DS N 3 - PSI* - Durée : 4 h

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1 DS N 3 - PSI* - Durée : 4 h 21 octobre 2017 Ce devoir comporte deux parties totalement indépendantes. Le devoir n est pas très difficile mais il est long. Il faut donc traiter rapidement les questions sans toutefois négliger la qualité des justifications et la qualité de la présentation. 1

2 Première partie Isolation thermique d une canalisation d eau Dans une installation de chauffage ou de climatisation, un liquide alimente le réseau d une habitation. Afin de limiter les pertes thermiques dans les tuyaux, on se propose ici d étudier quelques solutions d isolation thermique d une canalisation transportant de l eau à haute température (chauffage) ou à basse température (climatisation). La canalisation est cylindrique, d axe Oz, de rayon r i et de longueur L r i. L eau y circulant est à la température T i. L objectif de cette partie est de comparer les pertes latérales de la canalisation sans ou avec un isolant. On adopte le modèle suivant : seule la conduction thermique radiale, c est-à-dire dans une direction perpendiculaire à l axe Oz, est prise en compte. On néglige donc les transferts thermique selon l axe Oz ; en dehors des couches limites thermique, la température de l eau dans la canalisation est supposée uniforme. La conduction radiale s opère donc pour r r i uniquement ; l étude est menée en régime stationnaire ; on néglige l épaisseur de la paroi de la canalisation. Sans isolant (figure 1), la canalisation est en contact avec l air intérieur de l habitation, de température T 0. Figure 1 Canalisation sans isolant 1. La densité surfacique de puissance thermique échangée par transfert conducto-convectif au niveau de la surface latérale de la canalisation est donnée par j Q = h(t i T 0 ) u r (loi de Newton), où h est une constante dimensionnée appelée coefficient d échange et u r le vecteur unitaire radial de la base cylindrique. 2

3 Exprimer la puissance thermique P th transférée au niveau de la surface latérale du système. On applique désormais un isolant thermique sur la canalisation précédente. L isolant possède un rayon intérieur r i et un rayon extérieur r e (voir figure 2). En un point situé à une distance r de l axe Oz et situé à l intérieur de l isolant, c est-à-dire pour r i r r e en repérage cylindrique, la température est notée T (r). On note T e = T (r e ) et T i = T (r i ). Figure 2 Canalisation avec isolant La température de part et d autre de la surface intérieure de l isolant est continue : T (r i ) = T (r+ i ) = T i 2. On suppose que le coefficient d échange en r = r e est h. Exprimer la puissance thermique P th,isolant échangée au niveau de la surface latérale extérieure de l isolant par conduction-convection en fonction de h, T 0, T e, L et r e. On note P cond (r) la puissance thermique associée au phénomène de conduction thermique dans l isolant, traversant un cylindre de longueur L et de rayon r tel que r i r r e. Nous allons établir et exploiter le lien entre P th,isolant et P cond (r). 3. En effectuant un bilan d énergie sur un cylindre de longueur L, de rayons interne r et externe r + dr tels r i r < r + dr r e, montrer qu en régime stationnaire : dp cond dr = 0 4. En déduire que P cond (r) = P th,isolant 5. Rappeler l expression de la loi de Fourier relative à la conduction thermique en exprimant le vecteur densité surfacique de flux de conduction thermique j cond (r) = 3

4 j cond (r) u r en fonction notamment de la conductivité thermique de l isolant, λ, supposée uniforme. Exprimer ensuite la puissance thermique associé, P cond (r). Donnée : pour une fonction f(r) de la seule variable r (coordonnées cylindro-polaire) : 6. Déduire des questions précédentes que : 7. En déduire l expression de T (r). 8. En déduire que : grad f(r) = df dr u r dt dr = hr e λr (T 0 T e ) T e = T 0 + T i T hre λ re ln r i On désire caractériser l efficacité d une isolation en comparant la puissance P th obtenue sans isolation à la puissance P th,isolant. 9. Montrer que : P th P th,isolant = 1 x + α ln x avec x = re r i et α une grandeur que l on exprimera en fonction de h, r i et λ. On envisage deux solutions d isolation différentes. On donne pour chacune d elles : h = 3, 0 W.m 2.K 1 et r i = 2, 0 cm. Solution d isolation N 1 :l isolant est du polyuréthane, de conductivité thermique : λ 1 = 0, 025 W.m 1.K 1. Le graphe de 1 x + α ln x en fonction de x est représenté sur la figure 3 pour la valeur de α correspondante. Solution d isolation N 2 : l isolant est du plâtre, de conductivité thermique λ 2. Le graphe de 1 x + α ln x en fonction de x est représenté sur la figure 4 pour la valeur α correspondante. L encart représente un agrandissement pour 0 x 8. En vous appuyant sur les graphes des figures 3 et 4, répondre de façon argumentée aux questions suivantes : 10. Est-il toujours efficace d isoler une conduite d eau avec du polyuréthane? 11. Est-il toujours efficace d isoler une conduite d eau avec du plâtre? Le cas échéant, déterminer à partir de quelle valeur de r e l isolation au plâtre devient efficace et commenter. 12. Pour quelle valeur x m de x la fonction x 1 x + α ln x admet-elle un minimum? 13. En déduire la valeur numérique de la conductivité thermique du plâtre λ 2. 4

5 Figure 3 Graphe de la fonction x 1 x + α ln x pour la valeur α correspondante au polyuréthane. Figure 4 Graphe de la fonction x 1 x plâtre. + α ln x pour la valeur α correspondante au 5

6 Deuxième partie Étude d une climatisation La climatisation améliore la qualité de l ambiance des locaux d habitation ou collectifs, des bureaux, des laboratoires ou usines. Elle permet donc d optimiser les conditions de travail ou de vie toute l année. Climatiser c est «mettre à bonne température», que ce soit en refroidissant ou en chauffant : d un point de vue technique il ne faut pas dissocier «chauffage et climatisation» même si l on n étudie, dans ce problème, que la fonction refroidissement. 1 Fonctionnement d un climatiseur Figure 5 Principe de fonctionnement Un climatiseur se compose de quatre éléments principaux (voir figure 5) : W : Compresseur EV : Évaporateur D : Détendeur CD : Condenseur Son fonctionnement repose sur la circulation en circuit fermé d un fluide frigorigène considéré comme un corps pur. Dans toute l étude, on suppose l écoulement du fluide permanent, et on néglige toute variation d énergie cinétique massique et d énergie potentielle massique. 6

7 Le compresseur W aspire le fluide sous une basse pression, le comprime à l aide d un piston entraîné par un moteur et le refoule sous une haute pression. Pour simplifier, on considère que la compression est adiabatique et réversible. Dans toute la suite, on nomme "état 1" l état du fluide à l entrée du compresseur. Le détendeur D, calorifugé et sans pièces mécaniques mobiles, est muni d un pointeau qui permet de réguler le débit du fluide. La chute de pression est due aux variations de section dans cet élément, variations contrôlées par la position du pointeau. L évaporateur EV et le condenseur CD sont des échangeurs thermiques isobares, dépourvus de pièces mécaniques mobiles et qui ressemblent à des radiateurs, offrant ainsi une grande surface de contact thermique avec l air du local à climatiser (pour l un) et l air extérieur (pour l autre). On suppose que les pressions sont uniformes dans chacune des deux parties du circuit (la partie haute pression et la partie basse pression), c est-à-dire que l on néglige les variations de pression, sauf dans le compresseur et le détendeur (voir plus haut). 14. Comment s écrit le premier principe pour un système thermodynamique fermé? Quel grand postulat de la physique traduit-il pour les systèmes thermodynamiques? On considère une élément de machine, traversé par un fluide, avec une entrée notée (e) et une sortie notée (s). Cet élément reçoit de l extérieur une puissance mécanique P méca et une puissance thermique P th. On suppose un régime de fonctionnement permanent. 15. Montrer que le débit massique D m du fluide est le même à l entrée et à la sortie de l élément de machine. 16. Montrer que le premier principe s écrit pour cet élément, en supposant la variation d énergie mécanique macroscopique négligeable entre l entrée et la sortie : h s h e = w u + q où h e (resp. h s ) est l enthalpie massique du fluide en entrée (resp. en sortie). On exprimera w u et q en fonction de D m, P méca et P th. 17. On considère un même corps pur pris, dans le cas (1) à l état liquide, dans le cas (2) à l état vapeur, dans les deux cas à la même température T et la même pression p. Quel est le signe de h m,2 h m,1 (h m,i étant l enthalpie massique de ce corps pur dans l état i)? Peut-on choisir les valeurs de T et p sans contrainte? 18. Déterminer le sens réel des transferts thermiques dans le condenseur et dans l évaporateur. 19. Recopier sur la copie la figure 5 et y indiquer le sens des transferts thermiques, le circuit "haute pression" et le circuit "basse pression". 7

8 20. Montrer sans calcul que pour un climatiseur utilisé en été, le local à climatiser est en contact thermique avec l évaporateur. 21. Faire figurer sur un schéma de principe, tous les transferts énergétiques. 22. Rappeler la définition de son efficacité e et donner son expression en fonction des transferts d énergie indiqués à la question Reprendre les questions 21 et 22 dans le cas d une pompe à chaleur. 2 Bilan thermique de l installation globale Dans les questions qui suivent on détaille quelques étapes permettant, connaissant la composition, les dimensions et les conditions thermiques extérieures et intérieures, de déterminer la puissance thermique entrante par conduction et par convection dans une des pièces du local à climatiser. Le mur extérieur périphérique de la pièce à climatiser est de longueur totale L = 15 m et de hauteur H = 3, 50 m. Il est en brique creuse (largueur e b = 12 cm) et recouvert sur ses deux faces (intérieure et extérieure) de ciment sur une épaisseur de e c = 2 cm. La température extérieure vaut T e = 33 C et la température intérieure T i = 20 C. Données numériques concernant le mur extérieur : Matière Ciment Briques creuses Conductivité thermique (W.m 1.K 1 ) λ c = 0, 02 λ b = 0, 5 Épaisseurs e c = 2 cm e b = 12 cm Interface Air extérieur/mur Mur/air intérieur Coeff. de transfert conducto-convectif (W.m 2.K 1 ) h e = 16, 7 h i = 9, 1 On note Ox un axe perpendiculaire au mur, orienté de l intérieur vers l extérieur. On suppose le régime stationnaire. 24. Énoncer la loi de Fourier dans le cas d un transfert unidirectionnel selon Ox dans un matériau de conductivité thermique λ. On notera j th le vecteur densité de flux thermique. 25. Montrer qu en régime stationnaire, j th est uniforme dans tout l espace séparant l air extérieur de l air intérieur. 26. En déduire que la puissance thermique traversant le mur est proportionnelle à la différence de température T e T i. 8

9 27. Quelle analogie peut-on faire avec l électricité? Exprimer pour le mur périphérique : 28. la résistance thermique de la partie en brique creuse. 29. la résistance thermique de chaque partie en ciment. 30. la résistance thermique de l interface air extérieur/mur. 31. la résistance thermique de l interface mur/air intérieur. 32. Que vaut la résistance thermique totale du mur? Application numérique. 33. En déduire, pour cette pièce, la puissance frigorifique P f du climatiseur à installer si les "fuites thermiques" étaient dues uniquement au mur. Application numérique. En pratique, il faut également tenir compte des échanges à travers les fenêtres. En outre, si l orientation de la pièce fait qu elle est très ensoleillée, on rajoute 10% au résultat du calcul. On tient également compte de la puissance dégagée par les personnes présentes dans la pièce et des appareils électriques en fonctionnement. 34. Si un réfrigérateur est présent dans la pièce, la présence de celui-ci augmentera-t-elle ou diminuera-t-elle la puissance P f du climatiseur à installer? Globalement, le bilan thermique complet de cette installation détermine une puissance frigorifique P f nécessaire de 3 kw. C est cette valeur de P f que l on prendra en compte pour la suite du problème. 3 Étude du cycle du fluide frigorigène Le schéma de la figure 6 représente l allure du cycle décrit par le fluide frigorigène dans le diagramme enthalpique dit "des frigoristes" (enthalpie massique h en abscisse, pression p en ordonnée, avec échelle logarithmique), sans surchauffe après l évaporation, ni sous-refroidissement après la condensation. 35. Reproduire sommairement la figure 6 sur la copie et, grâce aux résultats des questions 18 et 19, y reporter le sens de parcours du cycle. 36. Préciser la nature des transformations du fluide (isobare, isotherme, isenthalpique ou isentropique) au cours du cycle. 37. Évaluer littéralement les transferts énergétiques massiques w ij et q ij en fonction des enthalpies massiques des points remarquables du cycle. 38. Donner l expression de l efficacité e du cycle en fonction des enthalpies massiques adéquates. 9

10 Figure 6 Allure du cycle du fluide frigorigène Le schéma de la figure 8 (feuillet mobile à rendre avec la copie, après l avoir complété) représente le diagramme "des frigoristes" enthalpique du fluide R134A ; celui de la figure 7 représente celui du fluide R22, qui n est pas à rendre avec la copie. Sur cette dernière figure 7, on a facilité le repérage de quelques isentropiques et de quelques isothermes. 39. Quelle est l allure des isothermes à l intérieur de la courbe de saturation? 40. Montrer que le titre en vapeur x vap m (fraction massique de la vapeur) en un point M d une isotherme T à l intérieur de la courbe de saturation est donné par : x vap m = h M h liq h vap h liq où h M est l enthalpie massique au point M considéré, h vap et h liq les enthalpies massiques aux deux extrémités de l isotherme passant par M, à l intérieur de la courbe de saturation. Dans la suite, la basse pression est fixée à 2 bars et la haute pression à 10 bars. 41. Reproduire sur la copie le tableau 3 ci-dessous et le compléter pour le fluide R134A. Calculer numériquement l efficacité e du cycle du climatiseur "réfrigérant", dans ce cas. 42. Démontrer l expression de l efficacité e c d un climatiseur fonctionnant selon un cycle 10

11 de Carnot (on notera T C la température de la source chaude et T F celle de la source froide). 43. Application numérique : Calculer l efficacité e c pour les deux sources proposées dans cette partie De même qu à la question 41, calculer numériquement l efficacité d un climatiseur fonctionnant avec du fluide R22, selon le même type de cycle, avec une haute pression de 10 bars et une basse pression de 2 bars. Dans la suite du problème, on ne considère plus que le fluide R134A. Sur le diagramme de la figure 3 sont représentées, outre des isothermes et des isentropiques, des courbes isotitres, en gris très clair (afin d éviter une confusion avec les isentropiques). 4 Comment améliorer l efficacité du cycle. On s intéresse aux transformations au niveau de chaque élément du climatiseur. On s aidera, pour répondre à ces questions, de la figure 3 du feuillet mobile, et on reportera au fur et à mesure les différents points représentatifs (1, 2, 3, 4 ) du cycle optimisé sur cette figure 3. Le feuillet mobile, ainsi complété, sera rendu avec la copie en fin d épreuve. 4.1 L évaporateur À la sortie de l évaporateur, les vapeurs sont surchauffées de manière isobare à la température T 1 avant d être aspirées par le compresseur. On définit la "surchauffe à l aspiration" par la valeur de la différence (T 1 T 1). En réalité, il y a deux contributions à cette surchauffe que l on modéliser ainsi : Une première surchauffe de 5 C due à l air de l installation à refroidir ; une deuxième surchauffe qui est due à l air chaud extérieur à l installation où se trouve le compresseur. 11

12 45. Expliquer en quoi la première surchauffe est souhaitable. On cherche à minimiser la seconde surchauffe : on isole donc la tuyauterie d aspiration en contact avec l air extérieur. Dans la suite du problème, on ne considère donc plus que la surchauffe de 5 C en sortie immédiate de l évaporateur. 46. Reporter alors le point qui représente l état correspondant, numéroté 1, du fluide sur la figure 3 à l entrée du compresseur et en déduire la position du point 2 représentatif de l état du fluide à la sortie du compresseur. 47. Donner les valeurs numériques de h 1, h 2 et T 2 correspondantes. 4.2 Le condenseur À la sortie du compresseur, le fluide circule dans le tuyau de refoulement qui mène au condenseur. Ce tuyau n est pas calorifugé, à dessein, et le fluide se refroidit, ce qui correspond à un abaissement de sa température de 6 C. 48. Avec quel système le fluide échange-t-il de l énergie thermique à ce moment là? 49. Quel peut-être l intérêt de cette opération? 50. Reporter le point 2 a correspondant sur la figure 3 et donner la valeur de la température T 2,a correspondante. Sous quel état se trouve alors le fluide? À la sortie du condenseur, le fluide est sous-refroidi jusqu à la température T Quel est l intérêt de ce sous-refroidissement? 52. Quel valeur faut-il donner à h 3 pour améliorer encore la puissance frigorifique de 5%, par rapport à la situation étudiée à la question 46, pour une même valeur du débit massique? 53. Reporter le point qui représente l état correspondant, numéroté 3, sur la figure 3. En déduire T 3. Joindre le feuillet mobile à la copie. Dans la suite du problème, on considérera que T 3 35 C. 4.3 Le détendeur Le rôle du détendeur est double : Faire baisser la pression. Réguler le débit du fluide (à l aide du pointeau). 12

13 54. Au cours du montage de l installation, le technicien en charge de son réglage constate qu une partie du fluide reste liquide à la sortie de l évaporateur, ce qui risque d endommager la pompe qui n est pas conçue pour cela. Indiquer sans calcul s il faut augmenter ou diminuer le débit pour revenir à un mode de fonctionnement normal. 55. Sur quel réglage le technicien doit-il agir? 56. Quel doit être le débit massique D m du R134A pour avoir la puissance frigorifique voulue de 3 kw? On règle l installation pour que D m = 0, 020 kg.s Le compresseur 57. À quelle pression sont aspirés les gaz? À quelle pression sont-ils refoulés? 58. Quelle est la puissance mécanique P comp. consommée par le compresseur? Application numérique. 59. Calculer numériquement l efficacité e du climatiseur optimisé. 4.5 Refroidissement de l air Pour assurer une température moyenne de 20 C, l air chaud intérieur à la température de 23 C est envoyé, à l aide d un ventilateur, sur l évaporateur et ressort refroidi à 17 C. 60. À quelle température maximale doit s effectuer le changement d état dans l évaporateur pour qu un refroidissement soit possible? Cette condition est-elle vérifiée dans la cas étudiée? Fin du devoir 13

14 Figure 7 diagramme 14 enthalpique du fluide R22

15 Figure 8 À rendre avec la copie 15 après avoir indiqué votre nom.