5. Equivalences d automates

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "5. Equivalences d automates"

Transcription

1 5. Equivalences d automates 5.1. Le problème du déterminisme 5.2. Différentes sortes d AEF 5.3. Déterminisation d un AEF 5.4. Déterminisation d un AEF avec ɛ-transitions 5.5. Minimisation d un AEF déterministe Anne Berry, Cours de Théorie des Langages Partie 1 : 5. Equivalences d automates 1/34

2 5. Equivalences d automates il existe plusieurs types d Automates d Etats Finis ils sont équivalents Anne Berry, Cours de Théorie des Langages Partie 1 : 5. Equivalences d automates 2/34

3 5.1. Le problème du déterminisme La définition d un automate d états finis n interdit pas les conflits. L = aab a + ab b Comment doit-on interpréter δ(q 0, a)? Anne Berry, Cours de Théorie des Langages Partie 1 : 5. Equivalences d automates 3/34

4 5.1. Le problème du déterminisme Le choix est non-déterministe. Anne Berry, Cours de Théorie des Langages Partie 1 : 5. Equivalences d automates 4/34

5 5.1. Le problème du déterminisme Définition Un automates d états finis déterministe (AEFD) (en anglais : Deterministic Finite Automaton (DFA) ) est un automate d états finis tel que, de chaque état q Q, il part Σ transitions, une pour chacune des lettres de l alphabet Σ. 1 dans la pratique, les transitions absentes partent vers l état poubelle, qui souvent est implicite. 2 pas d ɛ-transition! Anne Berry, Cours de Théorie des Langages Partie 1 : 5. Equivalences d automates 5/34

6 5.1. Le problème du déterminisme Exemple d automate déterministe : Anne Berry, Cours de Théorie des Langages Partie 1 : 5. Equivalences d automates 6/34

7 5.2. Différentes sortes d AEF On définit 3 sortes d automates d états finis : 1 les automates d états finis déterministes 2 les automates d états finis non-déterministes avec ɛ-transition (NFA-ɛ) 3 les automates d états finis non-déterministes sans ɛ-transition (NFA-W, W pour Without ) Anne Berry, Cours de Théorie des Langages Partie 1 : 5. Equivalences d automates 7/34

8 5.2. Différentes sortes d AEF Théorème La classe des langages reconnus par : - les automates d états finis déterministes - les automates d états finis non-déterministes sans ɛ-transition - les automates d états finis non-déterministes avec ɛ-transition est la même : celle des langages rationnels. Preuve : constructive (algorithmes de passage d un type d AEF à un autre) Anne Berry, Cours de Théorie des Langages Partie 1 : 5. Equivalences d automates 8/34

9 5.3. Déterminisation d un AEF sans ɛ-transition On part d un AEF non déterministe A 1 = (Q, Σ, δ, q 0, F ) sans ɛ-transition. On calcule un automate d états finis déterministe A 2 = (Q, Σ, δ, Q 0, F ), avec Q 0 = {q 0} Anne Berry, Cours de Théorie des Langages Partie 1 : 5. Equivalences d automates 9/34

10 5.3. Déterminisation d un AEF sans ɛ-transition Principe : On construit les états et la table de transition de δ : 1 On construit la table de transition de δ (qui comporte des ensembles d états) 2 Initialisation de δ - on commence par Q 0 ={q 0} - on applique chaque caractère x de Σ à Q 0 - on obtient un ensemble d états qui est sera état de Q Anne Berry, Cours de Théorie des Langages Partie 1 : 5. Equivalences d automates 10/34

11 5.3. Déterminisation d un AEF sans ɛ-transition 3 Construction de δ - on choisit un état Q de Q non encore traité - on applique chaque caractère x de Σ chaque état de Q avec δ - on obtient un ensemble d états 1 si cet ensemble ne correspond pas à un été déjà défini de Q, on crée un nouvel état (final) de Q 4 les états finaux de A 2 sont ceux qui contiennent au moins un état de F Anne Berry, Cours de Théorie des Langages Partie 1 : 5. Equivalences d automates 11/34

12 5.3. Déterminisation d un AEF sans ɛ-transition Algo DETERMINISATION Donnee : un automate A 1 = (Q, Σ, δ, q 0, F ) Resultat : un automate déterministe A 2 = (Q, Σ, δ, Q 0, F ). Initialisation : Q 0 {q 0};ATRAITER Q 0 = {q 0} ; Q {Q 0 } ; tant que ATRAITER faire CHOISIR Q dans ATRAITER ; ATRAITER ATRAITER - Q ; pour chaque caractère x de Σ faire pour chaque état Q de Q faire δ (Q, x) δ (Q, x) δ(q, x) ; si δ (Q, x) n est pas un état de Q alors Q δ (Q, x) ; Q Q + {Q } ; ATRAITER ATRAITER + {Q } ; pour chaque état Q de Q contenant un état de F faire AJOUTER Q à F ; Retourner((Q, Σ, δ, Q 0, F )). Anne Berry, Cours de Théorie des Langages Partie 1 : 5. Equivalences d automates 12/34

13 5.3. Déterminisation d un AEF sans ɛ-transition Exemple : L = {ab, ac} δ a b c q 0 {q 1,q 3 } { } { } q 1 { } {q 2 } { } q 2 { } { } { } q 3 { } { } {q 4 } q 4 { } { } { } Anne Berry, Cours de Théorie des Langages Partie 1 : 5. Equivalences d automates 13/34

14 5.3. Déterminisation d un AEF sans ɛ-transition Initialisation : Q 0 = {q 0} δ (Q 0, a) = {q 1, q 3 } : on crée un nouvel état Q 1 = {q 1, q 3 } δ (Q 0, b) = { } ; δ (Q 0, c) = { } Anne Berry, Cours de Théorie des Langages Partie 1 : 5. Equivalences d automates 14/34

15 5.3. Déterminisation d un AEF sans ɛ-transition On a un état Q 1 = {q 1, q 3 } qui n est pas traité : δ (Q 1, a) = δ (Q 0, b) = {q 2} : on crée un nouvel état Q 2 = {q 2} δ (Q 0, c) = {q 4} : on crée un nouvel état Q 3 = {q 4} Anne Berry, Cours de Théorie des Langages Partie 1 : 5. Equivalences d automates 15/34

16 5.3. Déterminisation d un AEF sans ɛ-transition On traite l état Q 2 = {q 2} : δ (Q 2, a) = δ (Q 2, b) = δ (Q 2, c) = On traite l état Q 3 = {q 4} : δ (Q 3, a) = δ (Q 3, b) = δ (Q 3, c) = Etats finaux : Q 2 parce qu il contient q 2, et Q 3 parce qu il contient q 4. Anne Berry, Cours de Théorie des Langages Partie 1 : 5. Equivalences d automates 16/34

17 5.3. Déterminisation d un AEF sans ɛ-transition A la fin, on obtient : δ a b c q 0 {q 1,q 3 } { } { } q 1 { } {q 2 } { } q 2 { } { } { } q 3 { } { } {q 4 } q 4 { } { } { } δ a b c Q 0 ={q 0} {q 1,q 3 }=Q 1 { } { } Q 1 ={q 1,q 3 } { } {q 2 }=Q 2 {q 4 }=Q 3 Q 2 =q 2 { } { } { } Q 3 =q 4 { } { } { } Anne Berry, Cours de Théorie des Langages Partie 1 : 5. Equivalences d automates 17/34

18 5.3. Déterminisation d un AEF sans ɛ-transition Remarque : Etant donné un AEF non déterministe à k états, l AEF déterministe correspondant peut avoir 2 k états. Anne Berry, Cours de Théorie des Langages Partie 1 : 5. Equivalences d automates 18/34

19 5.4. Déterminisation d un AEF avec ɛ-transitions On étend la technique de déterminisation en étendant la fonction de transition δ (Q i, x) à une fonction donnée par les mots ɛ xɛ. Anne Berry, Cours de Théorie des Langages Partie 1 : 5. Equivalences d automates 19/34

20 5.4. Déterminisation d un AEF avec ɛ-transitions Définition On appelle ɛ-fermeture d un état q l ensemble des états q i atteignables à partir de q par un chemin étiqueté uniquement par le mot vide ɛ. Définition On appelle ɛ-fermeture d un ensemble Q d états l union des ɛ-fermetures des états appartenant à Q. Anne Berry, Cours de Théorie des Langages Partie 1 : 5. Equivalences d automates 20/34

21 5.4. Déterminisation d un AEF avec ɛ-transitions Exemple : a b c ɛ-fermeture(q 0 ) = {q 0, q 1, q 2 } ɛ-fermeture(q 1 ) = {q 1, q 2 } ɛ-fermeture(q 2 ) = {q 2 } Anne Berry, Cours de Théorie des Langages Partie 1 : 5. Equivalences d automates 21/34

22 5.4. Déterminisation d un AEF avec ɛ-transitions Principe de déterminisation : Pour un état Q de l AEF déterministe en cours de calcul : 1 On part de l ɛ-fermeture de Q. 2 On calcule δ(q ) 3 On calcule l ɛ-fermeture de δ(q ) 4 On obtient un état du nouvel automate Les états finaux du nouvel automate sont ceux qui contiennent au moins un état de l automate de départ. Anne Berry, Cours de Théorie des Langages Partie 1 : 5. Equivalences d automates 22/34

23 5.4. Déterminisation d un AEF avec ɛ-transitions Exemple : δ a b c ɛ q 0 {q 0 } { } { } {q 0,q 1,q 2 } q 1 { } {q 1 } { } {q 1,q 2 } q 2 { } { } {q 2 } {q 2 } Construction de δ, Q 0 =ɛ-fermeture(q 0)={q 0,q 1,q 2 } Anne Berry, Cours de Théorie des Langages Partie 1 : 5. Equivalences d automates 23/34

24 5.4. Déterminisation d un AEF avec ɛ-transitions δ a b c Q 0 = {q 0, q 1, q 2 } {q 0 } Q 0 {q 1 } {q 1,q 2 }=Q 1 {q 2 } {q 2 }= Q 1 = {q 1, q 2 } { } {Q 1 } {Q 2 } Q 2 = {q 2} { } { } {Q 2 } Anne Berry, Cours de Théorie des Langages Partie 1 : 5. Equivalences d automates 24/34

25 5.4. Déterminisation d un AEF avec ɛ-transitions Tous les états sont finaux, on obtient l automate : Anne Berry, Cours de Théorie des Langages Partie 1 : 5. Equivalences d automates 25/34

26 5.5. Minimisation d un AEF déterministe Théorème (de Nérode - Myhill) : Pour un langage rationnel donné L, il existe un automate d états finis déterministe canonique (uniquement défini), et qui comporte un nombre minimum d états, reconnaissant L. Il existe un algorithme très efficace de minimisation. Anne Berry, Cours de Théorie des Langages Partie 1 : 5. Equivalences d automates 26/34

27 5.5. Minimisation d un AEF déterministe Principe de minimisation d un automate d états finis déterministe : utilise le principe algorithmique d éclatement de partitions. Anne Berry, Cours de Théorie des Langages Partie 1 : 5. Equivalences d automates 27/34

28 5.5. Minimisation d un AEF déterministe Rappel : une partition d un ensemble est la définition d un ensemble de classes, tel que l union de toutes les classes est l ensemble de départ et l intersection de deux classes est vide (une partition correspond à une relation d équivalence) Principe algorithmique d éclatement de partitions (ou d affinement de partitions) 1 on part d une (ou plusieurs) (grandes) classes 2 on a un critère qui permet de partitionner un classe en plusieurs classes plus petites 3 on arête quand chaque classe obtenue est non-partitionnable Anne Berry, Cours de Théorie des Langages Partie 1 : 5. Equivalences d automates 28/34

29 5.5. Minimisation d un AEF déterministe Pour minimiser un AEF déterministe : 1 on retire les états non atteignables ; 2 on partitionne l ensemble des états en deux classes : 1 les états finaux 2 les états non finaux (y compris l état poubelle ) Anne Berry, Cours de Théorie des Langages Partie 1 : 5. Equivalences d automates 29/34

30 5.5. Minimisation d un AEF déterministe Etape d éclatement d une classe C i : 1 appliquer à C i une transition par un caractère x de Σ ; 2 séparer les éléments de C i qui n aboutissent pas à la même classe Anne Berry, Cours de Théorie des Langages Partie 1 : 5. Equivalences d automates 30/34

31 5.5. Minimisation d un AEF déterministe On répète jusqu à ce qu il n y ait plus d éclatement possible. A la fin, on a pour toute classe C i obtenue : x Σ, q, q C i, δ(q, x) = δ(q, x) On obtient la description d un nouvel AEF déterministe, dont l état initial est l état contenant q 0 et dont les états finaux sont les états contenant un état final de de l automate de départ. Anne Berry, Cours de Théorie des Langages Partie 1 : 5. Equivalences d automates 31/34

32 5.5. Minimisation d un AEF déterministe Exemple : L = {ab, ac} On part de C 1 = {q 3, q 4 } et C 2 = {q 0, q 2, } (C 1, a), (C 1, b), (C 1, c), (C 2, a) C 2 C 2, b : (q 0, b) C 2, (q 2, b) C 1, (q 2, c) C 1 On sépare C 2 = {q 0, q 2 } en C 2 = {q 0, } et C 2 = {q 2} etc. On obtient un automate d états finis déterministe à trois états : Anne Berry, Cours de Théorie des Langages Partie 1 : 5. Equivalences d automates 32/34

33 5.5. Minimisation d un AEF déterministe Algo MINIMISATION Donnee : un automate déterministe A 1 = (Q, Σ, δ, q 0, F ) Resultat : l automate déterministe minimum A 2 = (Q, Σ, δ, Q 0, F ). Initialisation : C {Q F, F } ; b 1 ; SUPPRIMER de A 1 les états non atteignables ; tant que b=1 faire b 0 ; pour chaque classe C de C faire pour chaque caractère x de Σ faire si par δ on n aboutit pas dans une même classe de C alors REMPLACER C dans C par les classes obtenues ; b 1 ; δ fonction de passage d une classe de C à une autre ; F ensemble des classes de C classes contenant au moins un état de F ; Retourner(C, Σ, δ, q 0, F ). Anne Berry, Cours de Théorie des Langages Partie 1 : 5. Equivalences d automates 33/34

34 5.5. Minimisation d un AEF déterministe Théorème Pour un langage rationnel L donné, il existe un unique automate d états fini déterministe minimum engendrant L. Conséquence fondamentale : Les langages rationnels sont non ambigüs. Anne Berry, Cours de Théorie des Langages Partie 1 : 5. Equivalences d automates 34/34

Théorie des langages. Automates à pile. Elise Bonzon http://web.mi.parisdescartes.fr/ bonzon/ elise.bonzon@parisdescartes.

Théorie des langages. Automates à pile. Elise Bonzon http://web.mi.parisdescartes.fr/ bonzon/ elise.bonzon@parisdescartes. Automates à pile Elise Bonzon http://web.mi.parisdescartes.fr/ bonzon/ elise.bonzon@parisdescartes.fr 1 / 62 Automates à pile Introduction Rappels sur les piles Automates à pile : définition Automates

Plus en détail

L2: cours I4c Langages et automates

L2: cours I4c Langages et automates L2: cours I4c Langages et automates Olivier Togni, LE2I (038039)3887 olivier.togni@u-bourgogne.fr Modifié le 31 mai 2007 Sommaire Utiles pour compilation, interprétation,... 1. Langages rationnels 2. Langages

Plus en détail

Théorie des Langages Formels Chapitre 5 : Automates minimaux

Théorie des Langages Formels Chapitre 5 : Automates minimaux Théorie des Langages Formels Chapitre 5 : Automates minimaux Florence Levé Florence.Leve@u-picardie.fr Année 2015-2016 1/29 Introduction Les algorithmes vus précédemment peuvent mener à des automates relativement

Plus en détail

Cours 9: Automates finis

Cours 9: Automates finis Cours 9: Automates finis Olivier Bournez ournez@lix.polytechnique.fr LIX, Ecole Polytechnique INF421-a Bases de la programmation et de l algorithmique Aujourd hui Rappels Déterminisation Automates et expressions

Plus en détail

CHAPITRE 5 : ANALYSE LEXICALE

CHAPITRE 5 : ANALYSE LEXICALE CHAPITRE 5 : ANALYSE LEXICALE L analyse lexicale est un autre domaine fondamental d application des automates finis. Dans la plupart des langages de programmation, les unités lexicales (identificateurs,

Plus en détail

Automate Fini Non-déterministe

Automate Fini Non-déterministe Automate Fini Non-déterministe Théorème de Kleene Systèmes Formels Master 1 ISIDIS Sébastien Verel verel@lisic.univ-littoral.fr http://www-lisic.univ-littoral.fr/~verel Université du Littoral Côte d Opale

Plus en détail

MVA004 Automates, codes, graphes et matrices Cours n 6

MVA004 Automates, codes, graphes et matrices Cours n 6 MVA004 Automates, codes, graphes et matrices Cours n 6 cours n 5 1 Mots-clés Automate fini déterministe AFD Automate fini non déterministe AFN Déterminisation mots-clés 2 MVA004 Chapitre 22 Construction

Plus en détail

et Automates de Büchi

et Automates de Büchi Cours 9: Propriétes ω-régulières et Automates de Büchi Francesco Belardinelli Laboratoire IBISC Remerciements à Alessio Lomuscio et Joost-Pieter Katoen 26 mars 2015 Cours 9 - Vue d Ensemble Motivation

Plus en détail

Théorie des Langages

Théorie des Langages Théorie des Langages Automates Claude Moulin Université de Technologie de Compiègne Printemps 2013 Sommaire 1 Automate fini 2 Automate et langages réguliers 3 Automate à pile Automate fini déterministe

Plus en détail

Arbres. Alphabet Σ = Σ 0 Σ k. Exemples

Arbres. Alphabet Σ = Σ 0 Σ k. Exemples Arbres Alphabet Σ = Σ 0 Σ k Σ i : alphabet fini de symboles de rang i (Σ i Σ j possible). Un arbre t de rang k est défini par un ensemble (fini) dom(t) {1,..., k} clos par préfixe (domaine de t) : si v,

Plus en détail

Université Bordeaux 1 Master d informatique UE Bases de Données Sujet et correction de l examen du 27 mai 2004 8h00 9h30 (sans documents)

Université Bordeaux 1 Master d informatique UE Bases de Données Sujet et correction de l examen du 27 mai 2004 8h00 9h30 (sans documents) Numéro d anonymat: 1 Université Bordeaux 1 Master d informatique UE Bases de Données Sujet et correction de l examen du 27 mai 2004 8h00 9h30 (sans documents) Sauf mention contraire en caractères gras,

Plus en détail

Calculabilité Cours 2 : Machines de Turing

Calculabilité Cours 2 : Machines de Turing Calculabilité Cours 2 : Machines de Turing Introduction Un autre type de modèle de calcul Les fonctions récursives et les fonctions λ représentables définissent des modèles de calculs dans k N Nk N Nous

Plus en détail

Formulaire Automates Sylvain Lombardy

Formulaire Automates Sylvain Lombardy Formulaire Automates Sylvain Lombardy Définition 1 Alphabet, mot, langage Un alphabet est un ensemble fini de symboles; chacun de ces symboles est appelé lettre. Un mot est une suite fini de lettres pris

Plus en détail

Un alphabet Un ensemble fini non vide s'appelle un alphabet. Langages réguliers et automates. Un mot. Un langage. {a,b} non. A.

Un alphabet Un ensemble fini non vide s'appelle un alphabet. Langages réguliers et automates. Un mot. Un langage. {a,b} non. A. Langages réguliers et automates finis A. Maurer Mars 09 Un alphabet Un ensemble fini non vide s'appelle un alphabet Ensemble Σ {a,b} {a,b,a,b} L'ensembledes nombres naturels pairs Alphabet? oui non oui

Plus en détail

Modélisation de systèmes par automates finis

Modélisation de systèmes par automates finis LIP6 - UPMC Année 2010 2011 Master SAR - MSR Aide mémoire Modélisation de systèmes par automates finis Table des matières 1 Introduction : modélisation par automates finis 1 2 Systèmes de transitions et

Plus en détail

Un automate à états fini

Un automate à états fini Automates à états et langages Notion d automate Langage reconnu par un automate Automates non déterministes Expressions régulières et automates Limites des automates Notion d automate Objectif : définir

Plus en détail

Théorie des Langages

Théorie des Langages Théorie des Langages Analyse syntaxique descendante Claude Moulin Université de Technologie de Compiègne Printemps 2010 Sommaire 1 Principe 2 Premiers 3 Suivants 4 Analyse 5 Grammaire LL(1) Exemple : Grammaire

Plus en détail

Leçon 1: les entiers

Leçon 1: les entiers Leçon 1: les entiers L ensemble N des entiers naturels Compter, dresser des listes, classer et comparer des objets interviennent dans de multiples activités humaines. Les nombres entiers naturels sont

Plus en détail

Concours 2015 Épreuve d Informatique Filière : MP Durée de l épreuve : 3 heures. L utilisation d une calculatrice est autorisée.

Concours 2015 Épreuve d Informatique Filière : MP Durée de l épreuve : 3 heures. L utilisation d une calculatrice est autorisée. A 2015 INFO. MP École des Ponts ParisTech, SUPAERO (ISAE), ENSTA ParisTech, Télécom ParisTech, Mines ParisTech, Mines de Saint-étienne, Mines Nancy, Télécom Bretagne, ENSAE ParisTech (filière MP), École

Plus en détail

CH.6 Propriétés des langages non contextuels

CH.6 Propriétés des langages non contextuels CH.6 Propriétés des langages non contetuels 6.1 Le lemme de pompage 6.2 Les propriétés de fermeture 6.3 Les problèmes de décidabilité 6.4 Les langages non contetuels déterministes utomates ch6 1 6.1 Le

Plus en détail

Mathématiques pour l informatique 1 notes de cours sur la première partie

Mathématiques pour l informatique 1 notes de cours sur la première partie 1 Mathématiques pour l informatique 1 notes de cours sur la première partie L1 Université Paris-Est, Marne-la-Vallée Cyril Nicaud Organisation Ce demi-cours est composé de 6 séances de cours et 6 séances

Plus en détail

Chap. 2. Langages et automates

Chap. 2. Langages et automates Chapitre 2. Langages et automates 1. Quelques définitions et description d un langage. 2. Les expressions régulières. 3. Les automates fini déterministes et non-déterministes. 4. Construction automatique

Plus en détail

Polytechnique. Épreuve d Informatique 1998

Polytechnique. Épreuve d Informatique 1998 Polytechnique Épreuve d Informatique 1998 Corrigé rédigé par Martine Lannaud, Lycée Chaptal, Paris Pour toute remarque ou correction martine.lannaud@prepas.org Motifs et automates Question 1. Quelques

Plus en détail

Algorithmique et Analyse d Algorithmes

Algorithmique et Analyse d Algorithmes Algorithmique et Analyse d Algorithmes L3 Info Cours 11 : Arbre couvrant Prétraitement Benjamin Wack 2015-2016 1 / 32 La dernière fois Rappels sur les graphes Problèmes classiques Algorithmes d optimisation

Plus en détail

Épreuve d informatique 2011

Épreuve d informatique 2011 A 2011 INFO. MP ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L AÉRONAUTIQUE ET DE L ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE

Plus en détail

5.NORMALISATION. 1.Dependance fonctionnelle (DF) 2. Calcul des identifiants 3. Décomposition d une relation 4.Normalisation d une relation

5.NORMALISATION. 1.Dependance fonctionnelle (DF) 2. Calcul des identifiants 3. Décomposition d une relation 4.Normalisation d une relation 103 5.NORMALISATION 1.Dependance fonctionnelle (DF) 2. Calcul des identifiants 3. Décomposition d une relation 4.Normalisation d une relation 104 DF et Clé problème Mélanger dans une même relation des

Plus en détail

TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE

TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE P. Pansu 16 mai 2005 1 Qu est-ce que la topologie? C est l étude des propriétés des objets qui sont conservées par déformation continue. Belle phrase, mais qui nécessite d

Plus en détail

Chapitre 4 Automates à pile et langages hors-contexte

Chapitre 4 Automates à pile et langages hors-contexte Chapitre 4 Automates à pile et langages hors-contexte 87 Introduction Langage a n b n n est pas accepté par un automate fini. Par contre L k = {a n b n n k} est accepté. Mémoire finie, mémoire infinie,

Plus en détail

Grammaires formelles, Automates

Grammaires formelles, Automates 1/39 Grammaires formelles, Automates Pierre Zweigenbaum LIMSI, CNRS pz@limsi.fr http://www.limsi.fr/~pz/ 2/39 1 Syntaxe : grammaire, analyse 2 Grammaires formelles Langage et grammaire Grammaires régulières

Plus en détail

Algorithmique P2. HeapSort et files de priorité Ulg, 2009-2010 Renaud Dumont

Algorithmique P2. HeapSort et files de priorité Ulg, 2009-2010 Renaud Dumont Algorithmique P2 HeapSort et files de priorité Ulg, 2009-2010 Renaud Dumont Structure de tas - arbre Un tas est une structure de données qui Permet un nouveau type de tri (Tri par tas) Permet l'implémentation

Plus en détail

Informatique Théorique : Théorie des Langages, Analyse Lexicale, Analyse Syntaxique Jean-Pierre Jouannaud Professeur

Informatique Théorique : Théorie des Langages, Analyse Lexicale, Analyse Syntaxique Jean-Pierre Jouannaud Professeur Université Paris-Sud Licence d Informatique Informatique Théorique : Théorie des Langages, Analyse Lexicale, Analyse Syntaxique Jean-Pierre Jouannaud Professeur Adresse de l auteur : LIX École Polytechnique

Plus en détail

4. Les langages rationnels

4. Les langages rationnels 4. Les langages rationnels 4.1. Introduction aux langages rationnels 4.2. Les expressions régulières 4.3. Les automates d états finis Anne Berry, Cours de Théorie des Langages Partie 1 : 4. Langages rationnels

Plus en détail

Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : "Accès à l'université" chez DUNOD

Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : Accès à l'université chez DUNOD Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : "Accès à l'université" chez DUNOD Les supports de cours ne sont pas complets, ils ne contiennent ni les démonstrations,

Plus en détail

Automates. Lycée Louis-le-Grand Année 2003 2004. Automates. option informatique 1/74

Automates. Lycée Louis-le-Grand Année 2003 2004. Automates. option informatique 1/74 Lycée Louis-le-Grand Année 2003 2004 Automates option informatique 1/74 1 Sommaire notion d automate, leur intérêt et leurs usages ; calculs d un automate et langage reconnu ; déterminisme, comment s en

Plus en détail

Relations Binaires Relations d équivalence sur un ensemble

Relations Binaires Relations d équivalence sur un ensemble Relations Binaires Relations d équivalence sur un ensemble MPSI 2 1 Généralités Soit E un ensemble non vide. Définition 1..1 On appelle relation binaire sur E le couple (E, G où G est un graphe de E dans

Plus en détail

Partie I : Automates et langages

Partie I : Automates et langages 2 Les calculatrices sont interdites. N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut

Plus en détail

Expressions rationnelles, automates, analyse lexicale

Expressions rationnelles, automates, analyse lexicale Chapitre 2 Expressions rationnelles, automates, analyse lexicale L analyse lexicale est la première phase d un compilateur ou d un interprète : elle consiste à identifier et à catégoriser les différents

Plus en détail

Automate à états finis. Faculté I&C, André Maurer, Claude Petitpierre

Automate à états finis. Faculté I&C, André Maurer, Claude Petitpierre Automate à états finis Faculté I&C, André Maurer, Claude Petitpierre Exemple introductif: reconnaître un numéro de plaque Numéros valides Numéros non valides Un problème de décision Un mot OUI, si le mot

Plus en détail

Déroulement de l épreuve

Déroulement de l épreuve Déroulement de l épreuve Le sujet, volontairement très long, se compose de deux problèmes indépendants. Le candidat pourra au choix se concentrer sur l un des deux problèmes ou les aborder tous les deux.

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

1. Lecture / Ecriture

1. Lecture / Ecriture IUT Arles Info 1 ère année - Module AP (Algorithmique) TD 2 Algo 1. Lecture / Ecriture Exercice I : Quels résultats produira ce programme : Variables val, double : numériques Val 231 Double val * 2 Ecrire

Plus en détail

LEÇON N 5 : 5.1 Probabilité conditionnelle. Pré-requis : Opérations sur les ensembles, cardinaux ; Espaces probabilisés ; Calcul de probabilités.

LEÇON N 5 : 5.1 Probabilité conditionnelle. Pré-requis : Opérations sur les ensembles, cardinaux ; Espaces probabilisés ; Calcul de probabilités. LEÇON N 5 : Probabilité conditionnelle, indépendance de deux événements (on se limitera au cas où l ensemble d épreuves des fini). Applications à des calculs de probabilité. Pré-requis : Opérations sur

Plus en détail

Présentation des données pour une analyse statistique

Présentation des données pour une analyse statistique Présentation des données pour une analyse statistique Ce document décrit les points essentiels à vérifier avant d analyser des données par un logiciel statistique. Sommaire I. Règles à respecter lors de

Plus en détail

CHAPITRE 4 : BASES DE LEX

CHAPITRE 4 : BASES DE LEX CHAPITRE 4 : BASES DE LEX Analyse lexicale (rappel) L analyse lexicale consiste à déterminer le, «statut» de chaque mot, c est-à-dire l unité lexicale (ou token) qui lui correspond. Les unités lexicales

Plus en détail

Théorie des graphes. Introduction. Programme de Terminale ES Spécialité. Résolution de problèmes à l aide de graphes. Préparation CAPES UCBL

Théorie des graphes. Introduction. Programme de Terminale ES Spécialité. Résolution de problèmes à l aide de graphes. Préparation CAPES UCBL Introduction Ces quelques pages ont pour objectif de vous initier aux notions de théorie des graphes enseignées en Terminale ES. Le programme de Terminale (voir ci-après) est construit sur la résolution

Plus en détail

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Pierre Andreoletti IUT d Orléans Laboratoire MAPMO (Bât. de Mathématiques UFR Sciences) - Bureau 126 email: pierre.andreoletti@univ-orleans.fr

Plus en détail

Enveloppes convexes dans le plan

Enveloppes convexes dans le plan ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D ADMISSION FILIÈRE MP HORS SPÉCIALITÉ INFO FILIÈRE PC COMPOSITION D INFORMATIQUE B (XECLR)

Plus en détail

Relation binaire. 2. Relations, fonctions et ordres. Exemples. Représentation d une relation binaire. Un couple est une paire ordonnée d éléments.

Relation binaire. 2. Relations, fonctions et ordres. Exemples. Représentation d une relation binaire. Un couple est une paire ordonnée d éléments. Relation binaire Un couple est une paire ordonnée d éléments. ex: les points (x,y) du plan de IN 2 ou de IR 2, les nom et prix d un produit, les instances d un objet en Java (à 2 attributs). 2. Relations,

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

INF 232: Langages et Automates. Travaux Dirigés. Université Joseph Fourier, Université Grenoble 1 Licence Sciences et Technologies

INF 232: Langages et Automates. Travaux Dirigés. Université Joseph Fourier, Université Grenoble 1 Licence Sciences et Technologies INF 232: Langages et Automates Travaux Dirigés Université Joseph Fourier, Université Grenoble 1 Licence Sciences et Technologies Année Académique 2013-2014 Année Académique 2013-2014 UNIVERSITÉ JOSEPH

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Le problème des multiplications matricielles enchaînées peut être énoncé comme suit : étant

Le problème des multiplications matricielles enchaînées peut être énoncé comme suit : étant Licence informatique - L Année 0/0 Conception d algorithmes et applications (LI) COURS Résumé. Dans cette cinquième séance, nous continuons l exploration des algorithmes de type Programmation Dynamique.

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

Mathématiques pour l'informatique? Au programme. Objectif du semestre

Mathématiques pour l'informatique? Au programme. Objectif du semestre Mathématiques pour l'informatique? Calcul des Ensembles David Teller 09/02/2007 Q L'informatique, au juste, c'est quoi? A L'informatique, c'est : de l'électronique de la théorie des processus de la linguistique

Plus en détail

Point 6 L exportation et la synchronisation des données entre BCDI et e-sidoc

Point 6 L exportation et la synchronisation des données entre BCDI et e-sidoc Documentation esidoc Point 6 L exportation et la synchronisation des données entre BCDI et esidoc Mars 2014 Documentation détaillée V2.1 Sommaire QUELLES SONT LES DONNEES D UNE BASE GEREE AVEC BCDI TRANSMISES

Plus en détail

Mathématiques pour. l informatique

Mathématiques pour. l informatique Xavier Chanet Patrick Vert Mathématiques pour l informatique Pour le BTS SIO Toutes les marques citées dans cet ouvrage sont des marques déposées par leurs propriétaires respectifs. Illustration de couverture

Plus en détail

Chapitre 3. Définitions récursives et induction structurelle

Chapitre 3. Définitions récursives et induction structurelle Chapitre 3 Définitions récursives et induction structurelle 114 Plan 1. Définitions récursives 2. Induction structurelle 3. Exemples Arbres Naturels Expressions arithmétiques Lectures conseillées : I MCS

Plus en détail

Groupes et Actions de groupes. 1 Groupes, morphismes et actions de groupes.

Groupes et Actions de groupes. 1 Groupes, morphismes et actions de groupes. Groupes et Actions de groupes On présente ici des notions de base de théorie des groupes pour l agrégation interne. 1 Groupes, morphismes et actions de groupes. Un groupe (G, ), ou plus simplement G, est

Plus en détail

CHAPITRE 3 : AUTOMATES FINIS NON-DETERMINISTES (AFN)

CHAPITRE 3 : AUTOMATES FINIS NON-DETERMINISTES (AFN) CHAPITRE 3 : AUTOMATES FINIS NON-DETERMINISTES (AFN) 1. Définition des automates finis non-déterministes (AFN) 1.1 Définition générale Définition. Un automate fini non-déterministe AFN sur un alphabet

Plus en détail

Automates & Langages

Automates & Langages Automates & Langages Frédéric Olive 1 2010 / 2011 1. LIF/CMI, 39 rue joliot Curie, 13453 Marseille - 04 13 55 13 16 - frederic.olive@lif.univ-mrs.fr Table des matières Introduction 5 1 Langages réguliers

Plus en détail

Un tout petit peu d homotopie

Un tout petit peu d homotopie Vincent Beck On note I = [ 0, 1 ]. Un tout petit peu d homotopie 0.1 Homotopie Définition 1 Applications homotopes. Soient X, Y deux espaces topologiques et f, g : X Y deux applications continues. On dit

Plus en détail

CH.8 Décidabilité. Propriétés des langages récursifs : Fermés par complémentation, union et intersection. oui. non. oui M 1. non. oui M 2.

CH.8 Décidabilité. Propriétés des langages récursifs : Fermés par complémentation, union et intersection. oui. non. oui M 1. non. oui M 2. CH.8 Décidabilité 8.1 Les langages récursifs 8.2 La machine de Turing universelle 8.3 Des problèmes de langages indécidables 8.4 D'autres problèmes indécidables Automates ch8 1 8.1 Les langages récursifs

Plus en détail

INSUFFISANCE DE LA 3NF

INSUFFISANCE DE LA 3NF 156 INSUFFISANCE DE LA 3NF Exemple: Poste (Ville, Rue, Code) et DF={V,R C ; C V} Clés: VR, RC Relation en 3 NF Poste Ville Rue Code Paris St Michel 75005 Paris Champollion 75005 Redondance entre le code

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire 1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit

Plus en détail

Mini-Projet de Prolog : Solver de Sudoku

Mini-Projet de Prolog : Solver de Sudoku UNIVERSITE François Rabelais TOURS Polytech Tours-Département Informatique 64, Avenue Jean Portalis 37200 TOURS Mini-Projet de Prolog : Solver de Sudoku Encadré par : Présenté par : M. J-L Bouquard Florent

Plus en détail

Introduction au model-checking et application à la vérification des protocoles cryptographiques

Introduction au model-checking et application à la vérification des protocoles cryptographiques Introduction au model-checking et application à la vérification des protocoles cryptographiques Prof. John MULLINS École Polytechnique de Montréal Prof. John MULLINS (École Polytechnique) Introduction

Plus en détail

I Arbres binaires. Lycée Faidherbe 2014-2015. 1 Rappels 2 1.1 Définition... 2 1.2 Dénombrements... 2 1.3 Parcours... 3

I Arbres binaires. Lycée Faidherbe 2014-2015. 1 Rappels 2 1.1 Définition... 2 1.2 Dénombrements... 2 1.3 Parcours... 3 I Arbres binaires 2014-2015 Table des matières 1 Rappels 2 1.1 Définition................................................ 2 1.2 Dénombrements............................................ 2 1.3 Parcours.................................................

Plus en détail

Dépendances Fonctionnelles Exercices Corrigés

Dépendances Fonctionnelles Exercices Corrigés Dépendances Fonctionnelles Exercices Corrigés Axiomes d Armstrong Exercice 1 L'axiome de pseudo transitivité nous dit que si X Y et YW Z, alors XW Z. Démontrer cet axiome à l'aide des autres axiomes d'arstrong.

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Analyse syntaxique IFT-15752 Compilation et interpr etation c! Danny Dub e 2006

Analyse syntaxique IFT-15752 Compilation et interpr etation c! Danny Dub e 2006 Analyse syntaxique Introduction Les grammaires hors-contexte sont les outils que nous utiliserons pour spécifier la structure syntaxique des programmes. Les grammaires hors-contexte ont plusieurs avantages:

Plus en détail

Théorie de la Normalisation 1/44

Théorie de la Normalisation 1/44 Théorie de la Normalisation 1/44 La phase de design d une BD q Analyse des besoins q Design conceptuel q Modèle EA, UML q Design logique q EA vers relations q raffinement de schéma: normalisation q Design

Plus en détail

Les types utilisateurs (VBA) Corrigé

Les types utilisateurs (VBA) Corrigé PAD INPT ALGORITHMIQUE ET PROGRAMMATION 1 Cours VBA, Semaine 2 avril mai 2013 Corrigé Résumé Ce document décrit comment traduire en VBA les types utilisateur du langage algorithmique. Table des matières

Plus en détail

Projet TAL : traduction français-sms

Projet TAL : traduction français-sms Projet TAL : traduction français-sms 1 Objectif L objectif de ce projet est de concevoir un logiciel permettant de traduire un texte écrit en langage SMS vers le français. La traduction sera effectuée

Plus en détail

TD 2 - Modèles de calcul

TD 2 - Modèles de calcul TD 2 - Modèles de calcul Remarques préliminaires Si ou désigne une relation binaire (de dérivation/transition suivant le contexte), on notera ou sa clôture transitive, comprendre la relation obenue en

Plus en détail

Informatique en CPGE (2014-2015) Bases de Données Relationnelles

Informatique en CPGE (2014-2015) Bases de Données Relationnelles Informatique en CPGE (2014-2015) Bases de Données Relationnelles S. B. Lycée des EK 15 avril 2015 Comment gérer des données à l aide de systèmes informatiques? Supposons que des données sont stockées sur

Plus en détail

Plus courts chemins, programmation dynamique

Plus courts chemins, programmation dynamique 1 Plus courts chemins, programmation dynamique 1. Plus courts chemins à partir d un sommet 2. Plus courts chemins entre tous les sommets 3. Semi-anneau 4. Programmation dynamique 5. Applications à la bio-informatique

Plus en détail

1 C est quoi une fonction? 2. 2 Représentation graphique d une fonction. 6. 3 Fonction affine. 8. 4 Représentation graphique d une fonction affine.

1 C est quoi une fonction? 2. 2 Représentation graphique d une fonction. 6. 3 Fonction affine. 8. 4 Représentation graphique d une fonction affine. Sommaire 1 C est quoi une fonction? 2 2 Représentation graphique d une fonction. 6 3 Fonction affine. 8 4 Représentation graphique d une fonction affine. 10 5 Coefficient directeur d une fonction affine.

Plus en détail

Mathématiques pour l Informatique Relations binaires Jérôme Gensel

Mathématiques pour l Informatique Relations binaires Jérôme Gensel Master ICA Spécialité IHS Année 2007/2008 Mathématiques pour l Informatique Relations binaires Jérôme Gensel I) Relations binaires 1. Généralités Définition 1 : Une relation binaire d un ensemble E vers

Plus en détail

LES FICHIERS DE DONNEES STRUCTURES EN ENREGISTREMENTS...

LES FICHIERS DE DONNEES STRUCTURES EN ENREGISTREMENTS... ALGO Ch 6 Fichiers I. INTRODUCTION... 1 A. NOTION DE FICHIERS... 1 B. STRUCTURATION DES DONNEES DANS UN FICHIER... 1 1. Fichiers NON structurés... 1 2. Fichiers structurés... 2 C. RESUME DES CARACTERISTIQUES

Plus en détail

Les structures. Chapitre 3

Les structures. Chapitre 3 Chapitre 3 Les structures Nous continuons notre étude des structures de données qui sont prédéfinies dans la plupart des langages informatiques. La structure de tableau permet de regrouper un certain nombre

Plus en détail

doit avoir une, et une seule, solution x. L équation (2) est équivalente à

doit avoir une, et une seule, solution x. L équation (2) est équivalente à Travaux dirigés : Cryptanalyse du chiffrement affine SéCrypt Chiffrement affine : définition Le chiffrement par décalage est un cas particulier du chiffrement par substitution dans lequel on utilise une

Plus en détail

Les graphes d intervalles

Les graphes d intervalles Les graphes d intervalles Complément au chapitre 3 «Vol aux archives cantonales» Considérons un ensemble de tâches ayant chacune une heure de début et une heure de fin bien précises. Supposons qu on demande

Plus en détail

Théorie des Langages Formels Chapitre 7 : Grammaires

Théorie des Langages Formels Chapitre 7 : Grammaires 1/22 Théorie des Langages Formels Chapitre 7 : Grammaires Florence Levé Florence.Leve@u-picardie.fr Année 2014-2015 2/22 Reconnaître ou engendrer Un automate peut être vu comme une machine permettant de

Plus en détail

1 Définition et premières propriétés des congruences

1 Définition et premières propriétés des congruences Université Paris 13, Institut Galilée Département de Mathématiques Licence 2ème année Informatique 2013-2014 Cours de Mathématiques pour l Informatique Des nombres aux structures Sylviane R. Schwer Leçon

Plus en détail

Espaces de probabilités.

Espaces de probabilités. Université Pierre et Marie Curie 2010-2011 Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 2 Espaces de probabilités. 1. Donner un exemple d'une famille de parties d'un ensemble qui ne soit pas une tribu.

Plus en détail

Leçon 6. Savoir compter

Leçon 6. Savoir compter Leçon 6. Savoir compter Cette leçon est une introduction aux questions de dénombrements. Il s agit, d une part, de compter certains objets mathématiques (éléments, parties, applications,...) et, d autre

Plus en détail

REGAL: une bibliothèque pour la génération des automates déterministes

REGAL: une bibliothèque pour la génération des automates déterministes 161 Prépublication n 26 Fascicule n 2 REGAL: une bibliothèque pour la génération des automates déterministes Julien David Institut Gaspard Monge, UMR CNRS 8049 Université de Marne-la-Vallée 77454 Marne-la-Vallée

Plus en détail

Ensembles et applications. Motivations. Exo7

Ensembles et applications. Motivations. Exo7 o7 nsembles et applications Vidéo partie 1. nsembles Vidéo partie 2. Applications Vidéo partie 3. Injection, surjection, bijection Vidéo partie 4. nsembles finis Vidéo partie 5. Relation d'équivalence

Plus en détail

Listes creuses - plus d espace que de temps

Listes creuses - plus d espace que de temps Listes creuses - plus d espace que de temps Omar AitMous 1 Frédérique Bassino 1 Cyril Nicaud 2 1 LIPN UMR 7030 Université Paris 13 2 LIGM, UMR CNRS 8049 Université Paris Est 11 Janvier 2011 Listes creuses

Plus en détail

Génie Logiciel Industriel - Travaux pratiques

Génie Logiciel Industriel - Travaux pratiques - Travaux pratiques TP1 : Recherche par dichotomie I. Introduction. L objectif de ce TP est de mettre en pratique des notions de base du langage C (entrées/sorties, structure de contrôle, fonctions, ).

Plus en détail

INF-130 Travail Pratique #2

INF-130 Travail Pratique #2 École de technologie supérieure INF-30 Travail Pratique #2 Travail individuel Tracé d un métro Francis Bourdeau, Frédérick Henri et Patrick Salois Remise à la 0 e semaine. Objectifs - Amener l étudiant

Plus en détail

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 1. Gestion optimale de portefeuille, l approche de Markowitz

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 1. Gestion optimale de portefeuille, l approche de Markowitz Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 1 Gestion optimale de portefeuille, l approche de Markowitz Clément Dombry, Laboratoire de Mathématiques de Besançon, Université de Franche-Comté.

Plus en détail

Programmation : Exercices

Programmation : Exercices Programmation : Exercices IUT de Villetaneuse R&T 1 ère année Laure Petrucci 6 novembre 2007 1 Premiers programmes Exercice 1.1 : Machine à dessiner On souhaite écrire un programme pour afficher des dessins.

Plus en détail

TD 1 de Langage C module Outils pour l'informatique Industrielle - Corrigés des Tds : http://www-lagis.univ-lille1.fr/~macaire/td.

TD 1 de Langage C module Outils pour l'informatique Industrielle - Corrigés des Tds : http://www-lagis.univ-lille1.fr/~macaire/td. Exercice 1 TD 1 de Langage C module Outils pour l'informatique Industrielle - Corrigés des Tds : http://www-lagis.univ-lille1.fr/~macaire/td.htm Exercices de base de Programmation Arbre Programmatique

Plus en détail

Soutien illimité 7j/7 en maths: Coach, profs, exercices & annales, cours. Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Amérique du Nord

Soutien illimité 7j/7 en maths: Coach, profs, exercices & annales, cours. Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Amérique du Nord Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Amérique du Nord EXERCICE 1 : 5 points On se place dans l espace muni d un repère orthonormé. On considère les points,, et. 1. Démontrer que les points,

Plus en détail

Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples

Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples 36 Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples (Ω, B, P est un espace probabilisé. 36.1 Définition et propriétés des probabilités conditionnelles Définition 36.1

Plus en détail

Enigma M3 Crack (Version 1.0)

Enigma M3 Crack (Version 1.0) Enigma M3 Crack (Version 1.0) EnigmaM3Crack est un programme gratuit destiné à déchiffrer les messages codés par la légendaire machine Enigma utilisée par les armées allemandes durant la seconde guerre

Plus en détail

Intervalles Cours. Intervalles Cours. SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)

Intervalles Cours. Intervalles Cours. SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) Intervalles Cours CHAPITRE 1 : Notion d intervalle 1) Définition 2) Représentations d intervalles 3) Vocabulaire 4) Notations d ensembles CHAPITRE 2 : Intersection d intervalles 1) Définition 2) Intervalles

Plus en détail

Bases d algorithmique

Bases d algorithmique Bases d algorithmique Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2015/2016 Table des matières 1 Un peu de vocabulaire 2 1.1 Qu est-ce qu un algorithme?....................................... 2 1.2 Variable, affectation...........................................

Plus en détail

Protocole Remote Telnet Viewer. Manuel d administration

Protocole Remote Telnet Viewer. Manuel d administration Protocole Remote Telnet Viewer V1.0 12/06/2015 Sommaire PROTOCOLE REMOTE TELNET VIEWER... 2 1 Généralités... 2 1.1 Etapes... 2 2 Trames... 3 2.1 Initialisation... 3 2.2 Mise à jour de l écran... 4 2.3

Plus en détail