Concours d entrée 2009 : Attention, des modifications interviendront pour les sessions 2009, à savoir :

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1 A N N A L E S C o n c o u r s d ' e n t r é e C y c l e P r é p a r a t o i r e I n t é g r é è r e a n n é e Concours d entrée 009 : Attention, des modifications interviendront pour les sessions 009, à savoir :. pour ce qui concerne les QCM de Mathématiques et de Physique, les règles de notation seront désormais les suivantes : Bonne réponse + point Mauvaise réponse - point Sans réponse 0 point Choix des exercices : «le candidat devra choisir explicitement les 0 exercices auxquels il souhaite répondre. Ce choix se fera en cochant les cases prévues à cet effet devant le numéro de chaque exercice. Lorsque le nombre de cases cochées sera supérieur à dix, il sera procédé à la correction des 0 premiers exercices que le candidat aura cochés. Lorsque le nombre de cases cochées sera inférieur à dix, tous les exercices cochés seront corrigés ; le nombre manquant sera pris parmi les exercices auxquels le candidat a répondu même partiellement, par ordre croissant.». un coefficient légèrement inférieur sera appliqué pour l entretien de motivation ( au lieu de ). Bon courage

2 Sujet n M0 C o n c o u r s d ' e n t r é e è r e a n n é e d u C y c l e P r é p a r a t o i r e I n t é g r é E C E S e s s i o n s Mathématiques Réf. candidat: Nom : Prénom : Durée : heure Coefficient : Consigne : Pour chaque question de chaque exercice, cocher VRAI ou FAUX dans la grille jointe à ce sujet. Règles de notation : Bonne réponse + points Mauvaise réponse - point Sans réponse 0 point NB : l'utilisation de documents et de la calculatrice est strictement interdite. Cette épreuve comporte volontairement plus d'exercices que vous ne pouvez en traiter dans le temps qui vous est imparti. La raison en est que votre professeur n'a pas encore forcément traité l'ensemble du programme de Terminale S et l'épreuve a été conçue de sorte de vous permettre de choisir 0 exercices que vous pouvez traiter. De ce fait, vous pouvez obtenir la note maximale sans traiter l'ensemble de l'épreuve. Essayez cependant d'en faire le maximum.

3 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Mathématiques Sujet n M0 Durée : heure EXERCICE I x 9 lim = 0. x x + x ( ) ln + x La limite en 0 de la fonction x x n existe pas. 4 x lim x( e ) =. x + cos x lim = 0. x + ln( x ) + EXERCICE II Soit les nombres complexes A= + i et B = + i. Un argument de A est π. Le module du nombre A B est. Le nombre A est un nombre imaginaire pur. 4 Le nombre AB est un nombre réel. EXERCICE III L ensemble de définition de la fonction x ln ( x ) ln ( x) est ] 0, + [. x L ensemble de définition de la fonction x x est ],0]. 4 L ensemble de définition de la fonction L ensemble de définition de la fonction x x π +, k. cos x e est ( k ) sinx cos x + est { π}. Page sur 8

4 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Mathématiques Sujet n M0 Durée : heure EXERCICE IV Soit la fonction f définie sur {,}, de courbe représentativec dans un repère orthogonal ( Oi ;, j) Dans ce repère ( Oi ;, j), le graphe de la fonction x f( x) est Dans ce repère ( Oi ;, j), le graphe de la fonction ( ) x f x + est Dans ce repère ( Oi ;, j), le graphe de la fonction x f ( x+) est Dans ce repère ( Oi ;, j), le graphe de la fonction x f ( x ) est 4 Page sur 8

5 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Mathématiques Sujet n M0 Durée : heure EXERCICE V x + x dx = 7. 4 x + dx = ln ln. x + x+ π π ( x+ π )cos( x) dx =. π xe x dx = 0. EXERCICE VI Une école d ingénieurs sélectionne ses étudiants avec une épreuve sous la forme de QCM portant sur 5 questions. Pour chaque question, il y a quatre réponses possibles dont une seule est vraie. Le nombre de façons de répondre au QCM est 5 4. Le nombre de possibilités de répondre correctement à exactement dix questions est Le nombre de possibilités de répondre correctement à toutes les questions est Le nombre de possibilités de répondre correctement à au moins une question est Page sur 8

6 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Mathématiques Sujet n M0 Durée : heure EXERCICE VII La suite de terme général ( ) n + n n converge vers 0. La limite de la suite de terme général cos n e n + n existe pas. La suite de terme général n + n+ n + diverge. 4 La suite de terme général n + e n + converge vers 0. EXERCICE VIII On considère deux dés cubiques équilibrés A et B. Sur le dé A, les chiffres, et 5 sont inscrits chacun sur deux faces. Sur le dé B, une face est marquée, deux faces sont marquées 4 et trois faces sont marquées 6. On jette les deux dés (les lancers sont indépendants), on note X la variable aléatoire qui à chaque évènement fait correspondre la somme des chiffres obtenus. L ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X est {,5,7,9, } P ( X = ) =. 9 P X = =. ( 7) 5 P X =. 6 4 ( 0) Page 4 sur 8

7 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Mathématiques Sujet n M0 Durée : heure EXERCICE IX Soit f la fonction définie sur par f ( x) = cos x.sinx. La fonction f est périodique de période π. 4 f( x), x. π 4 f( x) dx =. 0 π π f ( x) dx = f( x) dx. 0 0 EXERCICE X Dans le plan complexe de repère ( 0; uv, ) ( ) orthonormal direct, soit T l application définie sur par T( z) = + i zet soient A, B, C et D les points d affixes respectives, T (), T T(), T T T(). Le point C est d affixe i. Le triangle ABC isocèle. Le triangle BCD est rectangle en B. 4 Le centre du cercle circonscrit au triangle ABC a pour affixe 0. Page 5 sur 8

8 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Mathématiques Sujet n M0 Durée : heure EXERCICE XI Soit X la variable aléatoire réelle dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant : k PX ( = k) P( < X 5) =. 5 PX> ( ) =. 8 (< 4< 6) =. 4 P ( X) ( X ) 4 E( X ) =. 8 EXERCICE XII Soit la fonction f définie par f ( x) = x + x + x+. La fonction f est croissante sur. La fonction f est décroissante sur. La courbe C représentative de f dans un repère orthogonal est Page 6 sur 8

9 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Mathématiques Sujet n M0 Durée : heure 4 La courbe C représentative de f dans un repère orthogonal est EXERCICE XIII Toute suite ( ) * u croissante telle que n u n n une suite majorée. une suite minorée. pour tout n * n est 4 une suite divergente. une suite convergente vers. EXERCICE XIV Dans un repère orthonormal direct ( Oi ;, j), soit A (,) et B (-,) et D la droite d équation cartésienne x+ y =. La droite perpendiculaire à D au point A a pour équation cartésienne x+ y =. Le cercle de centre A et de rayon a pour équation cartésienne x y x y + = 4. La médiatrice du segment [ AB ] a pour équation cartésienne x+ y =. 4 Le cercle de diamètre[ AB ] a pour équation cartésienne x y y + =. Page 7 sur 8

10 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Mathématiques Sujet n M0 Durée : heure EXERCICE XV Un lycée comporte 60% de filles et 40% de garçons. 0% des filles et 40% des garçons utilisent un moyen de transport individuel pour se rendre au lycée ; les autres utilisent des cars de ramassages scolaires qui arrivent tous à 8 heures au lycée. Le pourcentage des élèves du lycée utilisant un moyen de transport individuel est de 0%. Le pourcentage des élèves du lycée utilisant les cars de ramassages scolaires est de 70%. On aperçoit la silhouette d un élève descendant d un car. La probabilité pour que ce soit un garçon est à 0 près 0,. 4 La probabilité pour que ce soit une fille est à 0 près 0,67. Page 8 sur 8

11 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Mathématiques Sujet n M0 - Durée : heure g r i l l e r é p o n s e QUESTION I QUESTION II QUESTION III QUESTION IV QUESTION V V F V F V F V F V F QUESTION VI QUESTION VII QUESTION VIII QUESTION IX QUESTION X V F V F V F V F V F QUESTION XI QUESTION XII QUESTION XIII QUESTION XIV QUESTION XV V F V F V F V F V F

13 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Mathématiques Sujet n M0 Durée : heure EXERCICE I Soit les nombres complexes A = +i et B = i. Un argument de A est π. Le module du nombre A B est. A A =. 4 Le nombre AB est un nombre réel. EXERCICE II n n + La suite de terme général un = n + converge vers. π La limite de la suite de terme général u n = sin π + n n existe pas. cosn La limite de la suite de terme général un = n e + n n existe pas. 4 La suite de terme général n+ n+ converge vers 0. EXERCICE III ( ) L ensemble de définition de la fonction x ln ( x )( x+ ) est ] [, +. L ensemble de définition de la fonction x e x est ],ln] L ensemble de définition de la fonction ( ) cos. x sin x est. x 4 L ensemble de définition de la fonction sinx x est. sin x + Page sur 9

14 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Mathématiques Sujet n M0 Durée : heure EXERCICE IV Soit la fonction f définie sur par f ( x) x 6x 9x = +. f '( x) = ( x )( x). La fonction f est décroissante sur ], [. La courbe C représentative de f dans un repère ( Oi ;, j) est 4 La courbe C représentative de f dans un repère ( Oi ;, j) est Page sur 9

15 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Mathématiques Sujet n M0 Durée : heure EXERCICE V Une urne contient sept boules rouges et trois boules blanches. Une épreuve consiste à tirer de manière indépendante, successivement quatre boules avec remise dans l urne après chaque tirage. On considère la variable aléatoire X qui associe à toute épreuve le nombre de boules rouges tirées. Il y a 4 0 épreuves possibles. L ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X est{ 0,,,, 4 }. P ( X ) 4 P ( X 4) 4 7 = = < =. 4 0 EXERCICE VI Dans un repère orthonormal direct ( Oi ;, j), soit A (,) et B(0,) cartésienne x y =. et soit D la droite d équation La droite parallèle à D au point B a pour équation cartésienne x y =. La droite perpendiculaire à D au point A a pour équation cartésienne x+ y =. La médiatrice du segment [ AB ] a pour équation cartésienne x+ y =. 4 Le cercle de diamètre[ AB ] a pour équation cartésienne x + y x y =. Page 4 sur 9

16 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Mathématiques Sujet n M0 Durée : heure EXERCICE VII lim x x x x 0 x 4 4 =. 6 5 tan ( x) lim =. x cos( x) La limite en + de la fonction x x + n existe pas. 4 lim x = +. x EXERCICE VIII Toute suite ( ) * croissante. bornée. u telle que n n u n + pour tout n n * n est 4 convergente. divergente. EXERCICE IX Dans le plan complexe de repère ( 0; uv, ) orthonormal direct, soit T l application définie sur par + i T( z) = zet soit A, B,C et D les points d affixes respectives + i, T( + i), T T( + i), T T T( + i). Le point B est d affixe ( + i). Le point D est d affixe. Le triangle ABC est isocèle. 4 Les droites AD et BC sont parallèles. Page 5 sur 9

17 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Mathématiques Sujet n M0 Durée : heure EXERCICE X Soit la fonction f définie sur { } ( Oi ;, j) de courbe représentativec dans un repère orthogonal Dans ce repère ( Oi ;, j), le graphe de la fonction x f( x) est Dans ce repère ( Oi ;, j), le graphe de la fonction x f ( x+) est Dans ce repère ( Oi ;, j), le graphe de la fonction x f ( x) est 4 Dans ce repère ( Oi ;, j), le graphe de la fonction x f ( x ) est Page 6 sur 9

18 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Mathématiques Sujet n M0 Durée : heure EXERCICE XI 0 x x dx =. 0 x x dx = x ( x+ ) e dx = e. 4 4 x e dx = e ( e ). x EXERCICE XII Dans une population adulte d une ville, il y a 55% d inactifs; 80% des actifs sortent le dimanche et 0% le samedi ; 90% des inactifs sortent le samedi et 0% le dimanche. 47% des adultes de cette ville sortent le dimanche. 48,5% des adultes de cette ville sortent le samedi. Un habitant est choisi au hasard. On constate qu il sort le samedi. La probabilité pour qu il soit inactif est d environ 0,85. 4 La probabilité pour qu il soit actif est d environ 0,80. Page 7 sur 9

19 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Mathématiques Sujet n M0 Durée : heure EXERCICE XIII π sin xcos x dx =. 0 4 π sin( x+ nπ)cos ( x+ nπ) dx =, n. 0 π 4 sin xcos x dx =. π π sin( x)cos ( x) dx = 0. 0 EXERCICE XIV On admet que dans une famille, pour toute naissance d un enfant, la probabilité d avoir un garçon est la même que celle d avoir une fille et que, lors de deux naissances séparées, les sexes des enfants sont indépendants. Pour une famille de deux enfants : La probabilité pour que les enfants soient deux garçons est. La probabilité pour qu il y ait au moins une fille est 4. La probabilité pour que les enfants soient de même sexe est. 4 La probabilité pour que les enfants soient de sexes différents est. Page 8 sur 9

20 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Mathématiques Sujet n M0 Durée : heure EXERCICE XV Soit X la variable aléatoire réelle dont la loi est donnée par le tableau suivant : k 0 4 PX ( = k) P( < X 4) =. 6 P(( < X ) ( X > )) =. 5 PX ( 4) =. 6 E( X ) =. Page 9 sur 9

23 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Mathématiques Sujet n M0 Durée : heure EXERCICE I Soit la fonction f définie sur { } de courbe représentativec dans un repère orthogonal ( Oi ;, j) : Dans ce repère ( Oi ;, j), le graphe de la fonction x f( x) est Dans ce repère ( Oi ;, j), le graphe de la fonction x f ( x) est Dans ce repère ( Oi ;, j), le graphe de la fonction x f ( x+) est Dans ce repère ( Oi ;, j), le graphe de la fonction x f ( x ) est 4 Page sur 9

24 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Mathématiques Sujet n M0 Durée : heure EXERCICE II ( ) L ensemble de définition de la fonction x ln ( x)( x+ ) est ], [ ], [ +. L ensemble de définition de la fonction x lnx est e, +. L ensemble de définition de la fonction π +, k. cos x x est ( k ) 4 L ensemble de définition de la fonction x est x x e e,. e EXERCICE III La suite de terme général u n = n n + n + n converge vers. n La suite de terme général un = ln + n + converge vers ln. La limite de la suite de terme général un = cos n. sin n n existe pas. 4 La suite de terme général n n n converge vers. Page sur 9

25 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Mathématiques Sujet n M0 Durée : heure EXERCICE IV Dans un repère orthonormal direct ( Oi ;, j), soit A (,0), B (, ), C(,) et D la droite d équation cartésienne x y =. La droite perpendiculaire à D au point A a pour équation cartésienne x+ y = 6. Le cercle de centre A et de rayon a pour équation cartésienne x y x + 4 =. La médiatrice du segment [ AB ] a pour équation cartésienne x+ y =. 4 La hauteur du triangle ABC issue du point A a pour équation cartésienne x y = 4. EXERCICE V Soit les nombres complexes i A = et B = + i. Un argument de A est π. Le module du nombre A B est. A A =. 4 Le nombre 4 AB est un nombre réel. Page sur 9

26 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Mathématiques Sujet n M0 Durée : heure EXERCICE VI x lim = 0. x + x 6 x x La limite en 0 de la fonction x x sin n existe pas. lim sin x = 0. x + x 4 lim x x x = +. EXERCICE VII D un sac contenant 0 boules numérotées de à 0, on extrait trois boules simultanément. La probabilité pour que, parmi ces trois boules, il y ait toutes celles du sac dont le numéro est un multiple de 5 est 5. 4 La probabilité pour que, parmi ces trois boules, il y en ait au plus une dont le numéro est un multiple de 5 est 5. La probabilité pour que, parmi ces trois boules, il y en ait au moins une dont le numéro est un multiple de 5 est 8 5. La probabilité pour que, parmi ces trois boules, il y ait toutes celles du sac dont le numéro est un multiple de est 60. Page 4 sur 9

27 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Mathématiques Sujet n M0 Durée : heure EXERCICE VIII Soit la fonction f définie sur par f ( x) x x x = +. La fonction f est croissante sur],[. La fonction f est décroissante sur ],[. La courbe C représentative de f dans un repère orthogonal ( Oi ;, j) est 4 La courbe C représentative de f dans un repère orthogonal ( Oi ;, j) est Page 5 sur 9

28 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Mathématiques Sujet n M0 Durée : heure EXERCICE IX Toute suite ( ) * u décroissante telle que n u n n pour tout n une suite majorée. une suite bornée. * n est 4 une suite convergente. une suite divergente. EXERCICE X Soit X la variable aléatoire réelle dont la loi est donnée par le tableau suivant : k 0 PX ( = k) P( < X < ) =. 7 0 P(( 5 < X )) = 7 PX (,5) =. 9 L espérance de X est.. Page 6 sur 9

29 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Mathématiques Sujet n M0 Durée : heure EXERCICE XI Dans le plan complexe de repère ( Ouv ;, ) ( + i ) orthonormal direct, soit T l application définie sur par T( z) = zet soient A, B, C et D les points d affixes respectives i, Ti, () T T() i, T T T() i. Le point B est d affixe + i. Le point D est d affixe i. Le triangle ABC est équilatéral. 4 Le cercle circonscrit au triangle ABC a pour centre O et est de rayon. EXERCICE XII Deux sacs contiennent chacun jetons, numérotés respectivement dans l un,, et dans l autre,, 4. On tire au hasard un jeton de chaque sac (les tirages étant indépendants) et on considère X la variable aléatoire égale au produit des deux nombres marqués sur les jetons tirés. La variable aléatoire X prend ses valeurs dans {,, 4,6,8,9, } 4 P ( X = ) =. 6 P ( X = 4) =. 9 P ( X > 7) =. Page 7 sur 9

30 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Mathématiques Sujet n M0 Durée : heure EXERCICE XIII x x dx = 0. 0 ( ) 4 π sin xdx=. 0 e ln x dx x =. dx = ln. x EXERCICE XIV Un détaillant vend des ampoules en provenance de deux usines dans les proportions suivantes : 60% des ampoules proviennent de l usine Alpha. 40% des ampoules proviennent de l usine Béta. 7% des ampoules l usine Alpha et celui 4% de l usine Béta sont défectueuses. Un client achète une ampoule à ce détaillant. La probabilité pour que l ampoule provienne de l usine Alpha et soit défectueuse est 0,04. La probabilité pour que l ampoule provienne de l usine Béta et ne soit pas défectueuse est 0,84. La probabilité pour que l ampoule soit défectueuse est 0,058. Sachant que l ampoule achetée est défectueuse. 4 La probabilité pour qu elle provienne de l usine Alpha est d environ 0,7. Page 8 sur 9

31 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Mathématiques Sujet n M0 Durée : heure EXERCICE XV x Soit f la fonction définie sur par f( x) = sin. La fonction f par est périodique de périodeπ. 4 π π f x dx = 0 π ( ) f( x) dx 4π f( x) dx = π π f ( x) dx = 4 f( x) dx. 0 0 Page 9 sur 9

33 Sujet n M04 C o n c o u r s d ' e n t r é e è r e a n n é e d u C y c l e P r é p a r a t o i r e I n t é g r é E C E S e s s i o n s Mathématiques Nom : Prénom : Réf. candidat: Durée : heure Coefficient : Consigne : Pour chaque question de chaque exercice, cocher VRAI ou FAUX dans la grille jointe à ce sujet. Règles de notation : Bonne réponse + points Mauvaise réponse - point Sans réponse 0 point NB : l'utilisation de documents et de la calculatrice est strictement interdite. Cette épreuve comporte volontairement plus d'exercices que vous ne pouvez en traiter dans le temps qui vous est imparti. La raison en est que votre professeur n'a pas encore forcément traité l'ensemble du programme de Terminale S et l'épreuve a été conçue de sorte de vous permettre de choisir 0 exercices que vous pouvez traiter. De ce fait, vous pouvez obtenir la note maximale sans traiter l'ensemble de l'épreuve. Essayez cependant d'en faire le maximum.

34 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Mathématiques Sujet n M04 Durée : heure EXERCICE I x lim = 0. x x x x e lim = 0. + x + x La limite en 0 de la fonction x e x x n existe pas. 4 lim x + π xsin = π. x EXERCICE II La suite de terme général u n = n ncos n+ diverge. La suite de terme général u n = cos π + π ( n + ) converge vers. La limite de la suite de terme général ( ) u n n = sin n + n existe pas. 4 La suite de terme général n n+ n + converge vers 0. Page sur 7

35 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Mathématiques Sujet n M04 Durée : heure EXERCICE III Soit la fonction f définie sur {,} ( Oi ;, j) : de courbe représentativec dans un repère orthogonal Dans ce repère ( Oi ;, j), le graphe de la fonction x f( x) est x Dans ce repère ( Oi ;, j), le graphe de la fonction x f est Dans ce repère ( Oi ;, j), le graphe de la fonction x + f ( x) est 4 Dans ce repère ( Oi ;, j), le graphe de la fonction x f ( x) est Page sur 7

36 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Mathématiques Sujet n M04 Durée : heure EXERCICE IV Pour une loterie, on émet des carnets de 0 billets tels que dans chaque carnet, un billet gagne 6, deux billets gagnent, cinq billets gagnent et douze ne gagnent rien. Une personne achète deux billets d un même carnet. La probabilité pour qu elle ne gagne rien est de La probabilité pour qu elle gagne 6 est de La probabilité pour qu elle gagne est de La probabilité pour que ses deux billets soient gagnants est de 95. EXERCICE V 4 x x dx =. π cos xsin x dx =. 0 e dx =. x ln x π xcos x dx = 0. 0 EXERCICE VI Toute suite ( ) * bornée. croissante. convergente. 4 divergente. n un n telle que un e n pour tout * n est Page sur 7

37 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Mathématiques Sujet n M04 Durée : heure EXERCICE VII Soit la fonction f définie sur par f ( x) = x + 6x + 9x. La fonction f est décroissante sur], [ La courbe C représentative de f dans un repère orthogonal ( Oi ;, j) est La courbe C représentative de f dans un repère orthogonal ( Oi ;, j) est 4 La courbe C représentative de f dans un repère orthogonal ( Oi ;, j) est Page 4 sur 7

38 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Mathématiques Sujet n M04 Durée : heure EXERCICE VIII Dans un repère orthonormal direct ( Oi ;, j), soit A(,), B(,0) et C(0,) d équation cartésienne x y =. et D la droite La droite perpendiculaire à D au point A a pour équation cartésienne x+ y =. La droite parallèle à D au point C a pour équation cartésienne x y = 9. Le cercle de diamètre[ AB ] a pour équation cartésienne x + y y=. 4 La hauteur du triangle ABC issue du point B a pour équation cartésienne x+ y =. EXERCICE IX Soit f la fonction définie sur par f ( x) = cos xsin x. La fonction f est périodique de périodeπ. 4 f( x), x. π f( x) dx =. 0 π π f ( x) dx = f( x) dx. π 0 EXERCICE X Un commerçant vend le même jour 6 magnétoscopes. La probabilité qu un appareil de ce type soit en bon état de fonctionnement au bout de 5 ans est 4 5. La probabilité pour que 5 magnétoscopes exactement soient en bon état après 5 ans est 5 6 0,8 0,. 6 La probabilité pour que tous les magnétoscopes soient en bon état après 5 ans est 0,8. 5 La probabilité pour qu au moins 5 magnétoscopes soient en bon état après 5 ans est 6 0, La probabilité pour qu un magnétoscope au moins soit en bon état après 5 ans est 0,. Page 5 sur 7

39 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Mathématiques Sujet n M04 Durée : heure EXERCICE XI Dans le plan complexe de repère ( 0; uv, ) orthonormal direct, soit T l application définie sur par T( z) = iz+ i+ et soit A, B et C les points d affixes respectives + i, T( + i), T T( + i). Le point C est d affixe. Le nombre i est invariant par T. Le triangle ABC est rectangle en A. 4 Les points A, B et C sont sur le cercle de centre d affixe i et de rayon. EXERCICE XII Soit les nombres complexes A = i et π Un argument de A est. + i B =. Le module du nombre AB est. Le nombre AB 4 est un nombre imaginaire pur. 4 4 Un argument du nombre AB est 0. EXERCICE XIII Soit X la variable aléatoire réelle dont la loi est donnée par le tableau. k 4 PX ( = k) P( < X < 4) =. 6 P(( 5 < X ) ( X >.5)) =. PX (,5) =. 4 4 PX ( ) = PX ( ) Page 6 sur 7

40 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Mathématiques Sujet n M04 Durée : heure EXERCICE XIV ( ) L ensemble de définition de la fonction x ln ( x)( x+ 4) est ], 4[ ], [ L ensemble de définition de la fonction x e x ln L ensemble de définition de la fonction x ln( + cos x) ln(ln ),+. est [ [ 4 L ensemble de définition de la fonction x est sin x + est ( k ) +. { π, k } +. π. EXERCICE XV On admet que dans une famille, pour toute naissance d un enfant, la probabilité d avoir un garçon est la même que celle d avoir une fille et que, lors de deux naissances séparées, les sexes des enfants sont indépendants. Pour une famille de trois enfants (les naissances étant toujours séparées), on désigne par X la variable aléatoire qui à chaque famille, associe le nombre de filles. P X = = 8 P X = =. 4 P X = =. 8 ( ) ( ) ( ) 9 E X =. 4 4 Soit E( X) l espérance de la variable aléatoire X, ( ) Page 7 sur 7

45 Sujet n PHY0 è r e C o n c o u r s d ' e n t r é e a n n é e d u C y c l e P r é p a r a t o i r e I n t é g r é E C E S e s s i o n s P h y s i q u e Nom : Prénom : Réf. candidat: Durée : heure Coefficient : Consigne : Pour chaque question de chaque exercice, cocher VRAI ou FAUX dans la grille jointe à ce sujet. Règles de notation : Bonne réponse + points Mauvaise réponse - point Sans réponse 0 point NB : - l'utilisation de documents et de la calculatrice est strictement interdite. Cette épreuve comporte volontairement plus d'exercices que vous ne pouvez en traiter dans le temps qui vous est imparti. La raison en est que votre professeur n'a pas encore forcément traité l'ensemble du programme de Terminale S et l'épreuve a été conçue de sorte de vous permettre de choisir 0 exercices que vous pouvez traiter. De ce fait, vous pouvez obtenir la note maximale sans traiter l'ensemble de l'épreuve. Essayez cependant d'en faire le maximum.

46 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Physique Sujet n PHY0 Durée : heure EXERCICE On utilise un laser à CO produisant une lumière de longueur d onde λ comprise entre placé devant une fente de largeur a et d un écran. 9 µ m et,5 µ m. les limites des longueurs d onde du domaine du visible sont 600 nm < λ < 800 nm. les radiations du laser utilisé appartiennent au domaine des U. V On observe la figure suivante, constituée de tâches lumineuses, sur l écran placé à une distance D de la fente. On observe un phénomène d interférences 4. La taille de la fente doit être de l ordre de grandeur de la longueur d onde a λ pour que l on obtienne cette figure EXERCICE Un parachute de 80 kg a sur le dos un parachute de masse 0 Kg. Il saute hors d un avion en vol. Au début du saut, la pression atmosphérique est très faible: l'air est raréfié et son action sur le parachutiste - peut être négligée. On prendra g = 0 m.s z. Pendant cette première phase, le parachutiste a une vitesse de chute constante Une fois le parachute ouvert, celui-ci est soumis à la résistance de l air, assimilable à une force de frottement de module F = αv, avec α = 0 kg. m.. La vitesse limite V lim atteinte par le parachutiste est V = lim. Elle est donc d environ 5 km.h - ( m + M) g 4. Pour arriver au sol avec la même vitesse V lim, mais en chute libre il suffirait de partir de la hauteur,5 m à vitesse initiale nulle EXERCICE Dans un TGV animé d'un mouvement rectiligne et uniforme à la vitesse v 0 par rapport au sol un passager se balade avec une vitesse constante v. Il part à l'instant t = 0 de l'arrière du train et remonte jusqu'au wagon restaurant. On prendra l axe des x comme axe horizontal.. Dans le référentiel du TGV, l équation horaire du mouvement du passager s écrit x(t)=v t. Par rapport au référentiel du sol, l équation horaire du mouvement du passager s écrit x(t)=v t 0 Le train arrive en gare et freine de façon régulière pour passer de la vitesse v 0 à la vitesse nulle pendant l'intervalle de temps de durée t. Le passager continue de se déplacer dans le TGV et on se place dans le référentiel du sol v 0. L'accélération du passager est a = i t 0 4. L équation horaire du mouvement du passager s écrit x(t)=- t² + ( V + V ) α V t 0 t Page /7

47 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Physique Sujet n PHY0 Durée : heure EXERCICE 4 Un nageur A décide de sauter d une hauteur h = 8 m dans une rivière. En-dessous de lui à la verticale, nage une autre personne B. Le plongeur prévient son camarade à la date t 0 = 5 h min 4 s qu il saute maintenant en émettant un son de fréquence f = 400 Hz. La célérité du son est c = 40 m.s -.. La longueur d onde du son émis par A est de 85 m. La date d arrivée du signal est t = 5 h min 4,04 s Le nageur B prévenu, nage pour s éloigner du point de chute Du nageur A. Il nage à la vitesse constante de,5 m.s -. Au moment où B commence à s éloigner, A saute et arrive,5 s plus tard. A cet instant B arrête de nager. A crée une vague qui rattrape B au bout de 0 s.. La vitesse de l onde à la surface de l eau est c = 5 m. s 4. Cette onde déplacera le nageur B verticalement, mais pas horizontalement car la propagation de l onde s effectue sans transport de matière EXERCICE 5 Soit un oscillateur mécanique vertical formé d un ressort de constante de raideur k, de longueur l = m à l'extrémité duquel on a attaché une masse m. Lorsque l'on suspend une masse m=00 g à l'extrémité - libre du ressort celui-ci s'allonge de z = cm. On prendra g=0 m.s et π ² =0. La constante de raideur du ressort a pour valeur - k= 5 N.m. L'expression de la période propre de cet oscillateur est d environ,4 s L oscillateur est placé maintenant en position horizontal. Un piston, attaché à son extrémité provoque des ondes de compression et de dilatation. La position du piston évolue de façon sinusoïdale, avec une période T=0, s et une amplitude de cm. La célérité des ondes le long du ressort est de. La spire située au milieu du ressort commence à osciller avec un retard de 0,5 s. 4. La source et la spire du milieu sont en opposition de phase v = m. s. EXERCICE 6 Un ressort à spires non jointives de masse négligeable et de raideur k a une longueur au repos l 0. Ce ressort est enfilé sur une tige horizontale. L'une de ses extrémités P est fixe et l'autre est attachée à un solide S de masse M=50 g pouvant coulisser sans frottement sur l'axe. Au repos le centre d'inertie G de S est en O. Un solide S de masse m=50 g se déplaçant sans frottement sur l'axe dans le sens xx' avec une vitesse - v 0 = m.s heurte S au repos en O. Après le choc, S reste accroché à S. Le système oscille alors sans amortissement autour de 0 avec une amplitude x m =0 cm. La vitesse du système (S +S ) immédiatement après le choc est suivantes : π=6,8; 0,08 et 0,00748 = 0,087,56. L'énergie perdue au cours du choc est E =0,75 J p - v= 0,5 m.s. On donne les valeurs de calculs -. La raideur k du ressort est k=50 N.m. La période d oscillation de l'oscillateur formé par le ressort, S et S est T=,56 s En fait S ne reste accroché à S que pendant la première phase de compression, S repart ensuite dans le sens opposé et se sépare de S avec une vitesse repos en 0 4. l'amplitude du nouvel oscillateur (ressort et S ) est x = 0,087 m m - v = 0,5 m.s quand il repasse par la position de Page /7

48 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Physique Sujet n PHY0 Durée : heure EXERCICE 7. L'énergie de liaison E L du noyau Z AX est l'énergie qu'il faut fournir à ce noyau au repos pour le dissocier en ses A nucléons isolés, également au repos E = mc²= Zm +(A-Z)m Z c²-m( X)c² L p n A. L'énergie de liaison moyenne par nucléon d'un noyau est. Un noyau est d'autant plus stable que son énergie moyenne par nucléon est grande E L Z 4. La courbe d'aston représente le graphe associé à au bas du graphe -E L A = f( A). Les noyaux les plus stables sont EXERCICE 8 On étudie le décollage d un ballon gonflé à l Hélium de masse M= Kg à faible altitude. Ce qui nous permet de considérer que l accélération de pesanteur g=-g z, son volume V= 0m et la masse 0 b volumique - ρ =, Kg.m sont constantes. La force de frottement de l'air sur le ballon est modélisée air par la force f = α ρ v² où α est une constante pour les altitudes considérées et v la vitesse du centre air d'inertie du ballon. On supposera qu'il n'y a pas de vent et que le ballon est étudié dans un référentiel terrestre considéré comme galiléen.. Le ballon est soumis à forces : F a. A b. P la poussée d'archimède, verticale, orientée vers le haut, son poids c. f la force de frottement de l'air sur le système, verticale, orientée vers le bas qui est négligeable au début du mouvement. La vitesse initiale du ballon juste après le décollage étant considérée comme nulle, on a ρ V g - Mg > 0 r b M < ρ V r b On accroche une nacelle de masse m=00g pour transporter du matériel météo de masse m à ce ballon. La masse maximale m de matériel scientifique que l'on peut embarquer dans la nacelle est de 9,8 Kg 4. L équation différentielle régissant le mouvement du ballon peut se mettre sous la forme dv =Av +B dt avec A air = αρ et M ρ V air b B = ( ) - g M Page /7

49 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Physique Sujet n PHY0 Durée : heure EXERCICE 9 Un pendule est constitué d une bille de masse m fixée à l extrémité d un fil de masse négligeable et de longueur l. La bille est écartée de sa position d équilibre, le fil fait un angle α avec la verticale, il est alors lâché sans vitesse initiale. On négligera la résistance de l air et on considère que l énergie potentielle est comptée à partir du point 0, c'est-à-dire la position la plus stable de la bille. α T h 0 P A. La bille en A, en équilibre, possède une énergie potentielle et une énergie cinétique nulles. L énergie mécanique totale est E (A) = mgl( - cos α ) m. Arrivée au point O, la masse m possède une énergie potentielle nulle et une énergie cinétique ( ) c E 0 = mv 4. Le travail de la tension du fil est positif 0 EXERCICE 0 On considère un prisme, d arrête Â, constitué d un verre d indice n pour une radiation jaune. On fait arriver une radiation jaune sur la face d entrée du prisme sous une incidence i.. Les radiations bleues seront moins déviées que des radiations jaunes. La déviation ˆD totale du rayon incident après la traversée du prisme est inversement proportionnelle à l indice n. En passant du jaune au bleu, la longueur d onde augmente 4. La radiation de la lumière rouge est λ = 486 nm Page 4/7

50 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Physique Sujet n PHY0 Durée : heure EXERCICE On considère le circuit de la figure ci-dessous, R est la résistance d un conducteur ohmique, L est l inductance d une bobine dont la résistance est négligeable, C est la capacité d un condensateur. On étudie la décharge du condensateur dans la bobine et les oscillations qui en résultent. On désigne par q(t) la charge instantanée du condensateur à la date t. i(t) est l intensité instantanée dans le circuit et u(t) est la tension instantanée aux bornes du condensateur, à la date t. du(t). L expression de i(t) en fonction de u(t) s écrit i(t)= dt di(t) d²u(t). L équation différentielle à laquelle satisfait u(t) est L -u(t)=lc - u(t)=0 dt dt² On suppose d abord que la résistance R est nulle. La tension initiale est u(0) = E π. L expression de u(t) = E cos t est solution de l équation différentielle dans ce circuit avec T0 T =π LC 0 du(t) π π 4. L expression de i(t) est C =-CE sin t dt T 0 T 0 EXERCICE On étudie la réponse à un échelon de tension d'un circuit comportant une bobine inductive (L,r) et une résistance R=90 Ω Le circuit considéré est donné sur la figure suivante. La f.e.m de l'alimentation stabilisée utilisée est E=9 V. L'interface reliée à l'ordinateur permet d'étudier les variations de R constante de temps t du circuit déduite de la courbe est proche de 0,5 ms τ = u (t). La. La valeur I 0 de l'intensité en régime permanent I =45 µ A 0. La valeur de la résistance interne r de la bobine est r = 0 k Ω. La valeur de l inductance est L=0 H On ajoute au circuit une seconde bobine identique à la précédente. Les deux bobines sont placées en série 4. La constante de temps a changé et est environ le double de τ Page 5/7

51 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Physique Sujet n PHY0 Durée : heure EXERCICE Un obus de masse m est propulsé à partir d un canon avec une vitesse initiale v. On note ρ la masse 0 volumique de l'air qui dépend de l'altitude z, v la vitesse de l'obus, S la section droite de l'obus. La force F de freinage est du type F= C S ρ v² où C est une constante dépendant de la forme de l'obus, l'atmosphère ayant une épaisseur h de 0 km. On considère que la pression atmosphérique au sol est 5 - P = 0 Pa et g = 0 m.s. 0 0 On étudie le système sur les premiers kilomètres où l on peut considérer le poids de l'obus comme étant négligeable par rapport à la force de freinage. dv. La seconde loi de Newton se réduit à = - dt. On a la relation suivante entre la variation de la vitesse et d altitude - C S dz v = ρ m. La masse M d'une colonne d'air de section S comprise entre le sol et une altitude infinie s écrit : M=S ρ ( z) dz 0 F m 4. La constante C de la force de freinage s exprime en fonction de la vitesse initiale v 0, de la vitesse finale v après traversée de l'atmosphère et des autres données sous la forme mg0 v0 C = log P S v EXERCICE 4 0. Toute particule, même au repos, possède, du seul fait de sa masse m, de l énergie E 0, appelée énergie de masse, donnée par la relation 0 E = mc². Si la particule est en mouvement par rapport au référentiel terrestre, alors son énergie totale E est la somme de son énergie de masse m c² et de son énergie cinétique Ec. L électronvolt est une unité d'énergie - 9 ev =,6. 0 J 4. On appelle défaut de masse d'un noyau la différence entre la masse totale des A nucléons séparés (Z protons et N protons), au repos et la masse du noyau formé, au repos : ( ) Z Z m=m A nucléons séparés -m ( X)= Zm + (A-Z) m -m ( X) A p n A dv EXERCICE 5 Un pacemaker cardiaque est formé d une boite hermétique contenant 9 mg d un isotope 8 du Plutonium émetteur α de demi-vie 84 ans. Ce stimulateur produit une puissance électrique à la suite de l énergie libérée par chaque désintégration. On donne Th; Pa; Np; Pu, la masse molaire du Plutonium est de d Avogadro est NA = 6.0 mol. On prendra. L équation de chaque désintégration s écrit ln e 0, 7 Pu He+ U* Le nombre de noyaux initialement présents dans le stimulateur est N =.0. L activité initiale du pacemaker est A0 8 0 Bq 0-8 g.mol,le nombre On considère que le pacemaker fonctionne correctement jusqu à une diminution de 40% de son activité, ce qui correspond à une durée de vie de 40 ans. 4. Le nombre de noyaux de plutonium 8 restants est de Page 6/7

52 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Physique Sujet n PH0 - Durée : heure g r i l l e r é p o n s e QUESTION I QUESTION II QUESTION III QUESTION IV QUESTION V V F V F V F V F V F QUESTION VI QUESTION VII QUESTION VIII QUESTION IX QUESTION X V F V F V F V F V F QUESTION XI QUESTION XII QUESTION XIII QUESTION XIV QUESTION XV V F V F V F V F V F

53 Sujet n PH0 è r e C o n c o u r s d ' e n t r é e a n n é e d u C y c l e P r é p a r a t o i r e I n t é g r é E C E S e s s i o n s P h y s i q u e Nom : Prénom : Réf. candidat: Durée : heure Coefficient : Consigne : Pour chaque question de chaque exercice, cocher VRAI ou FAUX dans la grille jointe à ce sujet. Règles de notation : Bonne réponse + points Mauvaise réponse - point Sans réponse 0 point NB : - l'utilisation de documents et de la calculatrice est strictement interdite. Cette épreuve comporte volontairement plus d'exercices que vous ne pouvez en traiter dans le temps qui vous est imparti. La raison en est que votre professeur n'a pas encore forcément traité l'ensemble du programme de Terminale S et l'épreuve a été conçue de sorte de vous permettre de choisir 0 exercices que vous pouvez traiter. De ce fait, vous pouvez obtenir la note maximale sans traiter l'ensemble de l'épreuve. Essayez cependant d'en faire le maximum.

54 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Physique Sujet n PH0 Durée : heure EXERCICE Un homme, de masse m=70 kg, fait un saut à l'élastique du haut d'un pont de pierre élevé. Le tablier du pont est situé à une hauteur de 60 m au dessus du fond de la vallée, l'élastique a une longueur de 5 m et son extrémité est accrochée sur la partie inférieure de l'arche du pont, 5 m sous l'endroit où se tient l'homme et d'où il saute. On choisit enfin la position de l'homme avant le saut comme niveau de référence de l'énergie potentielle gravitationnelle, et on prend g=0 N/kg. Au cours de la chute, l'élastique commence à se tendre au point A.. L'énergie potentielle de l'homme vaut 8 kj quand il est en A. La vitesse du centre d'inertie de l'homme en A vaut 0 ms - L'élastique atteint sa tension maximale en B, on indique que sa longueur vaut alors 45 m. La raideur de l'élastique est donc de 78 Nm- 4. Juste après le point B le mouvement de l'homme est uniforme EXERCICE Un cadre rejoint son travail dans sa voiture personnelle. Il part de chez lui, parcourt un certain trajet qui comporte des virages, des côtes et des descentes, et finit par garer sa voiture dans le parking de son employeur. Tout en considérant négligeable la résistance de l air, son véhicule subit des frottements de la part du sol sur les pneus.. La résultante de ces forces de frottement produit un travail moteur pendant les accélérations. La résultante de ces forces produit un travail moteur pendant le franchissement des côtes à vitesse constante. La résultante de ces forces produit un travail moteur dans les descentes où le conducteur accélère 4. La résultante de ces forces produit un travail résistant pendant les phases de freinage EXERCICE Un lanceur de flipper est constitué d un ressort de raideur k = 0 N. m qui peut propulser une bille de masse de 0 g. L ensemble est placé sur un plan incliné d angle α = 0 supposé parfaitement lisse. On prendra g=0 N/Kg. L énergie minimale qu un joueur doit communiquer à la bille pour qu elle atteigne la distance d= 80 cm le long du plan est 0 J. Le raccourcissement ou la contraction du ressort lors de cette opération est x = 0 cm. On peut négliger la valeur x devant la distance d 4. La vitesse initiale de propulsion pour que la bille atteigne le point d est v 8 m. s Page /8

55 Concours d entrée 008- ère année du cycle préparatoire intégré ECE Épreuve de Physique Sujet n PH0 Durée : heure EXERCICE 4 Un premier nageur de masse m= 60 Kg plonge dans la mer du haut d une falaise de hauteur 0 mètres. Sa vitesse initiale est nulle et on négligera la résistance de l air. On prendra g dans tous les calculs = gz. On peut écrire les composantes de l accélération sous la forme suivante : a = 0; a = g. Le nageur touche l eau au bout de 0 s. Quand le nageur pénètre dans l eau sa vitesse vaut 40 m.s - x et z g = 0 m. s On considère un second plongeur plus massif mais de même forme et de même volume qui plonge du même endroit dans les mêmes conditions 4. Le premier plongeur a une plus petite vitesse limite de chute que le second plongeur EXERCICE 5 Lors d une réaction nucléaire, de l iode et du césium 7 peuvent se répandre dans l atmosphère. Ces deux radionucléides possèdent respectivement 5 et 55 protons. L'iode est un émetteur β et à une demie vie de 8 jours.. L équation bilan correspondant à cette transformation est I Xe + e + ν puis Xe Xe + β. Cette désintégration peut donner un rayonnement de type β car le noyau fils a tendance à revenir à son niveau fondamental en libérant un photon. La demi-vie d'un élément radioactif est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux radioactifs initiaux se sont désintégrés 4. La constante radioactive de l iode est d environ µ s EXERCICE 6 Une grenouille effectue une série de sauts successifs sur une surface horizontale avec une vitesse initiale v 0 faisant un angle α avec l horizontal à chaque saut. La trajectoire d un saut est décrite par :. La longueur d un saut est ( α ) x( t) = v cos t 0 y( t) = v sin ( α ) t gt² 0 v ²sin( α ) 0 L = ; g étant l accélération de la gravitation terrestre. g. A v 0 fixée, le saut le plus long est obtenu pour une vitesse initiale faisant un angle l horizontal π α = avec 4. Le temps maximal d un saut est t max = v g 0 Page /8

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