Notes de cours : UE LP101B. Force, mouvement et équilibre

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1 Université Pierre et Marie Curie Prof. : Emmanuel Rollinde Notes de cours : UE LP101B Force, mouvement et équilibre Chapitre 1 Avant propos : mesure et unités La physique a pour vocation de décrire la Nature. Elle utilise pour cela différents outils, parmi lesquels on trouve : - la mesure de grandeurs physiques - la mise en place de relation entre ces grandeurs La mesure est la détermination d une grandeur particulière grâce à un étalon ou une unité. Le résultat de la mesure physique s'exprime en termes de multiple de l'étalon (un nombre réel multipliant l'unité). Pour cela, des étalons de mesure ont été créés au fur et à mesure de l Histoire. Ainsi, on mesurait les longueurs d un objet en le comparant à la taille d un autre objet (un pied par exemple). Puis, on a créé des objets de référence (les étalons) qui mesuraient (par convention) un mètre ou qui pesaient un kilo. La mesure du temps est plus compliquée, car aucun objet ne s y rattache Il fallait donc trouver un phénomène naturel qui donne un étalon du temps. On peut penser au jour, à l année etc mais ce ne sont pas des phénomènes que l on peut comparer avec une grande précision (quand commencent-ils, finissent-ils?). La découverte de la radioactivité, et la compréhension de la statistique, a permis de trouver un phénomène qui dure toujours exactement le même temps : la décroissance radioactive. «La seconde est la durée de périodes de la radiation correspondant à la transition entre les niveaux hyperfins F=3 et F=4 de l état fondamental 6 S ½ de l atome de césium 133.» On peut mesurer directement des longueurs, des masses, des secondes, et des charges. La charge correspondant à un certain nombre d électrons. Son unité est le coulomb. D autres phénomènes sont plus compliqués et ne correspondent pas à une mesure directe (accélération, choc, réchauffement ). Le but de la physique est de décrire un phénomène observé (variation de la position, de la vitesse, de la forme d un objet ) et de construire des nouvelles quantités physiques (donc de nouvelles unités) qui permettent de prédire ces phénomènes (ici, les forces puis l énergie) à l aide de relations mathématiques (loi de Newton). 1-1

2 Ce qu il faut retenir : Toute quantité physique correspond à une unité qui permet de la mesurer. On peut définir des nouvelles quantités physiques à partir de relations entre des quantités connues (longueur divisée par temps par exemple). On ne peut sommer que des quantités ayant la même unité. On peut multiplier, diviser la plupart des quantités ensemble, en utilisant les relations données par la physique. Vous devez comprendre les relations entre les quantités que vous connaissez. Deux quantités égales doivent avoir la même unité ( à vérifier systématiquement ) Chaque mesure physique est en réalité une estimation et possède donc une certaine incertitude. Chapitre 2 Loi de Newton : forces et cinématique On ne s intéresse qu à des objets ponctuels, donc sans structure interne, ni géométrie. Seule leur position dans l espace (définie à partir d un référentiel) les caractérise. Leur masse et leur charge seront définies dans la prochaine section, à partir de la définition des forces. La dynamique du point correspond donc à l étude du mouvement de ces objets, et néglige les effets de déformation, chauffage etc (qui existent pour un objet non ponctuel). Nous allons répondre à la première question «Dans quel cas n y a-t-il pas de mouvement?». La réponse à cette question va ensuite permettre de définir proprement un nouvel objet physique, mais qui n est pas «concret» : une force! On verra dans la deuxième partie du cours que le mouvement d un objet peut se comprendre, de façon complémentaire, et peut-être plus simplement, avec les notions d énergie. La description du mouvement d un objet ponctuel a été formalisée par le principe d inertie de Galilée et les lois de Newton. Vous reverrez dans le détail ces lois et leur utilisation dans le cadre de l UE LP102. Seuls les points essentiels et surtout le déroulement logique de ces principes est rappelé ici. 2-1 Galilée : principe d inertie et description d un équilibre Observation : L observation de la Nature semble montrer qu un objet, livré à lui-même, non perturbé, se déplace en mouvement rectiligne uniforme. Qu est-ce que cela veut dire? 2-2

3 i/ Un objet est «non perturbé» s il n est pas en interaction avec un autre corps ; ce qui n arrive jamais dans la Nature. Ceci oblige soit à un effort d imagination, soit à une approximation : si les interactions sont très faibles, alors le mouvement est quasiment rectiligne uniforme ii/ Un mouvement Rectiligne uniforme est un mouvement en ligne droite, à vitesse constante en norme et en direction (notez que être en repos, à l arrêt, correspond aussi à un mouvement rectiligne uniforme). Evidemment, un mouvement rectiligne uniforme ne sera plus rectiligne uniforme dans un autre référentiel. iii/ Mais ce n est pas toujours vrai : Si on tourne autour d un objet «au repos», cet objet n est pas en mouvement rectiligne pour nous. L idée de Newton est d imposer un type de référentiel dans lequel l observation (H1) serait vraie. Première loi de Newton : Dans un référentiel galiléen, le mouvement libre (non perturbé) d un corps est un mouvement rectiligne uniforme Attention, un corps suit un mouvement libre si aucune force ne s applique sur lui ou si la somme vectorielle des forces qui s appliquent sur l objet est nulle. Réciproquement, si un objet est en équilibre (au repos ou accélération nulle), la somme vectorielle des forces qui s exercent sur lui est nulle. Exemple : lorsqu un objet est posé sur une table, le poids (force que la Terre exerce sur un objet) compense la réaction de la table. Ceci permet en particulier de calculer la réaction de la table, ou la force de rappel d un ressort (voir TP). Note sur les référentiels galiléens : Si on change de référentiel galiléen, le vecteur vitesse change de coordonnées, mais l objet garde un mouvement rectiligne uniforme (car les forces n ont pas changé, la loi de Newton est toujours valable ; si le référentiel n est plus galiléen, de nouvelles forces devront être définies, telles que la force de coriolis hors programme ). Deux référentiels galiléens différents se déplacent l un par rapport à l autre avec un mouvement rectiligne uniforme. Exemple, si un objet (un bateau) se déplace à une vitesse constante dans un référentiel galiléen (le quai), alors le repère lié au bateau est un référentiel galiléen dans lequel le bateau est au repos, et le quai en mouvement rectiligne uniforme. la Terre est un référentiel galiléen approximatif, car elle a un mouvement circulaire autour du soleil. Donc un objet au repos sur Terre a un mouvement circulaire, qui suit celui de la Terre Cependant, dans le contexte d une expérience de laboratoire, on peut considérer que la Terre est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme ème loi de Newton : quantité de mouvement, force, masse Il faut maintenant pouvoir modifier la vitesse. Qu est-ce qui peut modifier la vitesse d un objet? Comment sera-t-elle modifiée? 2-3

4 Le sens commun nous dit que le même «effort» donne moins de vitesse sur un objet «lourd» que sur un objet «léger» Mais les mots sont ici trompeurs. ATTENTION à ne pas confondre le poids et la masse. J y reviens plus bas lorsque la force de pesanteur est définie. Il vaut mieux parler d objets «plus massif» et «moins massif». On définit tout d abord la quantité de mouvement, p comme le produit de la masse par la vitesse. C est un vecteur Si deux objets ont la même masse, le même effort leur donnera la même accélération. Par contre, Newton veut qu un objet plus massif résiste mieux à une force ; la masse est relié à une inertie, c est-à-dire un «refus de bouger». C est pourquoi on parle de masse d inertie. Ces considérations sont traduites dans sa seconde loi : F = dp/dt = d(mv)/dt Note de mathématique : Les vecteurs sont notés en gras. Dans la suite du cours, les mouvements seront toujours selon une dimension. On ne regardera donc que la composante du vecteur projetée sur la direction du mouvement. La dérivée d une fonction f(x) en fonction de la variable x est notée df/dx. Pour calculer la dérivée d un vecteur, on calcule la dérivée de chacune des composantes : si p = (p x, p y, p z ) alors dp/dt = (dp x /dt, dp y /dt, dp z /dt) Si une fonction dépend de plusieurs variables, la notation ci-dessus précise par rapport à quelle variable calculer la dérivée : pour calculer [d f(x,t) / dt], il faut fixer la variable x et dériver par rapport à t [revoir les fonctions de plusieurs variables, UE LM110 ] Si la masse du système est constante (ce qui sera le cas dans ce cours, et ce qui permet de simplifier la discussion ci-dessous), on retrouve la loi plus connue : F = m a Remarque : Dans cette équation, on voit en effet que, pour une force donnée, si la masse est plus grande, l accélération créée par la force sera plus faible (il s agit bien d une inertie). On vérifie bien la première loi : Lorsqu un système est au repos, la somme des forces qui s exercent sur lui est nulle, et par conséquent la quantité de mouvement ne varie pas, donc (si la masse est constante), il suit un Mouvement uniforme rectiligne Note : Pour que cette loi soit valable, il faut être dans un référentiel galiléen (1 ère loi de Newton). Il n y a pas de preuve de cette loi Tant que l expérience ne contredit pas cette loi, tout va bien on sait aujourd hui que la mécanique quantique (aux échelles sub-atomiques) la contredit 2-4

5 Définition : on peut maintenant définir une force par ses caractéristiques 1. Un objet est soumis à une force si son mouvement vérifie la loi de Newton! 2. La force est une grandeur vectorielle (elle a une norme et une direction) On peut sommer les forces créées par plusieurs sources individuelles pour déterminer la force créée par le système!! principe de superposition 3. Un corps isolé, ou sans forces extérieures, ne doit pas pouvoir subir d accélération (1 ère loi), donc En dehors de la présence de tout corps, il n y a pas de force F = 0 à une «distance infinie» 4. Lorsque deux corps 1 et 2 sont en interaction, l ensemble est isolé du reste ; donc la force exercée par un corps sur l autre est égale en norme et opposée en direction à cette qu exerce l autre corps sur le premier : principe d action et réaction F(1->2) = - F(2->1) 5. Unité : Une force de norme 1, doit correspondre à une quantité «m.a» de norme 1 : 1 unité F = 1 kg x 1 m/s^2 = 1 N On peut donc dire que une force de 1N permet de donner une accélération de 1 m/s^2 à une masse de 1 kg : nous comprenons la force à partir de nos quantités de base!! 2-3 Conclusion On ne peut définir une force que par rapport au mouvement qu elle induit. La force de pesanteur est reliée à la «chute de la pomme» ; la force de frottement est reliée au ralentissement d un objet sur une surface ; la force de rappel d un ressort est reliée au déplacement du ressort etc. On ne peut pas définir la force en tant que telle Un objet se met en mouvement si une nouvelle force s exerce sur lui ; puis si j arrête d exercer cette «force», le mouvement ne s arrête pas... par contre, il ne varie pas (i.e. le vecteur vitesse est constant) ; il faut une nouvelle force, opposée, pour que le mouvement s arrête. Ces conclusions se retrouveront lorsque nous parlerons d énergie dans le chapitre suivant! Ce qu il faut retenir (essentiellement, la 1 ère loi, c est-à-dire le cas de l équilibre ; les mouvements seront plutôt étudiés à l aide des énergies ) : «Etre à l équilibre» signifie avoir un mouvement rectiligne uniforme (MRU) (en pratique, cela revient souvent à une vitesse nulle) «Etre à l équilibre» signifie avoir une accélération nulle Un objet est à l équilibre La somme vectorielle des forces est nulle La projection de la somme des forces sur tous les axes est nulle 2-5

6 Chapitre 3 Quelques exemples de force Parmi les forces que vous connaissez, on peut distinguer deux forces à distance (gravitation et électrique), deux forces de contact (frottement et force de rappel), une force de surface (la pression). 3-1 Gravitation Pour décrire la gravité, on utilise un REPERE RADIAL. En un point M, u r est le vecteur unitaire dirigé du centre du repère vers le point M. La force F g exercée par une masse M, sur une masse m, située à une distance r est définie par : F g = - G Mm/r 2 u r u r est le vecteur unitaire (de norme 1) dirigée le long de l axe (Mm), est orienté de M vers m. C est vrai pour deux billes de plomb, pour l attraction entre la Terre et la Lune, pour des amas d étoiles, pour une galaxie 3-6

7 Attention : lorsque r tend vers 0, cette relation tend vers l infini ; car elle suppose des objets ponctuels. A petite distance, les interactions entre les constituants des objets (protons, électrons etc ) vont créer des forces répulsives. La formule ne change pas lorsque la masse m passe d un côté et de l autre de la masse M. Mais le vecteur u r change de sens (cas de la masse m ci-dessus) Dans les problèmes, il faudra traiter les deux configurations séparément. Le poids : cas particulier de la surface de la Terre. Si une masse m est près de la surface de la terre, à une distance R du centre avec R proche du rayon de la Terre, alors elle subit une force F = - m (GM/R^2) u z ~ - m g u z le vecteur u z représente la verticale dirigée vers le haut, donc de la masse qui crée l attraction (la Terre) vers le système étudié. La constante g est appelée accélération de la pesanteur (car de même unité qu une accélération). Elle dépend en principe de l altitude (mais elle est souvent considéré constante). Elle dépend de la masse et du rayon de la planète considérée dans l hypothèse où la planète est parfaitement homogène et sphérique. 3-2 Force électrique Il y a une forte analogie entre la description de la force de gravitation et la force électrique. Nous y reviendrons dans le chapitre sur les champs On retrouve le même dessin. F = 1/(4 π ε 0 ) q Q / r 2 u_r 3-7

8 La force électrique peut être attractive (cas de la charge q, de signe opposé à celui de Q) ou répulsive (cas de la charge q de même signe que Q). Unité de ε 0? ε 0 = C^2/N/m 2 (C 2 kg -1 m -3 s 2 ). K = 1/(4 π ε 0 ) = N.m 2 /C Forces de frottements Mouvement dans un milieu - Résistance à la descente d un skieur - Résistance à l avancement dans l air d un avion. - Ces frottements fluides f dépendent de la vitesse, v. On peut voir expérimentalement qu à grande vitesse, la force (donc la décélération ) vérifie, pour sa norme f ~ K v 2 A petite vitesse (boule qui se déplace dans le miel ), on voit que f ~ b v La direction de la force de frottement est toujours orientée dans la direction opposée à celle du vecteur vitesse. unités de b : N/(m/s) = kg.m/s 2. s/m = kg/s Mouvement d un solide sur un autre La force de frottement F ne dépend alors que de μ, la composante normale (i.e. perpendiculaire au support) du poids de l objet sur le support : F = μ N relation entre les normes uniquement, la direction de F est selon la pente du support, et opposée au mouvement. μ ne dépend pas de N mais que du matériel en jeu μ est sans unité 3-8

9 3-4 Forces de rappel d un ressort La force dépend uniquement de l allongement du ressort. F(x) = - k (x-x_0) u x (u x à priori dirigé vers les x croissants) Ou F(l) = - k (l-l_0) u x Ou F(dl) = - k dl Toujours vérifier que la force ramène le ressort vers sa position au repos Remarque : les forces de frottement et de rappel ne semblent pas vérifier la condition selon laquelle la force doit être nulle à l infini. En effet, ces deux types de forces sont une approximation de phénomènes plus complexes, qui sont les liens entre les molécules, dans le ressort ou entre deux objets, selon le cas. La force moléculaire peut être approchée par une fonction linéaire si les distances ne sont ni trop grandes, ni trop faibles, ce qui donne la force de rappel du ressort 3-9

10 3-5 Forces de pression Ces forces seront étudiées en détail lors du chapitre sur la mécanique des fluides. On prend une surface S qui entoure un volume V rempli de gaz. Les particules de gaz rentrent en collision sur les atomes de la surface. C est un processus complexe et surtout macroscopique, qui met en jeu un nombre énorme d interactions. Cependant, en moyenne, la cinétique du gaz montre que chaque particule de gaz subit une variation de sa quantité de mouvement (p), ce qui peut se traduire sous la forme d une force, selon la loi de Newton. Cette force s exprime en fonction de la vitesse moyenne du gaz, qui est reliée à la pression dans le gaz. On obtient alors une force de surface, toujours dirigée de l intérieur vers l extérieur. F = P S n Chapitre 4 Exemple d équilibre : le ressort On prend un ressort, de constante de raideur k et de longueur à vide l 0 suspendu dans une position verticale, et une masse accrochée au ressort (dessinée en bleu ). Le référentiel et le repère sont définis sur le schéma ci-dessous. Le système considéré est la masse. La position au repos du ressort (dessin a) correspond à z 0 = -l

11 Les forces en présence sur la masse sont le poids (P = - mg z) et la force de rappel du ressort (T = - k (z-z 0 ) z = - k (z+l 0 ) z). On vérifie toujours que la force de rappel est bien orientée : si le ressort est compressé, alors 0 > z > z 0, (z négatif!) et la force est selon z, ce qui va dans le bon sens. Note : si on avait mis le vecteur z vers le bas (essayer de faire le dessin). La position au repos correspond cette fois à z 0 = l 0. Un ressort comprimé correspond cette fois à 0 < z < z 0 (z positif!). Et donc une force de rappel selon + z, ce qui va à nouveau dans le bon sens. Donc l expression de la force de rappel ne dépend pas de l orientation choisie pour l axe (si on utilise z 0, l expression n est évidemment pas la même avec l 0. Ici elle devient k(z-l 0 ). Ceci sera encore plus clair en considérant l énergie dans le chapitre suivant. A l équilibre (dessin b), les forces s annulent. Donc P + T = 0 (formule vectorielle!). On projette cette relation sur l axe utile z et on obtient alors une relation scalaire (entre nombre) : mg k (z eq +l 0 ) = 0 Donc k = - mg / (z eq +l 0 ) Sachant que z eq < - l 0, on vérifie bien k > 0!! C est un moyen de mesurer la constante de raideur d un ressort (voir le deuxième TP de l UE). 4-11