3 - Equilibre thermique

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1 3 - Equilibre thermique Le rayonnement du corps noir Lois de Maxwell, Boltzmann et Saha Exemples

2 Equilibres matière-rayonnement Milieu opaque au rayonnement Echanges d énergie Equilibre thermodynamique 1 T h Equilibre matière-rayonnement Equilibre thermodynamique local (ETL) T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T 6

3 Le corps noir T Enceinte opaque à toutes les fréquences 8!1 h I =?

4 Loi de Kirchhoff T 1 2 T I (1) <I (2) T T I ν (1) I ν (2) W<0 T ( ) Filtre étroit I = B (T ) Homogène Isotrope Non polarisé

5 Emission thermique T B ν (T ) T I ν S = B (T ) I = B (T ) Emission thermique!1 Emission de corps noir

6 Loi de Planck

7 Etablissement de la loi de Planck (I) Impulsion Vecteur d onde h Conditions aux limites périodiques Quantification du vecteur d onde

8 Etablissement de la loi de Planck (II) k y Volume élémentaire 2π L y k 2π L x k x NB : 2 états de spin par état d impulsion Nombre d états accessibles à fréquence donnée Densité d états

9 Etablissement de la loi de Planck (III) Statistique de Bose-Einstein Pour les photons : E = h µ =0 Nombre d occupation moyen Nombre d états x nombre de photons par état

10 Loi de Planck

11 Courbes représentatives B T 1 >T 2 ) B (T 1 ) >B (T 2 )

12 Courbes représentatives B T 1 >T 2 ) B (T 1 ) >B (T 2 )

13 Courbes représentatives B = B

14 Loi de déplacement de Wien (I) Maximum de la courbe de Planck à une température donnée On pose Ecriture de la fonction de Planck Condition de maximisation

15 Loi de déplacement de Wien (II) Dérivation de la fonction Résultat

16 Loi de déplacement de Wien (III) On pose Condition de maximisation Résultat max max ' 0.57c NB : 2 fonctions différentes

17 Loi de déplacement de Wien (IV) Condition de maximisation Résultat NB :

18 Loi de déplacement de Wien : exemples

19 Loi de Stefan Flux total du corps noir F = T 4 Constante de Stefan = 2 5 k 4 15c 2 h 3 = W.m 2.K 4

20 Densité d énergie et pression de radiation Isotropie du rayonnement du corps noir Densité d énergie Pression de radiation

21 Dérivation thermodynamique (I) T,V h Gaz de photons à l équilibre thermique dans une enceinte déformable Premier principe Isotropie Identification :

22 Dérivation thermodynamique (II) Second principe Relation de Maxwell (égalité des dérivées croisées) NB : Obtention de l entropie

23 Loi de Rayleigh-Jeans et loi de Wien Loi de Rayleigh-Jeans Limite basses fréquences Loi de Wien Limite hautes fréquences

24 Loi de Rayleigh-Jeans et loi de Wien Catastrophe UV T = 5800 K

25 La catastrophe ultraviolette Classiquement : énergie kt par mode du champ de rayonnement NB : expression Rayleigh-Jeans Une énergie infinie du champ! Interprétation

26 Températures caractéristiques (I) Température de brillance Cas général Rayleigh-Jeans Température radiative Identique à la température de brillance pour un rayonnement isotrope Température effective

27 Températures caractéristiques (II) Température de couleur Ajustement du spectre observé par une fonction de Planck Egalité de la pente du spectre et de la pente d un corps noir Rayleigh-Jeans Pour un corps noir : T e = T c = T b = T r = T

28 Le corps noir cosmologique Découplage de la matière et du rayonnement ans après le Big Bang Protons Electrons Photons HI t Alpher, PhD, 1948, GWU Apler & Herman, 1948, Nature, 162, 774 Gamow, G. 1948, Physical Review, 74, 505 Penzias & Wilson, 1965, ApJ, 142, 419 Evolution adiabatique réversible d un corps noir en expansion Mather et al., 1990, ApJ, 354, L37

29 Mesures à différents redshifts Mesures à partir de raies d absorption dans des spectres de quasars Noterdaeme et al., 2011, A&A, 526, L7

30 Composante dipolaire du CMB (I) Référentiel du CMB n # v Observateur v n vitesse direction d observation # =(v, n) Credits : NASA / COBE v = + + Tully et al., 2014, Nature, 513, 71

31 Composante dipolaire du CMB (II) Deux effets de relativité restreinte et Emission de corps noir avec une température dépendant de la direction Peebles & Wilkinson, 1968, Physical Review, 174, 2168 WMAP

32 Les fluctuations primordiales Credits : ESA / Planck Collaboration

33 Température des grains interstellaires (I) Absorption de photons UV et visible des étoiles de la Galaxie h h h Chauffage des grains et émission thermique dans l infrarouge (températures: qq 10 K) h h Température des grains A l équilibre, émission = absorption : loi de Kirchhoff Equation d équilibre Pour des grains sphériques, on introduit l efficacité d absorption Densité des grains Rayon des grains Modèle usuel ' 1 2

34 Température des grains interstellaires (II) Equation d équilibre Absorption Emission Exemple Etoile chaude émettant principalement dans le visible R? d a T? Température d équilibre

35 Température des grains interstellaires (III) Le raisonnement précédent (fondé sur l équilibre) est faux pour les très petits grains! T h C Capacité calorifique Absorption d un photon Draine, 2011, «Physics of the Interstellar and Intergalactic Medium»

36 R?,L? Objets interplanétaires (I) D r Luminosité spectrale Luminosité totale Flux mesuré au niveau de l objet Puissance reçue par l objet Q V Efficacité d absorption dans le visible

37 Objets interplanétaires (II) Planète en rotation rapide Planète en rotation synchrone T e T e 0 Puissance émise par l objet Equation d équilibre

38 Objets interplanétaires (III) Planète en rotation rapide Planète en rotation synchrone T e T e 0 Puissance émise par l objet Température effective de l objet

39 Températures des planètes F 0 (visible) Effet de serre (modèle simpliste!) F 0 (visible) IR IR IR Sans atmosphère IR Avec atmosphère T s = F0 1/4 T s = 2F0 1/4 T Terre = 278 K

40 Loi de Maxwell Distribution de probabilité des vitesses des particules dans un milieu à l équilibre thermodynamique Fonction de distribution de la vitesse f v (v) = m 2 kt 3/2 exp mv 2 2kT Fonction de distribution d une composante de la vitesse f vi (v i )= m 2 kt 1/2 exp mv 2 i 2kT Fonction de distribution du module de la vitesse f v (v) = m 2 kt 3/2 exp mv 2 2kT 4 v 2

41 Dérivation de la loi de Maxwell (I) Stationnarité Homogénéité Isotropie

42 Dérivation de la loi de Maxwell (II) Dérivation par rapport à une composante de la vitesse

43 Dérivation de la loi de Maxwell (III) Détermination des constantes Normalisation de la probabilité Lien entre température cinétique et vitesse quadratique moyenne B = m 2kT f v (v) = m 2 kt 3/2 mv 2 exp 2kT

44 Vitesses caractéristiques Vitesse quadratique moyenne Pour chaque dimension Vitesse moyenne Vitesse la plus probable définie par Hydrogène à 100 K : 1 km/s

45 Loi de Boltzmann Distribution des populations des niveaux dans un milieu à l ET E j E i Multiplicités Dans un milieu qui n est pas à l ET, on définit la température d excitation T x dépend du couple de niveaux choisi Dans un milieu qui n est pas à l ET, on définit aussi les coefficients de déviation

46 p{ Loi de Saha (I) Distribution des populations des différents états d ionisation dans un milieu à l ET A r A r+1 e j + p +dp i χ r α β énergie de l électron r Energie d ionisation

47 Loi de Saha (II) Ecriture de la loi de Boltzmann Energies Multiplicités p h 3 Nombre d états accessibles r

48 Loi de Saha (III) Intégration (marginalisation) sur les impulsions de l électron libéré Application de la loi de Boltzmann aux états électroniques liés Loi de Saha

49 Exemple : ionisation thermique de l hydrogène n 0 n 1 Densité de l hydrogène neutre Densité de l hydrogène ionisé Fonctions de partition On va considérer le cas des photosphères stellaires T K

50 Exemple : ionisation thermique de l hydrogène Conservation de la matière Equation de Saha Neutralité électrique Degré d ionisation Photosphère Solaire La photosphère solaire est essentiellement neutre

51 Variations avec la température et la densité T augmente à n constante : y n T augmente à constante : y Dans un gaz diffus, un atome ionisé a peu de chances de rencontrer un électron libre pour se recombiner Photosphère Solaire y 1 y = y =1/2

52 Application au plasma primordial Hypothèse : Hydrogène pur Densité baryonique au découplage Densité de matière baryonique actuelle Température du plasma au découplage Fraction d ionisation au découplage Découplage à