x i i=1 L effectif total N de la série statistique est la somme de tous les effectifs ou le nombre de valeurs total dans cette série :

Transcription

1 1 Notation La somme de n nombres numérotés de 1 à n peut s écrire : x 1 + x 2 + x 3 + x x n 1 + x n mais cette écriture est longue et les pointillés ne sont pas satisfaisants. On écrira, pour faire moins long et éviter les pointillés, cette somme à l aide du symbole Sigma : Exemples : i=0 n 1 X i=0 x i x i = x 0 + x 1 + x x n 1 + x n i = (n 2) + (n 1) i 2 = (n 1) 2 + n 2 2 Quelques généralités et rappels On note (x i ; n i ) i N la série statistique ci-dessous : Rappels : L effectif n i est le nombre de fois où apparaît la valeur x i dans la série. valeurs x i x 1 x 2 x 3 x x k 2 x k 1 x k Effectifs n i n 1 n 2 n 3 n n k 2 n k 1 n k 2.1 Effectif total d une série L effectif total N de la série statistique est la somme de tous les effectifs ou le nombre de valeurs total dans cette série : N = n i = n 1 + n 2 + n n k 1 + n k Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton ) -1-

2 2.2 Fréquence d apparition d une valeur La fréquence d apparition d une valeur x i est la proportion de cette valeur par rapport à l effectif total. Effectif de la valeur Fréquence par rapport à 1 : f i = = n i Effectif total N Fréquence par rapport à 100 : F i = 100n i N Propriétés : S f = S F = f i = f 1 + f 2 + f f k 1 + f k = 1 F i = F 1 + F 2 + F F k 1 + F k = Critère de position 3.1 Médiane La médiane d une série statistique est la valeur qui partage cette série en deux séries de même effectif. Si M e est la médiane de la série statistique, alors : 50 % des valeurs de la série sont inférieures ou égales à M e 50 % des valeurs de la série sont supérieures ou égales à M e Méthode pour trouver la médiane : Si N est impair alors la médiane est la N + 1 ième valeur de la série. 2 Si N est pair alors la médiane est la N ième valeur de la série. Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton ) -2-

3 3.2 Quartiles Les quartiles d une série statistique sont les valeurs qui partagent cette série en quatre séries de même effectif. Si Q 1 est le premier quartile et Q 3 le troisième de la série statistique, alors : 25 % des valeurs de la série sont dans [Min, Q 1 ] 50 % des valeurs de la série sont dans [Q 1, Q 3 ] 25 % des valeurs de la série sont dans [Q 3, Max] Méthode pour trouver les quartiles : On utilisera une méthode approximative mais qui donnera des résultats significatif pour des séries à grands effectifs. (Autement il suffit de couper en deux les deux séries [Min, M e ] et [M e, Max]) Calculer N 4 et on note a l entier supérieur à N 4. Calculer 3N 4 et on note b l entier supérieur à 3N 4. Q 1 est la a ième valeur de la série statistique. Q 3 est la b ième valeur de la série statistique. 3.3 Déciles Les déciles d une série statistique sont les valeurs qui partagent cette série en dix séries de même effectif. Si D 1 est le premier décile et D 9 le neuvième de la série statistique, alors : 10 % des valeurs de la série sont dans [Min, D 1 ] 80 % des valeurs de la série sont dans [D 1, D 9 ] 10 % des valeurs de la série sont dans [D 9, Max] Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton ) -3-

4 Méthode pour trouver les Déciles : On utilisera une méthode approximative mais qui donnera des résultats significatif pour des séries à grands effectifs. Calculer N 10 et on note a l entier supérieur à N 10. Calculer 9N 9N et on note b l entier supérieur à D 1 est la a ième valeur de la série statistique. D 9 est la b ième valeur de la série statistique. 3.4 Moyenne La moyenne arithmétique de la série statistique est le nombre : x = 1 N x i ni = x 1n 1 + x 2 n 2 + x 3 n x k 1 n k 1 + x k n k N ou x = Propriétés de la moyenne : x i f i = x 1 f 1 + x 2 f 2 + x 3 f x k f k 1. Si x est la moyenne d un groupe d effectif N 1 et y la moyenne d un groupe d effectif N 2 alors la moyenne z de la série constituée de l ensemble des deux groupes est : z = N 1x + N 2 y N 1 + N 2 2. Si x est la moyenne d une série (x i, n i ) alors la moyenne de la série (ax i + b, n i ) est : y = ax + b 3. Moyenne élaguée : Quand une valeur aberrante, correspondant à une erreur de mesure ou à une situation exceptionnelle, est présente dans une série, elle influence considérablement la valeur moyenne. Une moyenne calculée après avoir enlevé certaines valeurs est appelée Moyenne elaguée. 3.5 Modes Les modes d une série sont les valeurs ayant le plus grand effectif. Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton ) -4-

5 4 Critère de dispersion 4.1 Etendue L étendue d une série statistique est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite, de la série. Et = Max Min 4.2 Ecart Inter-Quartiles L écart inter-quartiles est la différence entre Q 3 et Q 1 E Q = Q 3 Q 1 L intervalle inter-quartiles est l intervalle entre Q 1 et Q 3 I Q = [Q 1, Q 3 ] 4.3 Ecart Inter-Déciles L écart inter-déciles est la différence entre D 9 et D 1 E D = D 9 D 1 L intervalle inter-déciles est l intervalle entre D 1 et D 9 I D = [D 1, D 9 ] Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton ) -5-