Chapitre III. Loi Normale, Comparaisons de moyennes

Transcription

1 Chapitre III Loi Normale, Comparaisons de moyennes

2 Echantillons indépendants & appareillés Echantillonnage aléatoire!! Echantillons indépendants ex : résultats de 2 classes différentes Echantillons appareillés ex : résultats d une même classe à 2 moments Chaque élève est caractérisé par un couple de mesures.

3 Loi Notion de Probabilités Proba et fréquences Notion de distribution (polygones) Courbe de fréquences

4 Loi Définition : distribution continue

5 Note finale de DEUG des étudiants de licence 18,0% 16,0% 14,0% 12,0% 10,0% 8,0% 6,0% 4,0% 2,0% 0,0% Exemples Moins de 1 ans 1 à 4 ans 5 à 9 ans 10 à 14 ans 15 à 19 ans 20 à 24 ans 25 à 29 ans 30 à 34 ans 35 à 39 ans 40 à 44 ans 45 à 49 ans 50 à 54 ans 55 à 59 ans 60 à 64 ans 65 à 69 ans 70 à 74 ans 75 à 79 ans 80 à 84 ans 85 à 89 ans 90 ans et plus Taille des Français 14,00% 12,00% 10,00% 8,00% 6,00% 4,00% 2,00% 0,00% Décès au Canada Somme de 3 dés 18,00% 16,00% 14,00% 12,00% 10,00% 8,00% 6,00% 4,00% 2,00% 0,00% Les impôts Problèmes comportementaux chez les collégiens

6 Distributions normales 14,00% 12,00% 10,00% 8,00% 6,00% 4,00% 2,00% Taille des Français 0,00% Notes des étudiants

7 Loi normale ou Courbe de Gauss Aussi appelée loi de Laplace-Gauss. La loi statistique la plus répandue et la plus utile. Elle représente beaucoup de phénomènes aléatoires. De plus, de nombreuses autres lois statistiques peuvent être approchées par la loi normale, tout spécialement dans le cas des grands échantillons. Pt d inflexion

8 Loi normale La loi normale est une loi particulière Forme de cloche Symétrique Point d inflexion Infinie Pt d inflexion Les fréquences remarquables

9 Exemples de lois normales

10 Loi normale associée à une distribution Sur une distribution, on calcule la moyenne et l écart type Moyenne = 10 Écart type = 1 La loi normale associée à la même moyenne et le même écart type Moyenne = 10 Écart type =

11 Loi normale Moyenne (µ) : valeur centrale Écart type (σ) : distance aux points d inflexion

12 Exemples de lois normales Moyenne : 0 Écart type : 3 Moyenne : 4 Écart type : 1 Moyenne : -1 Écart type : 0,5

13 6 En pratique Données Effectif Moyenne 6 Ecart type 1,725 1,725

14 Distribution suivant une loi normale 36 valeurs suivent une loi normale Alors, si on fait un tirage au hasard Probablement proche de la moyenne Faible chance d être loin «Faible»? «Proche»? «Probablement»?

15 Intérêt Un individu pris au hasard a : 16% de chances d être dans le gris 2,5% de chances 0,15% de chances

16 Autre côté Un individu pris au hasard a : 16% de chances d être dans le gris 2,5% de chances 0,15% de chances

17 Loi normale centrée réduite Définition : La loi normale de moyenne 0 et écart type 1 Sur une loi normale centrée réduite, un individu pris au hasard a : - 16% de chances d être dans [1, + ] - 2,5% de chances d être dans [- ; -2] - 0,15% de chances d être dans [3 ; + ] 0 1

18 Loi normale centrée réduite Définition : La loi normale de moyenne 0 et écart type 1 Sur une loi normale centrée réduite, un individu pris au hasard a : - 16% de chances d être dans [1, + ] - 2,5% de chances d être dans [- ; -2] - 0,15% de chances d être dans [3 ; + ]

19 La Table de la Loi normale centrée réduite La table donne les chances P d être dans [Z ; + ] Exemple [0,3 ; + ], P=? [- ; 1,5], P=? Z P 0,0 50,00% 0,1 46,02% 0,2 42,07% 0,3 38,21% 0,4 34,46% 0,5 30,85% 0,6 27,43% 0,7 24,20% 0,8 21,19% 0,9 18,41% 1,0 15,87% 1,1 13,57% 1,2 11,51% 1,3 9,68% 1,4 8,08% 1,5 6,68% 1,6 5,48% 1,7 4,46% 1,8 3,59% 1,9 2,87% 2,0 2,28% 2,1 1,79% 2,2 1,39% 2,3 1,07% 2,4 0,82% 2,5 0,62% 2,6 0,47% 2,7 0,35% 2,8 0,26% 2,9 0,19% 3,0 0,13% Z P 3,0 0,13% 3,1 0,10% 3,2 0,07% 3,3 0,05% 3,4 0,03% 3,5 0,02% 3,6 0,02% 3,7 0,01% 3,8 0,007% 3,9 0,005% 4,0 0,003% 4,1 0,002% 4,2 0,001% 4,3 0,0009% 4,4 0,0005% 4,5 0,0003% 4,6 0,0002% 4,7 0,0001% 4,8 0,00008% 4,9 0,00005% 5,0 0,00003% 5,1 0,00002% 5,2 0,00001% 5,3 0,00001% 5,4 0,000003% 5,5 0,000002% 5,6 0,000001% 5,7 0,000001% 5,8 0, % 5,9 0, % 6,0 0, %

20 Résoudre un problème : [x ; + ] Z P Ex : La taille des Françaises suit une loi normale de moyenne 162cm et d écart type 6cm. Comment faire? On transforme la loi normale de la taille N(162;6) en loi normale centrée réduite N(0;1) grâce à la formule : Z = x s X Puis on trouve P sur la table

21 Exemple La taille des Françaises suit une loi normale de moyenne 162cm et d écart type 6cm. Combien mesurent plus de 174cm? Z = = 6 Z=2 P=2,5% (sur la table) 2 2,5% des Françaises mesurent 174m ou plus

22 Les intervalles Quelle est la probabilité de mesurer moins de 174cm? On calcule P pour plus de 174cm Z = = 2 P> 174 = 6 2,5% P >174 = 2,5% Puis 1-P donne la probabilité de mesurer moins de 174cm P <174 =1-P >174 = 97,5% P <174 = 97,5%

23 Les intervalles Quelle est la probabilité de mesurer moins de 174 et plus de 156? P <156 =16% P >174 =2,5% P >174 et P <156 = 2,5%+16% = 18,5% P [156 ; 174] = %=81,5%

24 Résoudre un problème : P Z [x ; + ] x suit une loi normale de moyenne X d écart type s, alors x a P% de chance d être dans [X+Z.s ; + ] Quel intervalle contient 8% des plus grandes femmes? (loi normale de moyenne 162 & d écart type 6) P=? Z =? Z=? Intervalle =?

25 Intervalle de confiance Définition : intervalle qui contient 95% des valeurs centrales 95 % centre 2,5% en moins en haut et en bas P= 2,5 % Z = 1,96 Z=1,96 Intervalle [162-1,96 x 6 ; ,96 x 6] x a 95% de chances d être dans [150,2 ; 173,8]

26 Intervalle de confiance Si x suit une distribution normale alors : x a 68% de chances d être dans un intervalle [m-s ; m+s] x a 95% de chances d être dans un intervalle [m-2s ; m+2s] x a 99,7% de chances d être dans un intervalle [m-3s ; m+3s]

27 Cas des grands échantillons Si x suit une distribution normale alors : - La population parente n est pas connue - Un échantillon de mesure a pour moyenne m et pour écart type s. Son effectif est N On montre que N est grand N>30 Linf = m-z.p(s/racine(n)) Lsup = m+z.p(s/racine(n)) Application

28 Cas des petits échantillons Si x suit une distribution normale alors : - Lorsque l effectif N (N<30) diminue alors s est une «mauvaise» estimation de S - Application de la loi de Student (distribution normale réduite) - Son écart-type varie en fonction de N-1 (degré de liberté) On montre que N est petit N<30 Limites de l intervalle de confiance : Linf = m-t.p(s/racine(n)) Lsup = m+t.p(s/racine(n)) Application