CSI2510 Structures de données et algorithmes. Plus court chemin. Graphe pondéré. Propriétés

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1 SI1 Structures de données et algorithmes Graphe pondéré Les poids des arêtes d un graphe représentent des distances, des coûts, etc. Exemple d un graphe pondéré non-orienté: ans un graphe des route aériennes, le poids d'une arête représente la distance en miles entre les aéroports de chaque extrémité Plus court chemin SFO OR LG PV HNL LX FW MI 1 Plus court chemin Étant donné un graphe pondéré et deux sommets u et v, nous voulons trouver un chemin de poids total minimal entre u et v pplications Les réservations de vol irections de conduite Routage des paquets d Internet Exemple: Plus court chemin entre Providence et Honolulu HNL SFO LX OR FW LG PV MI Propriétés Propriété 1: Un sous-chemin d un plus court chemin est aussi un plus court chemin Propriété : L ensemble des plus courts chemins d un sommet à tous les autres sommets forme un arbre Exemple: Un arbre des plus courts chemins de Providence PV OR SFO LG HNL LX FW MI 1

2 lgorithme de ijkstra La distance entre un sommet v à un autre sommet s est la longueur du plus court chemin entre s et v L algorithme de ijkstra calcule la distance entre un sommet donnée s de départ et tous les autres sommets Suppositions: Le graphe est connexe Les arêtes sont non-orientées Les poids des arêtes sont non-négatifs lgorithme de ijkstra L algorithme conserve l ensemble des sommets pour lesquels la distance a été calculée, appelé nuage (cloud) On fait grossir un nuage de sommets, contenant au départ s et couvrant éventuellement tous les sommets Pour chaque sommet v nous emmagasinons d(v) = La plus courte distance entre v et s dans le sous-graphe constitué du nuage et de ses sommets adjacents. Exemple lgorithme de ijkstra Pour chaque étape: Nous ajoutons au nuage le sommet extérieur u qui a la plus petite étiquette de distance Nous mettons à jour les étiquettes des sommets adjacents à u lgorithme de ijkstra Mise à jour = la relaxation des arêtes onsidérer une arête e = (u,z) telle que: u est le sommet le plus récemment ajouté au nuage z n est pas dans le nuage s d(u) = u d(z) = 7 z ans l exemple > chemin plus court! - chemin plus court! - chemin plus court! La relaxation d une arête e consiste a mettre à jour la distance d(z) comme suit: d(z) min( d(z), d(u) + poids(e) ) s d(u) = u d(z) = 6 z 7

3 Exemple Exemple (suite) lgorithme de ijkstra lgorithme de ijkstra Nous emmagasinons les sommets, qui ne sont pas dans le nuage, dans une file de priorité Q. élément: un sommet v clé: [v] la distance du sommet lgorithm ShortestPath(G, v): Entrés : Un graphe pondéré G et un sommet particulier v de G. Sortie : Une étiquette [u], pour chaque sommet u de G, telle que [u] est la longueur d'un plus court chemin de v à u dans G. initialise [v] et [u] pour chaque sommet v u Soit Q une file à priorité qui contient tous les sommets de G utilisant les étiquettes de comme clés. while Q do {tirer u dans le nuage } u Q.removeMinElement() pour chaque sommet z adjacent à u tel que z est dans Q faire {exécuter l'opération de relaxation sur l arête (u, z) } Si [u] + w((u, z)) < [z] alors [z] [u] + w((u, z)) changer la valeur de la clé de z dans Q à [z] Retourner l étiquette [u] de chaque sommet u. 1

4 Même exemple, avec un tas (,) (,) (,) et mise-a-jour 1 (,) (,) 7 1 Relaxation: Mise-a-jour: (,) YES ( < ) (,E) YES ( < ) (,F) YES ( < ) (,) 9 NON (9>) 1 (,) (,E) au lieu de au lieu de (,) (,) (,) (,E) au lieu de au lieu de (,) (,) (,F) au lieu de (,F) au lieu de Remplacer (,) avec (,) Insert (,E) Insert (,F) Remplacer (,) avec (,) Insert (,E) Insert (,F) Quand on doit remplacer, il faut aussi réarranger le heap (pas montré dans cet exemple) 1 16

5 (,) (,E) Instead of Instead of (,) (,) (,E) (,) (,E) Instead of Instead of (,) (,) (,E) (,F) Instead of (,F) Instead of (,F) Remplacer (,) avec (,) Remplacer (,) avec (,) Insert (,E) Insert (,F) Insert (,E) Insert (,F) (,) (,) (,E) 7 1 (,) (,E) (,F) (,F) Mise à jour (,F)? Yes < Mis-a-jour Remplacer (,F) avec (,F) 19

6 7 1 Mise à jour (,F)? Yes < Remplacer (,F) avec (,F) (,) (,E) (,F) Pourquoi l algorithme de ijkstra fonctionne? L algorithme de ijkstra utilise un algorithme glouton. est-à-dire un algorithme qui effectue à chaque étape le choix optimal local dans l espoir d arriver à la solution optimale globale. Supposons qu'il n'a pas trouvé toutes les plus courtes distances. Soit F le premier mauvais sommet que l'algorithme a traité. Quand le nœud précédent,, sur le vrai plus court chemin a été considéré, sa distance était correcte. Mais l arête (,F) a été relaxée à ce moment-là! insi, aussi longtemps que d(f)>d() la distance de F ne peut pas être fausse. 'est-à-dire, il n'y a pas de mauvais sommet Le temps d exécution Si nous représentons G avec une liste d adjacence, alors nous pouvons parcourir tous les sommets adjacents à u pendant un temps proportionnel à deg(u) La file de priorité Q vec heap. while Q do {tirer u dans le nuage } chaque itération: - Extraction des sommets avec la distance la plus petite: O(log n). - Mises à jour des clés: O(log n) pour chaque mise à jour (remplacer une clé et insérer dans le tas)=>pres chaque extraction (deg(u) mises à jour): O(deg(u) log n) En total: Σ u G (1 + deg(u)) log n = O((n+m) log n) = O(m*log n) Pire cas: O(n log n) Le temps d exécution vec une séquence non-triée: O(n) quand nous extrayons les éléments minimaux mais des mises à jour des clés plus rapides en O(1). Il y a seulement n-1 extractions et m mises à jour Le temps d exécution est O(n +m) = O(n ) En conclusion: Tas Séquence O(m log n) O(n ) 6