Exercices sur les fonctions de transfert et les diagrammes de Bode. en utilisant la loi du diviseur

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1 Exercices sur les fonctions de transfert et les diagrammes de Bode Exercice I On considère le montage représenté ci-contre. est la grandeur d entrée et la grandeur de sortie. On leur associe les nombres complexes V e et V s. R Déterminer la fonction de transfert T = V s de tension. V e en utilisant la loi du diviseur C Exercice II On considère le montage représenté ci-contre. st la grandeur d entrée et i la grandeur de sortie. On leur associe les nombres complexes V et I. i L R Déterminer la fonction de transfert T = I V. v Rappels sur les calculs avec les nombres complexes : Produit (noté X 3 ) de deux nombres complexes X 1 et X 2 (dont les modules sont notés X 1 et X 2 et les arguments q 1 et q 2 ) : le module X 3 du produit X 3 est égal au produit des modules de X 1 et X 2 : X 3 = l argument q 3 du produit X 3 est égal à la somme des arguments de X 1 et X 2 : q 3 = Quotient (noté X 3 ) de deux nombres complexes X 1 et X 2 (dont les modules sont notés X 1 et X 2 et les arguments q 1 et q 2 ) : le module X 3 du quotient X 3 est égal au quotient des modules de X 1 et X 2 : X 3 =. l argument q 3 du quotient X 3 est égal à la différence des arguments de X 1 et X 2 : q 3 = Exercice III La fonction de transfert d un dispositif dont la grandeur d entrée est une intensité et la grandeur de sortie est une tension s écrit T = V =10 j.0,3 f avec f la fréquence exprimée en Hz. I 1. Déterminer la grandeur de sortie v 1 si la valeur instantanée de la grandeur d entrée a pour équation i 1 = 8 sin(2πf 1.t) avec f 1 = 50 Hz. 2. Déterminer la grandeur de sortie v 2 si la valeur instantanée de la grandeur d entrée a pour équation i 2 = 6 sin(2πf 2.t) avec f 2 = 150 Hz. Exercice IV La fonction de transfert d un dispositif dont les grandeurs d entrée et de sortie sont des tensions s écrit T = V s 1 = V e 1 j.62, f avec f la fréquence exprimée en Hz. 1. Déterminer la grandeur de sortie 1 si la valeur instantanée de la grandeur d entrée a pour équation 1 = 325 sin(2πf 1.t) avec f 1 = 50 Hz. 2. Déterminer la grandeur de sortie 2 si la valeur instantanée de la grandeur d entrée a pour équation 2 = 65 sin(2πf 2.t) avec f 2 = 150 Hz. Fonctions de transfert et diagrammes de Bode Page 1 TS2 ET

2 Exercice V La fonction de transfert d un dispositif dont la grandeur d entrée est une tension et la grandeur de sortie est une intensité s écrit T = I V = 1 avec f la fréquence exprimée en Hz. 10 j. 0,251. f 1. Déterminer la grandeur de sortie i 1 si la valeur instantanée de la grandeur d entrée a pour équation v 1 = 150 sin(2pf 1.t) avec f 1 = 50 Hz. 2. Déterminer la grandeur de sortie i 2 si la valeur instantanée de la grandeur d entrée a pour équation v 2 = 200 sin(2πf 2.t) avec f 2 = 250 Hz. Exercice VI On reprend le circuit RC étudié à l'exercice I avec R = 2 kω et C = 47 nf. 1. Étude du module a. Déterminer l expression littérale du module T de la fonction de transfert. b. Compléter le tableau suivant : f (Hz) T c. Comment évolue l impédance du condensateur lorsque la fréquence tend vers 0 Hz? Vers l infini? En déduire le module de la fonction de transfert en continu et lorsque la fréquence tend vers l infini. 2. Étude de l argument a. Déterminer l expression littérale permettant de calculer l argument q de la fonction de transfert. b. Compléter le tableau suivant : f (Hz) q (degrés) c. Comment évolue l impédance du condensateur lorsque la fréquence tend vers 0 Hz? Vers l infini? En déduire l argument de la fonction de transfert en continu et lorsque la fréquence tend vers l infini. Exercice VII Dans le cas du circuit RC étudié dans l'exercice précédent (Exercice VI), y a-t-il amplification ou atténuation? Exercice VIII Le graphe ci-contre représente les grandeurs d entrée et de sortie d un dispositif. Y a-t-il amplification ou atténuation? Rappels sur les logarithmes : Le logarithme d un produit est égal à la somme des logarithmes : log(a.b) = Le logarithme d un quotient est égal à la différence des logarithmes : log a b = La fonction «logarithme de base 10» est la fonction réciproque de la fonction «10 x». Pour calculer le module T de la fonction de transfert à partir du gain G on procède comme suit : G = 20 log T donne log T = soit 10 log T = or 10 logt = donc T =10 G 20 Fonctions de transfert et diagrammes de Bode Page 2 TS2 ET

3 Exercice IX La figure ci-contre représente l évolution du gain G du circuit RC en fonction de la fréquence. Déterminer G pour 50 khz et 100 khz. En déduire T pour 50 khz et 100 khz. Exercice X Soit deux fonctions de transfert T 1 et T 2 dont les modules sont notés T 1 et T 2 et les gains G 1 et G La fonction de transfert T 3 est égale au produit de T 1 et T 2 (T 3 = T 1. T 2 ). Écrire la relation entre les modules T 3, T 1 et T 2 et en déduire la relation entre G 1, G 2 et G La fonction de transfert T 3 est égale au quotient de T 1 et T 2 ( T 3 = T 2 T 1 et T 2 et en déduire la relation entre G 1, G 2 et G 3. T 1 ). Écrire la relation entre les modules T 3, Exercice XI Les courbes ci-contre représentent l évolution du gain G 1 et G 2 de deux fonctions de transfert T 1 et T 2 en fonction de la fréquence. 1. Déterminer G 1 et G 2 pour f = 5 khz. 2. En utilisant les résultats de l'exercice 10, déterminer le gain G 3 de la fonction de transfert T 3 telle que T 3 = T 1.T 2 pour f = 5 khz. 3. Déterminer le gain G 4 de la fonction de transfert T 4 (db) G 1 G 2 telle que T 4 = T 2 T 1 pour f = 2,5 khz. Exercice XII On souhaite représenter l intervalle de fréquence compris entre 10 Hz et 10 khz sur un axe de longueur égale à 15 cm. La plage de fréquence comprise entre 10 Hz et 100 Hz occupe d = 5 cm. 1. Tracer un segment de 15 cm et placer 10 Hz à sa gauche. 2. Placer sur ce segment 100 Hz puis 1 khz et 10 khz. On appelle «décade» l intervalle entre une fréquence et dix fois cette fréquence. Comparer les distances entre 10 et 100 Hz et entre 100 Hz et 1 khz. 3. Placer la fréquence 20 Hz sur ce segment puis 200 Hz et 2 khz. On appelle «octave» l intervalle entre une fréquence et deux fois cette fréquence. Comparer les distances entre 10 et 20 Hz et entre 100 Hz et 200 Hz. 4. Déterminer, si c est possible, la position de la fréquence 0 Hz. Exercice XIII Le graphe de la page suivante représente l évolution du gain de la fonction de transfert d'un circuit RC en fonction de la fréquence avec une échelle logarithmique. Fonctions de transfert et diagrammes de Bode Page 3 TS2 ET

4 1. Repérer les fréquences correspondant à 100 Hz, 200 Hz, 300 Hz. (Hz) 2. Si la tension d entrée est sinusoïdale de valeur efficace 2 V et de fréquence inférieure à 300 Hz, quelle est la valeur efficace de la tension de sortie? Exercice XIV Le graphe ci-dessous représente le diagramme de Bode pour l argument de la fonction de transfert du même circuit RC que pour l'exercice XIII. Associé au diagramme de Bode pour le gain, tracé ci-dessus, il permet de déterminer les caractéristiques (amplitude ou valeur efficace et phase à l origine) de la tension de sortie si la tension d entrée est sinusoïdale et connue. Une tension sinusoïdale d amplitude 2 V, de fréquence 2 khz et de phase à l origine nulle est placée en entrée du circuit. (Hz) 1. Déterminer le gain et l argument de la fonction de transfert pour 2 khz. 2. Étude de l amplitude a. Déduire de la question 1 la relation entre les modules des grandeurs d entrée et de sortie (les rappels sur les logarithmes de la page 2 peuvent être utiles ). b. En utilisant le résultat de la question 2.a, calculer l amplitude de la tension de sortie. 3. Étude de l argument a. Déduire de la question 1 la relation entre les phases à l origine de la tension d entrée et de sortie. Fonctions de transfert et diagrammes de Bode Page 4 TS2 ET

5 b. Quelle est la valeur de la phase à l origine de la tension d entrée? Utiliser ce résultat et celui de la question 3.a pour calculer la phase à l origine de la tension de sortie. 4. Indiquer parmi les graphes suivants celui qui peut correspondre à la situation décrite ci-dessus. a. b. c. d. Exercice XV Soit un dispositif dont les grandeurs d entrée et de sortie sont des tensions. 1. Les graphes suivants représentent l évolution des tensions d entrée et de sortie. Pour chacun, déterminer le gain de la fonction de transfert ainsi que son argument. Fonctions de transfert et diagrammes de Bode Page 5 TS2 ET

6 2. Placer les quatre points ainsi obtenus sur les diagrammes de Bode pour le module et l argument de la fonction de transfert. L axe des abscisses commence à 100 Hz et se termine à 5 khz. Exercice XVI On considère le montage représenté ci-contre : 1. Établir l expression littérale de sa fonction de transfert. 2. pour f = 30 Hz. a. Calculer le module et l argument de cette fonction de transfert b. Les diagrammes de Bode de la fonction de transfert sont représentés ci-dessous. Vérifier que les résultats de la question précédente sont en concordance avec ces diagrammes. L R R = 10 Ω et L = 40 mh (db) (degrés) f (Hz) f (Hz) f (Hz) f 3. On place une tension rectangulaire de fréquence 50 Hz en entrée du montage. Son développement en série de Fourier limité au rang 7 s écrit : t =325 sin t 108 sin 3 t 65 sin 5 t 46sin 7 t a. Déterminer le gain et l argument de la fonction de transfert pour le fondamental. b. Déduire de la question 3.a la relation entre les valeurs efficaces des tensions d entrée et de sortie. c. Déterminer la valeur efficace du fondamental de la tension de sortie ainsi que sa phase à l origine. d. Déterminer les valeurs efficaces et les phases à l origine des harmoniques de rang 3, 5 et Représenter à l aide d une calculatrice graphique les tensions d entrée et de sortie. Fonctions de transfert et diagrammes de Bode Page 6 TS2 ET