sans antécédent et T

6 6 FÉVRIER 2014 l ensemble de ses sommets sans successeur. On suppose que S = T, que S T = et que chaque avion commence par un vol de S et finit par un vol de T. Certains aéroports sont munis d équipements spéciaux permettant des opérations de maintenance sur les avions. On les appelle des bases. Tout avion doit subir au moins une opération de maintenance tous les k vols, i.e. que dans toutes k +1 visites consécutives d aéroports par un avion doit se trouver au moins une base. On note B V l ensemble des vols se terminant dans une base. On supposera aussi que tout vol dans S démarre d une base. La compagnie souhaite donc un planning réalisable de rotations. L objectif de cet exercice est de montrer qu il est possible de décrire l ensemble des plannings réalisables comme les solutions réalisables d un programme linéaire en nombres entiers. On introduit une variable x a,i pour tout a A et tout i {0,...,k}. On se donne une solution réalisable. La signification de la variable x a,i est la suivante. Ecrivons a = (v 1, v 2 ). La variable x a,i vaut 1 si un avion effectue consécutivement les deux vols v 1 et v 2 et si cet avion, lorsqu il effectue le vol v 2, vient de visiter consécutivement exactement i aéroports (ni plus, ni moins) qui ne sont pas des bases. Si ces deux conditions ne sont pas satisfaites, alors x a,i vaut 0. On utilisera le concept de compteur : chaque avion est muni d un compteur qui compte les aéroports visités depuis la dernière base. Ainsi, x a,i = 1 signifie qu il y a un avion dont le compteur est à i et qui enchaîne les vols v 1 et v 2 tels quel a = (v 1, v 2 ). Puisque tout vol de S démarre d une base, les compteurs sont tous à 0 au début du planning. 1. Jusifier chacune des équations suivantes. (2 pts) x a,k = 0 v V \ (B S), a δ (v). (1) x a,0 = 0 v V \ (B T ), a δ + (v). (2) a δ (v) k x a,i = i=0 a δ (v) k i=0 a δ + (v) k i=0 a δ (v) x a,i = a δ + (v) a δ + (v) x a,i+1 i {0,...,k 1}, v V \ (B S T ). (3) x a,0 v B \ (S T ). (4) x a,i = 1 v V \ T. (5) x a,i = 1 v T. (6) 2. Montrer que, réciproquement, tout x = (x a,i ) à valeur dans {0,1} qui satisfait ces équations fournit une solution réalisable. (2 pts) Indication : introduire dans un premier temps les variables y a = k i=0 x a,i et identifier ce qu elles encodent dans le graphe des correspondances D.