2 1 terme 2 terme. Conclusion: Seuls les termes V et I de même fréquence donne une puissance active. stanis.lyszyk.free.fr

Transcription

1 Puissance en régime non sinusoïdal réseau équilibré A) Régime non sinusoïdal en courant et sinusoïdal en tension ) Réseau monophasé ) Calcul de la puissance active Rappel : out signal périodique de période peut se décomposer en une somme infinie de fonction sinusoïdale de fréquence fo/ puis fo fo Si la valeur moyenne de la fonction n'est pas nulle, elle s'ajoute. Considérons un signal i(t) de forme quelconque mais périodique et ayant pour fonction temporelle i(t) moy + k.cos(ωt - ϕ ) Et un signal v(t) sinusoïdal v(t) V cos(ωt ) Par définition la puissance active est donnée par : P ( v. i) dt en remplaçant les valeurs instantanées par leurs expressions nous obtenons P ( V cos t. [ cos( t )) dt ω ω ϕ Nous avons un produit de deux cosinus. Remplaçons le produit par une somme afin de pouvoir faire l'intégrale et d'obtenir la valeur moyenne de deux termes simples. cos( ω t + ω t ϕ ) cos( ω t ϕ ω t) cosω t.cos( ω t ϕ ) cos([ + ω t ϕ ) cos([ ω t + ϕ ) cosω t.cos( ω t ϕ ) terme terme Exploitation de l'expression : Si On n'a que la valeur moyenne de i(t). Comme v(t) est sinusoïdale la valeur moyenne de p(t) sera nulle. l n'y a pas de puissance active. Si La valeur moyenne du terme est nulle car nous avons une fonction sinusoïdale en (+)ω. Le deuxième terme est une constante égale à, il permet d'obtenir une valeur moyenne et donc une puissance active. ( Cette expression a été vue lors de l'étude de la puissance en monophasé ) P V... Si > Les deux termes seront sinusoïdaux donc aurons une valeur moyenne nulle. l n'y aura pas de puissance active. Conclusion: Seuls les termes V et de même fréquence donne une puissance active. ) Calcul de la puissance apparente S V V ) Définition de la puissance déformante Comme S fait intervenir tous les harmoniques de i(t), nous ne pouvons plus dire que S est égal à P + Q si Q V.. sinϕ S >P +Q l faut introduire un nouveau terme permettant d'expliquer la différence, c'est la puissance déformante. On la définit par : D S - ( P + Q ) V. ( - )

2 N'oubliez pas que nous sommes dans le cas d'une tension sinusoïdale. l n'y a qu'un harmonique pour v(t) qui est le fondamental. P 4) Définition du facteur de puissance: fp S Nous savons à présent pourquoi le facteur de puissance n'est pas toujours égal au. En et si nous reprenons l'expression de S en fonction de P Q et D nous obtenons : P P P fp < S P + Q + D P + Q V V V car la tension est de forme sinusoïdale f p P S V.. V f p < < Remarque : La puissance déformante nous force à augmenter la puissance apparente des appareils car ils sont définis pour une puissance apparente S sans déformation D. f p 5) Définition du facteur de déformation F D 6) aux de distorsion harmonique ou facteur de distorsion Dans le cas d'un courant de forme non sinusoïdal nous aurons est le fondamental n correspond aux harmoniques de rang au moins égal à. DH. n n ) Réseau triphasé ) Calcul de la puissance active : P V... ) Calcul de la puissance apparente S. V. U.. V ) Définition de la puissance déformante : D (S - ( P + Q )) V. ( - ) P 4) Définition du facteur de puissance f p < S ) nfluence du rang de l'harmonique. Nous raisonnerons avec une charge résistive non linéaire afin d'éviter de trainer un argument supplémentaire ϕ et nous admettrons que la conclusion est valable pour une charge de nature quelconque. Soit le fondamental de courant de la forme i (t) cosωt i (t) cos(ωt - π/) i (t) cos(ωt - 4π/) En prenant le premier terme comme référence de phase,les harmoniques seront donnés par i k t k cos k t i k t k cos[k t k k cos[k t i k t k cos[k t 4 k 4 k cos[k t Si k est un multiple de alors les trois intensités se retrouvent en phase kn ( ) i k t n cos n t i k t n cos[ n t n n cos[ n t

3 i k t n cos[ n t n ce qui donne aussi i k t n cos[ n t i k t n cos[ n t 4 n 4 k cos[ n t i k t n cos[ n t n 4 n cos[ n t Dans le cas d'un réseau 4 fils on constante que l'intensité dans le fil de neutre est fois plus grande que celle des phases ( seulement pour les harmoniques d'ordre n ). Cela peut entraîner un échauffement excessif du fil de neutre si celui ci est mal dimensionner et être à l'origine d'un incendie. Considérons à présent le cas des harmoniques de rang n+ ( 4 7 ) on retrouve un système équilibré i k t [ n cos n t i k t [ n cos[ n t n [n cos[ n t ce qui donne aussi i k t [ n cos [ n t i k t [ n cos[ n t 4 n 4 [n cos[ n t ce qui donne aussi i k t [ n cos[ n t 4 Dernière possibilité kn+ ( 5 8 ) i k t [ n cos n t i k t [ n cos[ n t n [ n cos[ n t ce qui donne aussi i k t [ n cos[ n t 4 i k t [ n cos[ n t 4 n 4 [ n cos[ n t ce qui donne aussi i k t [ n cos[ n t On arrive encore avec un système équilibré mais de sens inverse.pour les moteurs asynchrones ils vont créer des couples de sens inverse et donc des échauffements. V) nfluence des courants sur la forme d'onde de la tension. Considérons le circuit suivant. Lignes d'alimentation Charge non linéaire ia il ig u(t) Source d'alimentation client lambda client gênant l faut connaître l'impédance de la ligne en fonction des différents harmoniques. Nous avons deux tronçons. Le premier de la source au client lambda Le deuxième du client lambda au client gênant. Voici une simulation où les impédances de ligne sont importantes mais où elles ne dépendent pas de la fréquence.vous constaterez une déformation importante de la tension Vm aux bornes du client lambda ( courbe bleue ). La décomposition en série de fourier de Vm donne deux raies La première à 5Hz de valeur maximale 5V La seconde à 5Hz de valeur maximale 6,4V

4 Ve Client gênant Alimentation triphasée A e Rligne Rligne Vs s A R Vm Client lambda V) Exemples de forme d'onde d'appareils ou de systèmes qui engendrent des courants non sinusoïdaux ransformateur de tension Alimentation des micros ordinateurs Redressement non commandé ou commandé B) Régime de tension et courant non sinusoïdal ) Calcul de la puissance active Considérons le cas d'un récepteur monophasé, le courant et la tension seront décomposés en une somme infinie de sinusoïdes (série de fourier) i(t) moy + k.cos(ωt - ϕ ) v(t) V moy + V n.cos(nωt ) par définition P ( v. i) dt ce qui donne P Vmoy moy + V Dans le cas où les grandeurs ne possèdent pas de valeurs moyennes, nous pouvons dire que :

5 La puissance active totale est la somme des puissances actives associées à chaque harmonique On considère que k est le déphasage d'un harmonique de tension par rapport à l'harmonique de même rang de courant. Démonstration : i k t [k cos k t v n t V [ n cos n t n deux termes quelconque des séries de fourier de v(t) et i(t). Le produit nous donne i k t v n t V [n cos n t n [ k cos k t ransformons le produit des deux cosinus en une somme de deux cosinus. Pour cela, utilisons les relations trigonométriques suivantes: Cos(a-b) cos a cos b + sin a sin b expression ( ) Cos(a+b) cos a cos b - sin a sin b expression ( ) En faisant () - () nous obtenons Cos(a-b) + Cos(a+b) (cos a cos b +sin a sin b) + (cos a cos b -sin a sin b) Cos(a-b) + Cos(a+b) cos (a)* cos( b) expression ( ) Posons an t n et bk t alors nous obtenons i k t v n t V n [cos n t n k t cos n t n k t i k t v n t V n [cos n k t n cos n k t n P ( v. i) dt P V n [cos n k t n cos n k t n dt P V n cos n k t n dt V n cos n k t n dt Coupons l'expression en deux termes premier terme V n cos n k t n dt second terme V n cos n k t n dt Le second terme sera toujours nul car nous calculons la valeur moyenne du sinusoïde sur un nombre entier de période. n+k N Le résultat du premier terme dépend de n-k. n k Si n-k est un entier différent de alors nous pouvons dire la même chose que pour le second terme. nk l ne reste que le cas où n-k c'est à dire nk alors on a V n n cos t n dt V n n cos n dtv n n cos n ) Autres définitions Les calculs de S et de D sont identiques au cas précédent. En triphasé équilibré nous obtenons S. V. U. S V U D S P Q )..

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