Propagation d'ondes sur des cordes

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1 Propagation d'ondes sur des cordes A partir des équations de Maxwell, nous avons établi les équations de propagation des champs électrique et magnétique. Les solutions de ces équations traduisent la propagation de ces champs d'un point à l'autre de l'espace : on retrouve en un point de l'espace ce qui s'était produit plus tôt en un autre. De tels phénomènes de propagation sont rencontrés dans d'autres domaines de la physique : propagation du son dans l'air, propagation de vibrations dans un solide, propagation d'une déformation le long d'une corde, propagation d'un signal électrique dans une ligne téléphonique... Les aspects communs de ces phénomènes suggèrent qu'ils satisfont à des équations semblables. Dans ce chapitre, nous allons nous intéresser à la propagation d'une déformation le long d'une corde. I. Mouvement de la corde. Observations A l'aide de cordes, on peut réaliser quelques expériences simples mettant en évidence le phénomène de propagation et ses conséquences. Si l'on prend une corde de grande longueur et que l'on imprime un mouvement à l'une de ses extrémités, on observe la propagation de cette déformation qui progresse à vitesse constante : t t t 2 > t t 2 > t t 3 > t 2 t 3 > t 2 Propagation le long d'une corde Réflexion sur une extrémité fixe Ces ondes sont dites transverses : le déplacement d'un morceau donné de la corde se fait perpendiculairement à la direction de propagation de l'onde.

2 Si la seconde extrémité de la corde est fixe, on observe "un retour" de la déformation ; on a une réflexion de l'onde sur le mur, et l'on constate dans ce cas que la déformation est "retournée". Certains instruments de musique comportent des cordes tendues, fixées à leurs deux extrémités (guitare, violon, piano). Si l'on écarte l'une de ces cordes de sa position de repos, elle se met à osciller et émet un son, composé d'un mélange de plusieurs notes pures. Les notes émises dépendent de la tension de la corde et de sa longueur. Ceci signifie que lorsque l on impose des conditions aux limites aux deux extrémités de la corde, certaines fréquences sont privilégiées et superposées en régime libre. Si l'on imprime un mouvement sinusoïdal à une extrémité de la corde, l'autre étant fixée (on est donc en régime forcé), on constate que l'amplitude du mouvement d'un point donné de la corde est en général du même ordre que celle imprimée à la première extrémité, sauf pour certaines fréquences bien déterminées pour lesquelles cette amplitude est nettement plus importante. On a donc un phénomène de résonance. 2. Equation de propagation Un opérateur met en mouvement (de faible amplitude) une extrémité d'une corde tendue. On observe la propagation d'une déformation le long de la corde ; cherchons l'équation de la corde y(x,t), l'axe Ox étant la position de la corde au repos, et y(x,t) l'écart à l'abscisse x et à l'instant t de la corde par rapport à cette position. y T(x+dx) α (x+dx) opérateur corde tendue Poids Mg α(x) T(x) x x+dx x Soit µ la masse linéique de la corde. Appliquons le PFD à un élément dx de longueur de la corde: - T(x).cos(α(x)) + T(x+dx).cos(α(x+dx)) = 0 (projection sur 0x) Ø 2 y - T(x).sin(α(x)) + T(x+dx).sin(α(x+dx)) = µ.dx. Ø t 2 (projection sur 0y) d'où d(t.cosα) = 0 et d(t.sinα) = µ.dx. Ø 2 y Ø t 2 Donc T cosα est une constante; Dans l'hypothèse des faibles écarts par rapport à la position d'équilibre, α reste petit et cette constante vaut T 0 tension appliquée à la corde, due à la masse M. En reportant dans la deuxième équation, il vient : D'où Ø Ø x (T o.tg ) =. Ø 2 y Ø t 2 Ø y Or tg(α) = Ø x Ø 2 y Ø x 2 Ø 2 y T 0 Ø t 2 = 0 On retrouve une équation de d'alembert, ou équation de propagation à une seule variable d'espace.

3 3. Forme générale des solutions Nous savons que toute solution de l'équation de propagation (avec une seule variable d'espace ) peut s'écrire sous la forme : y ( x, t ) = f + ( t x v ) + f ( t + x v ) soit comme superposition d'une solution en t x v se propageant dans le sens des x croissants à la vitesse v, et d'une solution en t + x v se propageant dans le sens des x décroissants à la vitesse v. v = T o 4. Importance des conditions aux limites ou initiales Pour déterminer LA solution correspondant à une situation particulière donnée, il faudra prendre en compte les particularités de cette situation. Celles ci se traduisent dans le cas des cordes par : * les conditions aux limites, c'est à dire aux extrémités de la corde. Fixes ou non, mise en mouvement par un vibreur imposant un régime sinusoïdal... Ces conditions portent sur la variable d'espace, en fonction de t. * les conditions initiales. La corde est déformée puis lâchée... Cette condition porte sur la variable temps à t = 0, en fonction de x. Ces conditions sont déterminantes dans la recherche de la solution ; l'équation de d'alembert n'impose qu'une superposition de fonctions en t x v et en t + x v ce qui est insuffisant en soi. Par exemple, lorsque la corde est excitée à son extrémité x = 0 et infiniment longue du côté des x positifs, la solution physique sera de la forme f + ( t x v ) seulement car rien ne génère une onde provenant de + l'infini. Si la corde est au contraire de longueur L, et qu'elle est fixée en x = L, la solution précédente ne peut plus convenir car elle ne satisfait pas la condition aux limites y(l, t) = 0 pour tout t. Il y a donc obligatoirement superposition avec une onde en sens inverse, qui satisfait, pour tout t : f + ( t L v ) = f ( t + L v ) Le fait de fixer l'extrémité de la corde a donné naissance à une onde réfléchie, qui va se propager depuis x = L vers x = 0 ; l'égalité des fonctions implique que les déformations dues à chacune des ondes ont même forme, le signe moins que la réflexion a "retourné" l'onde incidente par rapport à la corde.

4 II. Régime libre d'une corde fixée à ses deux extrémités On considère désormais une corde de longueur L, tendue, fixée à ses deux extrémités. A t = 0, la corde est écartée de sa position de repos et lâchée. Les conditions particulières de ce problème sont donc : * pour tout t, y(0,t) = y(l,t) = 0 traduisant le fait que les extrémités de la corde sont fixes ; * à t = 0, la donnée de la forme de la corde et des vitesses de ces points, soit les fonctions y(x,0) et Ø y (x, 0), pour tout x. Ø t Exemples : y y e Corde de guitare (corde pincée) L x L Corde de piano (corde frappée) x à t = 0 : forme "triangulaire" ; y(x, 0) = 0 pour tout x ; Ø y Ø y (x, 0) = 0 pour tout x. (x, 0) = V pour la portion e, nulle ailleurs. Ø t Ø t Les conditions initiales étant différentes, la solution le sera, même si les cordes sont identiques (même masse linéïque, même tension, même longueur). Donc les sons émis par ces deux instruments seront différents.. Ondes stationnaires a) Définition Quelque soit la façon dont la corde est mise en mouvement à t = 0, la solution devra toujours satisfaire les conditions aux limites y(0,t) = y(l,t) = 0. Or ceci semble en contradiction avec la notion de propagation, car il existe des points de la corde dont le mouvement ne reproduit pas avec un retard dans le temps celui de ses voisins. Comme nous l'avons déjà mentionné dans le cas où l'une des extrémités de la corde est fixe, ceci nécessite la superposition d'une onde incidente et d'une onde réfléchie telles que leurs effets s'annulent au points particuliers restant fixes. On peut rechercher mathématiquement une autre écriture de solutions particulières de l'équation de d'alembert qui soit adaptée à ce type de problèmes présentant des points fixes. En effet, si l'on peut écrire dans ce cas la fonction y(x,t) comme le produit d'une fonction de x et d'une fonction de t : y (x, t ) = F( x ) G( t ) alors la condition s'exprimera par F(x p ) = 0, où x p est l'abscisse du point fixe, et ne portera plus que sur une fonction à une seule variable. D'une façon générale, on appelle onde stationnaire toute solution de l'équation de d'alembert s'écrivant sous la forme d'un produit d'une fonction de x et d'un fonction de t. Une telle onde ne comporte donc plus de terme en t x v ou en t + x v, il n'y a donc plus de propagation.

5 b) Ondes stationnaires sur la corde Reportons cette expression de y dans l'équation de d'alembert ; il vient G( t ) d 2 F d x 2 v 2 F( x ) d 2 G d t 2 = 0 ; En divisant par le produit FG : F d 2 F d x 2 = v 2 G d 2 G d t 2 Le premier terme est une fonction de x seulement, le second de t seulement ; ils sont donc tous les deux indépendants de x et de t, donc constants :, ce qui conduit à F d 2 F d x 2 = d 2 G v 2 G d t 2 = A deux équations différentielles : d 2 F d x 2 A F = 0 et d 2 G d t 2 A v 2 G = 0 Si A est positif, alors F( x ) = F exp ( A x ) + F 2 exp ( A x ). Cette fonction ne peut pas satisfaire simultanément les deux conditions aux limites imposées F(0) = 0 et F(L) = 0. Si A = 0, F(x) = F x + F 2 est aussi incompatible avec les deux conditions aux limites. Si A < 0, posons A = - k 2 et Av 2 = - ω 2 ; F( x ) = F o sin ( k x + ) ; G( t ) = G o sin ( t + ) Donc pour une valeur de A donnée y ( x, t ) = y, o sin ( k x + ) sin ( t + ) solution stationnaire de l'équation de d'alembert, à condition que k et ω soient liés par la relation : est k = v obtenue en éliminant A à partir de leurs définitions. En une abscisse donnée (x fixé), le point correspondant de la corde décrit un mouvement d'oscillations sinusoïdales de pulsation ω. En un instant donné (t fixé), l'allure de la corde est une sinusoïde de période spatiale = 2. Une telle solution est une onde stationnaire k monochromatique puisqu'elle ne fait intervenir qu'une seule pulsation. L'équation de d'alembert étant linéaire, toute combinaison linéaire de solutions l'est aussi. La forme générale des solutions stationnaires du problème s'écrit comme une somme de solutions y ω pour différentes valeurs de ω. Reste à vérifier si ces solutions y ω satisfont les conditions aux limites en x = 0 et x = L.

6 c) Modes propres de la corde Les conditions aux limites donnent F o sin (ϕ) = 0 et F o sin ( kl + ϕ) = 0 ; Prenons ϕ = 0 ; alors sin (kl) = 0 e k L = n où n est un entier. k doit vérifier une relation particulière, ce qui signifie que toutes les longueurs d'onde ne sont pas possibles. Les ondes stationnaires monochromatiques sur la corde de longueur L avec ses deux extrémités fixées sont celles de longueur d'onde vérifiant : n = 2 L n A partir de la relation de dispertion, on en déduit que seules certaines pulsations sont permises ; elles vérifient n = n L v Ces pulsations privilégiées sont appelées pulsations propres. Chaque onde stationnaire monochromatique constitue un mode propre pour la corde. Il y a une infinité de modes propres, n n'étant pas limité. Traçons la forme de la corde pour chacun des modes propres : Mode fondamental n = y (x, t ) = y 0 sin L x sin = 2 L v L t + er harmonique n = 2 y 2 (x, t ) = y 20 sin 2 L x sin 2 = 2 L 2 2 v L t + 2 2nd harmonique n = 3 y 3 (x, t ) = y 30 sin 3 L x sin 3 = 2 L 3 3 v L t + 3

7 Dans chaque mode propre, la corde vibre en formant des fuseaux. Pour le mode propre numéro n, les points qui sont à tout instant immobiles sont donnés par sin n soit L x p, n = 0 x p, n = p L n = p n 2 Ces points sont appelés noeuds de vibration pour le mode n ; ils sont de position fixe dans le temps, ce qui caractérise l'absence de propagation pour une onde stationnaire. d) Interprétation d'un mode propre en termes d'une superposition d'ondes progressives Le mode propre n s'écrit y n ( x, t ) = y n o sin ( k n x ) sin ( n t + n ) qui peut aussi s'écrire, en utilisant les relations trigonomètriques : y n ( x, t ) = y n o 2 [ cos ( k n x n t n ) cos ( k n x + n t + n ) ] Une onde stationnaire monochromatique est donc la superposition de deux ondes progressives de même pulsation, de même amplitude, se propageant en sens contraires (et ici déphasées de π afin d'avoir une vibration nulle en x = 0 pour tout t ). 2. Forme générale des solutions Nous avons établi que chaque mode propre est une solution de l'équation de propagation sur la corde qui satisfait la condition imposée d'avoir les deux extrémités de la corde fixes. Existe-t-il d'autres solutions? Nous savons que la forme générale des solutions est y(x, t) = f + (t x v ) + f ( t + x v ). Les conditions aux limites imposent : * en x = 0 f + (t ) + f - (t) = 0 pour tout t, ce qui signifie que f - = - f + ; * en x = L f + (t L v ) + f ( t + L v ) = 0 pour tout t. En combinant ces deux conditions, il vient f + (t L v ) = f ( t + L v ) = f +(t + L v ) signifie que la fonction f + est une fonction périodique de période T = 2 v L = 2. ce qui On peut donc décomposer f + en sérié de Fourier : f + (u) = a o 2 + cn cos (n u + n ) n = Donc : f + (t x v ) = a o 2 + cn cos n t x n = v + n dont on déduit f (t + x v ) = ao 2 cn cos n t + x v + n n = puis y(x, t) = n cn cos n t x = v + n cos n t + x v + n soit y(x, t) = 2 cn sin n n = v x sin ( n t + n )

8 Nous pouvons conclure que la forme générale des solutions de l'équation de d'alembert pour la corde ayant ses deux extrémités fixées s'écrit comme une combinaison linéaire des modes propres. y (x, t ) = n yn ( x, t ) = = n = y n o sin ( k n x ) sin ( n t + n ) Les oscillations libres d'une corde fixée à ses extrémités sont des superpositions d'ondes stationnaires monochromatiques de pulsations quantifiées, toutes multiples entières de = v L. Ces ondes stationnaires monochromatiques sont les modes propres de la corde. 3. Mouvement libre associé à une excitation donnée Jusqu'à présent, nous avons recherché les solutions qui satisfont l'équation de d'alembert et les deux conditions aux limites imposées aux extrémités de la corde. Reste à satisfaire les conditions initiales (à t = 0 ), qui provoquent la différence de timbre entre deux instruments de musique. La fonction y(x,t) peut aussi s'écrire sous la forme : y (x, t ) = n = A n sin ( n L x ) cos ( n t ) + B n sin ( n L x ) sin ( n t ) A t = 0, les conditions initiales impliquent : y (x, 0) = n = A n sin ( n L x ) Ø y ; (x, 0) =. Ø t n B n sin ( n n = L x ) La première condition s'identifie avec la décomposition de Fourier d'une fonction de la variable x, impaire (pas de terme en cosinus), de période 2L (terme fondamental obtenu pour n = ). Le coefficient A n est donc le n ème coefficient de la décomposition de Fourier de la fonction impaire de période 2L construite à partir de la fonction y(x,0) : y - L L x

9 De même, nω B n sera le n ème coefficient de la décomposition de Fourier de la fonction impaire de Ø y période 2L construite à partir de la fonction (x, 0). Ø t Donc : A n = L L L y (x, 0) sin ( n L x ) dx et B n = n L L L Ø y Ø t (x, 0) sin ( n L x ) dx Le calcul de ces coefficients permet de déterminer le spectre en fréquence des oscillations de la corde, donc du son émis. III. Régime forcé L'extrémité x = L étant maintenue fixe, on met en mouvement sinusoïdal de faible amplitude l'extrémité x = 0 à l'aide d'un vibreur. Les conditions aux limites sont donc y(0,t) = A cos (ωt) et y(l,t) = 0.. Observations Pour presque toute valeur de ω, l'amplitude du mouvement d'un point donné de la corde est au plus du même ordre que A. Mais il existe des valeurs discrètes bien précises pour lesquelles cette amplitude de mouvement est très supérieure à A. Pulsation "quelconque" Pulsation particulière 2. Interprétation en termes de réflexion d'ondes L'onde progressive émise par le vibreur se propage dans le sens des x croissants, se réfléchit en x = L, revient vers le vibreur où elle se réfléchit à nouveau... On a donc une superposition d'un grand nombre d'ondes progressives se propageant dans chaque sens. Considérons les ondes successives se propageant dans le même sens : * en général, en un point donné, ces différentes ondes ne sont pas en phase. La somme d'un grand nombre de valeurs d'une fonction cosinus en vaut sa valeur moyenne, donc nulle (en pratique, les frottements entraînent une perte d'énergie et limite le nombre d'ondes présentes, ce qui fait que l'on n'a pas un très grand nombre d'ondes et que la somme n'est pas nulle, seulement faible) ;

10 * si ces ondes successives sont toutes exactement en phase en chaque point, alors l'amplitude résultante pourra être forte. Cette condition est remplie lorsqu'un aller et retour le long de la corde provoque un déphasage multiple entier de 2π, soit lorsque 2L = n λ donc = n v L = n Les pulsations présentant un phénomène de résonance sont les pulsations propres de la corde.