Comment varie l interfrange lorsque l angle entre les deux faisceaux augmente? Comment varie l interfrange lorsque la longueur d onde augmente?

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1 Exercice 1 : Interférences entre deux ondes planes 1- Soient deux ondes planes cohérentes de longueur d onde et de même intensité définies par leur vecteur k z d onde k 1 et k. Ces vecteurs d onde appartiennent au plan (yoz) et font entre eux un angle. Ces deux ondes se k 1 O écran y superposent et interfèrent sur l écran (plan xoz). a- Donner l expression de l intensité résultante dans la zone de recouvrement en fonction de et. En déduire l expression de l intensité en n importe quel point du plan (xoz). b- Quelle sont la forme et l orientation des franges d interférence sur l écran? Faire un schéma. c- Déterminer l expression de l interfrange en fonction de et. - On a représenté, sur les schémas ci-dessous, des ondes planes polarisées linéairement par leur vecteur d onde et leur champ électrique. Tracez dans chaque cas l allure des franges d interférence dans le plan de la feuille. E 1 E k E E k 1 k 1 k 1 E 1 E E k 1 E k 1 k k 1 Comment varie l interfrange lorsque l angle entre les deux faisceaux augmente? Comment varie l interfrange lorsque la longueur d onde augmente? Exercice : Fabrication d un réseau de diffraction par insolation interférométrique laser Système afocal Lame semiréfléchissante miroir y x miroir Echantillon comportant une couche photo-sensible

2 On utilise le montage schématisé ci-dessus pour éclairer un échantillon comportant une couche photo-sensible par un interférogramme. Le montage optique est constitué d une source laser émettant un faisceau de longueur d onde = 44 nm, d un système afocal permettant d élargir le faisceau laser, d une lame semiréfléchissante qui sépare le faisceau élargi en deux parties de même amplitude, de deux miroirs identiques qu on supposera parfaitement réfléchissants et de l échantillon sur lequel on souhaite inscrire un réseau de diffraction. 1- Le système afocal permet de multiplier le diamètre du faisceau par 10, donner la relation liant les distances focales des deux lentilles. - La lame semi-réfléchissante est inclinée de 45 par rapport au faisceau incident, l angle d incidence sur chacun des miroirs est de 45 et les deux miroirs sont placés à égale distance de la lame semi-réfléchissante. L échantillon intercepte les deux faisceaux dans leur zone de recouvrement et est positionné de telle sorte que les angles d incidence de chacun des faisceaux sur l échantillon sont égaux et opposés. Quelle est la valeur de l angle d incidence de chacun des faisceaux sur l échantillon? On notera ces angles respectivement i et i. 3- Soit k 1 et k (les grandeurs vectorielles sont notées en gras) les vecteurs d onde des deux ondes planes incidentes sur l échantillon. Donner les coordonnées de k 1 et k dans le repère (x,y) en fonction de i. 4- On note ~ j( t 1 ) S 1M, t S 01e l amplitude complexe de l onde de vecteur d onde k 1. Exprimer S 01 en fonction de l amplitude S 0 de l onde en sortie du laser. Donner l expression ~ de 1. En déduire l expression S M, tde l amplitude complexe de l onde de vecteur d onde k. 5- Justifier le fait que les deux ondes interfèrent dans leur zone de recouvrement. 6- Quelle est l expression de l intensité I(x) dans la zone de recouvrement? 7- Représenter sur un schéma : l échantillon, le repère (x,y), les deux faisceaux incidents, la zone de recouvrement des deux faisceaux et la direction des franges d interférence. 8- Quelle est l expression de l interfrange d en fonction de et de i? On ne fera pas l approximation des petits angles car i n est pas petit. 9- En réalité la lame n est pas 50/50 mais elle réfléchit 40% et transmet 60%. Quelle est l expression de l intensité I (x) du signal d interférence. 10- En déduire la valeur du contraste du signal d interférence. 11- Pour inscrire l interférogramme dans la couche photo-sensible de l échantillon, ce dernier doit être exposé durant 5 minutes à l intensité I (x). Pendant ce temps il est possible d induire une variation de phase entre les deux bras de l interféromètre. En effet, si quelqu un parle à proximité du montage, les ondes acoustiques émises peuvent induire des variations locales d indice de réfraction sur le montage et modifier le trajet optique des faisceaux. Supposons ainsi que le trajet optique d un des deux faisceaux soit augmenté de la quantité e(n-1). Quelle influence cela a-t-il sur l expression de l amplitude complexe du signal d interférence? Quelle est alors l expression I (x) de l intensité du signal d interférence? Quel commentaire pouvez-vous faire sur l expérience d insolation? Exercice 3 : Miroir de Fresnel Une source ponctuelle S est placée à la distance d = SO de l arête O entre deux miroirs M 1 et M faisant entre eux un petit angle. M 1 et M ont le même coefficient de réflexion. Les faisceaux réfléchis par les deux miroirs sont représentés sur la figure ci-dessus. Tout se passe comme si les faisceaux réfléchis respectivement par M 1 et M provenaient de deux sources secondaires virtuelles S 1 et S.

3 La superposition des ondes lumineuses, ainsi générées, produit des interférences que l on observe sur un écran positionné à une distance D = OO de l arête entre les deux miroirs. S x M 1 O O M 1-Tracer les rayons issus de S et réfléchis par M 1 et M. En déduire que la figure d interférence observée sur l écran est celle produite par deux sources ponctuelles S 1 et S émettant des ondes sphériques. -Soit M un point sur l écran, donner l expression complexe des deux fonctions d onde se superposant en M. 3-Déterminer l intensité de l onde résultante au point M en fonction de D, d = SO et, en faisant l hypothèse suivante : OO >> O M et S 1 S 4-Quelle est la forme des franges d interférence? quelle est l expression de l interfrange i en fonction de D, d, et? Exercice 4 : Trous d Young 1- Considérons l expérience des trous d Young suivante où les trous, supposés très petits, sont éclairés par une onde plane monochromatique de longueur d onde en incidence normale sur le plan des trous. Les deux trous sont distants de a. On observe les interférences sur un écran (plan xoz) situé à une distance D du plan des trous. z T 1 T r r 1 M O y a- Quel type d onde émerge des trous? b- Donner l expression de l intensité en M en fonction de r 1, r et. c- On suppose à partir de maintenant que D >> a et D >> OM. Déterminer l expression de l intensité en M en fonction des coordonnées du point M, de a, D et de en détaillant votre démarche. d- Tracer les franges d interférence dans le plan de l écran en indiquant bien sur votre schéma l orientation des différents axes. -On reprend l expérience de la question précédente mais cette fois l onde plane qui éclaire le plan des trous n est plus en incidence normale. Elle fait un angle avec l axe y. a- Déterminer le déphasage entre les deux ondes qui interfèrent en M en fonction de y, a, D, et de b- Comment le diagramme d interférence est-il modifié par rapport à la question 5? 3- On remplace l onde plane monochromatique par une onde plane polychromatique. Expliquer les changements observés sur l écran en les justifiant succinctement.

4 Exercice 5 : Fentes d Young Considérons l expérience des fentes d Young. Observerait-on un diagramme d interférence en remplaçant la fente S par une lampe à long filament? Que se passerait-il si on remplaçait les fentes S 1 et S par deux lampes à filament? Exercice 6 : Ordres de grandeur de longueur de cohérence pour différentes sources. a) Déterminer la longueur et le temps de cohérence d une lampe à vapeur de mercure de largeur spectrale Δλ 1/ = 10 nm autour de λ 0 = 546 nm. Quelle est l effet de la pression de la vapeur de mercure sur le temps de cohérence? b) Déterminer la longueur et le temps de cohérence d un laser hélium-néon émettant une radiation dans le rouge à λ 0 =63.8 nm et de largeur spectrale Δν 1/ = 1.4 GHz. Exercice 7 : Raie spectrale à profil Gaussien On considère un dispositif interférentiel donnant d une source lumineuse ponctuelle S deux images S 1 et S, telles que S 1 S = s, se comportant comme deux sources lumineuses vibrant en phase. On observe les interférences sur un écran E parallèle au segment S 1 S et situé à la distance D de celui-ci, telle que D >> s. 1- La source émettant une radiation monochromatique de longueur d onde 0, décrire brièvement les phénomènes observés sur E. Donner l expression de l intensité au point M de E d abscisse x en fonction de la différence de marche (x) en M et du nombre d onde = 1/. - Du fait de l agitation thermique, le flux énergétique émis par la source est réparti continûment dans un intervalle de nombres d onde centré autour d une valeur 0. On admettra que pour une bande infinitésimale de nombres d onde compris entre et + d, la source se comporte comme si elle était monochromatique, de nombre d onde et d intensité de la forme di = I 0 () d. I 0 (),densité spectrale d intensité, est telle que : 0 I0I0exp pour > 0 a I 0 () = 0 pour < 0. Calculer l intensité produite au point M par la source. On sera amené à évaluer des intégrales entre les bornes 0 et +. On admettra que la fonction I 0 () décroît de façon suffisamment rapide (raie «fine») pour qu on puisse les assimiler aux intégrales analogues entre les bornes - et +. On donne : x e x 4 dx, e cosxdx e x, e sin x dx Retrouver les résultats obtenus pour une radiation monochromatique. 4- Indiquer l allure des courbes représentatives I 0 () et V(), visibilité, pour différentes valeurs de a. donner une définition de la largeur de la raie. Calculer la finesse F = 0 /. 5- On donne 0 = m -1, soit 0 = 0,5 µm. Quelle doit être la finesse de la raie pour qu on puisse observer 10 franges de part et d autre de la frange centrale avec un contraste égal à 1 à 10-3 près? Exercice 8 : Mesure de la distance angulaire des composantes d une étoile double Une lunette astronomique est constituée d un objectif L 1, assimilable à une lentille mince de distance focale f = 1 m, et d un oculaire L mis au point sur le plan focal de L 1. Par une nuit

5 claire on la dirige vers un groupe de deux étoiles très voisines S 1 et S qu on supposera ponctuelles étant donné leur éloignement ; elles émettent une même lumière monochromatique de longueur d onde et leurs intensités sont respectivement I 0 et I 0. La face d entrée de l objectif est masqué par un écran E percé de deux fentes fines et parallèles F 1 et F dont on peut faire varier la distance e. 1- Montrer que, pour une valeur donnée de e, on observe en général des franges d interférence rectilignes dans le plan focal image P de L 1. Déterminer l interfrange. On prendra e = 6 mm et = 0,6 µm. - On suppose S 1 et S de même intensité. Montrer que les franges d interférence disparaissent pour certaines valeurs de e. 3- La plus petite distance entre F 1 et F pour laquelle les franges disparaissent est e m = 5 mm. Quelle est la distance angulaire entre les deux étoiles? 4- On ne suppose plus que S 1 et S ont même intensité. Montrer que le contraste du système de franges observé passe malgré tout par des minima pour les valeurs de e trouvées à la question. Exercice 9 : Frange achromatique Deux fentes d Young F 1 et F percées dans un plan opaque P et séparées d une distance a sont éclairées à l aide d une source ponctuelle placée au foyer d une lentille convergente L. la source est une source de lumière blanche et la distance focale de la lentille est indépendante de la longueur d onde de la lumière. 1- Décrire l aspect d un écran E placé après P, à une distance D (D>>a) de ce dernier. L indice de l air où se déroule l expérience est n 0 = 1. - On place devant F 1 une lame à face parallèle d épaisseur e = 0,1 mm et d indice n = 1,5 indépendant de la longueur d onde de la lumière. Décrire le phénomène observé sur l écran. On prendra D = 1 m e a = 1 mm. 3- L indice de la lame dépend en fait de la longueur d onde la lumière suivant la B loi : n A, A et B étant des constantes. L observation montre alors sur l écran une frange qui paraît blanche ; c est la frange «achromatique». dans ce cas en effet la différence de marche relative à chaque point de E dépend de la longueur d onde ainsi que l ordre d interférence et il n y a plus a priori de frange blanche. L ordre d interférence peut être stationnaire en un certain point de l écran si la longueur d onde est voisine d une valeur donnée ; une petite variation de longueur d onde à partir de cette valeur ne fait alors pratiquement pas varier l ordre d interférence au point considéré. Si la longueur d onde en question est = 0,56 µm, pour laquelle l efficacité visuelle passe par un maximum très marqué, on observe la frange achromatique. Quelle est la position de la frange achromatique. On a n = 1,5 pour = 0,56 µm et B = 10 - µm² 4- Pour déterminer l épaisseur e d une lame à faces parallèles d indice n on mesure en lumière blanche sur l écran E le déplacement de la frange blanche (ou qui paraît telle) produit par l introduction de la lame devant F 1. quelle erreur relative commet-on sur la mesure de e en considérant que n ne dépend pas de la longueur d onde? Exercice 10 : Interféromètre de Mach-Zender Un interféromètre est représenté en coupe sur la figure ci-dessous. B et D sont deux miroirs plans. A et C sont deux lames semi-réfléchissantes d'épaisseur négligeable. Une source ponctuelle S de lumière monochromatique est placée au foyer de l'objectif L 1. La longueur d'onde de la radiation émise est = 0,5 µm. Les séparatrices A et C sont identiques et sont parallèles aux miroirs B et D. L'angle d'incidence des rayons lumineux est de 45 sur chacune de ces quatre pièces optiques. AB = DC = BC = AD.

6 1- Sur le trajet BC, normalement aux rayons lumineux, est interposée une lame N d'épaisseur e et d'indice n, à faces planes et parallèles. a- Montrer qu'à la sortie de l'interféromètre, on obtient deux ondes planes cohérentes. b- Calculer la différence de phase 0 qui existe entre ces deux ondes en fonction de e et de n. Ces deux ondes peuvent-elles interférer? c- L'intensité I 0 de la source est la même dans toutes les directions. Calculer l'intensité du phénomène d'interférence sachant que le facteur de réflexion des miroirs est égal à 1 et que les facteurs de transmission et de réflexion en intensité des séparatrices sont égaux à 0,5. - Le champ d'interférences est observé en plaçant l'œil au foyer image de l'objectif convergent L. En son foyer objet, est placée la lame N qui est recouverte en partie par une lame P à faces planes et parallèles d'épaisseur e' et d'indice n '. a- Quelle est la valeur de la différence de phase qui existe entre deux ondes qui émergent de l'interféromètre au niveau de la lame P? b- Quel est l'aspect du champ? Montrer que la lame P est visible avec un contraste tel que = (I objet - I fond ) / (I objet + I fond ). Avec I fond : intensité du phénomène d'interférence pour les rayons qui ont traversé seulement N et I Objet : intensité du phénomène d'interférence au niveau de la lame P. On donne n = 1,5; n' = 1,4 et e = 10 mm ; Etudier les trois cas suivants: e' = 1,5 µm, e' = 0,65 µm et e' = 0,31 µm. 3- On fait tourner D d'un angle de deux minutes d'arc. a- Que devient l'aspect du champ (P n'existe pas). Calculer l'interfrange. b- La lame N est recouverte par la lame P. Décrire le nouvel aspect du champ. Exercice 11 : Anneaux de Newton La surface convexe (de grand rayon R) d'une lentille plan-convexe est au contact dans l'air avec une lame de verre. Le système est éclairé à l'incidence normale par un faisceau de lumière monochromatique de longueur d'onde. Une glace sans tain inclinée à 45 sur l'axe du système permet d'observer la lame. 1) Expliquer pourquoi on observe des anneaux d'interférences. Où se trouvent ces interférences? Quel est l'aspect du centre de la figure? ) Montrer que le rayon du k ème anneau sombre est donné par la relation r k kr. Quels sont les rayons des anneaux brillants? 3) La mesure des rayons se fait à partir de l'image de la figure d'interférence obtenue sur un écran ou sur une plaque photographique avec une lentille convergente auxiliaire. Quand on utilise une radiation bleue de longueur d'onde = 450 nm on mesure 1.5 mm pour le troisième anneau brillant. Calculer le rayon de courbure R. 4) On remplace la source bleue par une source rouge et on trouve,6 mm pour le 5 è anneau sombre. Quelle est la longueur d'onde de la radiation rouge? 5) L'interstice entre la lentille et la lame de verre est maintenant rempli de disulfure de carbone. Les indices de la lentille, du disulfure de carbone et de la lame sont respectivement n 1 = 1,50, n = 1,63 et n 3 = 1,68. Quel est le nouveau rayon du troisième anneau brillant obtenu avec la radiation bleue précédente?

7 Exercice 1 : Michelson interferometer Consider the following configuration of the Michelson interferometer where L 1 = L and mirror M is tilted of an angle. 1- Give the expression of the intensity in the (x,y) plane (the screen) if the source is monochromatic. - Actually, the source emits two close wavelengths 1 and such that 1 +What is the expression of the intensity on the screen in that case. Draw the function I(x). 3- What happens (on the screen) if the mirror M is translated along the x axis? 4- Consider now a white light source and calculate the expression of the intensity on the screen. Draw a sketch of the interference pattern observed on the screen. How would be the interference pattern without the compensator plate? 5- We introduce a thin film of polymer in one arm of the interferometer illuminated with white light. What happens on the screen. How can we measure the film thickness?

8 Partie. Exercice 1 : Fabry-Pérot etalon with tilted mirrors (L) Angle (L ) screen S P P f f S 0 S 1 S S 3 The Fabry-Pérot interferometer is made of two identical thin slides, silver coated and separated by a thin layer of air. A series of images S 0, S 1, S, are observed in the focal plane of the second lens. A photodetector measures the total intensity in that focal plane. When one of the slides of the Fabry-Pérot interferometer is removed the photodetector measures an intensity I. When the interferometer is totally removed the photodetector measures I 0. The focal length f = 1m. 1- Draw the rays that explain the formation of the different images on the screen. Calculate the value of when the distance between S 0 and S 1 equals 0.9 mm. - Give the expression of the transmission coefficient T, the reflection coefficient R and the absorption coefficient A of each of the slides of the interferometer as a function of X = I / I 0 and X = I / I 0. The measurements gives X =.3 % and X = 7 %, calculate the values of T, R and A. 3- The intensities are measured with an accuracy = 0.5 %. Calculate R / R. Is it different from the value deduced from the direct measurement of R with one of the slides? 4- The slides being absorbent, each slide is characterized by its complex refractive index n n0 1 ja. Give the expression of the extinction coefficient a (R, n0) (>0). Exercice : Etalon de Fabry Pérot On considère ici un étalon de Fabry-Pérot d'épaisseur e = 8 mm, placé entre deux lentilles convergentes (L 1 ) et (L) de distances focales f 1 = 40 cm et f = 10 cm. Dans le plan focal objet de (L 1 ) est disposé un diaphragme circulaire de diamètre d = cm éclairé par une radiation de longueur d'onde = 546, l nm. On observe les anneaux d'égale inclinaison sur un écran placé dans le plan focal image de (L). 1) Quel est l'ordre d'interférence p 0 au centre du champ? Celui du premier anneau brillant? ) Calculer l'ordre d'interférence au bord du champ, celui du dernier anneau brillant et en déduire le nombre d'anneaux brillants visibles dans le champ. 3) Donner l'expression du rayon du k ème anneau brillant en fonction de l'excédent fractionnaire au centre et calculer leur épaisseur (l'interfrange). Comparer celles des deux premiers anneaux et du dernier anneau visible.

9 4) On considère que lorsque l'appareil est éclairé par deux radiations de longueurs d'onde voisines et +, on peut distinguer les franges correspondantes si la distance entre les deux maxima d'intensité est supérieure à la distance qui sépare ce maximum du minimum nul le plus proche (critère de Rayleigh). Calculer la limite de résolution spectrale (on utilisera la fonction d'airy) et en déduire la valeur du pouvoir de résolution R = / de l'appareil sachant que le coefficient de réflexion de ses faces est R = 0, 95. Exercice 3 : Couche anti-reflet, lame semi-réfléchissante 1) Sur un milieu d indice N limité par un plan, on dépose une lame mince à faces parallèles d épaisseur e, d indice n baignant d un côté seulement dans l air. a) Rappeler les expressions des coefficients de réflexion et de transmission en amplitude des dioptres ainsi formés pour une incidence voisine de l incidence normale. Quelles relations y a-t-il entre certains de ces coefficients? Les différents milieux seront supposés non absorbants. b) On éclaire le dispositif sous incidence quasi normale par une radiation monochromatique de longueur d onde. Calculer l intensité I T transmise dans le milieu d indice N. c) A quelles conditions cette intensité est-elle maximale? calculer les valeurs correspondantes de I T et du pouvoir réflecteur R m du dispositif. Comparer celui-ci au pouvoir réflecteur R 0 qu on obtiendrait en l absence de la couche d indice n. Pour quelle valeur de n R m est-il nul? Conclure. d) Déterminer la valeur de n et les valeurs de e annulant R m pour N = 1,50 et = 0,5890 µm ) Calculer dans le cas général le pouvoir réflecteur R du dispositif en fonction du déphasage existant entre deux rayons transmis consécutifs. En étudiant succinctement les variations de R en fonction de, tracer les courbes représentant les variations de R en fonction de e. 3) Montrer que pou n > N on peut trouver des valeurs particulières de e pour lesquelles R passe par un maximum. Calculer les valeurs de n et de e pour N = 1,50 et = 0,5890 µm, si R = 0,5 est un maximum de la fonction R(e). Exercice 4 : Contraste interférentiel On dispose de l huile de cèdre transparent d indice n = 1,515 entre deux lames de verre planes identiques dont les faces en regard A 1 B 1 et A B, semi-argentées, sont parallèles. Leur distance est e. On éclaire l ensemble sous incidence normale par un faisceau de lumière monochromatique de longueur d onde. On observe la lumière transmise par la lame d indice n ainsi formée et tombant sur un écran E parallèle à A 1 B 1 et A B. Dans la suite on ne tiendra pas compte de l épaisseur des lames de verre et on admettra qu une réflexion d un rayon lumineux sur A 1 B 1 ou A B introduit un déphasage égal à. 1) Quelle est la différence de phase entre deux rayons consécutifs ransmis R n et R n+1? Le coefficient de transmission en amplitude des lames semi-argentées est égal à, leur coefficient de réflexion en amplitude est égal à ; elles ne sont pas absorbantes. Calculer l amplitude complexe de l onde résultante. Calculer l éclairement E de l écran. Etudier brièvement ses variations en fonction de e. Pour quelle variation de e à partir d une valeur correspondant au maximum E 0 de E celui-ci est-il divisé par? A.N. : = 546,0 nm, ² = 0,8

10 ) Dans l huile de cèdre on suppose maintenant qu est placé parallèlement à A 1 B 1 et A B un film très mince à faces parallèles, d épaisseur h, d indice n peu différent de n. Il n est pas absorbant et ses faces ne réfléchissent pas la lumière. Montrer que ce film introduit une variation de la différence de phase entre deux rayons consécutifs transmis. Sachant que est très petit par rapport à, calculer en fonction de, n, n et h la variation relative de l éclairement de l écran due à la présence du film (contraste), soit = E /E. Pour un film d épaisseur e donnée, quelles sont les distances entre A 1 B 1 et A B pour lesquelles le contraste passe par un maximum? donner la valeur de maximum. 3) Le film de la question précédente est remplacé par des objets transparents de petite dimensions, de même indice n, de même épaisseur h, assimilables à des lames à faces parallèles disposées parallèlement à A 1 B 1 et A B. On reçoit la lumière sortant de la lame sur une lentille convergente L placée parallèlement à A 1 B 1 et A B. L écran est placé derrière L dans un plan conjugué de certains petits objets. La distance e est telle que le contraste est maximum. Décrire l aspect de l écran. Si l on admet que l image des petits objets n est visible que si le contraste est au moins égal à 0,1, quelle épaisseur doivent-ils avoir pour pouvoir être observés? on prendra n = 1,50. Exercice 5 : Diffraction par N fentes de largeur non nulle Un écran comporte N fentes identiques de largeur b, de longueur l, équidistantes et séparées les unes des autres par la distance a>>b. On numérote les fentes de 0 à N-1 et on repère les points de la fente n par leurs corrdonnées cartésiennes x, y dans le plan de l écran. na-b/ <x< na+b/ Un faisceau de lumière monochromatique de longueur d onde arrive en incidence normale sur les fentes et l on observe la lumière diffractée à l infini dans la direction faisant l angle avec la normale dans le plan perpendiculaire aux fentes. 1- Calculer le déphasage ) entre l onde issue d un point quelconque M de la fente 0 et celle qui est issue de l origine des coordonnées, qui servira de référence de phase. En déduire l amplitude complexe A 0 () de l onde diffractée par la fente 0. - Montrer que l amplitude complexe A de l onde résultant de la superposition à l infini des ondes provenant des N fentes est la somme des termes d une suite géométrique que l on calculera. On pourra poser bsin=u et asin= 3- Déterminer la distribution de l intensité diffractée I(u, dans la direction et interpréter le résultat obtenu. On exprimera I(u, en fonction de l intensité I 0 diffractée par une seule fente dans la direction Montrer que cette distribution présente une succession de maxima principaux et que l on compte N- maxima secondaires entre deux maxima principaux consécutifs. 4- Tracer le graphe de la fonction I=I() en fonction de sin et comparer la largeur d un pic principal d intensité, mesurée entre les minima les plus proches, pour ce dispositif et pour le système de deux fentes fines distantes de a, à l approximation des petits angles. Exercice 6 : Ordres d un réseau Un réseau plan par transmission, de largeur L=4cm, comporte n=00 traits par millimètre. Il

11 est éclairé sous incidence normale par un faisceau parallèle de lumière blanche. On considère que le spectre visible s étend de 400 à 800 nm. 1- Déterminer la position et l étendue angulaire des spectres d ordre 1,, 3. - Combien de spectres peut-on observer si l on fait varier l angle de la direction d observation avec la normale de 0 à Pour quelle longueur d onde dans le spectre du second ordre commence le spectre du troisième ordre. 4- Dans quels ordres peut-on, suivant le critère de Rayleigh, séparer le doublet jaune du sodium ( =589.0 nm et =589.6 nm)? on pourra utiliser les résultats de l exercice précédent donnant la demi-largeur angulaire d un pic principal, soit sinl. 5- Quel doit être le nombre minimal de traits sur un réseau de largeur 4 cm pour que le doublet du sodium puisse être séparé au premier ordre? Exercice 7 : réseau échelette 1- Etablir la condition pour avoir un maximum de diffraction dans une direction faisant l angle avec la normale au plan d un réseau par réflexion de pas a, modélisé par des fentes infiniment fines, pour une incidence i. On considère maintenant un réseau utilisé en réflexion dont le profil est celui de la figure ci-dessous et comportant N traits en forme de facettes faisant un l angle avec le plan du réseau. Ce réseau est éclairé par une radiation de longueur d onde et l incidence est normale aux facettes planes. On observe la lumière diffractée dans la direction faisant l angle avec la normale aux facettes, qui jouent ici le rôle de fentes diffractantes. - Montrer un utilisant les résultats obtenus pour une fente (un exercice précédent), que l intensité diffractée est de la forme : I()=I 0 D() J() où sin a cos sin / D( ) acossin / Et où J) caractérise les interférences que produiraient des fentes infiniment fines centrées sur les facettes. 3- A quelle condition la direction d observation normale aux plans des facettes (correspond-elle à un maximum principal de diffraction d ordre donné k=k 0? Comparer la valeur de la fonction de diffraction D(pour k=k 0 et pour kk 0 à l approximation où est petit. Conclure. a