Vers une dynamique de coordination collective : la synchronisation des applaudissements

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1 Vers une dynamique de coordination collective : la synchronisation des applaudissements Jonathan Platkiewicz sous la direction de Paul Bourgine Centre de Recherche en Epistémologie Appliquée

2 Remerciements Je tiens à remercier avant tout mon directeur de stage Paul Bourgine. Il a su à la fois me laisser toute la liberté que je désirais et me cadrer avec rigueur pour mener à bien le stage. J ai particulièrement apprécié ses conseils et sa vision profonde des questions qui se sont posées. Sa disponibilité à toute épreuve et sa sincère gentillesse m ont beaucoup apporté dans mon travail. Je suis vraiment reconnaissant de l engouement et de l enthousiasme qu il a témoigné à diriger mon stage. Je voudrais aussi remercier Jean-Jacques Temprado que j ai pu connaître grâce à Jean-Pierre Nadal. Ses réponses toujours précises et rapides qu il a apporté à mes questions, grâce aux courriers électroniques, m ont été très bénéfiques. Son enthousiasme par rapport à mon sujet m a aussi vraiment motivé. Je voudrais aussi remercier Alain de Cheveigné, pour m avoir aidé en début de stage et le stagiaire de Daniel Pressnitzer, pour son aide en traitement du signal. J aimerai aussi dire un grand merci à Olivia pour son soutien et pour m avoir permis de m échapper du parking du CREA au beau milieu de la nuit. Je remercie aussi tous mes proches pour m avoir soutenu jusqu en pleine période de grandes vacances. Merci à vous, Jonathan, Vassili, Marine pour m avoir aidé dans la relecture du mémoire. Et merci au café EONIKON pour s être occupé de moi dans les derniers moments. Enfin, je ne serai jamais assez reconnaissant aux parents Vergopoulos et à Vassili pour m avoir acceuilli chez eux et m avoir soutenu pour le sprint final. 1

3 Résumé Le travail réalisé durant ce stage est à mi-chemin entre la physique des systèmes dynamiques non-linéaires et les sciences cognitives. Du point de vue de la physique, le problème étudié concerne la synchronisation d une population d oscillateurs. Du point de vue des sciences cognitives, on s est penché sur un problème de perception-action et de cognition sociale. La problématique du sujet s est construite à partir du phénomène des applaudissements synchronisés, auquel on participe souvent après une pièce de théâtre ou un concert. Le travail a consisté d abord à analyser et critiquer les modèles existants de synchronisation des applaudissements. Puis, des mesures ont été réalisées à partir d enregistrements d applaudissements synchronisés. Parallèlement à cela, une étude de la littérature sur la dynamique de coordination et en particulier du modèle Haken-Kelso-Bunz a été faite, ce domaine de recherche traitant quant à lui de la coordination motrice au niveau individuel dans le cas de mouvements rythmiques. On s est alors attaché à montrer les liens qu il existe entre ce domaine et la synchronisation des applaudissements. Ainsi, à partir de l équation de coordination entre un mouvement rythmique et un signal de métronome, on a cherché un système d équations traduisant la dynamique de coordination entre N personnes applaudissant de façon spécifique et couplées via le son global qu ils produisent. Il s avère que ce système d équations est formellement très similaires à celui du modèle de Kuramoto, qui rend compte des phénomènes de synchronisation au sein d une population d oscillateurs. On a donc pu en déduire théoriquement une fréquence critique de transition vers la synchronisation et une caractéristique de cette transition. Ce modèle a ensuite été confronté aux mesures faites sur les enregistrements d applaudissements synchronisés. Enfin, on a proposé des protocoles expérimentaux permettant de vérifier rigoureusement les prédictions du modèle, protocoles qu ils n auraient pas été possibles d établir sans une analyse théorique préalable. mots clefs : coordination motrice, mouvements rythmiques, transition de phase, synchronisation, cognition sociale, oscillateurs non-linéaires couplés, modèle de Kuramoto. 2

4 Table des matières 1 Introduction 5 I La dynamique de coordination 8 2 Expériences L expérience de Juilliard Expériences de coordination relative Le modèle Haken-Kelso-Bunz et ses généralisations Evolutions temporelles Equilibres et stabilités Lien entre dynamique de coordination et cognition II Vers une dynamique de coordination à N individus 21 4 Discussions des modèles précédents de synchronisation des applaudissements Synchronization of two-mode stochastic oscillators Physics of the Rhythmic applause Observations expérimentales préliminaires Intervalles entre deux salves d applaudissement Analyse temps-fréquence Analyse spectrale Mesure du paramètre d ordre Construction du modèle théorique Stabilisation paramétrique Modèle de coordination à N individus Explication qualitative Le modèle de Kuramoto Application au cas de la coordination à N individus

5 TABLE DES MATIÈRES Vérification qualitative sur le cas des applaudissements synchronisés Propositions de protocoles expérimentaux Transition du régime désynchronisé au régime synchronisé Transition du régime synchronisé au régime désynchronisé.. 53 Bibliographie 56 8 Enregistrements utilisés pour les mesures 60 A Equation de stabilisation paramétrique 62 A.1 Sans prise en compte de l influence du métronome A.2 Prise en compte de l influence du métronome B Le modèle de Kuramoto 66 B.1 Couplage critique B.2 Caractérisation de la transition

6 Chapitre 1 Introduction Les applaudissements synchronisés est un des exemples les plus connus de synchronisation au niveau social. Il est couramment observé dans la vie quotidienne, après une pièce de théâtre ou un concert. Il peut être décrit de la façon suivante : initialement, on perçoit un bruit sans aucune cohérence d intensité élevée ; soudainement un rythme émerge, le public applaudit en synchronie ; puis après une certaine durée, le rythme commence à disparaître et le bruit redevient de plus en plus intense. Ce phénomène est resté sans intérêt aux yeux des scientifiques jusqu à très récemment. Puis une équipe de physiciens, Z.Neda et al. (2000), s est intéressé à ce phénomène, le considérant comme un phénomène de synchronisation modélisable [30]. Ils ont élaboré un modèle permettant de l expliquer, que nous détaillerons dans le début de la seconde partie. La nouveauté d une telle étude est d avoir tenté d analyser un phénomène social grâce aux outils de la physique statistique et de la physique des systèmes dynamiques non-linéaires. Il est néanmoins étonnant que ce phénomène n est suscité l attention des chercheurs que depuis cinq ans. Ceci s explique par plusieurs facteurs : La résolution analytique des problèmes de synchronisation d une population d oscillateurs n a été effectué avec succès que très récemment ; l intérêt des modélisateurs pour les phénomènes sociaux est aussi très récent. Le premier à avoir étudier la synchronisation est le chercheur hollandais Christiaan Huygens en 1665, avec l étude de pendules couplés mécaniquement. Mais l étude de la synchronisation d une large population d oscillateurs, comme celle des lucioles, n a débuté que très tardivement, autour de 1960, avec Arthur Winfree. Cela tient principalement au développement de l informatique permettant de faire des simulations. En effet, dans la plupart des cas le traitement analytique de la synchronisation avec un grand nombre d oscillateurs est très difficile. Le travail réalisé durant ce stage a commencé avec l étude approfondie des articles traitant de la synchronisation des applaudissements. Cette analyse critique a aussi été accompagnée de mesures directes sur les enregistre- 5

7 ments d applaudissements. Des disques de concerts ont été récupérés et nous avons utilisé quelques méthodes issus du traitement du signal pour étudier expérimentalement le phénomène des applaudissements synchronisés. Ce sujet est pertinent du point de vue des sciences cognitives pour plusieurs raisons. Tout d abord, c est un phénomène social faisant intervenir une faculté cognitive comme la coordination. Au niveau individuel, nous sommes dans une situation de perception-action : chaque personne écoute le son des applaudissements et applaudit en fonction. Ce phénomène rentre aussi dans le cadre de la cognition sociale. Il y a en effet plusieurs personnes qui interagissent ensemble via une information véhiculée par le son. De plus, nous avons clairement à l échelle collective, un comportement identifiable. Il est caractérisé par le degré de synchronisation entre les applaudissements. Enfin, le phénomène de synchronisation étant très présent au niveau des neurones, il est interessant de l étudier au niveau social. Dans une perspective de naturalisation des sciences cognitives, ce sujet est aussi intéressant. Le comportement qui constitue ce phénomène, à savoir le mouvement rythmique des bras humains, est simple et donc facilement modélisable. Le groupe est clairement identifié et se reconnaît comme tel. Les interactions au sein du groupe sont quantifiables et très spécifiques. Enfin le phénomène est contenu dans l espace et dans le temps, sur une échelle très réduite. Cela permet d éviter des influences de l environnement extérieur qui ne pourraient pas être prises en compte dans la modélisation. Pour toutes ces raisons, on comprend l intérêt de se pencher sur ce phénomène dans le cadre d un Master de sciences cognitives. Néanmoins, comprendre simplement la synchronisation des applaudissements dans les salles de concerts ne constitue pas une étude scientifique rigoureuse et n a pas d intérêt du point de vue de la cognition. Pour pouvoir conduire une étude scientifique rigoureuse à partir de ce phénomène social, il faudrait pouvoir réaliser une expérience contrôlable dans laquelle on observerait un phénomène similaire. Cependant nous ne voyons pas comment il serait possible de monter une telle expérience sans savoir ce qu il faut contrôler. Pour cela, il faut élaborer une analyse théorique et partir du comportement individuel pour prédire les comportements observables au niveau collectif. Au cours du stage, j ai découvert qu il existait déjà toute un domaine de recherche portant sur la coordination motrice, que l on appelle dynamique de coordination. Ce domaine part de l expérience de transition de phase dans la coordination bimanuelle. Nous détaillerons avec précision dans la première partie les principales expériences de ce domaine et les modèles théoriques construits à partir de ces expériences. Ce domaine étudie spécifiquement les mouvements rythmiques des membres et leurs coordinations via un stimulus externe. Un parallèle entre les phénomènes de transition de phase observés en physique comme par exemple dans les liquides, les phénomènes de formation de motifs (ou patterns en anglais) et les phénomènes observés dans la coordination motrice est posé de façon rigoureuse. Néanmoins, les 6

8 7 expériences dans ce domaine se limitent au cas de la coordination motrice individuelle ou inter-personnelle. Il est donc intéressant de voir si la synchronisation des applaudissements peut être vue comme une extension de ce domaine au comportement de groupe. La problématique de mon travail se résume donc ainsi : Dans quelle mesure existe-t il un lien entre la dynamique de coordination des mouvements rythmiques individuels et la dynamique de coordination en groupe dans le cas des applaudissements? Plus précisément, nous nous fixons d essayer de répondre à trois questions : 1. Est-il possible de prédire la synchronisation des applaudissements à partir des lois individuelles de la coordination des mouvements rythmiques? 2. Est-il possible de monter une expérience où l on pourrait observer la transition vers la synchronisation lorsqu on fait varier un paramètre spécifique? 3. Est-il possible d établir une loi de coordination dans le cas de N individus qui applaudissent, couplés par un signal global? Dans la première partie de ce mémoire, nous ferons un état de l art. Nous présenterons en détail la littérature portant sur la dynamique de coordination, ce qui permettra de poser le cadre théorique dans lequel nous nous plaçons. Dans la seconde partie, nous exposerons le travail réalisé durant ce stage. L organisation de cette partie correspond approximativement au déroulement chronologique du stage. Tout d abord, nous présenterons l analyse critique des articles sur la synchronisation des applaudissements. Nous exposerons ensuite les mesures faites sur les enregistrements d applaudissements. Puis nous détaillerons le modèle théorique élaboré à partir de la dynamique de coordination. Nous confronterons alors ce modèle aux mesures expérimentales. Il sera alors possible de proposer des protocoles expérimentaux, qui constituent les perspectives possibles au travail réalisé durant ce stage.

9 Première partie La dynamique de coordination 8

10 Chapitre 2 Expériences Dans toute cette partie, on présentera dans ses grandes lignes la dynamique de coordination. Cette partie est essentielle pour comprendre l intérêt et la démarche choisie du travail réalisé. Cette partie est une synthèse des lectures faite à partir d articles et de livres sur ce champ de recherche. On présentera tout d abord les expériences fondatrices de ce domaine. Ce choix est motivé par le fait qu elles mettent en évidence tous les phénomènes essentiels étudiés, qu elles permettent de concrétiser les situations dans lesquelles on se place et enfin qu elles sont naturellement à la base de tous les travaux théoriques. Ensuite, nous exposerons le modèle théorique de coordination en insistant uniquement sur les hypothèses, les approximations et le raisonnement faits. Les calculs précis seront détaillés dans l Annexe A. Finalement, nous mettrons en lumière le lien fort qu il existe entre ce courant de recherche et les sciences cognitives. Cela nous permettra de mieux saisir l intérêt du travail effectué par rapport aux sciences cognitives. 2.1 L expérience de Juilliard La première expérience qui a ouvert le domaine de la dynamique de coordination est celle de la transition de phase dans la coordination bimanuelle [1]. L expérience se présente ainsi : On prend un métronome dont on fait varier la fréquence entre 1.4 Hz et 3 Hz par pas de 0.2 Hz de façon croissante. La tâche demandée au sujet est la suivante : Osciller les index des deux mains à la fréquence du métronome (ce cas est appelé coordination 1 : 1). Les deux index doivent osciller l un par rapport à l autre en opposition de phase. On peut par exemple mettre les deux doigts l un en face de l autre, et lorsque l un est en position haute, l autre est en position basse, et vis-versa. De plus le sujet doit adopter à chaque instant la configuration la plus stable entre ses doigts. Autrement dit, si ses doigts n oscillent plus strictement en opposition de phase, il ne doit pas empêcher consciemment ce changement, quitte à même osciller ses doigts en synchronie. On observe 9

11 10 alors plusieurs faits expérimentaux remarquables. 1. En notant φ = ϕ 1 ϕ 2 la différence entre la phase du doigt 1, ϕ 1, et celle du doigt 2, ϕ 2, on mesure uniquement φ = 0 ou φ = π à l équilibre pour les fréquences inférieures à la fréquence critique. Ces deux états d équilibre sont les plus stables. On appelle cela bistabilité. 2. La transition spontanée du mode anti-phase (φ = π) vers le mode en phase (φ = 0), lorsque la fréquence devient supérieure à cette fréquence critique. Autrement dit, les doigts qui oscillaient en opposition de phase se mettent spontanément à se synchroniser. On a un phénomène de transition de phase. 3. L influence considérable des fluctuations au voisinage de la transition, c est-à-dire que l écart type de la mesure de φ augmente à la transition. Ceci est appelé fluctuations critiques. 4. Le temps de relaxation vers l équilibre φ = 0 croît notablement près de la transition. On appelle cela ralentissement critique. 5. Lorsqu on fait décroître la fréquence, les doigts continuent à osciller en phase. On parle alors d hystérésis.

12 11 Fig. 2.1 Ces deux séries de mesures illustrent le phénomène de transition de phase du mode anti-phase au mode en phase. Pour ces deux courbes, la fréquence des mouvements augmente avec le temps. (A) La courbe en gras correspond au mouvement de l index droit, celle en pointillé au mouvement de l index gauche. On voit que pour la première moitié de la mesure les oscillations sont en opposition de phase, alors que dans la seconde moitié elles sont en phase. (B) La courbe correspond à la mesure de φ. On observe qu il y a flutuation dans l état stable φ = 0 et φ = π, mais les fluctuations augmentent avant la transition Ainsi, ce que J.A. Scott Kelso a mis en évidence au début des années 80, c est principalement un phénomène de transition de phase horséqulibre dans la coordination bimanuelle. Ce type de transition est caractéristique des phénomènes de formation de motifs (ou patterns en anglais), comme par exemple dans l expérience de l instabilité de Rayleigh- Bénard. 2.2 Expériences de coordination relative Les expériences de coordination ne se limitent pas au cas des oscillations entre deux doigts. Elles sont génériques dans la mesure où elles concernent

13 12 la coordination entre les mouvements rythmiques de tous les membres du corps. Des expériences similaires ont en effet été réalisées sur la coordination entre les deux mains, les deux bras ou les deux jambes [6]. Et des expériences ont aussi été faites pour la coordination entre deux membres non homologues, comme par exemple entre la main et le pied ou le bras et la jambe. Cependant dans ces derniers cas, un paramètre a changé qui n avait pas été pris en compte dans la première expérience entre les deux index. En effet, chaque membre qui oscille peut être vu comme un oscillateur à cycle limite ayant une fréquence propre donnée [4]. Le bras et la jambe n ayant pas la même fréquence propre, cela va naturellement influencer la coordination relative entre ces deux membres. Une expérience a ainsi été conduite par J.A. Scott Kelso et J.J. Jeka en 1992, pour étudier la coordination relative entre ces deux membres en contrôlant la différence de pulsations propres δω grâce à l ajout de poids aux membres [7]. Plusieurs faits expérimentaux peuvent être notés : 1. Lorsque la différence de fréquences propres est non nulle mais petite, les équilibres stables (φ = 0 et φ = π) sont légèrement déplacés. Autrement dit, les nouveaux équilibres sont φ > 0 et φ > π, ou φ < 0 et φ < π selon le signe de δω. 2. Plus la différence de fréquence propre est grande, plus ces équilibres sont déplacés. 3. Pour une fréquence du métronome fixée, les fluctuations sont d autant plus imortantes que la différence de fréquences propres est grande. On comprend alors que la différence de fréquences propres joue un rôle perturbateur en brisant la symétrie du système. Elle peut être considérée comme un paramètre de contrôle au même titre que la fréquence du métronome. On voit aussi apparaître le mécanisme des instabilités à l origine de la formation de motif. On a en effet deux forces en compétition : l une attractive due au couplage via le système nerveux, qui attire la phase d oscillation d un des membres vers la phase de l autre ; l autre répulsive due à la différence des fréquences propres, qui empêche les deux membres de se synchroniser. On pourrait penser que cette classe d expériences ne seraient valables que pour la coordination motrice des mouvements rythmiques intra-individuelle, cependant le même type de comportements apparaît dans la coordination des mouvements entre deux personnes [9], [10] et [11]. Le protocole expérimental est très similaire à celui des expériences précédentes : On prend un métronome dont la fréquence peut prendre quatre valeurs 5.32 rad.s 1 ou rad.s 1 (si δω = 0) et 3.85 rad.s 1 ou 7.66 rad.s 1 (si δω 0). Deux personnes sont face à face et il leur est demandé d osciller leurs bras à la fréquence du métronome, l un en phase et l autre en anti-phase avec le métronome. Chacun peut voir le bras de l autre osciller, mais ne peut pas voir son propre bras. On contrôle d autre part la différence de fréquences propres entre les

14 13 deux sujets en leur faisant tenir des bâtons de masses fixées pendant qu ils oscillent leurs bras : Fig. 2.2 Les deux personnes oscillent leurs bras et coordonnent leurs mouvements en se regardant mutuellement. Les bâtons, qu ils tiennent dans leurs mains, ont des masses au bout servant à contrôler la différence de fréquences propres. Les mêmes résultats que pour la coordination intra-individuelle ont été obtenus, en particulier la transition spontanée entre le mode anti-phase et le mode en phase, lorsque la fréquence du métronome dépasse un certain seuil. D autre part le modèle théorique rendant compte des expériences détaillées précédemment reste valide. On verra ce modèle au paragraphe suivant. Cela suggère que la loi de coordination intra-individuelle n est pas spécifique à l anatomie du système nerveux, mais a une valeur plus générale dans la mesure où elle est valable pour la coordination entre deux personnes différentes. Cette interprétation est confirmée par l expérience où l on étudie simplement la coordination entre le mouvement oscillatoire d un doigt et le signal d un métronome. Dans cette expérience, les mêmes résultats expérimentaux fondamentaux, évoqués précédemment, ont été observés. En somme, cela permet d affirmer que le mécanisme fondamental de la coordination des mouvements rythmiques est le couplage via un stimulus externe. Ce point est très important pour l étude de la synchronisation des applaudissements, car cela justifie l utilisation des modèles théoriques de la coordination, étant donné que le seul couplage qui existe entre des personnes applaudissant ensemble est un couplage par un signal externe.

15 Chapitre 3 Le modèle Haken-Kelso-Bunz et ses généralisations Le modèle théorique Haken-Kelso-Bunz a été élaboré dès l expérience de Juillard, pour tenir compte de la transition de phase dans la coordination bimanuelle. Puis, ce modèle a été amélioré et raffiné pour rendre compte des nouveaux faits expérimentaux comme la différence des fréquences propres entre deux membres oscillant. Nous présenterons directement le modèle général où la différence de fréquences propres est intégrée. Comme nous allons le voir, il y a deux niveaux de lecture dans ce modèle : dans le premier, on traduit les oscillations des membres et donc l évolution temporelle de la coordination ; dans le second, on exprime la stabilité de tels ou tels équilibres. Dans notre présentation, nous partirons du premier niveau, moins intuitif mais plus adapté pour construire le modèle. Nous détaillerons dans ce chapitre uniquement les grandes lignes du raisonnement du modèle HKB, qui permettent de bien comprendre sa construction théorique. Les calculs précis sont détaillés dans l Annexe A. 3.1 Evolutions temporelles Il y a trois paramètres déterminants pour la dynamique : 1. Ω, la pulsation du métronome à laquelle le sujet doit coordonner l oscillation de ses deux membres (par exemple un bras et une jambe). Ce paramètre joue le rôle de paramètre de contrôle, car lorsqu on le modifie le comportement du système évolue. 2. δω = ω 1 ω 2, la différence des fréquences propres entre les deux membres. ω 1 est la fréquence propre du membre noté 1 et ω 2 celle du membre 2. ω 1 et ω 2 sont voisins de Ω, mais leur différence est 14

16 15 non négligeable. Cette différence joue le rôle de perturbateur, car elle déplace et destabilise les équilibres par rapport à la situation où il n y a pas de différence de fréquences propres. 3. φ = ϕ 1 ϕ 2, la différence des phases entre le membre 1 (dont la phase est ϕ 1 ) et le membre 2 (dont la phase est ϕ 2 ). On l appelle aussi la phase relative. Ce paramètre joue le rôle de paramètre d ordre. Il répond en effet à trois critères : il capture l ordre spatio-temporel entre les constituants du système ; Il varie plus lentement que les variables décrivant l évolution de ces constituants ; Il varie brutalement à la transition. Ces paramètres suffisent à saisir la dynamique globale du phénomène exposé dans le chapitre précédent. L objectif du modèle est de trouver une équation différentielle sur le paramètre d ordre φ en fonction des autres paramètres mentionnés. On aura ainsi en détail une description de l évolution de la transition de phase dans la coordination entre membres. Pour cela, il faut partir de la description précise de l oscillation des membres. Une étude a été faite permettant de modéliser les mouvements oscillatoires des membres [4], [5]. De façon empirique Kay et al. posent que l équation de ces oscillateurs est une combinaison du modèle de Van der Pol et de Rayleigh. En somme l oscillateur membre est vu comme un oscillateur à cycle limite. L équation de l oscillateur membre contiendra donc : 1. Un terme d auto-excitation linéaire γẋ, avec γ > 0, qui permet aux oscillations d être auto-entretenues. On prend γ =0,032 s 1 [5]. 2. Un terme de Van der Pol Ax 2 ẋ, qui permet d avoir une amplitude d oscillation finie lorsque la fréquence tend vers 0. A vaut 2,452 m 2.s Un terme de Rayleigh Bẋ 3, qui donne une amplitude qui décroît lorsque la fréquence augmente. B vaut m 2.s. D où l équation en régime libre de l amplitude des oscillations x i du membre i, i {1, 2} : ẍ i + (Ax 2 i + Bẋ 2 i γ)ẋ i + ω 2 i x i = 0 (3.1) Le régime libre signifie ici qu il n y a pas de couplage entre les membres, autrement dit que chaque membre oscille indépendamment de l autre. Si on veut tenir compte du couplage, il faut faire intervenir un terme de couplage. On note H i,j (avec i, j {1, 2} et i j) le terme de couplage entre le membre i et j, plus précisément il exprime l influence des oscillations du membre j sur le membre i. On peut l exprimer sous la forme : H i,j = (ẋ i ẋ j )(α + β(x i x j ) 2 ) = H j,i (3.2)

17 16 Cette expression est empirique et a été obtenue à partir d une forme polynomiale. On introduit alors l expression de H 1,2 dans l équation caractérisant l amplitude des oscillations du membre 1 : ẍ 1 + (Ax Bx 2 1 γ) x 1 + ω 2 x 1 = H 1,2 (3.3) Et de même pour l équation de l amplitude des oscillations du membre 2 : ẍ 2 + (Ax Bx 2 2 γ) x 2 + ω 2 x 2 = H 2,1 (3.4) On a maintenant un système d équations qui exprime le fait qu on a deux oscillateurs non-linéaires couplés. Si l on veut une équation différentielle sur le paramètre d ordre φ, il faut chercher les solutions de ce système, et les écrire en coordonnées polaires afin de pouvoir distinguer phase et amplitude. Avant de chercher des solutions, il est nécessaire de faire queques hypothèses cruciales : la différence de fréquences propres δω est non nulle mais petite comparée à la valeur de Ω. Le couplage entre les membres est suffisament fort pour que leur fréquence d oscillation soit la même et égale à Ω. Les solutions peuvent alors être prises approximativement périodiques et s écrire sous la forme : x i = r i e j(ϕ i+ωt) + r i e j(ϕ i+ωt) (3.5) où r i est l amplitude réelle de x i dépendant du temps. Il faut bien noter que dans la dynamique de coordination, lorsqu on parle de la phase des oscillations, on considère la phase locale ϕ i et non ϕ i + Ωt. On fait alors l approximation que r i et ϕ i sont de quantités lentement variables, leurs dynamiques agissant sur une échelle de temps bien plus grande que Ω 1. Ceci permet d avoir des expressions plus simples pour les dérivées temporelles de x i. Le principe alors est simplement d introduire les expressions simplifiées des dérivées de x i dans 3.3 et 3.4, puis par identification et en séparant la phase de l amplitude, on obtient un système de quatre équations dont les inconnues sont r i et ϕ i (pour i {1, 2}). On peut alors par combinaison linéaire obtenir une équation différentielle uniquement sur φ : φ = ω 1 ω 2 a sin φ 2b sin 2φ (3.6) où a et b sont deux grandeurs qui dépendent de la fréquence du métronome. Plus précisément, on peut écrire pour r 1 = r 2 = R : a = (α + 2βR 2 ) et b = 1 2 βr2 (3.7) avec : R 2 = γ A + 3Bω 2 (3.8)

18 17 On peut considérer le rapport b/a comme un paramètre de contrôle. b/a tend vers 1 lorsque la fréquence du métronome est maximale et vers 0 lorsqu elle est minimale. Il est important de noter que l équation 3.6 est appelée loi de coordination. Cette équation est considérée comme l une des équations fondamentales de la dynamique de coordination. Elle contient en effet l évolution temporelle du paramètre d ordre en fonction de la valeur du paramètre de contrôle et donc aussi tous les caractéristiques observées dans les expériences évoquées précedemment. Un modèle encore plus réaliste tient compte des fluctuations dans l équation des phases relatives [6] : φ = ω 1 ω 2 a sin φ 2b sin 2φ + Qξ t (3.9) avec ξ t = 0 et ξ t ξ τ = Q 2 δ(t τ) ξ t étant un bruit blanc gaussien. Ce terme de fluctuation rend compte de l influence des constituants du système, opérant sur une échelle de temps bien plus courte que celle de ϕ. Cette partie du modèle théorique constitue le premier niveau d analyse, où l on décrit l évolution temporelle des mouvements rythmiques des membres. 3.2 Equilibres et stabilités Il est possible d avoir un autre niveau d analyse où l on cherche uniquement à rendre compte des équilibres existants dans la coordination et de leurs stabilités. Cela permet d avoir une compréhension plus intuitive du phénomène étudié. Pour passer à ce second niveau d analyse, on postule l existence d une fonction potentiel, noté V, que l on extrait de l équation de la dynamique du paramètre d ordre 3.6. On écrit donc la relation : φ = dv dφ (3.10) Ce qui permet d avoir l expression formelle de V : V = δω φ a cos φ b cos 2φ (3.11) Il est alors possible de représenter l allure du potentiel V pour différentes valeurs du paramètre de contrôle b/a, c est-à-dire en fonction de Ω avec et sans différence de fréquences propres.

19 18 Fig. 3.1 Courbes des potentiels V en fonction de la différence des phase φ. Sur la figure de gauche, on a représenté V pour différentes valeurs du paramètre de contrôle b/a, allant de 1 à 0. Lorsque b/a croît, la fréquence du métronome décroît. Sur la figure de droite, on fait de même, en prenant compte de trois valeurs caractéristiques de la différence des pulsations propres δω. δω croît de haut en bas. Pour comprendre les courbes représentées sur la figure 3.1, il faut s imaginer que l état de coordination entre les deux doigts correspond à une bille soumise à une énergie potentielle dont la valeur en fonction de la position est celle de V en fonction de la différence de phases φ. On sait en mécanique que lorsque la bille est sur une bosse du potentiel, alors elle est dans un équilibre métastable et va rouler soit d un côté soit de l autre de la bosse. Par contre, lorsque la bille est dans un puit de potentiel, alors elle va rouler autour du minimum du puit jusqu à l atteindre à l équilibre. Il est difficile de savoir ce que représente physiquement le potentiel V, néanmoins il est possible de faire cette analogie avec la mécanique, pour appréhender comment intuitivement la coordination évolue selon la valeur de la différence de phase φ. 3.3 Lien entre dynamique de coordination et cognition Sommairement, le modèle Haken-Kelso-Bunz se résume à l étude d un phénomène de synchronisation entre deux oscillateurs non-linéaires mutuellement couplés. Deux modes stables apparaissent lorsqu on couple ces oscillateurs, dont la stabilité varie en fonction d un paramètre de contrôle qui est la fréquence de forçage des oscillateurs. De plus, la transition spontanée du mode anti-phase au mode en phase est une transition de phase hors-équilibre, caractéristique des phénomènes de formation de motifs. Ainsi jusque là ce

20 19 modèle ne diffère en rien d un modèle classique de physique. Cependant lorsqu on l examine de plus près, on s aperçoit que ce n est pas exactement cela. Tout d abord, il ne porte pas sur des objets inanimés mais sur certains constituants du corps humain qui sont les articulations, les muscles et les neurones. C est en effet remarquable que l on soit capable d exhiber de façon quantitative un phénomène issu de la physique classique au sein du comportement individuel. De façon modeste, cela permet ainsi de faire un pont entre les sciences de la nature et les sciences de l homme. Ensuite, il est important de noter que contrairement au cas standard des oscillateurs couplés, le couplage dans ce modèle n est pas d origine mécanique mais informationnelle. L expérience simple de coordination entre un doigt et un métronome en est la preuve. On peut dire qu il y a ici une vraie différence conceptuelle par rapport à la physique. La dynamique de coordination a de plus l ambition de s attaquer à certaines questions fondamentales en sciences cognitives [26] et [27]. Des expériences ont ainsi été menées, à partir de celles présentées précédemment, pour étudier l apprentissage [17], l attention [18] ou l intention [19], [8] et [21], au niveau de la coordination. Certains modèles ont aussi été proposés et s avèrent compatibles avec les faits expérimentaux. Pour l apprentissage par exemple, le principe est d étudier l évolution de la stabilité de tels ou tels équilibres de coordination alors que le sujet apprend une tâche de coordination. Les expériences sur l apprentissage concernent surtout les tâches de coordination n : m (n et m premiers entre eux). Ces tâches consistent à osciller ses deux mains a deux pulsations différentes, ω 1 pour la main gauche et ω 2 pour celle de droite, le rapport ω 1 /ω 2 étant non entier. Les expériences sur l intention consiste à transiter de façon consciente, lorsqu un signal retentit, d un mode à l autre (du mode anti-phase au mode en phase et l inverse). Les modèles proposés se basent sur le modèle Haken-Kelso-Bunz exposé au chapitre précédent. La dynamique de coordination intrinsèque concerne les mouvements rythmiques spontanées et est décrite par le modèle HKB. Pour cette dynamique, il est possible de mettre en évidence des potentiels de stabilités. Lorsqu on veut rendre compte de fonctions cognitives comme l apprentissage, on peut de façon analogue introduire de nouveaux potentiels, posés de façon empirique, que l on ajoute aux potentiels précédents. Au final, le potentiel somme traduit la dynamique de coordination plus spécifique, correspondant à des situations avec apprentissage, attention ou intention. En somme, le sujet peut être vu comme un système informationnellement ouvert, ayant une dynamique intrinsèque de coordination. Les informations spécifiques reçues par le sujet agissent comme des perturbations sur la dynamique intrinsèque de coordination. Plus précisément, elles permettent de modifier le potentiel de stabilité du sujet. Néanmoins, la critique que l on pourrait émettre à l égard de cette démarche, est que des termes trop généraux sont employés pour traduire des fonc-

21 20 tions cognitives finalement assez spécifiques. En effet, lorsqu on parle d apprentissage, il s agit simplement d apprendre à frapper simultanément deux rythmes différents avec ces mains. Et lorsqu on parle d intention, il s agit juste d osciller ses mains dans une configuration différente de façon consciente. Ainsi, même si la dynamique de coordination n a certainement pas résolu les problèmes philosophiques posés en sciences cognitives, la démarche employée est très intéressante. Notamment, il semble très judicieux de construire des modèles de cognition à partir de modèles décrivant des comportements liés étroitement à la physiologie. La dynamique de coordination contribue ainsi d une certaine manière à une nouvelle approche en sciences cognitives, marquant une rupture avec les approches computationnelles et les modèles statiques [27] et [29]. En effet, la référence à la métaphore de l ordinateur ou à la notion de représentation y est totalement absente. Les comportements sont décrits de façon continue dans le temps et le temps joue un rôle prépondérant. La dynamique de coordination est à rapprocher de la psychologie écologique ou de Gibson [27]. Une attention particulière est en effet portée aux lois et symétries. De plus, ils partagent l idée que l information est un paramètre de contrôle crucial dans la coordination de l action. D autre part, les concepts récents de la physique comme celui d auto-organisation et en particulier de formation de motifs dans les systèmes ouverts horséquilibre, sont des éléments fondamentaux de la dynamique de coordination. Les expériences de coordination évoqués précédemment illustrent bien cela. Le corps humain possède en effet 10 2 articulations, 10 3 muscles, 10 3 types de cellules et neurones et connections neuronales. Et pourtant deux oscillateurs à cycles limites couplés suffisent à modéliser la coordination entre deux membres et une loi de coordination peut être formulée. De plus, on observe l émergence et la disparition de motifs de coordination (mode antiphase ou en phase), lorsqu on modifie une information spécifique. On comprend alors pourquoi il est plausible de chercher une éventuelle loi de coordination au niveau collectif analogue à celle obtenue au niveau de la coordination motrice. L idée étant que s il existe une auto-organisation aux différents niveaux de notre organisme, il peut aussi y avoir une autoorganisation au niveau d un groupe d individus donnant alors naissance à des phénomènes similaires aux comportements individuels. D autre part, cela pourrait peut-être alors permettre de mieux comprendre le mécanisme autoorganisationnel qui existe entre les composants du corps cités précédemment et le comportement moteur individuel, plus difficile à examiner.

22 Deuxième partie Vers une dynamique de coordination à N individus 21

23 Chapitre 4 Discussions des modèles précédents de synchronisation des applaudissements Le premier travail réalisé a été d étudier si les modèles de synchronisation des applaudissements étaient valides ou en tout cas pertinents. Il est important de noter que notre objectif n est pas d établir un modèle permettant de simuler cette synchronisation. Nous prenons plutôt de ce phénomène comme un point de départ pour une future étude scientifique. L idée est que si spontanément des personnes en nombre élevé sont capables de se synchroniser, il doit être possible de monter une expérience rigoureuse où l on observerait une synchronisation ou désynchronisation des applaudissements lorsqu on fait varier un paramètre spécifique, analogue à l expérience de transition de phase dans la coordination bimanuelle décrite dans la première partie. Toutefois, il est essentiel d étudier les articles traitant des applaudissements rythmés, dans la mesure où si leur modèle est valide et précis il est alors aisé de proposer un protocole expérimental. Trois articles sont parus au sujet de ce phénomène social [30], [31], [32] et deux modèles différents sont présentés. Ces articles ont été écrits par la même équipe de chercheurs. Le dernier modèle, critiquant le premier, est donc censé être le bon modèle. 4.1 Synchronization of two-mode stochastic oscillators Examinons donc en détail le dernier article : Synchronization of twomode stochastic oscillators : a new model for rhythmic applause and much 22

24 23 more [32]. Nous commencerons par discuter des hypothèses de coordination motrice, avec d une part la modélisation des mouvements oscillatoires des bras, d autre part la coordination avec un signal externe. Présentons ce modèle afin de voir les problèmes soulevés. Chaque personne applaudissant est vue comme un oscillateur évoluant selon un cycle précis : Fig. 4.1 Cycle suivi par chaque oscillateur. (a) A chaque cycle, on peut choisir entre le mode I (période courte) ou II (période longue). (b) Détails de chaque phase du cycle. Ce cycle est constitué de trois phases : A, B et C. Ces phases sont consécutives et se répètent indéfiniment : A B C A B... La phase A correspond à la partie stochastique de la dynamique, c est-à-dire sa durée τ A est une variable stochastique. S inspirant des modèles dynamiques de neurones, il modélise ce régime en posant : P (τ A ) = 1 τ exp( τ A τ ) où P est la fonction de distribution des τ A et τ la valeur moyenne des τ A. Les auteurs de l article précisent qu ils ont introduit cette phase pour tenir compte de la nature stochastique des applaudissements, observée expérimentalement en prenant chaque personne isolément. La phase B est de nature déterministe et correspond à la phase que les individus veulent imposer. Pour chaque cycle, la durée de B peut prendre une des deux valeurs bien définies : τ BI et τ BII, avec τ BII = 2τ BI. Enfin la phase C est aussi de nature déterministe et correspond à la durée d émission du pulse sonore d un applaudissement. On considère que l intensité de ce pulse est la même pour tout le monde et vaut f i = 1/N. On suppose ensuite que le couplage est global, autrement dit chacun coordonne ses mouvements avec le son produit par l ensemble des autres personnes dans la salle, et il se fait via l intensité de ce son. Ils posent finale-

25 24 ment l hypothèse que l ensemble des personnes veut imposer une intensité moyenne de ce son, noté f. Il est alors possible de décrire les règles régissant la dynamique d ensemble : 1. Chaque oscillateur commence aléatoirement dans une phase (A, B ou C) et un mode (B I ou B II ), puis suit le cycle déterminé précédemment. 2. Après avoir achevé la phase A, chacun compare le son total produit : f = N i=1 f i avec f. 3. Si f < f, l oscillateur choisit le mode I, avec la période la plus courte, afin d augmenter le son global. Si f > f, l oscillateur suivra le mode II, pour au contraire faire décroître le son global. En somme, le principe est de faire converger f vers f. 4. Les oscillateurs continuent indéfiniment à suivre les règles 2 et 3. Les auteurs de l article obtiennent alors un diagramme de phase, où les deux paramètres de contrôle sont τ et f : Fig. 4.2 (A gauche) Evolution temporelle de l intensité du son des applaudissements f pour les quatre types de comportements. (a) Régime désynchronisé et faible intensité (noté phase I). (b) Régime synchronisé en mode lent (phase II). (c) Régime synchronisé en mode rapide (phase III). (d) Régime désynchronisé et forte intensité (phase IV). (A droite) Diagramme des phases précédemment décrites. La transition qui nous interesse est celle de IV à II

26 Au regard du modèle HKB et en particulier de l application de ce modèle au cas d un applaudisseur seul [6], on peut émettre plusieurs critiques à l égard du modèle décrit précédemment. Tout d abord, il a été prouvé expérimentalement que ce type de mouvement rythmique peut être convenablement modélisé par un oscillateur à cycle limite, avec un terme d amortissement et des nonlinéarités (cf 1ère partie), dont il n a pas été tenu compte ici. De plus, la distinction des différentes phases dans l oscillation des bras n a pas de justifications expérimentales et donne une vision discrète des mouvements oscillatoires qui est pourtant bien modélisé par une approche continue. D autre part, la différence de fréquences propres entre les personnes n est pas prise en compte et semble pourtant essentielle pour comprendre la désynchronisation, comme on le verra plus tard. Cette différence de fréquences propres a été de plus bien observée dans les expériences sur la coordination inter-individuel [9], [10] et [11]. Enfin la modélisation des fluctuations ne semble pas correspondre aux mesures faites sur les fluctuations dans les mouvements rythmiques [23], [24], [25]. Il a été montré en effet que le spectre de puissance des fluctuations est en 1/f (f étant la fréquence des oscillations) pour les mouvements à basse fréquence et de type bruit blanc gaussien pour les hautes fréquences. De plus, il ne semble pas convenable de choisir τ comme paramètre de contrôle, dans la mesure où il n a jamais été prouvé expérimentalement que ce paramètre pouvait être modifié. Enfin, et c est peut-être ce qui semble le plus problématique, l hypothèse qu il existe une intensité moyenne du son global voulue par le public, f, n a aucune justification expérimentale. Cela fait intervenir une représentation qui ne semble pas nécessaire dans la modélisation de cette synchronisation. Il paraît de plus très peu probable que cette intensité ait une valeur exacte pouvant être modifiée afin de provoquer la synchronisation. De plus le régime synchronisé se caractérise à l oreille plus par sa périodicité que par son intensité moyenne. Enfin, la simulation de l article a été refaite et nous observons que pour se synchroniser à basse fréquence (mode II), les oscillateurs doivent basculer par intermittence dans le mode I (ils doivent frapper deux fois plus vite) pour ajuster leurs phases. Cela semble encore peu plausible. En somme, d une part les hypothèses sur la coordination motrice posées dans cette article peuvent être révisées. D autre part, ce modèle donne deux paramètres pour contrôler la synchronisation : τ la valeur moyenne de la durée de la phase stochastique et f l intensité moyenne du son global que le public veut imposer. Et ces paramètres ne sont pas contrôlables de façon quantitative pour pouvoir monter une expérience rigoureuse à partir de ce modèle. 25

27 Physics of the Rhythmic applause Le premier article sur la synchronisation des applaudissements, Physics of the Rhythmic applause, que l article précédent réfute, pose aussi des hypothèses discutables sur la coordination motrice. Il est supposé que chaque personne se coordonne avec tous les autres, c est-à-dire que pour chaque personne, il y a N 1 couplages. Ce qui est impossible du point de vue de la coordination motrice, une personne ne pouvant prendre en compte que quelques informations extérieurs, en particulier lorsqu elles sont uniquement d origine sonore. Ils font ensuite appel au modèle de Kuramoto pour expliquer la synchronisation, dont on détaillera les grandes lignes par la suite. Ce modèle donne un couplage critique au-delà duquel la synchronisation apparaît. Ce couplage dépend de la distribution des fréquences propres : plus la distribution est large, plus il est difficile de se synchroniser. Plus précisément, pour une distribution gaussienne caractérisée par une dispersion D, le couplage critique s exprime sous la forme : 2 ε c = π 3 D Pour justifier l application du modèle de Kuramoto à ce phénomène social, ils ont conduit une expérience simple. 73 étudiants sont pris isolément, puis il leurs est demandé d applaudir de deux façons : comme après une bonne prestation (mode I) et comme pendant un rappel (mode II). On observe alors deux distributions de fréquences assimilables à des gaussiennes dont les fréquences centrales sont différentes, l une valant approximativement le double de l autre. La fréquence centrale du mode rappel est la fréquence centrale la plus basse.

28 27 Fig. 4.3 Distribution normalisée des fréquences propres dans les modes I et II. Dans le mode I, on demande d applaudir comme on le ferait lorsqu on est enthousiaste (traits continus) ; dans le mode II, on demande d applaudir comme pour un rappel (traits pointillés). Ainsi, constatant que la largeur de la distribution est plus grande aux hautes fréquences qu aux basses fréquences, ils en déduisent que le seul moyen de se synchroniser est d applaudir dans le mode II. Ils affirment que le couplage entre les individus est alors supérieur au couplage critique, ce qui n est pas le cas dans le mode I. Nous verrons par la suite que l idée d employer le modèle de Kuramoto semble être un bon choix. De plus, l expérience réalisée sur les fréquences propres d applaudissements nous sera très instructif. Néanmoins, les hypothèses faites sur la coordination motrice n ayant aucune base expérimentale ou théorique, il est possible de revoir ce modèle. De plus, ils ne proposent aucun paramètre à contrôler pour amener à la synchronisation. Nous ne pouvons donc pas réaliser une expérience du type dynamique de coordination à partir de leur modèle. Enfin, il ne donne aucune expression ou valeur précise pour le couplage entre les individus. Ce qui empêche de vérifier rigoureusement leur affirmation. Ces deux articles ont servi de point de départ pour notre travail. Nous voyons qu il est possible de proposer un modèle plus rigoureux pour reproduire ce phénomène social. Cependant, une autre approche est adopté. Notre objectif est de dériver du modèle Haken-Kelso-Bunz, un modèle pour la coordination motrice entre N individus couplés via un signal global, susceptible d être testé expérimentalement. Le phénomène des applaudissements synchronisés lors de concerts pourra alors être compris qualitativement à la lumière de ce modèle.

29 Chapitre 5 Observations expérimentales préliminaires Après avoir analysé le contenu des articles précédents, des mesures ont été réalisées à partir d une vingtaine d enregistrements d applaudissements. Ces enregistrements ont été extraits de disques compacts de concerts (cf chapitre 8). Il y a plusieurs intérêts à cela : les mesures permettent d avoir une approche qualitative du phénomène ; elles peuvent amener à poser des hypothèses pour le modèle théorique ou à justifier certaines approximations ; étant faites directement à partir du phénomène naturel, elles peuvent permettre d éviter certains biais liés à l expérimentation sur des sujets humains ; enfin, elles apportent des résultats qui, bien que ne pouvant pas tester le modèle théorique, peuvent l invalider. Nous avons réalisé quatre types de mesures : des mesures à l oreille en s appuyant sur la forme d onde du signal, des analyses temps-fréquence, des transformées de Fourier rapide et des moyennes temporelles du paramètre d ordre de la synchronisation. 5.1 Intervalles entre deux salves d applaudissement La mesure à l oreille est la plus simple à réaliser, mais permet néanmoins d avoir une bonne idée qualitative de la transition vers la synchronisation et de l évolution du signal global durant la synchronisation. Pour réaliser cette mesure, un logiciel de traitement du son appelé Wavelab a été utilisé. Sur la figure 5.1, on peut voir la forme d onde d un signal d applaudissement obtenue grâce à ce logiciel. 28