1 Grad Info Soir Langage C - Septembre Projet Polynômes

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1 1 Grad Info Soir Langage C - Septembre 009 Projet Polynômes 1. Contexte L'examen comprend un projet à réaliser à domicile et à documenter : - structure des données, - les routines dont dispose chaque structure. - organisation du programme par un schéma bloc - listing de l'application Le dossier doit être rendu pour le dimanche 0 août 009 à minuit. L'examen proprement dit est la présentation orale du programme, sa démonstration et l'explication de son fonctionnement.. Enoncé.1. Les polynômes Les polynômes sont des expressions algébriques du type dans lesquelles f(x n 0 + a1 + a + a + + an = a L - a 0, a 1, a, a,, a n sont des constantes réelles qui peuvent être positives ou négatives appelées "coefficients du polynôme". - a 0 est appelé le terme indépendant car il n'est pas multiplié par une puissance de x (en fait, il est multiplié par x 0 - x est une variable réelle appelée "variable du polynôme", qui est élevée aux diverses puissances. Elle peut être positive ou négative. - n est la puissance la plus élevée qui apparaît dans l'expression. Elle est appelée "degré du polynôme" Par exemple : - - f(x = + - est un polynôme de variable x, - est de degré (car x est la plus grande puissance - ses coefficients sont a 0 = ; a 1 = ; a = g(y = 1+ y 1. y - est un polynôme de variable y, - est de degré (car y est la plus grande puissance - ses coefficients sont a 0 = -1; a 1 = 0; a = ; a = 0; a = -1. 1

2 .. Intérêt Les polynômes permettent de représenter un grand nombre de courbes différentes. Pour cette raison, ils sont largement utilisés dans tous les domaines : - en animation video, pour représenter les contours des objets virtuels, on utilise des polynômes de degré ou - en astronautique et en balistique, pour représenter les trajectoires des sondes et des projectiles - en informatique, dans le calcul des codes de contrôle de transmission (CRC - en finance, ils servent à modéliser le comportement des marchés - etc Le concept que l'on demande d'implémenter est à la base de programmes de calcul symbolique tels que MathCad, Mapple et Mathematica utilisés par les chercheurs du monde entier. On peut aussi noter que n'importe quel nombre peut être représenté sous la forme d'un polynôme. Ainsi, 1 peut être représenté par un polynôme en x f(x = 1 x + + dans lequel x = 10 ou, plus généralement, x est la base de calcul (binaire, hexa, décimal.. La base Une manière (très simple de représenter les polynômes consiste utiliser un tableau de double dans lequel on stocke ses coefficients : Ainsi, le polynôme de degré f(x = peut être stocké de manière exacte dans un tableau de 6 doubles Ce tableau doit s'agrandir automatiquement au fur et à mesure des besoins. Il s'agit donc d'une pile (ou éventuellement d'une liste chaînée de doubles avec tout ce qui permet de gérer une pile. Il est donc nécessaire de retenir le degré maximum du polynome stocké. L'implémentation des opérations arithmétiques est grandement simplifié si le terme indépendant est stocké dans l'élément d'indice 0. Notons qu'un polynôme qui n'est formé que de son terme indépendant est une constante. Nous définirons donc une structure Polynome pour abriter ce type d'objet mathématique. Nous verrons que la gestion des polynômes ressemble à bien des égards à celle des HugeInt définis dans le projet de juin.

3 . Fonctions.1. Saisie Le premier problème à régler est celui de la saisie d'un polynôme. Par souci de simplicité, tous les polynômes traités dans le programme seront des polynômes en "x". Le programme invite l'utilisateur à introduire chacun des coefficients Introduisez le terme indépendant : [enter] Introduisez le coefficient de x : - [enter] Introduisez le coefficient de x^ : [enter] Introduisez le coefficient de x^ : -1. [enter] Introduisez le coefficient de x^ : 0 [enter] Introduisez le coefficient de x^ : 8. [enter] Introduisez le coefficient de x^6 : [enter] (chaîne vide Toutes les réponses sont saisies sous la forme d'une chaîne de caractère qui sera transformée en double par la suite grâce à la fonction atof. Cette chaîne doit être saisie dans un buffer suffisamment grand (p.ex char[6]. La fin de la saisie est détectée lorsque l'utilisateur introduit une chaîne vide, c'est-à-dire s'il tape directement [Enter]... Affichage Un polynôme, tel que celui affiché ci-dessus, est affiché sous la forme On veillera particulièrement : x + x^ -1. x^ +8. x^ - à ne pas afficher les termes dont le coefficient est nul (ceci vaut aussi pour le terme indépendant. - à ne pas afficher le coefficient de x quand il vaut 1 ou 1. Attention cependant à l'affichage du signe. (on affichera par exemple -x et non -1 x - à afficher le signe de multiplication algébrique (code ASCII 18 entre le coefficient et la variable... Allonger les polynômes Lors des opérations algébriques, nous serons souvent amenés à allonger les polynômes. Ceci ne posera pas de problème tant qu'on a respecté le stockage sous forme de pile en plaçant le terme indépendant à l'indice 0.

4 .. Les opérations Les principes de base des opérations sur les polynômes sont très semblables à ceux qui gouvernent les opération sur les entiers. C'est même plus facile dans la mesure où la question des reports ne se pose pas..1. Addition L'addition de deux polynômes se fait terme par terme, en utilisant un troisième polynôme pour le stockage du résultat : ( + + ( + + x = 1 x x = Comme il a été dit plus haut, le problème du report ne se pose pas. Le degré du polynôme final est identique au degré du polynome qui avait le degré le plus élevé.... Changement de signe On change le signe d'un polynôme en changeant le signe de tous ses coefficients: ( + = Avant changement de signe Après Soustraction La soustraction de deux polynômes se ramène à un changement de signe suivi d'une addition : Par exemple : devient : Polynome A Polynome B = Polynome A + (- Polynome B ( + ( + + x

5 ( + + ( + x = x Comparaison de deux polynômes Des polynômes peuvent simplement être identiques ou différents. Les notions "plus grand" ou "plus petit" ne sont pas définies pour les polynômes (mais bien pour leur degré ou les valeurs qu'ils peuvent prendre. Deux polynômes sont égaux si et seulement si : - ils sont de même degré et - tous leurs coefficients sont identiques... Evaluation Evaluer un polynôme pour une valeur de x donnée consiste à remplacer x par cette valeur dans l'expression du polynôme puis à effectuer le calcul. Par exemple, évaluer le polynôme ci-dessous pour x= devient f(x f( = + = f( = f ( = = 78. L'algorithme le plus rapide pour évaluer un polynôme est la méthode de Horner déjà rencontrée en calcul binaire ( 1. On peut l'illustrer facilement à l'aide d'un tableau 0 1 x coeff vmult vadd La première ligne représente la suite des coefficients; la deuxième ligne est celle des multiplication, la dernière est celle des additions. - on commence en reportant le coefficient de la puissance la plus élevée (8. dans la dernière ligne; - on multiplie ce coefficient par la valeur de x (17 et on l'inscrit dans la deuxième ligne, dans la colonne du coefficient précédent (0; - on fait la somme du coefficient (0 et de la valeur reportée (17 et on l'inscrit dans la cellule inférieure (17 - on poursuit de la même manière jusqu'à la cellule inférieure gauche, qui contient la valeur recherchée. 1 ATTENTION : ici, les coefficients sont rangés en sens inverse par rapport à ce qui a été vu en calcul binaire, ce qui explique pourquoi on part de l'extrémité droite.

6 En réalité, il n'est pas nécessaire d'utiliser un tableau, une simple boucle while suffit dans le genre : x = ; degre = ; vadd = coeff[degre]; while (degre vadd = vadd*x + coeff[--degre];..6. Multiplication La multiplication de deux polynômes est assez semblable à la multiplication de deux entiers, tout en étant beaucoup plus simple car on ne doit pas traiter les reports. La règle de base est que, lors du produit de deux polynômes, le degré du produit est égal à la somme des degrés des deux facteurs. Dans l'exemple cas ci-dessous, on effectue le produit d'un polynome de degré par un polynome de degré. ( + 1. Le résultat sera un polynôme de degré += ( x La multiplication s'effectue sensiblement comme la multiplication écrite apprise à l'école primaire : on multiplie successivement tous les coefficient de l'un des polynômes par ceux de l'autre, en commençant par les termes indépendants. Première étape : tous les coefficients du premier polynôme sont multipliés par le terme indépendant du deuxième. Le résultat est inscrit (ou additionné dans la cellule dont l'indice est égal à la somme des indices des facteurs : p[i+j] += p1[i] * p [j] multiplé par donne par exemple : [0] [] = -0 [ 0+=] Deuxième étape : tous les coefficients du premier polynôme sont multipliés par le coefficient de degré 1 du deuxième. Le résultat est additionné au contenu de la cellule dont l'indice est égal à la somme des indices des facteurs : multiplé par égale par exemple : [1] (-1. [] = -7. [ 1+=] 6

7 Idem pour la troisième étape : tous les coefficients du premier polynôme sont multipliés par le coefficient de degré du deuxième. Le résultat est additionné au contenu de la cellule dont l'indice est égal à la somme des indices des facteurs : multiplé par égale par exemple : [] (8. [] = 8. [ +=7] Finalement, on obtient Et ainsi de suite jusqu'à épuisement de tous les coefficients du deuxième polynôme...7. Division Les polynômes admettent la division euclidienne c'est-à-dire une division dans laquelle le quotient et le reste n'ont pas d'exposant négatif : (poly dividende = poly diviseur x poly quotient + poly reste La division de polynômes ressemble beaucoup à la division de nombres tout en étant plus simple. On part toujours des termes de degré le plus élevé. A chaque étape, on cherche le terme du quotient qui permet d'éliminer le terme de degré le plus élevé du dividende sans trop se préoccuper des autres termes. Par exemple x + 8 Le polynome numérateur (ou dividende est sous la forme le dénominateur (ou diviseur est sous la forme 0 1 Comme la différence des degrés est égale à (-, le polynome résultat (quotient aura la forme On commence par calculer le rapport entre le coefficients de degré maximum du numérateur et du dénominateur 7

8 8 1 [] [] = 8 [ = ] et on inscrit ce nombre dans la cellule d'indice (différence de degré du résultat Ensuite, on multiplie le polynôme dénominateur par ce chiffre et on le décale de rangs (on multiplie par x 0 1 multiplié par 8. et décalé de rangs donne et on soustrait ce polynôme du numérateur : moins égale On remarque que le terme de degré le plus élevé s'est annulé. Ca a l'air très compliqué comme ça, mais ce n'est rien d'autre qu'une division écrite classique (avec les chiffres alignés en sens inverse On reprend le processus avec rapport entre le coefficients de degré maximum du numérateur (qui est descendu d'un rang et du dénominateur 8 [] 1 [] = 8 [ = ] et on inscrit ce nombre dans la cellule d'indice (différence de degré du résultat Ensuite, on multiplie une copie du polynôme dénominateur par ce chiffre et on le décale de deux rangs (on multiplie par x 0 1 multiplié par 8 et décalé de rangs donne et on soustrait ce polynôme de ce qui reste du numérateur : 8

9 moins égale On remarque que les deux termes de degré le plus élevé se sont annulés. On reprend encore le processus avec rapport entre le coefficients de degré maximum du numérateur (qui est encore descendu d'un rang et du dénominateur 08 [] 1 [] = 08 [ = 1] et on inscrit ce nombre dans la cellule d'indice 1 (différence de degré du résultat Ensuite, on multiplie une copie du polynôme dénominateur par ce chiffre et on le décale de un rang (on multiplie par x : 0 1 multiplié par 08 et décalé de 1 rang donne et on soustrait ce polynôme de ce qui reste du numérateur : moins égale On remarque que les trois termes de degré le plus élevé se sont annulés. Le reste et le diviseur sont maintenant de même degré. Nous sommes à la dernière étape : 0 [] = 0 [ = 0] 1 [] et on inscrit ce nombre dans la cellule d'indice 0 (différence de degré du résultat Ensuite, on multiplie une copie du polynôme dénominateur par ce chiffre sans le décaler : 9

10 0 1 multiplié par -0 et non décalé donne et on soustrait ce polynôme de ce qui reste du numérateur : moins égale A la fin de l'opération, le vecteur qui contenait le dividende contient à présent le reste. On a donc = x x avec un polynôme reste R = Les fonctions, en résumé Le programme n'est pas très difficile à réaliser si on raisonne en termes de petites fonctions ou routines et en partant du concept de pile. Il faut : - une routine qui crée et initialise un "tableau-polynôme" - une routine qui copie un polynôme dans un autre - une routine qui saisit un polynôme - une routine qui affiche un polynôme - une routine qui additionne deux polynômes - une routine qui change le signe d'un polynôme - une routine qui détermine si deux polynômes sont identiques ou non - une routine qui multiplie un polynôme par un simple digit (pour la multiplication - une routine qui décale un polynôme vers la droite (augmente le degré de 1 - une routine qui décale un polynôme vers la gauche (diminue le degré de 1 - etc Toutes ces routines transmettent leurs arguments par adresse. Toutes ces routines sont combinées pour faire : - une routine de changement de signe : Chs(Polynome* a, Polynome* nega - une routine d'addition : Add(Polynome* a, Polynome* b, Polynome* somme 10

11 - une routine de soustraction : Sub(Polynome* a, Polynome* b, Polynome* diff - une routine de multiplication : Mul(Polynome* a, Polynome* b, Polynome* prod - une routine de division : Div(Polynome* a, Polynome* b, Polynome* quot, Polynome* reste Ces routines sont utilisées dans un "main" qui fait une calculatrice élémentaire : - Saisir A, - Saisir B - Choix de l'opérateur - Affichage du résultat - Autre opération? 11

12 . Conseil pour la réalisation Pas de panique! Il est très important d'avancer pas à pas, en simplifiant le problème au maximum et en testant chaque étape en suivant l'ordre de présentation de ce document. Par exemple : - travailler avec des petits polynômes ( ou termes avant d'essayer des polynômes de 0 ou 0 termes; - commencer avec des tableaux de taille fixe au lieu de partir directement en allocation dynamique; - tester l'addition de deux polynômes avant de tester le soustraction; - assurer que chaque routine élémentaire isolée fait bien son travail avant de l'utiliser dans une autre routine. Ne pas hésiter à faire chaque fois un petit programme de test à cette fin; - vérifier "à la main" toutes les opérations algébriques ou numériques réalisées par la machine; - mettre des instructions d'impression (printf dans les routines pour contrôler le bon déroulement des opérations; - etc. Bon travail et bon amusement. 1