Intervalle de fluctuation

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1 Intervalle de fluctuation Définition Échantillon Un échantillon de taille est obtenu en prélevant au hasard, successivement et avec remise, éléments d une population. En statistique, un échantillon de taille est donc la liste des résultats obtenus par répétitions indépendantes de la même expérience aléatoire. Exemples Un échantillon de taille 100 du lancer d une pièce de monnaie est la liste des piles et des faces obtenus successivement en lançant 100 fois la pièce. Prélever dans une urne avec remise un nombre couleur. de boules et s intéresser à celles qui ont une certaine Prélever des pièces dans une production de manière identique et indépendante afin de vérifier si la pièce présente un défaut ou non et la remettre dans la production. Souvent, il n y a pas remise lors du prélèvement (par exemple si la pièce présente un défaut) mais si l effectif total est très grand par rapport au nombre de pièces prélevées, on assimile l échantillon à un échantillon «avec remise». On peut considérer un sondage destiné à mesurer une proportion comme un échantillon (exemple du vote oui ou non à un référendum). En effet, un sondage sans remise dans une population importante peut être assimilé à la répétition d un tirage avec remise dans une urne. Définition Si on réalise plusieurs échantillons de même taille, la fréquence observée C est ce que l on appelle la fluctuation d échantillonnage. du caractère varie. Définition Intervalle de fluctuation On considère une population dont un caractère observée a une proportion. Pour un très grand nombre de tirages d échantillons (tous de même taille), l intervalle centré en, qui contient au moins 95% des fréquences observées, est appelé intervalle de fluctuation de la fréquence, au seuil de 95% des échantillons. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 1

2 Utilisation de la loi binomiale pour une prise de décision à partir d une fréquence Idée générale On considère une population dans laquelle on suppose que la proportion d un certain caractère est. Pour juger de cette hypothèse, on y prélève, au hasard et avec remise, un échantillon de taille sur lequel on observe une fréquence du caractère. On rejette l hypothèse selon laquelle la proportion dans la population est lorsque la fréquence observée est trop éloignée de, dans un sens ou dans l autre. Proposition Soit une population dont une proportion des éléments admet un caractère donné. Dans un échantillon de taille prélevé dans cette population, l effectif des éléments qui présente ce caractère est une variable aléatoire qui suit la loi Binomiale de paramètres et. La variable aléatoire correspondant au nombre de fois où le caractère est observé dans un échantillon aléatoire de taille suit la loi binomiale de paramètres et On choisit de fixer le seuil de décision de sorte que la probabilité de rejeter l hypothèse, alors qu elle est vraie, soit inférieure à 5 %. On cherche à partager l intervalle, où prend ses valeurs, en trois intervalles, et de sorte que prenne ses valeurs dans chacun des intervalles extrêmes avec une probabilité proche de 0,025, sans dépasser cette valeur. En tabulant les probabilités cumulées, pour allant de à, il suffit de déterminer le plus petit entier tel que et le plus petit entier tel que. L intervalle de fluctuation au seuil de 95% d une fréquence correspondant à la réalisation, sur un échantillon aléatoire de taille n, d une variable aléatoire de loi binomiale est l intervalle où est le plus petit entier tel que et est le plus petit entier tel que Dans au moins 95% des cas, la fréquence observée appartient à Règle de décision On prélève un échantillon de taille et on détermine la fréquence d apparition du caractère observé. Si, on accepte l hypothèse selon laquelle la proportion dans la population est ; Si, on rejette l hypothèse selon laquelle cette proportion vaut au risque de 5%. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 2

3 Exemple1 Deux entreprises A et B recrutent dans un bassin d emploi où il y a autant de femmes que d hommes. Ces entreprises doivent respecter la parité. Dans l entreprise A, il y a 100 employés dont 43 femmes, soit 43%. Dans l entreprise B, il y a 2500 employés dont 1150 femmes, soit 46 %. Si l on compare les pourcentages respectifs de femmes dans les deux entreprises, on peut penser que l entreprise B respecte mieux la parité que l entreprise A. Or dans une population où il y a autant de femmes que d hommes, on peut imaginer que les résultats observés pourraient être obtenus par choix au hasard, c est-à-dire que le genre de la personne recrutée n intervient pas dans le choix. Ainsi, la variable aléatoire correspondant au nombre de femmes dans l entreprise A suit la loi binomiale de paramètres et. La variable aléatoire correspondant au nombre de femmes dans l entreprise B suit la loi binomiale de paramètres et. Représentation graphique de la loi binomiale de paramètres et et extrait de la table des probabilités cumulées ,0104 0,0176 0,0284 0,0443 0,9715 0,9823 0,9895 0,9939 La zone en bleu correspond à l intervalle de fluctuation au seuil de 95%. Les zones en rouge correspondent aux zones de rejet (moins de 2,5% à gauche comme à droite). L intervalle de fluctuation de A au seuil de 95% est (zone en bleu). N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 3

4 Représentation graphique de la loi binomiale de paramètres et et extrait de la table des probabilités cumulées ,0197 0,0217 0,0238 0,0443 0,9762 0,9793 0,9803 0,9821 L intervalle de fluctuation de B au seuil de 95% est La valeur 43% est dans l intervalle de fluctuation de A alors que la valeur 46% n est pas dans l intervalle de fluctuation de B. Donc l entreprise A respecte mieux la parité que l entreprise B. En effet, la proportion de 46% s observe dans moins de 5% des échantillons avec l hypothèse que la probabilité de recruter un homme ou une femme est la même. Exemple 2 Monsieur, chef du gouvernement d un pays lointain, affirme que 52 % des électeurs lui font confiance. On interroge 100 électeurs au hasard (la population est suffisamment grande pour considérer qu il s agit de tirages avec remise) et on souhaite savoir à partir de quelles fréquences, au seuil de 5 %, on peut mettre en doute le pourcentage annoncé par Monsieur, dans un sens, ou dans l autre. 1. On fait l hypothèse que Monsieur dit vrai et que la proportion des électeurs qui lui font confiance dans la population est. Montrer que la variable aléatoire, correspondant au nombre N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 4

5 d électeurs lui faisant confiance dans un échantillon de 100 électeurs, suit la loi binomiale de paramètres et. 2. On donne ci-dessous un extrait de la table des probabilités cumulées où suit la loi binomiale de paramètres et. a. Déterminer et tels que : est le plus petit entier tel que ; b est le plus petit entier tel que ,0106 0,0177 0,0286 0,0444 0,9719 0,9827 0,9897 0, Énoncer la règle décision permettant de rejeter ou non l hypothèse, selon la valeur de la fréquence des électeurs favorables à Monsieur obtenue sur l échantillon. 4. Sur les 100 électeurs interrogés au hasard, 43 déclarent avoir confiance en Monsieur. Peut-on considérer, au seuil de 5 %, l affirmation de Monsieur comme exacte? y 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0, x Représentation graphique de la loi binomiale de paramètres et La zone en jaune correspond à l intervalle de fluctuation au seuil de 95%. Les zones en rouge correspondent aux zones de rejet (moins de 2,5% à gauche comme à droite). Exemple 3 - Une situation critique Un accusé d origine mexicaine, condamné pour vol et tentative de viol dans un comté du sud du Texas attaqua le jugement sous le motif que la désignation des jurés dans l État du Texas était discriminatoire pour les Américains d origine mexicaine. Son argument était que ceux-ci n étaient pas suffisamment représentés dans les jurys populaires. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 5

6 Attendu de la Cour Suprême des États-Unis : «Étant donné que 79,1 % de la population est mexico-américaine, le nombre attendu d américains mexicains parmi les 870 personnes convoquées en tant que grands jurés pendant la période de 11 ans est approximativement 688. Le nombre observé est 339. Bien sûr, dans n importe quel tirage considéré, une certaine fluctuation par rapport au nombre attendu est prévisible». Question : la répartition rencontrée ici peut-elle être considérée comme «normale», c est-à-dire, peut-on considérer qu elle est le fruit du hasard? On note la variable aléatoire binomiale qui compte le nombre de mexico-américains parmi les 870 personnes convoquées. suit la loi binomiale de paramètres et On calcule l intervalle de fluctuation au seuil de 95%. A l aide d un tableur, on trouve et. L intervalle de fluctuation est Cette fréquence observée est très faible et en dehors de l intervalle de fluctuation. On peut donc, au seuil de risque de 5%, rejeter l hypothèse que le nombre observé de jurés d origine mexicaine soit le fruit du hasard. Sources : N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 6