Table des matières. Listings. 1 Tests Algorithmique et Matlab. Travaux pratiques - E.D.O. Travail individuel et personnel. Sup'Galilée Année

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1 Energétique I Méthodes Numériques II Sup'Galilée Année -5 Travaux pratiques - E.D.O. Groupes B à B6 Travail individuel et personnel Table des matières Tests Algorithmique et Matlab Résolution numérique d'équations diérentielles ordinaires. Rappels de schémas numériques usuels Schéma d'euler progressif Schéma de la tangente améliorée Schéma de Runge-Kutta d'ordre Méthodes d'adams-bashforth Méthodes d'adams-moulton Schéma prédicteur-correcteur Travail à eectuer Le système solaire 8. Position du problème et équations diérentielles Résolution numérique classique Système à corps : Soleil, Saturne et Jupiter Système à 6 corps Système à 7 corps Annexes. Quelques E.D.O. du premier ordre Exemple Exemple Exemple Listings Tests Algorithmique et Matlab Q. Ecrire la fonction Matlab Quadrillage(imin,imax,jmin,jmax) permettant de générer un quadrillage (i.e. uniquement les pour les lignes imin à imax et les colonnes jmin à jmax. Voici un exemple avec la commande Quadrillage(-5,6,-,7) représentant uniquement les traits noirs sur la gure :

2 quadrillage( 5,6,,7) 6 5 ligne point (, 5) point (, ) point (7,6) point (8,7) colonne On peut tester cette fonction avec le programme Quadrillagefigure fourni pour obtenir la gure précédante et la suivante. On dispose de la fonction black(i,j) qui dessine un pavé noir en ligne i et colonne j d'un quadrillage. Voici le résultat de la commande black(,) sur le quadrillage précédant : 6 quadrillage( 5,6,,7) et black(,) 5 ligne point (, 5) point (, ) point (7,6) point (8,7) colonne Q. Ecrire la fonction Mosaique(n) permettant de créer la mozaïque suivante sur le quadrillage Quadrillage(,n,,n)

3 n n sachant que la diagonale reliant les positions p, q et pn, nq est noire. Voici deux exemples : Mosaique() Mosaique(5) Q. Ecrire la fonction Mosaique(n) permettant de créer la mozaïque suivante sur le quadrillage Quadrillage(,n,,n) n n

4 sachant que le carré en position p, q est blanc. Voici deux exemples : 5 Mosaique(5) Mosaique(7) A faire avant h Créer une archive compressée nommée <NOM>-TP-Qa contenant les chiers Quadrillage.m, black.m, Mosaique.m, Mosaique.m et tout autre chier permettant l'éxecution de Mosaique.m et Mosaique.m. Ici <NOM> correspond évidemment à votre nom. Envoyer un mail à cuvelier@math.univ-paris.fr ayant pour sujet "<NOM> TP Qa" et en chier joint l'archive compressée créée précédement. Résolution numérique d'équations diérentielles ordinaires Pour une explication détaillée voir le polycopié fourni CoursEDO.pdf. Rappels de schémas numériques usuels Dénition. (problème de Cauchy) Soit f l'application continue dénie par f : rt, t ` T s ˆ R d ÝÑ R d pt, yq ÞÝÑ fpt, yq avec T Ps, `8s. Le problème de Cauchy revient à chercher une fonction y dénie par continue et dérivable, telle que y : rt, t ` T s ÝÑ R d t ÞÝÑ yptq y ptq fpt, P rt, t ` T s (.) ypt q y rs P R d. (.) On note t n, n P v, Nw, une discrétisation régulière de rt, t ` T s, y rns «ypt n q et f rns fpt n, y rns q.. Schéma d'euler progressif Ce schéma est d'ordre. " y rn`s y rns ` hf P v, N w y rs ypt q (.)

5 .. Schéma de la tangente améliorée " y rn`s y rns ` hfpt n ` h, yrns ` h f rns P v, N w y rs ypt q Ce schéma est d'ordre. (.).. Schéma de Runge-Kutta d'ordre k rns fpt n, y rns q k rns fpt n ` h, yrns ` h krns q k rns fpt n ` h, yrns ` h krns q q k rns fpt n ` h, y rns ` hk rns y rn`s y rns ` h 6 pkrns ` k rns ` k rns ` k rns q. (.5).. Méthodes d'adams-bashforth On note f rns fpt n, y rns q y rn`s y rns ` h f rn s rns f y rn`s y rns ` h y rn`s y rns ` h Ces schémas sont explicites et leur ordre correspond au nombre de pas...5 Méthodes d'adams-moulton. (.6) f rn s rns 6f rn s ` 5f. (.7) 55f rn s rns 59f rn s ` 7f rn s 9f. (.8) y rn`s y rns ` h f rns rn`s ` f y rn`s y rns ` h y rn`s y rns ` h. (.9) 5f rn s rn`s ` 8f rns f. (.) 9f rn s rn`s ` 9f rns 5f rn s ` f. (.) Ces schémas sont implicites et leur ordre correspond au nombre de pas plus un.. Schéma prédicteur-correcteur Il s'agit là d'une des méthodes les plus employées. Une méthode de prédiction-correction procède en deux temps : on fournit explicitement une valeur approchée de la solution au n ième pas (soit y rn`s ), puis on calcule la valeur correspondante de f (soit f rn`s ) et enn, on subsitue cette valeur dans un schéma implicite (on obtient alors une valeur corrigée). pour n variant de à N faire Calculer une valeur approchée y rn`s par un schéma explicite ; Evaluer f rn`s fpt n`, y rn`s q; y rn`s q à l'aide d'un schéma implicite en remplaçant l'inconnue par y rn`s q; npour 5

6 . Travail à eectuer Le but est de représenter graphiquement les erreurs données par plusieurs schémas et de retouver numériquement leur ordre. Pour celà il faudra pouvoir connaitre explicitement la solution du problème de Cauchy étudié. Voir l'annexe. pour plusieurs exemples de problèmes de Cauchy avec solutions. Q.. Ecrire les cinq fonctions Matlab suivantes correspondant à la résolution d'un problème de Cauchy : [t,y]=redeup(f,a,b,yo,n) : schéma d'euler progressif (chier redeup.m). [t,y]=redtga(f,a,b,yo,n): schéma de la tangente améliorée (chier redtga.m). [t,y]=redrk(f,a,b,yo,n): schéma de Runge et Kutta d'ordre (chier redrk.m). [t,y]=redab(f,a,b,yo,n): schéma d'adams-bashforth d'ordre (chier redab.m). [t,y]=redpc(f,a,b,yo,n): schéma de type prédiction-correction utilisant les schémas d'adams- Bashforth et dadams-moulton d'ordre (chier redpc.m). Ici les paramètres f,a,b,yo correspondent respectivement aux f, t, t ` T, y rs du problème de Cauchy (.-.). Enn, Y est le tableau contenant les y rns, n P t,, Nu et t est le tableau contenant les n+ nombres t n, n P t,, Nu. Ecrire le programme principal (chier erreur.m) permettant le calcul et le tracé des erreurs. Pour une méthode donnée le tracé de l'erreur correspond au tracé de l'ensemble des points pt n, abspy rns ypt n qqq, n P t,, Nu. Voir la gure pour un exemple de tracé.. Ecrire le programme principal (chier ordre.m) permettant de calculer numériquement l'ordre des 5 schémas et de le représenter. Voir la gure pour un exemple de tracé.. EUP. x TGA 8 x 6 PC... 6 Erreur.8.6 Erreur.8.6 Erreur t 5 x 6 AB 5 t 5 x 9 RK 5 t Erreur Erreur 5 t 5 t Figure Valeurs absolues des erreurs des 5 schémas 6

7 Ordre numerique des schemas Erreur en norme L 6 8 EUP :.9758 TGA :.95 PC :. AB :.967 RK :.99 h Figure Ordre des 5 schémas A faire avant h Créer une archive compressée nommée <NOM>-TP-Q contenant les chiers redeup.m, redtga.m, redab.m, redrk.m, redpc.m, erreur.m et ordre.m. Ici <NOM> correspond évidemment à votre nom. Envoyer un mail à cuvelier@math.univ-paris.fr ayant pour sujet "<NOM> TP Q" et en chier joint l'archive compressée créée précédement. 7

8 Le système solaire. Position du problème et équations diérentielles Le but de cette partie est de prédire la position de planètes dans le système solaire à partir de positions et de vitesses initiales des planètes. Les unités choisies sont : les masses sont relatives au soleil, les distances sont en unités astronomiques ( U.A. = km) et le temps en jour terrestre. En astrophysique, la masse solaire est l'unité de masse conventionnellement utilisée pour exprimer les masses des corps célestes massifs et des structures formées d'étoiles (amas, superamas, galaxies, etc.). Son symbole et sa valeur sont : M d, 989 ˆ kg. La masse solaire peut aussi être déterminé par l'unité astronomique ( U.A. ), l'année et le Constante gravitationnelle ( G ) : M d π ˆ puaq G ˆ pansq. La constante gravitationnelle est alors G π p65, q « ˆ, une année sidérale correspondant à 65, jours. On note q i ptq la position du ième corps au temps t., v i ptq sa vitesse au temps t et m i sa masse. Les données initiales pour le soleil (corps i ) sont q p,, q t et v p,, q t. Toutes les autres données sont fournies dans [?] page, regroupées dans le chier SysSolDataHairer.m et correspondent aux positions de diérentes planètes le 5 septembre 99 à hms. D'autres données, récupérées sur JPL Solar System Dynamics sont disponibles dans le chier SysSolData.m et correspondent aux positions de diérentes planètes le avril 5 à hms. De manière classique, un problème à N corps se modélise par d N q i ptq G dt ÿ j, j i m j q i ptq q j P v, Nw. }q i ptq q j ptq} et l'énergie du système,correspondant à la somme des énergies cinétiques et des énergies potentielles gravitationnelle (voir wikipedia), est donnée par Eptq Nÿ Nÿ m i }v i ptq} G i. Résolution numérique classique i ÿ i j m i m j }q i ptq q j ptq}. Q. 5 (Sur feuille). Ecrire de manière détaillée le problème de Cauchy associé à un problème à N corps sachant que la fonction vectorielle inconnues y est dénie par q ptq. yptq q N ptq q P R 6N ptq. q N ptq. Quelles sont les données du problème de Cauchy obtenu? (avec leur type détaillé : entier, réel, complexe, vecteur, matrice, fonction,...). Quelles sont les inconnues du problème de Cauchy obtenu? (avec leur type détaillé : entier, réel, complexe, vecteur, matrice, fonction,...) 8

9 . Système à corps : Soleil, Saturne et Jupiter Pour récupérer les données initiales de ce système, on peut utiliser les commandes Matlab : SysSol=SysSolData ( ) ; S y s S o l. p l a n e t e s=s y s S o l. p l a n e t e s ( : ) ; Les deux fonctions fournies plotsyssol et PlotPlanets (necessite PlotPlanet) permettent de représenter, après calculs, respectivement l'orbite des planetes de la structure SysSol (voir fonctions SysSolData ou SysSolDataHairer) et les planètes à un instant donné. Leur syntaxe est la suivante plotsyssol(t,y,syssol) et PlotPlanets(SysSol,q) avec (T,Y) tableaux retounés lors de la résolution du problème de Cauchy associé, SysSol structure contenant divers renseignements sur le système solaire, q positions des planetes. Q. 6 (Matlab). Ecrire la fonction Matlab fsyssol (chier fsyssol.m) correspondant à la fonction f du problème de Cauchy associé au problème à corps (Soleil, Saturne et Jupiter). On pourra utiliser une variable globale pour les paramètres physiques (voir chiers SysSolDataHairer.m ou SysSolData.m).. Ecrire le programme prgsyssol (chier prgsyssol.m) qui résoud le problème de Cauchy par reseup et resrk puis représente, pour chaque méthode, les orbites des planètes ainsi que leurs positions à l'instant nal avec comme données T (jours) et N 8 (voir gure ) On représentera aussi l'energie du système pour chaque méthode. Schema Euler Progressif : T=, Niter=8 Soleil Jupiter Saturne Schema RK : T=, Niter=8 Soleil Jupiter Saturne Figure Orbites Soleil-Saturne-Jupiter A faire avant 6h Rendre la réponse à la question 5. N'oubliez pas d'écrire votre nom sur les documents rendus! Créer une archive compressée nommée <NOM>-TP-Q6 contenant l'ensembles des chiers nécessaire à l'exécution de prgsyssol. Ici <NOM> correspond évidemment à votre nom. Envoyer un mail à cuvelier@math.univ-paris.fr ayant pour sujet "<NOM> TP Q6" et en chier joint l'archive compressée créée précédement.. Système à 6 corps On étudie ici le système composé des 6 planetes Soleil, Saturne, Jupiter, Uranus, Neptune et Pluton. Q. 7 (Matlab). Ecrire la fonction Matlab fsyssol6 (chier fsyssol6.m) correspondant à la fonction f du problème de Cauchy associé au problème à 6 corps (Soleil, Saturne, Jupiter, Uranus, Neptune et Pluton). On pourra utiliser une variable globale pour les paramètres physiques (voir chiers SysSolDataHairer.m ou SysSolData.m). 9

10 . Ecrire le programme prgsyssol6 (chier prgsyssol6.m) qui résoud le problème de Cauchy par reseup et resrk puis représente, pour chaque méthode, les orbites des 6 planètes ainsi que leurs positions à l'instant nal avec comme données T (jours) et N (voir gure ) On représentera aussi l'energie du système pour chaque méthode. Schema Euler Progressif : T=, Niter= Soleil Jupiter Saturne Uranus Neptune Pluton Schema RK : T=, Niter= Soleil Jupiter Saturne Uranus Neptune Pluton Figure Orbites Soleil, Saturne, Jupiter, Uranus, Neptune et Pluton A faire avant la n du TP Créer une archive compressée nommée <NOM>-TP-Q7 contenant l'ensembles des chiers nécessaire à l'exécution de prgsyssol6. Ici <NOM> correspond évidemment à votre nom. Envoyer un mail à cuvelier@math.univ-paris.fr ayant pour sujet "<NOM> TP Q7" et en chier joint l'archive compressée créée précédement.

11 .5 Système à 7 corps On étudie ici le système composé des 7 planetes Soleil, Saturne, Jupiter, Uranus, Neptune, Pluton et Terre. Q. 8 (Matlab). Ecrire la fonction Matlab fsyssol7 (chier fsyssol7.m) correspondant à la fonction f du problème de Cauchy associé au problème à 7 corps (Soleil, Saturne, Jupiter, Uranus, Neptune, Pluton et Terre). On pourra utiliser une variable globale pour les paramètres physiques (voir chiers SysSolDataHairer.m ou SysSolData.m).. Ecrire le programme prgsyssol7 (chier prgsyssol7.m) qui résoud le problème de Cauchy par reseup et resrk puis représente, pour chaque méthode, les orbites des 7 planètes ainsi que leurs positions à l'instant nal avec comme données T (jours) et N. On représentera aussi l'energie du système pour chaque méthode. A faire avant la n du TP Créer une archive compressée nommée <NOM>-TP-Q8 contenant l'ensembles des chiers nécessaire à l'exécution de prgsyssol7. Ici <NOM> correspond évidemment à votre nom. Envoyer un mail à cuvelier@math.univ-paris.fr ayant pour sujet "<NOM> TP Q8" et en chier joint l'archive compressée créée précédement. Annexes. Quelques E.D.O. du premier ordre.. Exemple Soit α P R. L'E.D.O. " y ptq ě, ypq α, a pour solution yptq sinptq ` α... Exemple Soit β P R. L'E.D.O. " y ptq ě, ypq β, a pour solution yptq cosptq ` ` β... Exemple L'E.D.O. " y ptq yptq ě, ypq e exppq, a pour solution yptq exppcosptqq.