1 Chapitre 12 : fonction affine, fonction linéaire 1

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1 1 Chapitre 12 : fonction affine, fonction linéaire 1 Objectifs : Connaître les définitions des fonctions particulières : affines, linéaires, constantes. Connaître les représentations graphiques des fonctions affines, linéaires, constantes. Savoir déterminer une fonction linéaire avec une image (ou un point). Savoir calculer le coefficient directeur d une fonction affine à partir de deu images (ou deu points). Savoir calculer l ordonnée à l origine d une fonction affine après avoir calculé le coefficient directeur. Savoir déterminer une fonction affine avec deu images (ou deu points). Connaître le lien entre coefficient directeur et variation d une fonction affine. Savoir utiliser les notions de fonctions affines pour résoudre des problèmes. Un peu de culture : Parlons du temps qui passe Une journée, une heure, une semaine... Mais d où vient ce découpage?! Très tôt la journée a été organisée en différentes périodes. Chez les Babyloniens (il y a 4000 à 5000 ans) le jour était divisé en 6 périodes ou veilles : trois du lever du soleil à son coucher et trois autres du coucher au lever. Bien entendu selon les saisons ces si périodes n'avaient pas la même durée. Ensuite on affina ces périodes en les raccourcissant : on passa à si veilles de jour et si de nuit. Cela faisait 12 périodes toujours de longueurs inégales suivant les saisons. L'Égypte ancienne adopta également ce système. Cependant les astronomes d'alors étaient soucieu de plus d'eactitude dans leurs calculs prévisionnels et divisèrent encore par deu les unités de temps. C'est ainsi que nos journées furent découpées en 24 unités de temps. La notion d'heure eiste depuis des millénaires, mais elle ne correspondait pas à la notion actuelle : chez les grecs elle correspondait à toute division du temps annuelle saisonnière puis horaire... (Voir les Heures de la mythologie grecque) La notion de semaine (septimana : groupe de 7 jours) est aujourd'hui en usage chez presque toutes les nations civilisées. Sa durée de 7 jours semble s'apparenter au phases de la Lune (7 jours pour passer de la nouvelle lune à son premier quartier...). Elle a peut-être aussi son origine dans les sept planètes que les Babyloniens croyaient connaître : Saturne, Jupiter, mars, le Soleil, Vénus, Mercure, la Lune. (On a depuis éliminé la Lune (satellite de la Terre)et le Soleil (étoile)). Son emploi n'était pas universel chez tous les anciens. Les Egyptiens, les Chinois et les Grecs comptèrent d'abord par décades. Les Hébreu furent les premiers à l'utiliser. Chez les Babyloniens le nombre 7 était considéré comme néfaste d'où l'origine du repos hebdomadaire. La semaine pénétra tardivement en Grèce et chez les Aleandrins. Son emploi en Occident date seulement du 3 ème siècle de notre ère : les calendriers antérieurs n'en font pas mention. Pour le plan divin et la création du monde en 6 jours suivi d'un repos le septième... Et au fait, pourquoi avoir divisé une journée entière par 6 au départ et non pas par 10!? Parce que le système nous vient des Babyloniens justement. Ce système nous a été transmis par les Grecs et les Romains. Les astronomes de Babylone n'utilisaient pas notre système décimal, ils comptaient dans un système de numération de position de base 60 : ils comptaient de 60 en 60 (60 est très commode car il admet beaucoup de diviseurs). L'année cyclique correspondait à un cercle de 360 (360 jours) et ce cercle était divisé en si parties de 60 : toujours de 60 en 60. Le cercle a aussi figuré une journée entière puisqu'elle correspondait à un "cycle" du soleil. (Elle aussi a été divisée en si : trois sections de jour et trois sections de nuit vues ci-dessus.) Depuis des millénaires l'homme a utilisé le jour comme unité de temps. L'alternance du jour et de la nuit commandent notre horloge interne. Qu'en serait-il sur une autre planète? Le jour est lié à la rotation de la planète sur elle-même et l'année à la rotation de la planète autour du Soleil. Sur Mercure, par eemple, le jour serait de 176 jours terrestres (d'un lever de soleil au suivant) et l'année serait de 88 jours terrestres! Nous aurions un jour deu fois plus long que l'année, de quoi être perturbé, non? 1 / 5

2 1 ) Fonction affine - fonction linéaire - fonction constante Voici les tarifs d entrée pour un stade de football : Tarif A : 8 l entrée Tarif B : 4 l entrée avec la carte demi-tarif qui coûte 40 Tarif C : L abonnement pour la saison qui coûte 92 1) Calculer pour chaque tarif, la dépense pour 6 entrées, 11 entrées puis 15 entrées. Dans chaque cas, quel est le tarif le plus intéressant? entrées = 6 = 11 = 15 Tarif A Tarif B Tarif C ) Soit le nombre d entrées. Eprimer en fonction de la dépense pour la saison pour chaque tarif. Tarif A : On a définit une FONCTION LINEAIRE qu on appelle et on note : À chaque nombre, on associe le nombre, : ou Remarque : Une fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité. Tarif B : On a définit une FONCTION AFFINE qu on appelle et on note : À chaque nombre, on associe le nombre, : ou Tarif C : On a définit une FONCTION CONSTANTE qu on appelle et on note : À chaque nombre, on associe le nombre, : ou Définitions : a et b étant deu nombres fiés a + b est appelée fonction affine a est appelée fonction linéaire b est appelée fonction constante. Une fonction linéaire est une fonction affine où b = 0. Donc une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine! Une fonction constante est une fonction affine où a = 0. Donc une fonction constante est un cas particulier de fonction affine! 2 / 5

3 3) a) Avec le tarif B, calculer le pri dépensé pour 18 entrées : b) Calculer de même : et. c) Trouver tel que. Interpréter le résultat. 4) a) Pour chaque tarif, représenter sur un même graphique la dépense en fonction du nombre d entrées Remarque : - Pour construire les représentations graphiques, on utilise le tableau de la question 1). Si on ne dispose pas d un tel tableau, il faut en faire. Remarque : - Les représentations graphiques sont des droites. b) Répondre en utilisant le graphique : Dans quels cas vaut-il mieu choisir un tarif plutôt qu un autre? Toute fonction affine est représentée par une droite. Une fonction linéaire est représentée par une droite passant par l origine. Une fonction constante est représentée par une droite parallèle à l ae des abscisses. 3 / 5

4 2 ) Fonction affine et droite associée Soit (d) la représentation graphique de la fonction affine Alors les coordonnées d un point appartenant à la droite (d) vérifient 9 Les points : A(3 ; 2), B(2 ; 1) et C( ; 3), 2 appartiennent-ils à la droite (d)? Soit une fonction affine représentée dans un repère par une droite. Les coordonnées d un point appartenant à d vérifient 3 ) Coefficient directeur et ordonnée à l origine +2 S appelle le coefficient directeur (si on avance de 1, on monte de 2) ,5 y S appelle l ordonnée à l origine (se lit sur l ae des ordonnées : ) Pour : Le coefficient directeur est 2 Pour : Le coefficient directeur est -0,5 L ordonnée à l origine est -2 L ordonnée à l origine est -1 On a ainsi l équation de On a ainsi l équation de La droite d équation a : pour coefficient directeur et pour ordonnée à l origine. 4 / 5

5 Remarques : - Si le coefficient directeur est positif alors la droite «monte». On dit que la fonction affine associée est croissante. - Si le coefficient directeur est négatif alors la droite «descend». On dit que la fonction affine associée est décroissante. - Si A( A ; y A ) et B( B ; y B ) sont deu points de la droite (d) d équation alors y B B y A A. Preuve : Donc on a : 2 ) Déterminer une fonction affine à partir d image (ou de point) Fonction linéaire : Déterminer la fonction linéaire vérifiant : est une fonction linéaire donc de la forme. Donc déterminer revient à trouver : Fonction affine : Déterminer la fonction affine vérifiant : et est une fonction affine donc de la forme. Donc déterminer revient à trouver : Eemples : Déterminer la fonction linéaire passant par. Déterminer la fonction affine passant par et 5 / 5