Vers une dynamique de coordination collective : la synchronisation des applaudissements

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1 Vers une dynamique de coordination collective : la synchronisation des applaudissements Jonathan Platkiewicz sous la direction de Paul Bourgine Centre de Recherche en Epistémologie Appliquée

2 Remerciements Je tiens à remercier avant tout mon directeur de stage Paul Bourgine. Il a su à la fois me laisser toute la liberté que je désirais et me cadrer avec rigueur pour mener à bien le stage. J ai particulièrement apprécié ses conseils et sa vision profonde des questions qui se sont posées. Sa disponibilité à toute épreuve et sa sincère gentillesse m ont beaucoup apporté dans mon travail. Je suis vraiment reconnaissant de l engouement et de l enthousiasme qu il a témoigné à diriger mon stage. Je voudrais aussi remercier Jean-Jacques Temprado que j ai pu connaître grâce à Jean-Pierre Nadal. Ses réponses toujours précises et rapides qu il a apporté à mes questions, grâce aux courriers électroniques, m ont été très bénéfiques. Son enthousiasme par rapport à mon sujet m a aussi vraiment motivé. Je voudrais aussi remercier Alain de Cheveigné, pour m avoir aidé en début de stage et le stagiaire de Daniel Pressnitzer, pour son aide en traitement du signal. J aimerai aussi dire un grand merci à Olivia pour son soutien et pour m avoir permis de m échapper du parking du CREA au beau milieu de la nuit. Je remercie aussi tous mes proches pour m avoir soutenu jusqu en pleine période de grandes vacances. Merci à vous, Jonathan, Vassili, Marine pour m avoir aidé dans la relecture du mémoire. Et merci au café EONIKON pour s être occupé de moi dans les derniers moments. Enfin, je ne serai jamais assez reconnaissant aux parents Vergopoulos et à Vassili pour m avoir acceuilli chez eux et m avoir soutenu pour le sprint final. 1

3 Résumé Le travail réalisé durant ce stage est à mi-chemin entre la physique des systèmes dynamiques non-linéaires et les sciences cognitives. Du point de vue de la physique, le problème étudié concerne la synchronisation d une population d oscillateurs. Du point de vue des sciences cognitives, on s est penché sur un problème de perception-action et de cognition sociale. La problématique du sujet s est construite à partir du phénomène des applaudissements synchronisés, auquel on participe souvent après une pièce de théâtre ou un concert. Le travail a consisté d abord à analyser et critiquer les modèles existants de synchronisation des applaudissements. Puis, des mesures ont été réalisées à partir d enregistrements d applaudissements synchronisés. Parallèlement à cela, une étude de la littérature sur la dynamique de coordination et en particulier du modèle Haken-Kelso-Bunz a été faite, ce domaine de recherche traitant quant à lui de la coordination motrice au niveau individuel dans le cas de mouvements rythmiques. On s est alors attaché à montrer les liens qu il existe entre ce domaine et la synchronisation des applaudissements. Ainsi, à partir de l équation de coordination entre un mouvement rythmique et un signal de métronome, on a cherché un système d équations traduisant la dynamique de coordination entre N personnes applaudissant de façon spécifique et couplées via le son global qu ils produisent. Il s avère que ce système d équations est formellement très similaires à celui du modèle de Kuramoto, qui rend compte des phénomènes de synchronisation au sein d une population d oscillateurs. On a donc pu en déduire théoriquement une fréquence critique de transition vers la synchronisation et une caractéristique de cette transition. Ce modèle a ensuite été confronté aux mesures faites sur les enregistrements d applaudissements synchronisés. Enfin, on a proposé des protocoles expérimentaux permettant de vérifier rigoureusement les prédictions du modèle, protocoles qu ils n auraient pas été possibles d établir sans une analyse théorique préalable. mots clefs : coordination motrice, mouvements rythmiques, transition de phase, synchronisation, cognition sociale, oscillateurs non-linéaires couplés, modèle de Kuramoto. 2

4 Table des matières 1 Introduction 5 I La dynamique de coordination 8 2 Expériences L expérience de Juilliard Expériences de coordination relative Le modèle Haken-Kelso-Bunz et ses généralisations Evolutions temporelles Equilibres et stabilités Lien entre dynamique de coordination et cognition II Vers une dynamique de coordination à N individus 21 4 Discussions des modèles précédents de synchronisation des applaudissements Synchronization of two-mode stochastic oscillators Physics of the Rhythmic applause Observations expérimentales préliminaires Intervalles entre deux salves d applaudissement Analyse temps-fréquence Analyse spectrale Mesure du paramètre d ordre Construction du modèle théorique Stabilisation paramétrique Modèle de coordination à N individus Explication qualitative Le modèle de Kuramoto Application au cas de la coordination à N individus

5 TABLE DES MATIÈRES Vérification qualitative sur le cas des applaudissements synchronisés Propositions de protocoles expérimentaux Transition du régime désynchronisé au régime synchronisé Transition du régime synchronisé au régime désynchronisé.. 53 Bibliographie 56 8 Enregistrements utilisés pour les mesures 60 A Equation de stabilisation paramétrique 62 A.1 Sans prise en compte de l influence du métronome A.2 Prise en compte de l influence du métronome B Le modèle de Kuramoto 66 B.1 Couplage critique B.2 Caractérisation de la transition

6 Chapitre 1 Introduction Les applaudissements synchronisés est un des exemples les plus connus de synchronisation au niveau social. Il est couramment observé dans la vie quotidienne, après une pièce de théâtre ou un concert. Il peut être décrit de la façon suivante : initialement, on perçoit un bruit sans aucune cohérence d intensité élevée ; soudainement un rythme émerge, le public applaudit en synchronie ; puis après une certaine durée, le rythme commence à disparaître et le bruit redevient de plus en plus intense. Ce phénomène est resté sans intérêt aux yeux des scientifiques jusqu à très récemment. Puis une équipe de physiciens, Z.Neda et al. (2000), s est intéressé à ce phénomène, le considérant comme un phénomène de synchronisation modélisable [30]. Ils ont élaboré un modèle permettant de l expliquer, que nous détaillerons dans le début de la seconde partie. La nouveauté d une telle étude est d avoir tenté d analyser un phénomène social grâce aux outils de la physique statistique et de la physique des systèmes dynamiques non-linéaires. Il est néanmoins étonnant que ce phénomène n est suscité l attention des chercheurs que depuis cinq ans. Ceci s explique par plusieurs facteurs : La résolution analytique des problèmes de synchronisation d une population d oscillateurs n a été effectué avec succès que très récemment ; l intérêt des modélisateurs pour les phénomènes sociaux est aussi très récent. Le premier à avoir étudier la synchronisation est le chercheur hollandais Christiaan Huygens en 1665, avec l étude de pendules couplés mécaniquement. Mais l étude de la synchronisation d une large population d oscillateurs, comme celle des lucioles, n a débuté que très tardivement, autour de 1960, avec Arthur Winfree. Cela tient principalement au développement de l informatique permettant de faire des simulations. En effet, dans la plupart des cas le traitement analytique de la synchronisation avec un grand nombre d oscillateurs est très difficile. Le travail réalisé durant ce stage a commencé avec l étude approfondie des articles traitant de la synchronisation des applaudissements. Cette analyse critique a aussi été accompagnée de mesures directes sur les enregistre- 5

7 ments d applaudissements. Des disques de concerts ont été récupérés et nous avons utilisé quelques méthodes issus du traitement du signal pour étudier expérimentalement le phénomène des applaudissements synchronisés. Ce sujet est pertinent du point de vue des sciences cognitives pour plusieurs raisons. Tout d abord, c est un phénomène social faisant intervenir une faculté cognitive comme la coordination. Au niveau individuel, nous sommes dans une situation de perception-action : chaque personne écoute le son des applaudissements et applaudit en fonction. Ce phénomène rentre aussi dans le cadre de la cognition sociale. Il y a en effet plusieurs personnes qui interagissent ensemble via une information véhiculée par le son. De plus, nous avons clairement à l échelle collective, un comportement identifiable. Il est caractérisé par le degré de synchronisation entre les applaudissements. Enfin, le phénomène de synchronisation étant très présent au niveau des neurones, il est interessant de l étudier au niveau social. Dans une perspective de naturalisation des sciences cognitives, ce sujet est aussi intéressant. Le comportement qui constitue ce phénomène, à savoir le mouvement rythmique des bras humains, est simple et donc facilement modélisable. Le groupe est clairement identifié et se reconnaît comme tel. Les interactions au sein du groupe sont quantifiables et très spécifiques. Enfin le phénomène est contenu dans l espace et dans le temps, sur une échelle très réduite. Cela permet d éviter des influences de l environnement extérieur qui ne pourraient pas être prises en compte dans la modélisation. Pour toutes ces raisons, on comprend l intérêt de se pencher sur ce phénomène dans le cadre d un Master de sciences cognitives. Néanmoins, comprendre simplement la synchronisation des applaudissements dans les salles de concerts ne constitue pas une étude scientifique rigoureuse et n a pas d intérêt du point de vue de la cognition. Pour pouvoir conduire une étude scientifique rigoureuse à partir de ce phénomène social, il faudrait pouvoir réaliser une expérience contrôlable dans laquelle on observerait un phénomène similaire. Cependant nous ne voyons pas comment il serait possible de monter une telle expérience sans savoir ce qu il faut contrôler. Pour cela, il faut élaborer une analyse théorique et partir du comportement individuel pour prédire les comportements observables au niveau collectif. Au cours du stage, j ai découvert qu il existait déjà toute un domaine de recherche portant sur la coordination motrice, que l on appelle dynamique de coordination. Ce domaine part de l expérience de transition de phase dans la coordination bimanuelle. Nous détaillerons avec précision dans la première partie les principales expériences de ce domaine et les modèles théoriques construits à partir de ces expériences. Ce domaine étudie spécifiquement les mouvements rythmiques des membres et leurs coordinations via un stimulus externe. Un parallèle entre les phénomènes de transition de phase observés en physique comme par exemple dans les liquides, les phénomènes de formation de motifs (ou patterns en anglais) et les phénomènes observés dans la coordination motrice est posé de façon rigoureuse. Néanmoins, les 6

8 7 expériences dans ce domaine se limitent au cas de la coordination motrice individuelle ou inter-personnelle. Il est donc intéressant de voir si la synchronisation des applaudissements peut être vue comme une extension de ce domaine au comportement de groupe. La problématique de mon travail se résume donc ainsi : Dans quelle mesure existe-t il un lien entre la dynamique de coordination des mouvements rythmiques individuels et la dynamique de coordination en groupe dans le cas des applaudissements? Plus précisément, nous nous fixons d essayer de répondre à trois questions : 1. Est-il possible de prédire la synchronisation des applaudissements à partir des lois individuelles de la coordination des mouvements rythmiques? 2. Est-il possible de monter une expérience où l on pourrait observer la transition vers la synchronisation lorsqu on fait varier un paramètre spécifique? 3. Est-il possible d établir une loi de coordination dans le cas de N individus qui applaudissent, couplés par un signal global? Dans la première partie de ce mémoire, nous ferons un état de l art. Nous présenterons en détail la littérature portant sur la dynamique de coordination, ce qui permettra de poser le cadre théorique dans lequel nous nous plaçons. Dans la seconde partie, nous exposerons le travail réalisé durant ce stage. L organisation de cette partie correspond approximativement au déroulement chronologique du stage. Tout d abord, nous présenterons l analyse critique des articles sur la synchronisation des applaudissements. Nous exposerons ensuite les mesures faites sur les enregistrements d applaudissements. Puis nous détaillerons le modèle théorique élaboré à partir de la dynamique de coordination. Nous confronterons alors ce modèle aux mesures expérimentales. Il sera alors possible de proposer des protocoles expérimentaux, qui constituent les perspectives possibles au travail réalisé durant ce stage.

9 Première partie La dynamique de coordination 8

10 Chapitre 2 Expériences Dans toute cette partie, on présentera dans ses grandes lignes la dynamique de coordination. Cette partie est essentielle pour comprendre l intérêt et la démarche choisie du travail réalisé. Cette partie est une synthèse des lectures faite à partir d articles et de livres sur ce champ de recherche. On présentera tout d abord les expériences fondatrices de ce domaine. Ce choix est motivé par le fait qu elles mettent en évidence tous les phénomènes essentiels étudiés, qu elles permettent de concrétiser les situations dans lesquelles on se place et enfin qu elles sont naturellement à la base de tous les travaux théoriques. Ensuite, nous exposerons le modèle théorique de coordination en insistant uniquement sur les hypothèses, les approximations et le raisonnement faits. Les calculs précis seront détaillés dans l Annexe A. Finalement, nous mettrons en lumière le lien fort qu il existe entre ce courant de recherche et les sciences cognitives. Cela nous permettra de mieux saisir l intérêt du travail effectué par rapport aux sciences cognitives. 2.1 L expérience de Juilliard La première expérience qui a ouvert le domaine de la dynamique de coordination est celle de la transition de phase dans la coordination bimanuelle [1]. L expérience se présente ainsi : On prend un métronome dont on fait varier la fréquence entre 1.4 Hz et 3 Hz par pas de 0.2 Hz de façon croissante. La tâche demandée au sujet est la suivante : Osciller les index des deux mains à la fréquence du métronome (ce cas est appelé coordination 1 : 1). Les deux index doivent osciller l un par rapport à l autre en opposition de phase. On peut par exemple mettre les deux doigts l un en face de l autre, et lorsque l un est en position haute, l autre est en position basse, et vis-versa. De plus le sujet doit adopter à chaque instant la configuration la plus stable entre ses doigts. Autrement dit, si ses doigts n oscillent plus strictement en opposition de phase, il ne doit pas empêcher consciemment ce changement, quitte à même osciller ses doigts en synchronie. On observe 9

11 10 alors plusieurs faits expérimentaux remarquables. 1. En notant φ = ϕ 1 ϕ 2 la différence entre la phase du doigt 1, ϕ 1, et celle du doigt 2, ϕ 2, on mesure uniquement φ = 0 ou φ = π à l équilibre pour les fréquences inférieures à la fréquence critique. Ces deux états d équilibre sont les plus stables. On appelle cela bistabilité. 2. La transition spontanée du mode anti-phase (φ = π) vers le mode en phase (φ = 0), lorsque la fréquence devient supérieure à cette fréquence critique. Autrement dit, les doigts qui oscillaient en opposition de phase se mettent spontanément à se synchroniser. On a un phénomène de transition de phase. 3. L influence considérable des fluctuations au voisinage de la transition, c est-à-dire que l écart type de la mesure de φ augmente à la transition. Ceci est appelé fluctuations critiques. 4. Le temps de relaxation vers l équilibre φ = 0 croît notablement près de la transition. On appelle cela ralentissement critique. 5. Lorsqu on fait décroître la fréquence, les doigts continuent à osciller en phase. On parle alors d hystérésis.

12 11 Fig. 2.1 Ces deux séries de mesures illustrent le phénomène de transition de phase du mode anti-phase au mode en phase. Pour ces deux courbes, la fréquence des mouvements augmente avec le temps. (A) La courbe en gras correspond au mouvement de l index droit, celle en pointillé au mouvement de l index gauche. On voit que pour la première moitié de la mesure les oscillations sont en opposition de phase, alors que dans la seconde moitié elles sont en phase. (B) La courbe correspond à la mesure de φ. On observe qu il y a flutuation dans l état stable φ = 0 et φ = π, mais les fluctuations augmentent avant la transition Ainsi, ce que J.A. Scott Kelso a mis en évidence au début des années 80, c est principalement un phénomène de transition de phase horséqulibre dans la coordination bimanuelle. Ce type de transition est caractéristique des phénomènes de formation de motifs (ou patterns en anglais), comme par exemple dans l expérience de l instabilité de Rayleigh- Bénard. 2.2 Expériences de coordination relative Les expériences de coordination ne se limitent pas au cas des oscillations entre deux doigts. Elles sont génériques dans la mesure où elles concernent

13 12 la coordination entre les mouvements rythmiques de tous les membres du corps. Des expériences similaires ont en effet été réalisées sur la coordination entre les deux mains, les deux bras ou les deux jambes [6]. Et des expériences ont aussi été faites pour la coordination entre deux membres non homologues, comme par exemple entre la main et le pied ou le bras et la jambe. Cependant dans ces derniers cas, un paramètre a changé qui n avait pas été pris en compte dans la première expérience entre les deux index. En effet, chaque membre qui oscille peut être vu comme un oscillateur à cycle limite ayant une fréquence propre donnée [4]. Le bras et la jambe n ayant pas la même fréquence propre, cela va naturellement influencer la coordination relative entre ces deux membres. Une expérience a ainsi été conduite par J.A. Scott Kelso et J.J. Jeka en 1992, pour étudier la coordination relative entre ces deux membres en contrôlant la différence de pulsations propres δω grâce à l ajout de poids aux membres [7]. Plusieurs faits expérimentaux peuvent être notés : 1. Lorsque la différence de fréquences propres est non nulle mais petite, les équilibres stables (φ = 0 et φ = π) sont légèrement déplacés. Autrement dit, les nouveaux équilibres sont φ > 0 et φ > π, ou φ < 0 et φ < π selon le signe de δω. 2. Plus la différence de fréquence propre est grande, plus ces équilibres sont déplacés. 3. Pour une fréquence du métronome fixée, les fluctuations sont d autant plus imortantes que la différence de fréquences propres est grande. On comprend alors que la différence de fréquences propres joue un rôle perturbateur en brisant la symétrie du système. Elle peut être considérée comme un paramètre de contrôle au même titre que la fréquence du métronome. On voit aussi apparaître le mécanisme des instabilités à l origine de la formation de motif. On a en effet deux forces en compétition : l une attractive due au couplage via le système nerveux, qui attire la phase d oscillation d un des membres vers la phase de l autre ; l autre répulsive due à la différence des fréquences propres, qui empêche les deux membres de se synchroniser. On pourrait penser que cette classe d expériences ne seraient valables que pour la coordination motrice des mouvements rythmiques intra-individuelle, cependant le même type de comportements apparaît dans la coordination des mouvements entre deux personnes [9], [10] et [11]. Le protocole expérimental est très similaire à celui des expériences précédentes : On prend un métronome dont la fréquence peut prendre quatre valeurs 5.32 rad.s 1 ou rad.s 1 (si δω = 0) et 3.85 rad.s 1 ou 7.66 rad.s 1 (si δω 0). Deux personnes sont face à face et il leur est demandé d osciller leurs bras à la fréquence du métronome, l un en phase et l autre en anti-phase avec le métronome. Chacun peut voir le bras de l autre osciller, mais ne peut pas voir son propre bras. On contrôle d autre part la différence de fréquences propres entre les

14 13 deux sujets en leur faisant tenir des bâtons de masses fixées pendant qu ils oscillent leurs bras : Fig. 2.2 Les deux personnes oscillent leurs bras et coordonnent leurs mouvements en se regardant mutuellement. Les bâtons, qu ils tiennent dans leurs mains, ont des masses au bout servant à contrôler la différence de fréquences propres. Les mêmes résultats que pour la coordination intra-individuelle ont été obtenus, en particulier la transition spontanée entre le mode anti-phase et le mode en phase, lorsque la fréquence du métronome dépasse un certain seuil. D autre part le modèle théorique rendant compte des expériences détaillées précédemment reste valide. On verra ce modèle au paragraphe suivant. Cela suggère que la loi de coordination intra-individuelle n est pas spécifique à l anatomie du système nerveux, mais a une valeur plus générale dans la mesure où elle est valable pour la coordination entre deux personnes différentes. Cette interprétation est confirmée par l expérience où l on étudie simplement la coordination entre le mouvement oscillatoire d un doigt et le signal d un métronome. Dans cette expérience, les mêmes résultats expérimentaux fondamentaux, évoqués précédemment, ont été observés. En somme, cela permet d affirmer que le mécanisme fondamental de la coordination des mouvements rythmiques est le couplage via un stimulus externe. Ce point est très important pour l étude de la synchronisation des applaudissements, car cela justifie l utilisation des modèles théoriques de la coordination, étant donné que le seul couplage qui existe entre des personnes applaudissant ensemble est un couplage par un signal externe.

15 Chapitre 3 Le modèle Haken-Kelso-Bunz et ses généralisations Le modèle théorique Haken-Kelso-Bunz a été élaboré dès l expérience de Juillard, pour tenir compte de la transition de phase dans la coordination bimanuelle. Puis, ce modèle a été amélioré et raffiné pour rendre compte des nouveaux faits expérimentaux comme la différence des fréquences propres entre deux membres oscillant. Nous présenterons directement le modèle général où la différence de fréquences propres est intégrée. Comme nous allons le voir, il y a deux niveaux de lecture dans ce modèle : dans le premier, on traduit les oscillations des membres et donc l évolution temporelle de la coordination ; dans le second, on exprime la stabilité de tels ou tels équilibres. Dans notre présentation, nous partirons du premier niveau, moins intuitif mais plus adapté pour construire le modèle. Nous détaillerons dans ce chapitre uniquement les grandes lignes du raisonnement du modèle HKB, qui permettent de bien comprendre sa construction théorique. Les calculs précis sont détaillés dans l Annexe A. 3.1 Evolutions temporelles Il y a trois paramètres déterminants pour la dynamique : 1. Ω, la pulsation du métronome à laquelle le sujet doit coordonner l oscillation de ses deux membres (par exemple un bras et une jambe). Ce paramètre joue le rôle de paramètre de contrôle, car lorsqu on le modifie le comportement du système évolue. 2. δω = ω 1 ω 2, la différence des fréquences propres entre les deux membres. ω 1 est la fréquence propre du membre noté 1 et ω 2 celle du membre 2. ω 1 et ω 2 sont voisins de Ω, mais leur différence est 14

16 15 non négligeable. Cette différence joue le rôle de perturbateur, car elle déplace et destabilise les équilibres par rapport à la situation où il n y a pas de différence de fréquences propres. 3. φ = ϕ 1 ϕ 2, la différence des phases entre le membre 1 (dont la phase est ϕ 1 ) et le membre 2 (dont la phase est ϕ 2 ). On l appelle aussi la phase relative. Ce paramètre joue le rôle de paramètre d ordre. Il répond en effet à trois critères : il capture l ordre spatio-temporel entre les constituants du système ; Il varie plus lentement que les variables décrivant l évolution de ces constituants ; Il varie brutalement à la transition. Ces paramètres suffisent à saisir la dynamique globale du phénomène exposé dans le chapitre précédent. L objectif du modèle est de trouver une équation différentielle sur le paramètre d ordre φ en fonction des autres paramètres mentionnés. On aura ainsi en détail une description de l évolution de la transition de phase dans la coordination entre membres. Pour cela, il faut partir de la description précise de l oscillation des membres. Une étude a été faite permettant de modéliser les mouvements oscillatoires des membres [4], [5]. De façon empirique Kay et al. posent que l équation de ces oscillateurs est une combinaison du modèle de Van der Pol et de Rayleigh. En somme l oscillateur membre est vu comme un oscillateur à cycle limite. L équation de l oscillateur membre contiendra donc : 1. Un terme d auto-excitation linéaire γẋ, avec γ > 0, qui permet aux oscillations d être auto-entretenues. On prend γ =0,032 s 1 [5]. 2. Un terme de Van der Pol Ax 2 ẋ, qui permet d avoir une amplitude d oscillation finie lorsque la fréquence tend vers 0. A vaut 2,452 m 2.s Un terme de Rayleigh Bẋ 3, qui donne une amplitude qui décroît lorsque la fréquence augmente. B vaut m 2.s. D où l équation en régime libre de l amplitude des oscillations x i du membre i, i {1, 2} : ẍ i + (Ax 2 i + Bẋ 2 i γ)ẋ i + ω 2 i x i = 0 (3.1) Le régime libre signifie ici qu il n y a pas de couplage entre les membres, autrement dit que chaque membre oscille indépendamment de l autre. Si on veut tenir compte du couplage, il faut faire intervenir un terme de couplage. On note H i,j (avec i, j {1, 2} et i j) le terme de couplage entre le membre i et j, plus précisément il exprime l influence des oscillations du membre j sur le membre i. On peut l exprimer sous la forme : H i,j = (ẋ i ẋ j )(α + β(x i x j ) 2 ) = H j,i (3.2)

17 16 Cette expression est empirique et a été obtenue à partir d une forme polynomiale. On introduit alors l expression de H 1,2 dans l équation caractérisant l amplitude des oscillations du membre 1 : ẍ 1 + (Ax Bx 2 1 γ) x 1 + ω 2 x 1 = H 1,2 (3.3) Et de même pour l équation de l amplitude des oscillations du membre 2 : ẍ 2 + (Ax Bx 2 2 γ) x 2 + ω 2 x 2 = H 2,1 (3.4) On a maintenant un système d équations qui exprime le fait qu on a deux oscillateurs non-linéaires couplés. Si l on veut une équation différentielle sur le paramètre d ordre φ, il faut chercher les solutions de ce système, et les écrire en coordonnées polaires afin de pouvoir distinguer phase et amplitude. Avant de chercher des solutions, il est nécessaire de faire queques hypothèses cruciales : la différence de fréquences propres δω est non nulle mais petite comparée à la valeur de Ω. Le couplage entre les membres est suffisament fort pour que leur fréquence d oscillation soit la même et égale à Ω. Les solutions peuvent alors être prises approximativement périodiques et s écrire sous la forme : x i = r i e j(ϕ i+ωt) + r i e j(ϕ i+ωt) (3.5) où r i est l amplitude réelle de x i dépendant du temps. Il faut bien noter que dans la dynamique de coordination, lorsqu on parle de la phase des oscillations, on considère la phase locale ϕ i et non ϕ i + Ωt. On fait alors l approximation que r i et ϕ i sont de quantités lentement variables, leurs dynamiques agissant sur une échelle de temps bien plus grande que Ω 1. Ceci permet d avoir des expressions plus simples pour les dérivées temporelles de x i. Le principe alors est simplement d introduire les expressions simplifiées des dérivées de x i dans 3.3 et 3.4, puis par identification et en séparant la phase de l amplitude, on obtient un système de quatre équations dont les inconnues sont r i et ϕ i (pour i {1, 2}). On peut alors par combinaison linéaire obtenir une équation différentielle uniquement sur φ : φ = ω 1 ω 2 a sin φ 2b sin 2φ (3.6) où a et b sont deux grandeurs qui dépendent de la fréquence du métronome. Plus précisément, on peut écrire pour r 1 = r 2 = R : a = (α + 2βR 2 ) et b = 1 2 βr2 (3.7) avec : R 2 = γ A + 3Bω 2 (3.8)

18 17 On peut considérer le rapport b/a comme un paramètre de contrôle. b/a tend vers 1 lorsque la fréquence du métronome est maximale et vers 0 lorsqu elle est minimale. Il est important de noter que l équation 3.6 est appelée loi de coordination. Cette équation est considérée comme l une des équations fondamentales de la dynamique de coordination. Elle contient en effet l évolution temporelle du paramètre d ordre en fonction de la valeur du paramètre de contrôle et donc aussi tous les caractéristiques observées dans les expériences évoquées précedemment. Un modèle encore plus réaliste tient compte des fluctuations dans l équation des phases relatives [6] : φ = ω 1 ω 2 a sin φ 2b sin 2φ + Qξ t (3.9) avec ξ t = 0 et ξ t ξ τ = Q 2 δ(t τ) ξ t étant un bruit blanc gaussien. Ce terme de fluctuation rend compte de l influence des constituants du système, opérant sur une échelle de temps bien plus courte que celle de ϕ. Cette partie du modèle théorique constitue le premier niveau d analyse, où l on décrit l évolution temporelle des mouvements rythmiques des membres. 3.2 Equilibres et stabilités Il est possible d avoir un autre niveau d analyse où l on cherche uniquement à rendre compte des équilibres existants dans la coordination et de leurs stabilités. Cela permet d avoir une compréhension plus intuitive du phénomène étudié. Pour passer à ce second niveau d analyse, on postule l existence d une fonction potentiel, noté V, que l on extrait de l équation de la dynamique du paramètre d ordre 3.6. On écrit donc la relation : φ = dv dφ (3.10) Ce qui permet d avoir l expression formelle de V : V = δω φ a cos φ b cos 2φ (3.11) Il est alors possible de représenter l allure du potentiel V pour différentes valeurs du paramètre de contrôle b/a, c est-à-dire en fonction de Ω avec et sans différence de fréquences propres.

19 18 Fig. 3.1 Courbes des potentiels V en fonction de la différence des phase φ. Sur la figure de gauche, on a représenté V pour différentes valeurs du paramètre de contrôle b/a, allant de 1 à 0. Lorsque b/a croît, la fréquence du métronome décroît. Sur la figure de droite, on fait de même, en prenant compte de trois valeurs caractéristiques de la différence des pulsations propres δω. δω croît de haut en bas. Pour comprendre les courbes représentées sur la figure 3.1, il faut s imaginer que l état de coordination entre les deux doigts correspond à une bille soumise à une énergie potentielle dont la valeur en fonction de la position est celle de V en fonction de la différence de phases φ. On sait en mécanique que lorsque la bille est sur une bosse du potentiel, alors elle est dans un équilibre métastable et va rouler soit d un côté soit de l autre de la bosse. Par contre, lorsque la bille est dans un puit de potentiel, alors elle va rouler autour du minimum du puit jusqu à l atteindre à l équilibre. Il est difficile de savoir ce que représente physiquement le potentiel V, néanmoins il est possible de faire cette analogie avec la mécanique, pour appréhender comment intuitivement la coordination évolue selon la valeur de la différence de phase φ. 3.3 Lien entre dynamique de coordination et cognition Sommairement, le modèle Haken-Kelso-Bunz se résume à l étude d un phénomène de synchronisation entre deux oscillateurs non-linéaires mutuellement couplés. Deux modes stables apparaissent lorsqu on couple ces oscillateurs, dont la stabilité varie en fonction d un paramètre de contrôle qui est la fréquence de forçage des oscillateurs. De plus, la transition spontanée du mode anti-phase au mode en phase est une transition de phase hors-équilibre, caractéristique des phénomènes de formation de motifs. Ainsi jusque là ce

20 19 modèle ne diffère en rien d un modèle classique de physique. Cependant lorsqu on l examine de plus près, on s aperçoit que ce n est pas exactement cela. Tout d abord, il ne porte pas sur des objets inanimés mais sur certains constituants du corps humain qui sont les articulations, les muscles et les neurones. C est en effet remarquable que l on soit capable d exhiber de façon quantitative un phénomène issu de la physique classique au sein du comportement individuel. De façon modeste, cela permet ainsi de faire un pont entre les sciences de la nature et les sciences de l homme. Ensuite, il est important de noter que contrairement au cas standard des oscillateurs couplés, le couplage dans ce modèle n est pas d origine mécanique mais informationnelle. L expérience simple de coordination entre un doigt et un métronome en est la preuve. On peut dire qu il y a ici une vraie différence conceptuelle par rapport à la physique. La dynamique de coordination a de plus l ambition de s attaquer à certaines questions fondamentales en sciences cognitives [26] et [27]. Des expériences ont ainsi été menées, à partir de celles présentées précédemment, pour étudier l apprentissage [17], l attention [18] ou l intention [19], [8] et [21], au niveau de la coordination. Certains modèles ont aussi été proposés et s avèrent compatibles avec les faits expérimentaux. Pour l apprentissage par exemple, le principe est d étudier l évolution de la stabilité de tels ou tels équilibres de coordination alors que le sujet apprend une tâche de coordination. Les expériences sur l apprentissage concernent surtout les tâches de coordination n : m (n et m premiers entre eux). Ces tâches consistent à osciller ses deux mains a deux pulsations différentes, ω 1 pour la main gauche et ω 2 pour celle de droite, le rapport ω 1 /ω 2 étant non entier. Les expériences sur l intention consiste à transiter de façon consciente, lorsqu un signal retentit, d un mode à l autre (du mode anti-phase au mode en phase et l inverse). Les modèles proposés se basent sur le modèle Haken-Kelso-Bunz exposé au chapitre précédent. La dynamique de coordination intrinsèque concerne les mouvements rythmiques spontanées et est décrite par le modèle HKB. Pour cette dynamique, il est possible de mettre en évidence des potentiels de stabilités. Lorsqu on veut rendre compte de fonctions cognitives comme l apprentissage, on peut de façon analogue introduire de nouveaux potentiels, posés de façon empirique, que l on ajoute aux potentiels précédents. Au final, le potentiel somme traduit la dynamique de coordination plus spécifique, correspondant à des situations avec apprentissage, attention ou intention. En somme, le sujet peut être vu comme un système informationnellement ouvert, ayant une dynamique intrinsèque de coordination. Les informations spécifiques reçues par le sujet agissent comme des perturbations sur la dynamique intrinsèque de coordination. Plus précisément, elles permettent de modifier le potentiel de stabilité du sujet. Néanmoins, la critique que l on pourrait émettre à l égard de cette démarche, est que des termes trop généraux sont employés pour traduire des fonc-

21 20 tions cognitives finalement assez spécifiques. En effet, lorsqu on parle d apprentissage, il s agit simplement d apprendre à frapper simultanément deux rythmes différents avec ces mains. Et lorsqu on parle d intention, il s agit juste d osciller ses mains dans une configuration différente de façon consciente. Ainsi, même si la dynamique de coordination n a certainement pas résolu les problèmes philosophiques posés en sciences cognitives, la démarche employée est très intéressante. Notamment, il semble très judicieux de construire des modèles de cognition à partir de modèles décrivant des comportements liés étroitement à la physiologie. La dynamique de coordination contribue ainsi d une certaine manière à une nouvelle approche en sciences cognitives, marquant une rupture avec les approches computationnelles et les modèles statiques [27] et [29]. En effet, la référence à la métaphore de l ordinateur ou à la notion de représentation y est totalement absente. Les comportements sont décrits de façon continue dans le temps et le temps joue un rôle prépondérant. La dynamique de coordination est à rapprocher de la psychologie écologique ou de Gibson [27]. Une attention particulière est en effet portée aux lois et symétries. De plus, ils partagent l idée que l information est un paramètre de contrôle crucial dans la coordination de l action. D autre part, les concepts récents de la physique comme celui d auto-organisation et en particulier de formation de motifs dans les systèmes ouverts horséquilibre, sont des éléments fondamentaux de la dynamique de coordination. Les expériences de coordination évoqués précédemment illustrent bien cela. Le corps humain possède en effet 10 2 articulations, 10 3 muscles, 10 3 types de cellules et neurones et connections neuronales. Et pourtant deux oscillateurs à cycles limites couplés suffisent à modéliser la coordination entre deux membres et une loi de coordination peut être formulée. De plus, on observe l émergence et la disparition de motifs de coordination (mode antiphase ou en phase), lorsqu on modifie une information spécifique. On comprend alors pourquoi il est plausible de chercher une éventuelle loi de coordination au niveau collectif analogue à celle obtenue au niveau de la coordination motrice. L idée étant que s il existe une auto-organisation aux différents niveaux de notre organisme, il peut aussi y avoir une autoorganisation au niveau d un groupe d individus donnant alors naissance à des phénomènes similaires aux comportements individuels. D autre part, cela pourrait peut-être alors permettre de mieux comprendre le mécanisme autoorganisationnel qui existe entre les composants du corps cités précédemment et le comportement moteur individuel, plus difficile à examiner.

22 Deuxième partie Vers une dynamique de coordination à N individus 21

23 Chapitre 4 Discussions des modèles précédents de synchronisation des applaudissements Le premier travail réalisé a été d étudier si les modèles de synchronisation des applaudissements étaient valides ou en tout cas pertinents. Il est important de noter que notre objectif n est pas d établir un modèle permettant de simuler cette synchronisation. Nous prenons plutôt de ce phénomène comme un point de départ pour une future étude scientifique. L idée est que si spontanément des personnes en nombre élevé sont capables de se synchroniser, il doit être possible de monter une expérience rigoureuse où l on observerait une synchronisation ou désynchronisation des applaudissements lorsqu on fait varier un paramètre spécifique, analogue à l expérience de transition de phase dans la coordination bimanuelle décrite dans la première partie. Toutefois, il est essentiel d étudier les articles traitant des applaudissements rythmés, dans la mesure où si leur modèle est valide et précis il est alors aisé de proposer un protocole expérimental. Trois articles sont parus au sujet de ce phénomène social [30], [31], [32] et deux modèles différents sont présentés. Ces articles ont été écrits par la même équipe de chercheurs. Le dernier modèle, critiquant le premier, est donc censé être le bon modèle. 4.1 Synchronization of two-mode stochastic oscillators Examinons donc en détail le dernier article : Synchronization of twomode stochastic oscillators : a new model for rhythmic applause and much 22

24 23 more [32]. Nous commencerons par discuter des hypothèses de coordination motrice, avec d une part la modélisation des mouvements oscillatoires des bras, d autre part la coordination avec un signal externe. Présentons ce modèle afin de voir les problèmes soulevés. Chaque personne applaudissant est vue comme un oscillateur évoluant selon un cycle précis : Fig. 4.1 Cycle suivi par chaque oscillateur. (a) A chaque cycle, on peut choisir entre le mode I (période courte) ou II (période longue). (b) Détails de chaque phase du cycle. Ce cycle est constitué de trois phases : A, B et C. Ces phases sont consécutives et se répètent indéfiniment : A B C A B... La phase A correspond à la partie stochastique de la dynamique, c est-à-dire sa durée τ A est une variable stochastique. S inspirant des modèles dynamiques de neurones, il modélise ce régime en posant : P (τ A ) = 1 τ exp( τ A τ ) où P est la fonction de distribution des τ A et τ la valeur moyenne des τ A. Les auteurs de l article précisent qu ils ont introduit cette phase pour tenir compte de la nature stochastique des applaudissements, observée expérimentalement en prenant chaque personne isolément. La phase B est de nature déterministe et correspond à la phase que les individus veulent imposer. Pour chaque cycle, la durée de B peut prendre une des deux valeurs bien définies : τ BI et τ BII, avec τ BII = 2τ BI. Enfin la phase C est aussi de nature déterministe et correspond à la durée d émission du pulse sonore d un applaudissement. On considère que l intensité de ce pulse est la même pour tout le monde et vaut f i = 1/N. On suppose ensuite que le couplage est global, autrement dit chacun coordonne ses mouvements avec le son produit par l ensemble des autres personnes dans la salle, et il se fait via l intensité de ce son. Ils posent finale-

25 24 ment l hypothèse que l ensemble des personnes veut imposer une intensité moyenne de ce son, noté f. Il est alors possible de décrire les règles régissant la dynamique d ensemble : 1. Chaque oscillateur commence aléatoirement dans une phase (A, B ou C) et un mode (B I ou B II ), puis suit le cycle déterminé précédemment. 2. Après avoir achevé la phase A, chacun compare le son total produit : f = N i=1 f i avec f. 3. Si f < f, l oscillateur choisit le mode I, avec la période la plus courte, afin d augmenter le son global. Si f > f, l oscillateur suivra le mode II, pour au contraire faire décroître le son global. En somme, le principe est de faire converger f vers f. 4. Les oscillateurs continuent indéfiniment à suivre les règles 2 et 3. Les auteurs de l article obtiennent alors un diagramme de phase, où les deux paramètres de contrôle sont τ et f : Fig. 4.2 (A gauche) Evolution temporelle de l intensité du son des applaudissements f pour les quatre types de comportements. (a) Régime désynchronisé et faible intensité (noté phase I). (b) Régime synchronisé en mode lent (phase II). (c) Régime synchronisé en mode rapide (phase III). (d) Régime désynchronisé et forte intensité (phase IV). (A droite) Diagramme des phases précédemment décrites. La transition qui nous interesse est celle de IV à II

26 Au regard du modèle HKB et en particulier de l application de ce modèle au cas d un applaudisseur seul [6], on peut émettre plusieurs critiques à l égard du modèle décrit précédemment. Tout d abord, il a été prouvé expérimentalement que ce type de mouvement rythmique peut être convenablement modélisé par un oscillateur à cycle limite, avec un terme d amortissement et des nonlinéarités (cf 1ère partie), dont il n a pas été tenu compte ici. De plus, la distinction des différentes phases dans l oscillation des bras n a pas de justifications expérimentales et donne une vision discrète des mouvements oscillatoires qui est pourtant bien modélisé par une approche continue. D autre part, la différence de fréquences propres entre les personnes n est pas prise en compte et semble pourtant essentielle pour comprendre la désynchronisation, comme on le verra plus tard. Cette différence de fréquences propres a été de plus bien observée dans les expériences sur la coordination inter-individuel [9], [10] et [11]. Enfin la modélisation des fluctuations ne semble pas correspondre aux mesures faites sur les fluctuations dans les mouvements rythmiques [23], [24], [25]. Il a été montré en effet que le spectre de puissance des fluctuations est en 1/f (f étant la fréquence des oscillations) pour les mouvements à basse fréquence et de type bruit blanc gaussien pour les hautes fréquences. De plus, il ne semble pas convenable de choisir τ comme paramètre de contrôle, dans la mesure où il n a jamais été prouvé expérimentalement que ce paramètre pouvait être modifié. Enfin, et c est peut-être ce qui semble le plus problématique, l hypothèse qu il existe une intensité moyenne du son global voulue par le public, f, n a aucune justification expérimentale. Cela fait intervenir une représentation qui ne semble pas nécessaire dans la modélisation de cette synchronisation. Il paraît de plus très peu probable que cette intensité ait une valeur exacte pouvant être modifiée afin de provoquer la synchronisation. De plus le régime synchronisé se caractérise à l oreille plus par sa périodicité que par son intensité moyenne. Enfin, la simulation de l article a été refaite et nous observons que pour se synchroniser à basse fréquence (mode II), les oscillateurs doivent basculer par intermittence dans le mode I (ils doivent frapper deux fois plus vite) pour ajuster leurs phases. Cela semble encore peu plausible. En somme, d une part les hypothèses sur la coordination motrice posées dans cette article peuvent être révisées. D autre part, ce modèle donne deux paramètres pour contrôler la synchronisation : τ la valeur moyenne de la durée de la phase stochastique et f l intensité moyenne du son global que le public veut imposer. Et ces paramètres ne sont pas contrôlables de façon quantitative pour pouvoir monter une expérience rigoureuse à partir de ce modèle. 25

27 Physics of the Rhythmic applause Le premier article sur la synchronisation des applaudissements, Physics of the Rhythmic applause, que l article précédent réfute, pose aussi des hypothèses discutables sur la coordination motrice. Il est supposé que chaque personne se coordonne avec tous les autres, c est-à-dire que pour chaque personne, il y a N 1 couplages. Ce qui est impossible du point de vue de la coordination motrice, une personne ne pouvant prendre en compte que quelques informations extérieurs, en particulier lorsqu elles sont uniquement d origine sonore. Ils font ensuite appel au modèle de Kuramoto pour expliquer la synchronisation, dont on détaillera les grandes lignes par la suite. Ce modèle donne un couplage critique au-delà duquel la synchronisation apparaît. Ce couplage dépend de la distribution des fréquences propres : plus la distribution est large, plus il est difficile de se synchroniser. Plus précisément, pour une distribution gaussienne caractérisée par une dispersion D, le couplage critique s exprime sous la forme : 2 ε c = π 3 D Pour justifier l application du modèle de Kuramoto à ce phénomène social, ils ont conduit une expérience simple. 73 étudiants sont pris isolément, puis il leurs est demandé d applaudir de deux façons : comme après une bonne prestation (mode I) et comme pendant un rappel (mode II). On observe alors deux distributions de fréquences assimilables à des gaussiennes dont les fréquences centrales sont différentes, l une valant approximativement le double de l autre. La fréquence centrale du mode rappel est la fréquence centrale la plus basse.

28 27 Fig. 4.3 Distribution normalisée des fréquences propres dans les modes I et II. Dans le mode I, on demande d applaudir comme on le ferait lorsqu on est enthousiaste (traits continus) ; dans le mode II, on demande d applaudir comme pour un rappel (traits pointillés). Ainsi, constatant que la largeur de la distribution est plus grande aux hautes fréquences qu aux basses fréquences, ils en déduisent que le seul moyen de se synchroniser est d applaudir dans le mode II. Ils affirment que le couplage entre les individus est alors supérieur au couplage critique, ce qui n est pas le cas dans le mode I. Nous verrons par la suite que l idée d employer le modèle de Kuramoto semble être un bon choix. De plus, l expérience réalisée sur les fréquences propres d applaudissements nous sera très instructif. Néanmoins, les hypothèses faites sur la coordination motrice n ayant aucune base expérimentale ou théorique, il est possible de revoir ce modèle. De plus, ils ne proposent aucun paramètre à contrôler pour amener à la synchronisation. Nous ne pouvons donc pas réaliser une expérience du type dynamique de coordination à partir de leur modèle. Enfin, il ne donne aucune expression ou valeur précise pour le couplage entre les individus. Ce qui empêche de vérifier rigoureusement leur affirmation. Ces deux articles ont servi de point de départ pour notre travail. Nous voyons qu il est possible de proposer un modèle plus rigoureux pour reproduire ce phénomène social. Cependant, une autre approche est adopté. Notre objectif est de dériver du modèle Haken-Kelso-Bunz, un modèle pour la coordination motrice entre N individus couplés via un signal global, susceptible d être testé expérimentalement. Le phénomène des applaudissements synchronisés lors de concerts pourra alors être compris qualitativement à la lumière de ce modèle.

29 Chapitre 5 Observations expérimentales préliminaires Après avoir analysé le contenu des articles précédents, des mesures ont été réalisées à partir d une vingtaine d enregistrements d applaudissements. Ces enregistrements ont été extraits de disques compacts de concerts (cf chapitre 8). Il y a plusieurs intérêts à cela : les mesures permettent d avoir une approche qualitative du phénomène ; elles peuvent amener à poser des hypothèses pour le modèle théorique ou à justifier certaines approximations ; étant faites directement à partir du phénomène naturel, elles peuvent permettre d éviter certains biais liés à l expérimentation sur des sujets humains ; enfin, elles apportent des résultats qui, bien que ne pouvant pas tester le modèle théorique, peuvent l invalider. Nous avons réalisé quatre types de mesures : des mesures à l oreille en s appuyant sur la forme d onde du signal, des analyses temps-fréquence, des transformées de Fourier rapide et des moyennes temporelles du paramètre d ordre de la synchronisation. 5.1 Intervalles entre deux salves d applaudissement La mesure à l oreille est la plus simple à réaliser, mais permet néanmoins d avoir une bonne idée qualitative de la transition vers la synchronisation et de l évolution du signal global durant la synchronisation. Pour réaliser cette mesure, un logiciel de traitement du son appelé Wavelab a été utilisé. Sur la figure 5.1, on peut voir la forme d onde d un signal d applaudissement obtenue grâce à ce logiciel. 28

30 29 Fig. 5.1 Image obtenue lorsqu on traite le signal des applaudissement avec le logiciel Wavelab. On observe sur cette figure la transition vers la synchronisation. On voit clairement les salves d applaudissements apparaître à la synchronisation. Le principe est : de se focaliser à l oreille sur le son périodique qui ressort du bruit en partant du régime désynchronisé ; de noter les instants où l on entend en vérifiant si cela correspond à un pic dans la forme d onde et de continuer les mesures dans le régime synchronisé jusqu à ce que l on n entende plus ce son. On obtient alors des courbes du type de celle obtenue sur la figure 5.2 : Fig. 5.2 Evolution du signal global en fonction du temps. (En abscisse) Instants t où une salve d applaudissements est entendue. (En ordonnée) Intervalle de temps (t + t) t entre deux salves d applaudissements. Le régime synchronisé apparaît autour de 16 secondes. La droite correspond à une interpolation de la courbe par une droite. Cela permet de mettre en évidence l accélération du tempo dans le régime synchronisé.

31 30 On observe ainsi que la période a une évolution de type oscillateur amorti : il y a oscillation autour d une valeur moyenne, et diminution de l amplitude au cours du temps. Dans le régime synchronisé (de 16s à 31s), la période oscille toujours mais avec une amplitude très faible. On peut noter aussi que la période moyenne diminue légèrement avec le temps dans le régime synchronisé, mais de façon tout de même assez notable pour être perçu aisément à l oreille. Sur l ensemble du régime synchronisé, on a mesuré que pour cet enregistrement la période a diminué de 116 ms. Néanmoins, une telle accélération de fréquence n a pas été observé pour tous les enregistrements. En général, la diminution de prériode est de l ordre de 50 ms. Des mesures de cette grandeur faites uniquement dans le régime synchronisé sur une dizaine d enregistrements, permettent d affirmer que les fréquences de synchronisation se situent autour d une même valeur f 0 2, 7Hz (correspondant à une période de 370 ms) et la différence entre ces fréquences est petite comparée à f 0, de l ordre de 0,5 Hz. Il est important de faire remarquer que les fréquences auxquelles on est capable d applaudir sont comprises entre 1 et 6 Hz [30]. Il semble donc qu il y ait physiologiquement une propension à se synchroniser autour de cette fréquence f 0. Par ailleurs, il est intéressant de noter que les fréquences de synchronisation mesurées sont de l ordre de grandeur des fréquences mesurées dans le cas évoqué précédemment, où chaque sujet est isolé et où il leur est demandé d applaudir comme lors d un rappel (cf 4.2). Mais néanmoins f 0 est supérieure à la fréquence centrale de la distribution obtenue avec cette expérience. Ce qui laisse suggérer qu il est difficile de faire des mesures lorsqu on sépare les sujets, ceux-ci étant fortement influencés par le reste du public. 5.2 Analyse temps-fréquence Une analyse temps-fréquence sur les signaux d applaudissements a ensuite été effectuée, c est-à-dire une transformée de Fourier rapide à fenêtre glissante. Ce type de mesure a été faite au départ dans le but d observer la dynamique des fréquences. Nous nous demandions en effet qu elle était la distribution des fréquences auxquelles les gens applaudissent avant la synchronisation et comment cette distribution évolue avec le temps. Cependant, nous nous sommes aperçu qu il est difficile de distinguer clairement cette distribution. Cela tient en grande partie au fait que la résolution fréquentielle est limitée. Cependant, la connaissance de cette évolution s est avérée ne pas être cruciale dans la compréhension du phénomène de synchronisation. Le plus important est la fréquence centrale de cette distribution. Néanmoins, ces mesures se sont révélées finalement assez utile pour observer l évolution de la fréquence moyenne des salves d applaudissements. Pour réaliser cette analyse on utilise la fonction specgram de la Signal Pro-

32 31 cessing Toolbox de Matlab. Il a été choisi une résolution en fréquence de 0,2 Hz et une résolution temporelle de 0,6 s. Etant donné que la largeur de l intervalle des fréquences d applaudissements possibles est de l ordre de 5 Hz, la différence entre les fréquences de synchronisation de l ordre de 0,5 Hz et que la période caractéristique de synchronisation est de l ordre de 0,35 s, le choix des résolutions semble convenable. On réalise cette opération sur le signal au carré, donc sur la puissance instantanée et après opération, on prend le carré du module de l amplitude, autrement dit on mesure le spectre de puissance. On normalise ensuite les mesures, puis on ne conserve que les valeurs normalisées supérieures à 0,4, considérant que les valeurs inférieures ne sont pas significatives. On observe ainsi l évolution au cours du temps de l énergie contenue dans chaque fréquence à laquelle les gens applaudissent. Le résultat obtenu est le suivant : Fig. 5.3 Spectre de puissance du signal d applaudissements en fonction du temps. La mesure est faite sur toute la durée des applaudissements. La bande colorée à 3 Hz correspond à la synchronisation à cette fréquence. La bande colorée à 0 Hz correspond à l amplitude moyenne du signal. La zone rouge correspond au maximum d énergie, la zone bleue au minimum. Ce traitement a été fait sur la durée totale du signal d applaudissement. Ce diagramme permet de mettre en évidence la synchronisation, l énergie du signal devenant plus important au cours du temps à une fréquence fixée. Néanmoins, en comparant avec l analyse à l oreille, nous nous apercevons que la synchronisation commence avant la zone colorée sur le diagramme. Il est aussi possible de constater l évolution de la fréquence du signal global

33 32 au cours du temps, avant la synchronisation : Fig. 5.4 Spectre de puissance d un signal d applaudissements en fonction du temps, mesuré avant la synchronisation. On remarque que la fréquence correspondant au maximum d énergie diminue avec le temps de 3,3 Hz à 2,7 Hz. On peut remarquer sur ce diagramme que la fréquence du signal global diminue au cours du temps avant la synchronisation. On justifiera par la suite théoriquement l importance de cette évolution pour la synchronisation. De plus, on peut constater que la largeur de la distribution des fréquences diminue au cours du temps avant la synchronisation. 5.3 Analyse spectrale Pour préciser les résultats obtenus avec l analyse temps-fréquence, les signaux ont été traités par des transformées de Fourier rapide. Cela permet en effet d avoir une meilleure résolution en fréquence, n étant plus limité par la résolution temporelle. De la même manière, nous opérons sur le carré du signal et nous prenons ensuite le carré du module en amplitude. On obtient alors la courbe de la figure 5.5.

34 33 Fig. 5.5 Spectre de puissance à 7 secondes après le début des applaudissements. Cet instant correspond à un régime fortement désynchronisé, bien avant la synchronisation. Cela confirme le résultat précédent, à savoir qu avant la synchronisation la fréquence centrale est haute et diminue à la transition vers la synchronisation. D autre part, ce résultat va dans le sens de l hypothèse faite dans l article Physics of the rhythmic applause. En effet, il semble qu il y ait deux fréquences caractéristiques des applaudissements, dont l une vaut le double de l autre. Ce qui permet de restreindre la compréhension des applaudissements aux coordinations de type 1 : 1 (lorsqu une personne applaudit à la fréquence du signal global) et 2 : 1 (lorsqu une personne applaudit au double de la fréquence du signal global). Néanmoins, il faut noter que cette fréquence double n est pas systématiquement présente dans le spectre des signaux d applaudissements. 5.4 Mesure du paramètre d ordre Enfin, la dernière mesure effectuée est celle du paramètre d ordre. On a vu que, dans le cas de la coordination au niveau individuel, la différence des phases, appelée phase relative, est un bon paramètre d ordre pour observer la transition de phase. Dans le cas de la coordination entre N individus, la différence des phases ne peut plus être un bon candidat vu qu il y a N phases. En s inspirant très

35 34 fortement du modèle de Kuramoto et de l article Physics of the rhythmic applause, on peut prendre comme paramètre d ordre : q = 1 N N e jϕ i i=1 où N est le nombre de personnes applaudissant, chaque individu indicé i ayant une phase ϕ i. Etant avec les applaudissements dans un cas d un grand nombre d oscillateurs couplés, comme dans le modèle de Kuramoto, il semble pertinent de choisir ce paramètre d ordre pour rendre compte de la transition. Lorsque la désynchronisation est totale, les phases sont alors équiréparties et N étant grand, q 0. Lorsque par contre, on se situe dans un régime synchronisé, les phases sont regroupées autour d une certaine valeur et alors q 1. Dans le cas de synchronisation partielle, on comprend aisément que 0 < q < 1. S inspirant alors des mesures faites dans l article Physics of the rhythmic applause, nous mesurons la moyenne temporelle du paramètre d ordre expérimental : q exp (t) = max {T,ϕ} { t+t t T s2 (t) sin(2π/t + ϕ) dt t+t } t T s2 (t) dt Nous calculons ainsi le maximum de la corrélation normalisée entre le signal au carré s 2 (t) et une fonction harmonique. Nous calculons ce paramètre pour toutes les phases possibles ϕ variant donc de 0 à 2π et pour les périodes T variant de 0,1s à 2s. On prend ensuite la valeur moyenne, en moyennant sur une fenêtre de durée 1s et en faisant glisser cette fenêtre avec un pas de 0,1s. On obtient alors le résulat de la figure 5.6.

36 35 Fig. 5.6 Evolution du paramètre d ordre en fonction du temps à la transition vers la synchronisation. On passe du régime de synchronisation partielle (q 0, 5) à un régime fortement synchronisé (q 0, 8). Cette courbe permet de mettre clairement en évidence la transition de phase, d un régime désynchronisé à un régime synchronisé. Cela montre de plus que le choix de q comme paramètre d ordre est raisonnable. Cette grandeur semble répondre en effet aux critères évoqués précédemment. 1. Il tend vers 1 à la synchronisation et vers 0 à la désynchronisation, permettant ainsi de caractériser l ordre du système. 2. Il varie de façon assez importante à la transition. 3. Sa variation est faible avant la synchronisation, donc sa dynamique est plus lente que celle des autres variables en dehors de la transition. Enfin, ce type de courbes nous donne aussi un ordre de grandeur du temps de transition vers la synchronisation. On peut évaluer que ce temps est de l ordre de 9 s. Ainsi plusieurs types de mesures ont été réalisés. Ces mesures sont avant tout importantes pour avoir une vision qualitative du phénomène. Mais elles apportent aussi un moyen de vérifier si le modèle théorique proposé est plausible. Nous verrons que la diminution de la fréquence du signal global avant la synchronisation est pour cela le résultat expérimental le plus important. Enfin, nous avons pu constater que le paramètre d ordre q, inspiré du modèle de Kuramoto, semble être un paramètre d ordre pertinent.

37 Chapitre 6 Construction du modèle théorique Fitzpatrick et al. ont étudié dans le cadre de la dynamique de coordination les mouvements oscillatoires des bras lorsqu une personne applaudit [6]. Ils ont observé en particulier que le modèle d oscillateur à cycle limite présenté dans la première partie (cf. équation 3.1) convient très bien à l oscillation des bras, même lorsqu il y a contact entre les mains. On pourrait se demander comment il est possible de quantifier l amplitude de ces oscillations lorsqu on a deux bras qui oscillent en sens opposé. En fait, cela ne pose pas de problèmes car seule l oscillation d un des bras nous suffit pour comprendre la dynamique du phénomène. En effet, le problème de la synchronisation des applaudissements peut très bien se ramener à une situation où les personnes frappent d une main sur une percussion. Par ailleurs, lorsque N personnes applaudissent, il y a évidemment un couplage entre elles par l intermédiaire du son produit par toutes les personnes qui frappent dans leurs mains. Il semble donc tout à fait naturel de chercher un modèle de coordination entre N personnes applaudissant à partir du modèle Haken-Kelso-Bunz détaillé dans la première partie. Nous verrons dans ce chapitre qu il a été possible d établir un système de N équations traduisant la dynamique du phénomène. Ce système se ramène formellement au modèle de Kuramoto. Cela nous a permis de mettre en évidence le fait qu il peut y avoir une transition de phase lorsqu un grand nombre de personnes applaudissent simultanément et sont couplés par le son qu ils produisent. Plus précisément, grâce au modèle de Kuramoto, nous avons pu déterminer une fréquence critique de transition et nous caractériser cette transition de phase. De plus, en s inspirant des méthodes employées dans le modèle de Kuramoto, nous avons essayé d établir une loi de coordination et de mettre en évidence un potentiel comme cela a fait pour la coordination au niveau individuel (cf. chapitre 3). Ceci n a été possible que dans le cas où tous les sujets ont la même 36

38 37 fréquence propre. Nous allons présenter tout d abord une généralisation du modèle HKB, qui se révèlera cruciale pour notre étude. 6.1 Stabilisation paramétrique Le modèle de stabilisation paramétrique développé par Jirsa et al. [12] est simplement une extension du modèle HKB présenté en première partie dans la mesure où il tient compte de l influence du signal du métronome sur la coordination. Il ne part donc pas d une expérience différente, le métronome étant présent dans toutes les expériences de la dynamique de coordination. L idée générale de ce modèle est simplement d introduire dans le terme de couplage entre les deux oscillateurs, le paramètre décrivant le signal du métronome. Une fois introduit, les calculs sont très similaires à ceux effectués pour obtenir la loi de coordination du modèle HKB. On présentera les grandes lignes de l article qui l expose, les calculs précis étant détaillés dans l Annexe A. On remplace tout d abord la notation H i,j (i, j {1, 2} et i j) par H i,j (0). 0 traduit le fait que le signal du métronome n est pas pris en compte dans la dynamique de coordination. On note ensuite ɛ la variable décrivant les oscillations du métronome. Ainsi, lorsqu on considère l influence du signal du métronome sur la coordination, le terme de couplage H i,j (0) devient H i,j (ɛ). Et l on a naturellement : lim H i,j(ɛ) = H i,j (0) (6.1) ɛ 0 Le modèle HKB décrivant un régime de faible non-linéarité, on ne considère que les contributions d ordre faible du signal externe. On peut alors développer, en tenant compte des symétries du système, H i,j (ɛ) sous la forme : H i,j (ɛ) H i,j (0) + c 0 ɛ + c 1 x i ɛ + d 1 x i ɛ (6.2) où l on a gardé que les contributions linéaires additives et multiplicatives, et en négligeant les termes d ordre élevé. Ils modélisent ensuite le signal du métronome simplement par : ɛ = ɛ 0 cos Ωt (6.3) On notera que c est l amplitude du mouvement du métronome qui est modélisé, mais c est bien le son qui influence la coordination. En introduisant au système d équations , le terme de couplage avec influence du métronome, on peut écrire : { ẍ1 + (Ax Bx 1 2 γ) x 1 + ω1 2x 1=H 1,2 (ɛ) ẍ 2 + (Ax Bx 2 2 γ) x 2 + ω2 2x 2=H 2,1 (ɛ)

39 38 En insérant 6.2 et 6.3 dans le système précédent et en procédant de la même façon que pour le modèle HKB, on obtient pour le membre i (i {1, 2}) l équation suivante : ϕ i = ω2 i Ω2 ɛ2 0 2Ω 8Ωωi 2 cos 2ϕ i (6.4) Remarquons ici que nous n avons pas écrit l équation différentielle pour la différence des phases φ, mais pour la phase du membre i, ϕ i. Le passage d une écriture à l autre de l équation se fait sans problème. Cependant pour la suite de notre analyse, seule l équation sur ϕ i nous est pertinente. Comme pour le modèle HKB, ils supposent dans l article que l oscillation des membres est fixée à la pulsation du métronome Ω. De plus, la pulsation propre du membre i ω i est considérée comme voisine de Ω. Ce qui permet d écrire que : et : ω 2 i Ω2 2Ω ɛ 2 0 ω i Ω (6.5) 8Ωωi 2 ɛ2 0 8Ω 3 (6.6) On peut alors simplifier l équation 6.4 sous la forme : ϕ i = ω i Ω ɛ2 0 8Ω 3 cos 2ϕ i (6.7) et en posant ϕ i = ϕ et ω i = ω, on obtient finalement : ϕ = ω Ω ɛ2 0 8Ω 3 cos 2ϕ (6.8) qui traduit la coordination entre un membre et le signal du métronome dans le cas de la coordination 1 : 1 (fréquence du membre approximativement égale à la fréquence du métronome), dont l expérience a été évoquée dans la première partie. Il faut bien comprendre que ce modèle ne diffère pas conceptuellement du modèle présenté en première partie. Seul l amplitude du signal du métronome a été ajoutée. Ceci est réalisé techniquement grâce à l hypothèse de faible non-linéarité. 6.2 Modèle de coordination à N individus Il est important de rappeler que le but de ce modèle n est pas de simuler exactement les applaudissements synchronisés après un concert, mais de concevoir un protocole expérimental dans l esprit des expériences de la dynamique de coordination, afin de l étendre au niveau collectif. Posons tout d abord les hypothèses sur lesquelles nous nous appuyons.

40 39 1. On considère N personnes qui applaudissent, N étant suffisament grand pour pouvoir se placer dans la limite thermodynamique. 2. Chaque personne peut entendre le son produit par les autres mais ne peut pas les voir. On suppose ainsi que chacune de ces personnes se coordonne avec le signal global, c est-à-dire la somme des sons produits par tous les autres. 3. On considère que la pulsation moyenne du signal global Ω est fixée. Cette pulsation a été imposée initialement par un métronome que l on a coupé ensuite. On pourrait penser que s il y a un métronome, alors nécessairement la synchronisation est immédiate. En fait, avant que le métronome soit coupé, chaque personne est isolée des autres et applaudit approximativement à la fréquence du métronome, sa fréquence propre l empêchant d applaudir exactement à cette fréquence. Lorsqu on coupe le métronome, on fait alors interagir toutes les personnes, qui continuent à applaudir à la fréquence imposée. Cependant elles ne sont pas synchronisées, car on s est arrangé pour décaler en phase les signaux des métronomes que l on a fait écouter à chacun. Les aspects pratiques de la réalisation de cette procédure seront détaillés dans le chapitre 7. En somme, chaque personne frappe à une fréquence voisine de la fréquence imposée. Et la situation initiale correspond à un état où les applaudissements sont désynchronisés entre eux. 4. On se limite ensuite au cas de la coordination 1 : 1. Autrement dit, chacun applaudit à une fréquence voisine de la fréquence du signal global et non au double ou à un autre ratio de cette fréquence. 5. On admet qu il y a une distribution de fréquences propres dont la densité de probabilité est notée G(ω). Nous avons vu en effet dans la première partie (cf 2.2) que lorsqu il est demandé à deux personnes différentes d osciller leurs bras à la fréquence d un métronome, il existe toujours un décalage entre leurs fréquences d oscillation. Ce décalage peut être plus ou moins important selon les personnes. Il est en fait lié principalement à la constitution anatomique de chacun. Il est de plus possible de poser une densité de probabilité car on s est placé dans la limite thermodynamique. 6. On supposera la densité de probabilité G(ω) symétrique par rapport à Ω. Ceci se justifie par le résultat de l expérience de l article Physics of the rhythmic applause (cf paragraphe 4.2), où l on constate clairement que les distributions sont symétriques par rapport au maximum, pour chaque tempo auquel on demande d applaudir. Comme cela a été précisé précédemment, seul nous interesse la description de l oscillation d un seul des bras pour modéliser la dynamique du phénomène. D après la première partie et en particulier d après l article de Fitzpatrick et al. [6], on peut décrire formellement la position du bras à

41 40 chaque instant de chacune des N personnes, indicée par i {1, N}, par : x i = x 0 e j(ωt+ϕ i) + x 0 e j(ωt+ϕ i) (6.9) où x 0 est l amplitude réele de x i, position du bras à chaque instant. On suppose que l amplitude des oscillations x 0 est la même pour tout le monde. Cette hypothèse permet de simplifier grandement les calculs ultérieurs. Néanmoins la dynamique du phénomène serait inchangé si elle n était pas posée. De plus, la fréquence des oscillations est la même pour chaque individu d après l hypothèse 3 et 4. Chacune de ces personnes produit donc en tapant dans ses mains un son d intensité s i à chaque instant liée à x i que l on peut exprimer simplement sous la forme : s i = s 0 e j(ωt+ϕ i) + s 0 e j(ωt+ϕ i) (6.10) où s 0 est l amplitude réelle de l intensité sonore s i. On considérera s 0 constante au cours du temps, étant une quantité lentement variable par rapport à Ω 1. D après l hypothèse 2, l expression du signal global entendu par la ième personne s écrit : N N S = s k s k (6.11) S = k=1,k i k=1 N N (s 0 e j(ωt+ϕk) + s 0 e j(ωt+ϕi) ) = s 0 (e jωt e jϕ k + e jωt k=1 k=1 N k=1 e jϕ k ) (6.12) On introduit alors le paramètre d ordre q évoqué au paragraphe 5.4 : qe jψ = 1 N N e jϕ k (6.13) k=1 q étant le module de cette grandeur complexe, q = 1 N N k=1 ejϕ k. q est une mesure du comportement collectif du système et ψ est la phase moyenne de tous les oscillateurs. On rappelle que lorsque la synchronisation est totale, q 1. Lorsqu elle est partielle, 0 < q < 1. Et lorsqu il n y pas synchronisation, q 0. L introduction de ce paramètre d ordre nous permet d écrire : S = Ns 0 q(e j(ωt+ψ) + e j(ωt+ψ) ) (6.14) On prend ψ = 0, car ψ étant une quantité lentement variable par rapport Ω 1, on a ψ 0. Ce qui nous donne finalement pour le son entendu par chaque personne : S = 2Ns 0 q cos Ωt (6.15) N et s 0 sont des constantes ; q est une grandeur lentement variable par rapport à Ω 1, donc considéré comme constante à l échelle de la fonction

42 41 cos Ωt ; le signal produit par le groupe et entendu par la ième personne a ainsi la même expression que le signal du métronome modélisé dans le paragraphe précédent (cf 6.3). 2Ns 0 q joue le rôle de ɛ 0 et Ω joue le rôle de la pulsation du métronome. On se retrouve donc dans le cas de la stabilisation paramétrique. On étudie la coordination entre les oscillations des bras d une personne avec le son produit par le reste du groupe, qui peut s apparenter à un signal de métronome. On fait ensuite l hypothèse que l amplitude de l intensité perçue du son par chacun est de la forme : A 0 = µ 0 q (6.16) où µ 0 est une constante dépendant des paramètres fixés du problème N et s 0. Cette hypothèse permet d obtenir une résolution analytique du problème comme on le verra par la suite. On sait d après la loi de Fechner que l intensité perçue du son est approximativement proportionnelle au logarithme de l intensité physique. Cependant, dans notre cas l intensité physique du son ne varie pas beaucoup, et en particulier q varie entre 0.5 et 0.8 d après les mesures expérimentales que nous avons effectué. Autrement dit, sur la plage d intensité physique du son considérée, on peut supposer que le logarithme peut s approximer correctement par la fonction racine. Finalement en identifiant ɛ 0 du cas de stabilisation paramétrique (cf équation 6.8) avec A 0, on obtient l équation de la dynamique des phases individuelles : ϕ i = ω i Ω µ2 0 q cos 2ϕ 8Ω 3 i (6.17) Lorsqu on fait varier i de 1 à N, le système d équations obtenues contient tout la dynamique du phénomène. 6.3 Explication qualitative Afin de mieux se représenter le mécanisme sous-jacent, exhibons le potentiel de stabilité V i vu par i, de façon analogue à ce qui a été fait dans la première partie : V i (ϕ i ) = (ω i Ω) ϕ i µ2 0 8Ω 3 q cos 2ϕ i

43 42 Fig. 6.1 Potentiel V i vu par i pour une pulsation centrale Ω grande. Le régime désynchronisé est stable lorsque chacun applaudit avec une fréquence élevée. On peut voir sur la figure ci-dessus que le principe est légèrement différent par rapport aux expériences de la première partie. Dans notre cas, l élément clef est la courbure du potentiel V i. En effet, plaçons-nous aux hautes fréquences (fréquences de l ordre de 5-6 Hz) et examinons la stabilité du régime désynchronisé. Dans ce régime, q 0, le potentiel est presque plat et alors aucun équilibre, c est-à-dire aucune phase n est privilégiée. Pour l ensemble des N individus, si on généralise ce raisonnement, on comprend alors que les phases vont alors être distribuées de façon homogène et circulent librement sur le cercle trigonométrique. On reste donc dans un régime désynchronisé. Fig. 6.2 Potentiel V i vu par i pour une pulsation centrale Ω petite. Partant du régime désynchronisé, on bascule vers un régime synchronisé lorsque chacun applaudit à une fréquence basse. Maintenant regardons ce qui se passe aux basses fréquences (fréquences de l ordre de 2-3 Hz), toujours en partant d un régime désynchronisé (figure

44 43 de gauche ci-dessus). On constate qu il y a un léger puit de potentiel au niveau de la phase nulle. Ce puit va en quelques sortes attirer les phases qui circulent à travers. On commence à sentir alors que c est de là que va naître l instabilité. Plus il y a de phases, c est-à-dire d individus, attirées dans ce puit de potentiel, plus ce puit va se creuser ; sa profondeur dépendant de q, liée à la distribution des phases. Et plus le puit se creuse, plus il est attractif pour les phases environnantes. Finalement la majorité des phases va être captée par ce puit : on a alors synchronisation (figure de droite ci-dessus). Fig. 6.3 Potentiel V i vu par i pour une différence importante entre pulsation propre et pulsation centrale contrairement aux deux autres conditions. C est cette différence qui peut provoquer la désynchronisation, lorsqu on est initialement synchronisé. Partant maintenant du régime synchronisé pour n importe quelles valeurs de la pulsation d oscillation Ω, on peut voir qu une éventuelle désynchronisation ne peut venir que de la différence entre cette pulsation et la pulsation propre de l individu i (figure ci-dessus). Lorsque celle-ci augmente, le puit en quelques sortes disparaît et les phases peuvent à nouveau circuler librement sur le cercle trigonométrique. On passe alors dans le régime désynchronisé. Grâce à ce raisonnement qualitatif, les mécanismes principaux de synchronisation et désynchronisation peuvent être mis en évidence. Partant du régime désynchronisé, on voit que la pulsation Ω, pulsation autour de laquelle le groupe applaudit, joue le rôle de paramètre de contrôle, la transition vers la synchronisation dépendant de sa valeur. Partant du régime synchronisé, c est la distribution des fréquences propres qui va être à l origine de la désynchronisation. On retrouve ici le mécanisme des instabilités à

45 44 l origine de la formation de motifs. On a en effet deux forces en compétition : l une attractive liée au couplage via le signal sonore, l autre répulsive liée à la distribution des fréquences propres. 6.4 Le modèle de Kuramoto Le modèle de Kuramoto est le modèle de base pour étudier les phénomènes de synchronisation à N oscillateurs non-linéaires couplés [34] et [33]. Ce modèle et ses généralisations englobent une très large classe de phénomènes de synchronisation allant de la physique (lasers, jonctions Josephson,...) à la biologie (lucioles, neurones,...), en passant par la chimie [36]. On verra par la suite que le traitement analytique effectué dans le cadre de ce modèle sera très utile pour notre cas de synchronisation. Les calculs aboutissant aux résultats présentés sont détaillés dans l Annexe B. Les hypothèses de ce modèle sont les suivantes : 1. On considère N oscillateurs approximativement identiques à cycle limite, N suffisament grand pour se pouvoir se placer dans la limite thermodynamique. 2. Chaque oscillateur a une pulsation propre ω i. On suppose la densité de probabilité G(ω), de la distribution des fréquences propres, symétrique par rapport à son seul maximum Ω. 3. Chaque oscillateur est couplé à tous les autres de façon uniforme uniquement via la phase. On note θ i = ω i t + ϕ i la phase de l oscillateur i et ε la force de couplage entre les oscillateurs. On remarque que ϕ i est la phase locale, à partir de laquelle on exprime toutes les équations dans la dynamique de coordination. L équation de la dynamique de chaque phase peut alors s écrire : θ i = ω i + ε N N sin(θ k θ i ) (6.18) k=1 Afin de simplifier l analyse de cette dynamique, on introduit le champ moyen complexe pour la population d oscillateurs : Ke jψ = 1 N N e jθ k (6.19) k=1 où K est l amplitude du champ moyen, K = 1 N N k=1 ejθ k. En le faisant apparaître dans l équation B.1, on obtient la forme simplifiée (voir Annexe B) : ϕ i = ω i + εk sin(ψ θ i ) (6.20)

46 45 Posant ψ = Ωt et θ i = θ i Ωt, cette équation peut se réécrire sous la forme : θ i = ω i Ω εk sin θ i (6.21) formellement très similaire à notre équation de coordination à N individus Ainsi tous les résultats analytiques du modèle de Kuramoto nous serviront pour quantifier et analyser notre problème de coordination. L ensemble des calculs qui mène à ces résultats est détaillé dans l annexe B. Grâce à ces calculs, on trouve que la transition vers la synchronisation a lieu lorsque le terme de couplage ε excède la valeur critique : ε c = 2 πg(ω) (6.22) et le régime désynchronisé est stable tant que ε < ε c. D autre part, il est possible d avoir l expression analytique du paramètre d ordre K en fonction du paramètre de contrôle ε au voisinage de ε c, c est-à-dire au voisinage de la transition : K = 16 πg (Ω)ε 4 c (ε ε c ) 1/2 (6.23) La transition vers la synchronisation est donc très similaire à une transition de phase du second-ordre. Pour une transition de phase de ce type, la variation du paramètre d ordre au point critique est continue, contrairement à celle du premier ordre. On a donc un changement continu des propriétés du système. Un exemple d une telle transition est la transition liquide-gaz au point critique. Enfin, il est possible d obtenir la solution analytique exacte du modèle de Kuramoto seulement dans le cas G(ω) = δ(ω Ω). Il existe aussi d autres résultats analytiques lorsqu on tient des compte des fluctuations, c est-à-dire pour le système d équations suivants : θ i = ω i Ω εk sin θ i + Qξ i (6.24) où ξ i est un bruit blanc gaussien, comme dans le modèle HKB. Cependant les résultats ne sont pas présentés ici, ne considérerant en première approximation l influence des fluctuations présentes dans la coordination motrice négligeable par rapport aux autres facteurs, et en particulier par rapport à celui de la distribution des fréquences propres. 6.5 Application au cas de la coordination à N individus Si l on veut appliquer les résultats du paragraphe précédent, il est nécessaire d effectuer quelques transformations sur notre équation 6.17 traduisant la coordination entre N personnes. On fait pour cela le changement de variable ϕ i = 1 2 ϕ i π 4, ce qui nous donne :

47 46 ϕ i = ω i Ω µ2 0 64Ω 3 q sin ϕ i (6.25) où ω i = ω i/2 et Ω = Ω/2. On a formellement la même équation que dans le modèle de Kuramoto 6.21, lorsqu on remplace θ i = (ω i Ω)t + ϕ i par ϕ i. Les paramètres d ordre du modèle de Kuramoto K et de notre modèle q sont aussi formellement identiques, pour cette transformation. On rappelle que pour le modèle de Kuramoto, transition vers la synchronisation est observée lorsque ε < ε c. Il est donc désormais possible d affirmer que la transition du régime désynchronisé au régime synchronisé apparaît lorsque Ω < Ω c, autrement dit lorsque la pulsation autour de laquelle les gens applaudissent Ω descend en dessous de la pulsation critique dont l expression est donnée par 6.22 : Ω c = ( πµ2 0 G(Ω) 16 ) 1/3 (6.26) De plus, le régime désynchronisé est stable pour les fréquences Ω supérieures à Ω c. On peut aussi écrire d après 6.23 qu au voisinage de la transition, q est de la forme : q ( 1 Ω 3 1 Ω 3 c ) 1/2 (6.27) On sait que la fréquence critique est de l ordre de 2,7 Hz d après les mesures expérimentales que nous avons réalisé (cf chapitre 5). L ordre de grandeur du maximum de la distribution des fréquences propres G(Ω) est de l ordre de 0,4 (cf figure 4.3). Il faut donc prendre µ 0 de l ordre de 249, 3s 2 pour obtenir le bon ordre de grandeur pour Ω c. Et si l on prend G(Ω) = 1 (distribution en forme de Dirac), µ 0 est alors de l ordre de 157, 7s 2, ce qui est toujours très grand. µ 0 est homogène à une intensité perçue du son, d après sa définition. Les ordres de grandeur trouvés pour µ 0 semble des valeurs trop excessives par rapport aux ordres de grandeur pour l intensité perçue d un son. Dans le cas du métronome pour la stabilisation paramétrique l ordre de grandeur de l intensité perçue est 3s 2. Il est difficile de savoir si l ordre de grandeur trouvé dans notre modèle est convenable, sachant que le son d une salle qui applaudit et celui du métronome n ont pas du tout la même intensité physique. Enfin, il est possible d établir une équation de la dynamique du paramètre d ordre de façon analogue à ce qui a été fait dans le cas individuel (eq. 3.6). Nous allons développer les calculs que nous avons entrepris pour aboutir à cette équation. Cependant celle-ci ne peut être exprimée analytiquement que dans le cas G(ω) = δ(ω Ω), la solution analytique du modèle de Kuramoto n ayant été trouvé que pour cette distribution. De plus, on se place dans un cas où la synchronisation est inévitable, c est-à-dire que

48 47 l on va supposer qu il y a initialement un groupe de personnes synchronisées suffisament important pour qu il soit perceptible à l oreille par tous. Ainsi, du point de vue de la compréhension du phénomène, il n y a pas d intérêt particulier à établir cette équation. Néanmoins une telle équation prouve qu il existe une analogie forte entre le comportement collectif et individuel. C est en tout cas un premier pas vers une loi de coordination au niveau collectif. Détaillons ainsi les calculs que nous avons réalisé. Le principe est de distinguer deux groupes : Le groupe S qui est déjà synchronisé et le groupe D où chaque personne est désynchronisée par rapport à tous les autres. En fait, on utilise approximativement la même méthode que dans les calculs menés pour le calcul de Kuramoto (cf Annexe B). Ainsi, les personnes du premier groupe, dont le nombre est noté N s, ont une phase ϕ telle que ψ η < ϕ < ψ + η, où η est très petit devant 2π et l évolution de ψ est lente par rapport à Ω 1. On prendra donc comme précédemment ψ 0. Les phases des personnes du deuxième groupe par contre sont distribuées de façon homogène sur le cercle trigonométrique. Fig. 6.4 Cercle trigonométrique où l on voit l intervalle des phases du groupe synchronisé S. Cet intervalle a une demi-largeur de η et est centré sur la phase ψ. Lorsqu une personne qui applaudit a sa phase qui passe à l intérieur de cet intervalle, alors elle devient synchronisée avec le groupe S. Le premier groupe joue ainsi le rôle de métronome pour les personnes du second groupe. On écrit ensuite une équation de conservation traduisant le fait que le nombre de personnes désynchronisées qui se synchronisent avec le groupe S pendant l intervalle de temps dt provient du groupe désynchronisé dont la phase est voisine de ψ. On peut alors écrire : dn s = ρ d (ψ η) ϕ(ψ η) dt + ρ d (ψ + η) ϕ(ψ + η) dt (6.28)

49 48 En effet, ϕ(ψ η) dt représente l angle parcouru pendant dt par les personnes désynchronisées dont la phase est voisine de ψ η. Et ρ d (ψ η) est la densité de phases pour le groupe D, donc de nombre de personnes désynchronisées, au voisinage de ψ η. Donc ρ d (ψ η) ϕ(ψ η) dt correspond au nombre de personnes du groupe D dont la phase est inférieure à ψ et se synchronisant avec le groupe S, pendant dt. De même avec ψ + η. On a ensuite : ρ d (ϕ) = 1 2π (1 N s N ) (6.29) car la normalisation de la densité de phase totale donne : 2π 0 ρ(ϕ)dϕ = 2π 0 ρ d (ϕ)dϕ + 2π 0 ρ s (ϕ)dϕ = 1 (6.30) Comme : ρ s (ϕ) = N s (6.31) N On a bien l expression Ensuite d après l équation 6.17, on a pour la vitesse des phases de la personne indicée i : ϕ i µ2 0 8Ω 3 q cos 2ϕ i (6.32) Or les personnes désynchronisées ne contribue pas au paramètre d ordre. En effet, lorsque les phases ϕ i sont distribuées uniformément sur le cercle trigonométrique : e jϕ i 0. q peut de plus s écrire en distinguant le groupe S et D : q = 1 N e jϕ i + e jϕ i S D On peut donc finalement écrire que q Ns N, ce qui donne : ϕ i µ2 0 N s 8Ω 3 N cos 2ϕ i (6.33) D où : N s = 2 1 2π (1 N s N ) µ2 0 N s 8Ω 3 cos 2η (6.34) N Comme η est petit devant 2π, on peut faire l approximation cos 2η 1, et en posant ensuite n s = N s /N on peut simplifier l équation précédente sous la forme : n s = µ2 0 8πΩ 3 N (1 n s)n s (6.35) Ce qui donne l équation d évolution de la synchronisation. En prenant maintenant q n s, on peut réecrire l équation précédente sous la forme : q = µ2 0 8πΩ 3 N (1 q)q (6.36)

50 49 On a ainsi obtenu une forme de loi de coordination pour le niveau collectif. Si l on exhibe maintenant un potentiel de stabilité comme cela a été fait dans la première partie, et que l on écrit la relation : q = V q (6.37) On a alors la forme du potentiel pour le niveau collectif : V = µ2 0 8πΩ 3 N (q2 2 q3 3 ) (6.38) Fig. 6.5 (A gauche) Evolution de n s = N s /N en fonction du temps. (A droite) Potentiel collectif V en fonction du paramètre d ordre q. On a tracé ces deux courbes en prenant une fréquence de 3 Hz, N=100 et µ 0 = 249, 3s 2. Il est donc intéressant de voir qu il est possible d adopter une démarche similaire à celle employée pour le modèle Haken-Kelso-Bunz. De plus, une équation de la forme de 6.38 peut permettre d obtenir les temps de transition vers la synchronisation, que l on peut ensuite facilement mesurés expérimentalement. Néanmoins, ce résultat est à relativiser ayant considéré une distribution de fréquences propres en forme de Dirac et un groupe synchronisé assez important initialement. 6.6 Vérification qualitative sur le cas des applaudissements synchronisés Le modèle théorique que l on vient de présenter nous permet d une certaine manière de monter des protocoles expérimentaux rigoureux que l on exposera dans le paragraphe suivant. Grâce à ces expériences, il sera possible de vérifier précisément les résultats du modèle et de les affiner. Néanmoins,

51 il est intéressant de voir si les prédictions théoriques obtenues avec le modèle sont cohérentes avec les mesures que l on a effectué sur les enregistrements d applaudissements. Tout d abord, on avait observé qu il y avait diminution de la fréquence du signal global au cours de la transition vers la synchronisation. De plus, une étude plus fine nous a montré que le public applaudissait globalement aux hautes fréquences, typiquement 5-6 Hz, dans le mode désynchronisé et à des fréquences plus basses, autour de 2,7 Hz, à la transition et dans le mode synchronisé. Ceci peut maintenant être expliqué clairement par le fait que la transition de la désynchronisation à la synchronisation n est possible que lorsque la fréquence centrale est inférieure à une valeur critique, qui avoisine probablement dans ce cas 2,7 Hz. Ceci illustre aussi le fait que le régime désynchronisé est stable tant que la fréquence centrale est supérieure à la valeur critique. On a observé enfin que la fréquence du signal global augmentait parfois progressivement durant la synchronisation. Ceci peut être vu comme un moyen d améliorer la synchronisation. En effet, il est possible d entendre un son global approximativement périodique, sans que pour autant les gens frappent tous en phase. Il se peut qu il y ait des personnes en anti-phase avec la majorité ou qu il y en ait qui frappent deux fois plus vite (coordination 2 : 1). Or, d après la première partie, on a vu qu en augmentant la fréquence d oscillation, le mode anti-phase se déstabilise au profit du mode en phase. De plus, il a été observé que lorsque cette fréquence augmente, une personne oscillant ses deux mains avec un ratio de fréquence non trivial (en particulier 2 : 1), transite spontanément vers un ratio plus simple (en l occurrence 1 : 1) [13]. Par extension, comme cela a été fait précédemment, on peut admettre que le même phénomène se produit entre une personne frappant dans ses mains et un signal. On peut alors interpréter le fait observé sous l angle de la dynamique de coordination. L augmentation de la fréquence amène les personnes qui frappent en anti-phase ou deux fois plus vite, et qui empêchent donc la synchronisation parfaite, à applaudir dans le même rythme que la majorité. Enfin, vu la pertinence à priori du modèle de Kuramoto dans l explication de la synchronisation des applaudissements, la critique de Neda et al. au sujet de leurs articles Physics of the rhythmic applause n est pas tout à fait justifié. Ils avaient eu en effet la bonne idée de considérer la synchronisation des applaudissements comme une application du modèle de Kuramoto. Cependant, n ayant pas dériver leur modèle d un modèle de coordination à l échelle individuel, il n était pas possible d avoir une compréhension précise du phénomène. Ils n ont donc pas pu mettre en évidnce la fréquence critique de transition. Les mesures faites sur des enregistrements d applaudissements synchronisés semblent donc cohérentes avec le modèle théorique que nous avons proposé. 50

52 Chapitre 7 Propositions de protocoles expérimentaux Après avoir établi un modèle théorique de coordination à N individus, il est maintenant possible de concevoir des protocoles expérimentaux permettant de tester les résultats du modèle. Les expériences proposées sont dans la continuité des expériences de la première partie. Le principe est toujours d observer un phénomène de transition de phase dans la coordination motrice, dont l une des phases est l état synchronisé. Comme pour les expériences de la dynamique de coordination, et de transition de phase en général, il y a deux paramètres déterminants : le paramètre que l on fait varier et celui que l on mesure. 1. Le paramètre que l on fait varier est appelé paramètre de contrôle. Dans notre cas, c est la fréquence du métronome. 2. Le paramètre que l on mesure, appelé paramètre d ordre dont a détaillé la définition dans la première partie, est : q = 1 N Néanmoins d autres paramètres peuvent intervenir dans ces expériences : La largeur ou le maximum de la distribution des fréquences propres qui peuvent jouer aussi le rôle de paramètre de contrôle ; les temps de transition d un état à l autre qui sont des paramètres à mesurer. 7.1 Transition du régime désynchronisé au régime synchronisé Dans cette expérience, on cherche à mettre en évidence le phénomène de transition spontanée de l état désynchronisé à l état synchronisé au sein N i=1 e jϕ i 51

53 d un groupe de N personnes et à mesurer précisément la fréquence critique de transition. De plus, on voudrait caractériser la transition de phase si elle a lieu. On prend donc N personnes dans la population, avec N de l ordre de 100. Il est préférable de ne pas choisir parmi ces N personnes trop de musiciens, étant beaucoup plus aptes que la moyenne des gens à se maintenir désynchronisés avec les autres. 1ère étape : Le principe est de faire applaudir chacun autour d une pulsation Ω, sans qu au départ chaque sujet soit influencé par les autres. Il faut donc isoler initialement toutes les personnes tout en leur faisant écouter un signal de métronome. Pour cela, on pourrait leur mettre des casques audios isolant bien le son de l extérieur, et faire écouter à chaque personne à travers le casque, un signal de métronome. Et afin qu il y ait désynchronisation au départ, il faut décaler en phase tous les signaux transmis dans les casques, avec une distribution de phase constante sur [0, 2π]. Une autre possibilité est de demander à N personnes de se connecter simultanément sur internet. On transmet alors à travers chaque ordinateur les signaux de métronome avec la distribution de phase précédente. 2ème étape : On fait durer cela pendant environ 30 secondes, puis on fait interagir les N personnes. Il faut donc couper le son du métronome, et faire entendre à chacun, à travers le casque ou les haut-parleurs de l ordinateur, le son global produit par l ensemble des autres personnes qui applaudissent durant une minute environ. Il faut alors leur demander d essayer de garder le rythme qu ils avaient lorsqu ils étaient isolés. Mais de façon analogue à l expérience de Juilliard présentée en première partie, on demande aux personnes d applaudir de la manière qui leur paraît la plus confortable. Autrement dit, s ils sentent à un moment qu ils dévient de leur tempo et sont influencés par celui des autres, ils doivent suivre ce qui leur paraît le plus naturel. On répète ensuite cette procédure pour différentes valeurs de la pulsation Ω. D après les observations expérimentales précédentes, il faudrait faire varier la fréquence de 6 à 1 Hz avec un pas de 0,5 Hz et mesurer à chaque fois le paramètre d ordre q. On affine ensuite les mesures autour de la transition, en faisant alors varier la fréquence avec un pas de 0,2 Hz. On peut aussi mesurer le temps de transition vers le régime synchronisé. Il sera d autre part indispensable de mesurer la distribution des fréquences propres pour chaque valeur de Ω. Pour cela, il est nécessaire de prendre isolément chaque personne et de mesurer la fréquence de leur applaudissement lorsqu on leur fait écouter un signal de pulsation Ω et que l on coupe ensuite ce signal. Une autre expérience plus simple est réalisable, permettant de mettre en évidence le phénomène de transition de phase, mais n aboutira à la mesure de la fréquence critique. Le protocole de cette expérience consiste à isoler comme précédemment N personnes, et les faire applaudir dans le mode rappel (basses fréquences) et dans le mode bonne performance (hautes fréquences), comme cela a été fait dans l expérience de l article Physics of 52

54 53 the rhythmic applause (cf paragraphe 4.2). Le principe est simplement de les faire applaudir autour de deux fréquences : l une inférieure à la fréquence critique, l autre supérieure. On a vu de plus (cf 4.2) que lorsqu on demande aux gens d applaudir en mode rappel ou bonne performance, on a deux distributions régulières centrées autour de deux fréquences bien distinctes. Puis on les faire interagir ensemble, avec la même technique que celle décrite précédemment, en leur demandant la même tâche. On peut ici mesurer le temps de transition vers la synchronisation. 7.2 Transition du régime synchronisé au régime désynchronisé L expérience qui va être décrite dans ce paragraphe ne correspond pas exactement au cas théorique, mais les résulats peuvent être très intéressants. Comme on l a vu dans le chapitre précédent, c est la largeur de la distribution des fréquences propres qui est responsable de la désynchronisation. Ainsi, il peut être intéressant de faire varier cette largeur. Pour cela, on peut conduire deux expériences. Dans la première, on prend la distribution naturelle des fréquences, et dans la deuxième, on fait mettre à chaque personne des poids aux poignets de façon contrôlée afin de modifier la largeur de cette distribution. On modifie ensuite la répartition des poids au poignet. On demande alors aux N personnes d applaudir à la pulsation Ω d un métronome durant 30 secondes environ. Cette fois-ci les personnes sont dans la même salle et peuvent donc s écouter mutuellement. On coupe ensuite le métronome, et il est demandé aux personnes de continuer à applaudir à la même fréquence pendant approximativement 1 minute. Comme pour l expérience précédente, il est demandé aux gens d applaudir par rapport aux autres de la façon la plus confortable, même s ils sont amenés à se désynchroniser. On répète ensuite cette expérience pour différentes largeurs de distribution G(ω). Il faudra observer enfin pour ces différentes largeurs, s il y a désynchronisation ou non. Si on observe une désynchronisation, on peut alors mesurer le temps de transition d un régime à l autre.

55 Conclusion Le travail réalisé durant ce stage rentre dans le cadre théorique de la dynamique de coordination. Ce domaine de recherche se focalise sur les aspects dynamiques de la coordination motrice, dans le cas des mouvements rythmiques. On a vu que des phénomènes, déjà bien étudiés en physique, comme les transitions de phase hors-équilibre peuvent être mises en évidence dans la coordination bimanuelle et plus généralement dans la coordination entre une personne et un signal extérieur. Nous nous sommes demandé s il est possible d étendre la dynamique de coordination à l échelle d un groupe d individus. Une étude a ainsi été menée à partir du phénomène social le plus analogue aux phénomènes de synchronisation dans la coordination motrice : la synchronisation des applaudissements. Notre objectif principal était alors de proposer une expérience de coordination entre un grand de nombre de personnes applaudissant, analogue à l expérience de transition de phase dans la coordination bimanuelle. Une analyse critique des articles ayant proposé un modèle théorique au sujet de la synchronisation des applaudissements a d abord été faite. On a surtout cherché dans ces articles les expériences pertinentes pour notre étude, n ayant pas pour objectif d obtenir un modèle simulant ce phénomène social. Ensuite, des mesures sur des enregistrements d applaudissements synchronisés ont été réalisées. Quatre types de mesures nous ont servi à analyser ces enregistrements : la mesure à l oreille de l évolution de la période du son global, l analyse temps-fréquence en utilisant la transformée de Fourier, l analyse spectrale, et enfin la mesure du paramètre d ordre. On ne prétend pas avec ces mesures avoir obtenu des résultats rigoureux, les phénomènes étudiés n étant soumis à aucune contrainte expérimentale. Néanmoins, ces mesures nous ont été cruciales pour appréhender qualitativement notre problème. Elles constituaient aussi un moyen efficace pour tester la plausibilité du modèle théorique que nous avons essayé d établir. N ayant pas d idée à priori sur les paramètres expérimentaux à contrôler pour observer une transition vers la synchronisation et pas de cadre théorique approprié, on a essayé d établir un modèle théorique. Pour cela, nous sommes partis de l équation de coordination entre une personne et un signal de métronome. Notre hypothèse fondamentale est que le son global, pro- 54

56 55 duit par l ensemble des personnes, est perçu par chacun comme un métronome, même lorsque la synchronisation est partielle. Grâce à cette hypothèse, il a été possible d obtenir un système d équations traduisant cette dynamique de coordination à N individus. Il s est avéré ensuite que ce système est formellement similaire à celui du modèle de Kuramoto. A partir de là, tous les résultats fondamentaux de ce modèle sont valables pour notre problème. Ceci nous a permis de comprendre que : 1. Le paramètre de contrôle de ce phénomène de synchronisation est la fréquence autour de laquelle les personnes doivent applaudir. 2. La transition apparaît lorsque cette fréquence descend en dessous d une valeur critique, liée au maximum de la distribution des fréquences propres. 3. Le paramètre d ordre de cette transition est fortement inspiré du modèle de Kuramoto et s exprime en fonction des phases individuelles ϕ i sous la forme : N q = e jϕ i Par ailleurs, nous avons pu établir une loi de coordination, c est-à-dire une équation dynamique sur le paramètre d ordre et pu mettre en évidence un potentiel pour le niveau collectif. Cela permet de renforcer le lien établi entre dynamique de coordination individuelle et collective. Cependant, ceci a pu être réalisé que dans le cas où il n y a pas de différences de fréquences propres entre les personnes et où il existe déjà un groupe de personnes synchronisées suffisamment important. Le modèle théorique a ensuite été confronté aux mesures expérimentales. Il s est avéré que les principaux traits qualitatifs observés peuvent être expliqués par ce modèle. Enfin, plusieurs protocoles expérimentaux ont été proposés à partir de notre modèle théorique. Si notre modèle est valide, il sera alors possible d observer une transition spontanée vers la synchronisation, lorsque la fréquence imposée est inférieure à la fréquence critique. On aurait alors un phénomène analogue à celui observé pour le comportement individuel. Dans le cas collectif, il y aurait transition de l état désynchronisé à l état synchronisé ; alors que dans le cas individuel, il y a transition de l état en opposition de phase à l état synchronisé. Notre modèle est donc un premier pas vers une compréhension claire de la dynamique intrinsèque de coordination collective. A partir de là, il sera peut-être possible de se poser des questions plus fondamentales liées à la cognition sociale, comme l apprentissage, l attention ou l intentionnalité collective. D autre part, le parallèle entre émergence du comportement individuel à partir de du niveau neuronal et émergence du comportement collectif à partir du niveau social reste à explorer. i=1

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61 Chapitre 8 Enregistrements utilisés pour les mesures Juliette Greco à l Olympia (1992) :Les feuilles mortes (n 10) et Bruxelles (n 12). Juliette Greco Odéon 1999, enregistré au théâtre de l Europe le 28 et 29 mai :La réponse du roi (n 4), La chanson des vieux amants (n 6), J arrive (n 7), Paris canaille (n 9), Mon fils chante (n 12), Ne me quitte pas (n 13) et le Temps des cerises (n 14). Les 101 violons tziganes, spectacle du palais des congrès (1995) :Le beau Danube bleu (n 5,CD2), La marche de Radetzky (n 8,CD2). Jane Birkin, Casino de Paris (1992) :Fahrenheit (n 1,CD2), La valse de Melody (n 6,CD2), Je suis venu te dire que je m en vais (n 12,CD2). Liz Mc Comb live, enregistré au théâtre des champs-élysées, à l opéra de Lyon et au Midem) :Go down Moses (n 13) Bécaud spectacle de l Olympia 97 : Jolie Louise (n 2,CD1), L indifférence (n 4,CD1), L Olympia (n 6,CD1), Et maintenant (n 9,CD1). Julos Beaucarne Casino de Paris 91 : 9/9/99 Monde neuf (n 16). Julien le 4 Octobre, enregistré au Palais des sports 1997 (Julien Clerc) : Jaloux de tout (n 14). Sol en si : Joueur de Blues (n 14). Dutronc au Casino, enregistré le 12, 13 et 14 novembre 1992 : La compa- 60

62 61 pade (n 17), S assoir par terre (n 17) et Merde in France (cacapoum) (n 18). Les Elles en scène, enregistré le 22, 23 et 24 mars 2001 à l Européen :Roma (n 16), La chatte de Mr Clock (n 18), Quand je s rai vieille (n 19).

63 Annexe A Equation de stabilisation paramétrique Dans cette annexe, on détaillera les calculs liés au modèle Haken-Kelso- Bunz et à sa généralisation où l on tient compte du métronome. Ces calculs proviennent de différents articles [8], [5] et [12]. A.1 Sans prise en compte de l influence du métronome Hypothèses : Soit un métronome qui oscille à la pulsation Ω et deux membres (par exemple un bras et une jambe) dont les pulsations propres ω 1 et ω 2 sont voisines de Ω et varient lorsque Ω varie. Les deux membres oscillent à la pulsation du métronome, le couplage entre eux étant suffiament fort. On suppose que leurs oscillations sont quasiment périodiques. Les phases locales des oscillations des membres 1 et 2 se notent respectivement ϕ 1 et ϕ 2. Et on note φ = ϕ 1 ϕ 2. Les amplitudes des oscillations des membres 1 et 2 se notent respectivement r 1 et r 2. Et on suppose r 1 = r 2 = R. Conclusion : La loi de coordination entre les membres 1 et 2, si l on ne tient pas compte explicitement du signal du métronome, s écrit : φ = ω 1 ω 2 a sin φ 2b sin 2φ avec : a = (α + 2βR 2 ) et b = 1 2 βr2 Partons du système d équations traduisant le couplage des oscillateurs membre 1 et membre 2, mentionné dans la première partie : ẍ i + (Ax 2 i + Bx 2 i γ) x i + ωi 2 x i = H i,j (0) (A.1) 62

64 63 où {i, j} {1, 2} et i j. x i représente l amplitude des oscillations du membre i. H i,j (0) désigne le terme de couplage lorsqu on ne tient pas compte de l influence du signal du métronome : H i,j (0) = (ẋ i ẋ j )(α + β(x i x j ) 2 ) = H j,1 (0) (A.2) On suppose que les solutions sont approximativement périodiques et que le couplage est suffisament fort pour que la pulsation des oscillations soit égale à Ω, la pulsation du métronome. On peut donc poser : x i = r i e j(ϕ i+ωt) + r i e j(ϕ i+ωt) (A.3) où r i est l amplitude réelle de x i. On suppose que r i et ϕ i sont des quantités lentement variables dans le temps par rapport à Ω 1. Avec cette approximation, on peut écrire les dérivées de x i comme suit : x i = {ṙ i + jr i ( ϕ i + Ω)}e j(ϕi+ωt) + {ṙ i jr i ( ϕ i + Ω)}e j(ϕ i+ωt) jr i Ωe j(ϕ i+ωt) jr i Ωe j(ϕ i+ωt) (A.4) ẍ i = { r i r i [ ϕ 2 i + 2Ω ϕ i + Ω 2 ] + j[r i ( ϕ i + 2ṙ i ( ϕ i + Ω)]}e j(ϕi+ωt) + cc r i Ω{2 ϕ + Ω}e j(ϕ i+ωt) r i Ω{2 ϕ + Ω}e j(ϕ i+ωt) (A.6) où cc signifie complexe conjugué. En insérant alors A.2, A.3, A.4 et A.6 dans A.1, on trouve par identification pour le terme oscillant avec e jωt, et en prenant ṙ 1 = ṙ 2 = 0 : r 1 e jϕ 1 { 2Ω ϕ 1 + ω 2 1 Ω 2 + jω(3bω 2 r Ar γ)} = jαω(r 1 e jϕ 1 r 2 e jϕ 2 ) + jβω(r 1 e jϕ 1 r 2 e jϕ 2 ) 2 (A.7) et de même pour le membre 2 : d où : (r 1 e jϕ 1 r 2 e jϕ 2 ) r 2 e jϕ 2 { 2Ω ϕ 2 + ω 2 2 Ω 2 + jω(3bω 2 r Ar γ)} = jαω(r 2 e jϕ 2 r 1 e jϕ 1 ) + jβω(r 2 e jϕ 2 r 1 e jϕ 1 ) 2 (A.8) (r 2 e jϕ 2 r 1 e jϕ 1 ) φ = ω2 1 ω2 2 2Ω (α + β(r2 1 + r 2 2)) r 2 r 1 sin(φ) 1 2 βr2 2 sin(2φ) (A.9) Comme ω 1 et ω 2 sont voisines de Ω, on a : ω 2 1 ω2 2 2Ω ω 1 ω 2 (A.10)

65 64 On obtient finalement la loi de coordination exprimée dans la première partie : φ = ω 1 ω 2 a sin φ 2b sin 2φ (A.11) avec a et b valant pour r 1 = r 2 = R : a = (α + 2βR 2 ) et b = 1 2 βr2 (A.12) A.2 Prise en compte de l influence du métronome Hypothèses : On prend les mêmes hypothèses qu au paragraphe précédent. On ne considère maintenant que l oscillation du membre 1 et on note ω 1 = ω et ϕ 1 = ϕ. L amplitude des oscillations du métronome se note ɛ 0. Conclusion : La loi de coordination entre le membre considéré et le métronome s écrit : ϕ = ω Ω ɛ2 0 cos 2ϕ 8Ω3 On part tout d abord des équations décrivant les membres 1 et 2, afin d utiliser les résultats du paragraphe précédent. Puis, on ne considérera que les variables décrivant les oscillations du membre 1. On aurait pu continuer à prendre en compte dans les équations des membres 1 et 2, la dynamique du phénomène serait restée inchangé. Cependant, seul nous est utile pour la compréhension du modèle proposé au chapitre 6, l équation de coordination d un seul membre avec le métronome. Pour tenir compte de l influence du métronome sur la coordination, il faut l intégrer au terme de couplage du paragraphe précédent H i,j (0). On note H i,j (ɛ) le terme de couplage avec prise en compte du signal du métronome représenté par ɛ. On a : lim H i,j(ɛ) = H i,j (0) ɛ 0 (A.13) On effectue ainsi un développement de H i,j dans le régime de faible nonlinéarité et on ne conserve que les termes linéaires additifs et multiplicatifs : 2 2 H i,j (ɛ) = H i,j (0) + ɛ(c 0,i + c ji x j + d ji ẋ j ) + (ɛ) k=1 k=1 (A.14) On néglige les termes d ordre élevé (supérieur à l ordre 1). On considére que le métronome entraîne chaque membre séparément, donc c 1,2, c 2,1, d 1,2, d 2,1 0

66 65 On utilise la symétrie du système (le système est invariant par la transformation x 1 x 2 et vis-versa), donc c 0,1 = c 0,2 = c 0 c 1,1 = c 2,2 = c 1 Cela nous permet finalement d obtenir : H i,j (ɛ) H i,j (0) + c 0 ɛ + c 1 x i ɛ + d 1 ẋ i ɛ On modélise ensuite le signal du métronome par : ɛ = ɛ 0 cos Ωt On fait l antsatz suivante pour la solution de A.15 : x i = x i,0 + r i e j(ϕ i+ωt) + r i e j(ϕ i+ωt) (A.15) (A.16) (A.17) où x i,0 est une grandeur réelle dépendant du temps. On peut éliminer adiabatiquement ce terme, c est-à-dire x i,0 0, ce qui donne après identification dans A.1 : x i,0 = ɛ 0 2ω 2 (r ie j(ϕi+ωt) + r i e j(ϕi+ωt) ) (A.18) On insère l expression du terme de couplage A.15 et l expression de l amplitude de chaque membre dans le système A.1, en utilisant exactement la même méme méthode qu au paragraphe précédent, on obtient pour le membre 1 l équation : ϕ 1 = ω2 1 Ω Ω 2 (α + β(r2 1 + r2)) 2 r 2 sin φ 1 r 1 2 βr2 2 sin 2φ ɛ 2 0 ɛ 0 c 1 8Ωω1 2 cos 2ϕ 2 c 0 cos 2ϕ 1 2Ωr 2 (A.19) (A.20) On prend c 0 0 et c 1 = 1, cela laissant inchangé la dynamique du phénomène. Ensuite, s il on veut écrire l équation de coordination entre le membre 1 et le métronome, il suffit de prendre r 2 = 0 dans l équation précédente. On obtient finalement l équation suivante, qui est en quelques sortes le point de départ de notre travail théorique : ϕ 1 = ω2 1 Ω2 ɛ2 0 2Ω 8Ωω1 2 cos 2ϕ 1 (A.21) Comme on a supposé au départ que ω 1 est voisin de Ω, cette équation s ecrit plus simplement sous la forme : ϕ 1 ω 1 Ω ɛ2 0 8Ω 3 cos 2ϕ 1 (A.22) En prenant alors les notations ϕ 1 = ϕ et ω 1 = ω, on obtient la loi de coordination entre un membre et un signal de métronome : ϕ = ω Ω ɛ2 0 cos 2ϕ 8Ω3 (A.23)

67 Annexe B Le modèle de Kuramoto B.1 Couplage critique Hypothèses : 1. On considère N oscillateurs approximativement identiques à cycle limite, N suffisament grand pour se pouvoir se placer dans la limite thermodynamique. 2. Chaque oscillateur a une pulsation propre ω i. On suppose la densité de probabilité G(ω), de la distribution des fréquences propres, symétrique par rapport à son seul maximum Ω. 3. Chaque oscillateur est couplé à tous les autres de façon uniforme uniquement via la phase. Conclusion : On note ε le couplage entre chaque oscillateur et tous les autres. Il existe un couplage critique ε c : ε c = 2 πg(ω) tel que si ε est supérieur à ε c, le régime désynchronisé devient instable et on peut alors observer une transition vers la synchronisation. Dans ce paragraphe, nous allons détailler les calculs aboutissant à l expression du couplage critique ε c, qui est la valeur seuil pour réaliser la transition vers la synchronisation. On réecrit tout d abord l équation de Kuramoto à partir de laquelle on débute tous les calculs : θ i = ω i + ε N On pose comme paramètre d ordre : N sin(θ k θ i ) k=1 (B.1) Ke jψ = 1 N 66 N k=1 e jθ k (B.2)

68 67 qui nous permettra de simplifier grandement l équation précédente. Pour cela, on multiplie chaque membre de B.2 par e jθ i : Ke jψ θ i = 1 N dont la partie imaginaire donne : K sin(ψ θ i ) = 1 N N k=1 e jθ k θ i N sin(θ k θ i ) k=1 (B.3) (B.4) En substituant alors dans B.1 cette expression, on obtient l équation de Kuramoto faisant intervenir le paramètre d ordre : θ i = ω i + εk sin(ψ θ i ) (B.5) Posant ψ = Ωt et ϕ i = θ i Ωt, cette équation peut se réécrire sous la forme : ϕ i = ω i Ω εk sin ϕ i (B.6) De cette équation, on voit que les oscillateurs de fréquences naturelles compris dans l intervalle ω i Ω εk peuvent avoir une solution statique ϕ i = 0. Les oscillateurs dont ω i = Ω + εk sin ϕ i (B.7) sont dits bloqués en fréquence (sur la fréquence Ω). Par contre, ceux dont la fréquence naturelle est compris dans l intervalle ω i Ω > εk, ne peuvent pas se bloquer en fréquence et circulent ainsi sur le cercle trigonométrique de façon non uniforme. On dit qu ils dérivent. Les premiers contribuent à la synchronisation, alors que les seconds sont désynchronisés. Pour déterminer ε c on distinguera donc ces deux groupes d oscillateurs. Ayant considéré que ψ Ωt (cf 6.4), le paramètre d ordre K peut s écrire : K = e jϕ bloquée + e jϕ dérive (B.8) Comme N est suffisament grand pour se placer dans la limite thermodynamique, on peut considérer les phases distribuées de façon continue sur le cercle trigonométrique selon la densité de probalité ρ(ϕ, ω). Ce qui permet d écrire : π e jϕ dérive = e jϕ ρ(ϕ, ω)g(ω)dωdϕ (B.9) π ω i Ω >εk en ayant fait le changement de variable ω ω Ω (Dans la suite, on se placera toujours après le changement de variable, autrement dit G(ω) est

69 68 centré sur 0). Quelques remarques maintenant sont nécessaires pour simplifier cette intégrale. Tout d abord, cherchant des solutions stationnaires stables, on force la distribution à être indépendante du temps, elle doit donc être inversement proportionnelle à la vitesse des oscillateurs en ϕ. En effet, dans une zone où il y a moins d oscillateurs, elles doivent circuler plus vite, afin de conserver le même nombre d oscillateurs dans cette zone. D où : ρ(ϕ, ω) = C ϕ = C ω Ω εk sin(ϕ) (B.10) De là, on en déduit que ρ(ϕ + π, ω) = ρ(ϕ + π, ω), et on a supposé de plus que G( ω) = G(ω). On a donc à l intérieur de l intégrale une fonction impaire en ω, ainsi : e jϕ dérive = 0 (B.11) Cela signifie que seuls les oscillateurs bloqués en phase contribuent au paramètre d ordre, ce qui est plausible car les oscillateurs dont la phase dérive n ont pas de ϕ ou de directions privilégiées. Maintenant cherchons donc la contribution des oscillateurs bloquées. D après l équation B.7, on sait que : sin(ϕ) = ω i /εk (B.12) (avec le changement de variable sur ω). Or G(ω) est centrée sur 0 et paire, donc les phases ϕ i seront aussi centrées sur 0 de façon symétrique, autrement dit sin(ϕ) bloquée = 0. D où l expression du paramètre d ordre : K = εk εk cos[ϕ(ω)]g(ω)dω (B.13) où ϕ est définie par l équation B.12. Utilisant alors cette équation, il en résulte : K = π 2 π 2 cos(ϕ)g(εk sin(ϕ))εkdϕ = εk π 2 π 2 cos 2 (ϕ)g(εk sin(ϕ))dϕ (B.14) On peut voir en premier lieu que K = 0 est une solution de cette équation, correspondant au régime désynchronisé. On cherche ensuite les solutions non nulles. En divisant par K, on a : π 1 = ε 2 cos 2 (ϕ)g(εk sin(ϕ))dϕ π 2 (B.15) Si l on fait tendre alors K 0 + dans cette équation, on trouve le couplage critique pour lequel le paramètre d ordre croît à partir de 0 : 1 = ε c π 2 π 2 cos 2 (ϕ)g(0)dϕ = ε c G(0) π 2 (B.16)

70 69 D où : ε c = 2 πg(0) Ce qui donne sans faire le changement de variable sur ω : ε c = 2 πg(ω) (B.17) (B.18) ε c est donc la valeur critique au-delà de laquelle un état partiellement synchronisé apparaît. B.2 Caractérisation de la transition Hypothèses : Soient les mêmes hypothèses qu au paragraphe précédent. Conclusion : On a alors l évolution du paramètre d ordre K en fonction de la force de couplage ε au voisinnage de la transition, c est-à-dire de ε c : 16 K = πg (Ω)ε 4 (ε ε c ) 1/2 c La transition vers la synchronisation dans le modèle de Kuramoto est similaire à une transition de phase du second ordre. Pour savoir comment K varie en fonction de ε au voisinage de ε c, on peut développer G(εK sin ϕ) dans B.15, autour de K = 0 : G(εK sin ϕ) G(0) + G (0)εK sin ϕ G (0)(εK sin ϕ) 2 (B.19) Comme G(ω) a son maximum en 0, G (0) = 0, en injectant la nouvelle expression de G dans B.15, on obtient : π 2 1 = ε cos 2 ϕ[g(0) + 1 π 2 G (0)(εK sin ϕ) 2 ]dϕ 2 (B.20) Ce qui donne après calcul de l intégrale et en utilisant l expression de ε c trouvé dans le paragraphe précédent : 1 = ε[g(0) π 2 + ε3 K 2 G (0) π 2 8 ] = ε + πε3 K 2 G (0) ε c 16 (B.21) On fait ensuite l approximation que ε ε c, étant au voisinage de la transition : ε c = ε πε 3 + ε ck 2 G (0) c (B.22) ε c 16

71 70 On peut alors enfin calculer l évolution du paramètre d ordre en fonction du couplage, au voisinage de la transition : 16 K = πg (0)ε 4 (ε ε c ) 1/2 (B.23) c Ce qui donne sans faire le changement de variable sur ω : 16 K = πg (Ω)ε 4 (ε ε c ) 1/2 (B.24) c