Filtrage en lumière cohérente

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1 Chpitre Filtrge en lumière cohérente. Diffrction de Frunhofer u foyer d une lentille convergente L diffrction de Frunhofer est séduisnte pr s cpcité à produire instntnément des trnsformées de Fourier bidimensionnelles. Le problème reste l distnce, une centine de mètres pour des écrns diffrctnts d une tille d une frction de millimètre. L solution à ce problème consiste à interposer une lentille convergente sur le trjet de l onde et d observer u foyer. Nous llons montrer que l lentille permet d effectuer une trnsformée de Fourier optique comme l diffrction à l infini. Pour l ensemble de ce chpitre nous ferons les hypothèses suivntes : On se plce en optique prxile L éclirge est monochromtique.. Ecrn diffrctnt ccolé à une lentille infinie On rélise le montge suivnt : Onde plne Ecrn tx,y F x Lentille lx,y z Pln focl imge Un écrn diffrctnt de coefficient de trnsmission tx, y est plcé dns le même pln qu une lentille convergente de focle F. Ce pln est pris comme origine des z. L éclirge se fit pr une onde plne sous incidence normle, d mplitude ψ dns le pln z =. Posons ρ = x +y. Le coefficient de trnsmission de l lentille s écrit lx,y = exp iπρ l mplitude de l onde à l sortie de l ensemble écrn+lentille s écrit f x,y = ψ tx,y lx,y

2 Chpitre :Filtrge en lumière cohérente Fisons une trnsformée de Fourier-Fresnel pour voir l mplitude à l distnce z = F : { } f F x,y = eikf iπρ iπρ i ψ exp F x, y tx,y lx,y exp où ρ = x +y. Ceci se simplifie en f F x,y = eikf iπρ i exp x ˆf, y. l intensité s écrit I F x,y = x ˆf λ F, y Ainsi, u foyer de l lentille, l intensité est proportionnelle u crré du module de l trnsformée de Fourier de l mplitude complexe dns le pln d entrée de l lentille. On retrouve l propriété de trnsformtion de Fourier optique crctéristique de l diffrction à l infini. L mplitude complexe est pr contre ffectée d un terme de phse qudrtique. Il est sns importnce pour l observtion de l figure de diffrction détecteurs sensibles à l intensité mis peut s vérer gènnt si on souhite trviller sur l phse de l onde u foyer. L solution pour éliminer ce terme de phse consiste à plcer l écrn diffrctnt u foyer objet de l lentille comme discuté dns le prgrphe suivnt.... Ecrn diffrctnt u foyer objet d une lentille Le montge optique est cette fois le suivnt : x Onde plne F ère diffrction de Fresnel F e diffrction de Fresnel z Pln focl objet Ecrn tx,y Lentille lx,y Pln focl imge Amplitude de l onde incidente dns le pln de l objet origine des z : ψ Après l trversée de l écrn : f x,y = ψ tx,y Propgtion sur une distnce F : ψx,y,z = F = e ikf f x,y hx,y, où hx,y est l réponse impulsionnelle de l propgtion hx,y = iπρ i exp Trversée de l lentille f F x,y = e ikf lx,y. [f x,y hx,y] Nouvelle propgtion sur une distnce F, on l écrite cette fois en utilisnt l trnsformée de Fourier-Fresnel : { } f F x,y = eikf iπρ iπρ i exp F x, y lx,y. [f x,y hx,y ] exp ce qui se simplifie en f F x,y = eikf iπρ i exp x ˆf, y x ĥ, y

3 Untitled Chpitre :Filtrge en lumière cohérente 3 mis comme ĥu,v = exp iπu +v, l mplitude complexe dns le pln focl imge s écrit simplement f F x,y = eikf i ˆf x, y.3 et l intensité I F x,y = x ˆf λ F, y Cette fois, l mplitude complexe dns le pln focl imge est à une constnte près l trnsformée de Fourier excte de l mplitude dns le pln focl objet. Ce résultt remrquble permet de réliser des expériences de filtrge optique.. Le filtrge optique.. Approche heuristique On utilise le montge du prgrphe précédent en plçnt dns le pln focl objet P un msque dont le coefficient de trnsmission est une gussienne striée de frnges : tx,y = e πρ cos πx L trnsformée de Fourier de tx,y, observée dns le pln focl imge P, est donc l somme de trois petites gussiennes situées en x = et x = ±/ dns le pln focl imge. Objet tx,y P Lentille P λ f Untitled TF de l objet Le filtrge consiste à intervenir sur l TF de l objet en plçnt des msques coefficients de trnsmission dns le pln de filtrge P. Ainsi si on occulte les deux spots ltérux, ne reste dns le pln P que l mplitude du seul spot centrl. Fisons pr l pensée le retour inverse de l lumière vers le pln P : l objet qui urit donné comme figure de diffrction en P le seul spot centrl s ppelle l objet filtré. Dns notre cs cet objet filtré est une gussienne non striée de frnges les spots ltérux étient dûs u cos de l expression de tx,y. λ f.4

4 Chpitre :Filtrge en lumière cohérente 4 Objet filtré Untitled P Lentille P Untitled Amplitude filtrée = T.F. de l "objet filtré" Cches plcés sur les spots ltérux L utilistion de ce type de technique est intéressnte pour resturer des photogrphies trmées. Dns les journux, les photogrphies sont imprimées comme des mtrices de points très serrés qui rélisent un échntillonnge bidimensionnel de l photo. Sous certines conditions, une expérience de filtrge optique peut permettre de supprimer l trme et de resturer l photo originle... Reltion objet objet filtré Le montge optique est le même que dns le prgrphe précédent. x P x P Onde plne f f z tx,y Lentille Px,y msque On note x,y les coordonnées d un point dns le pln P et x,y les coordonnées d un point dns le pln P. L objet tx,y est plcé u foyer objet de l lentille pln P. L mplitude de l onde incidente dns le pln P est ψ. Au foyer imge de l lentille pln P on plce un msque de coefficient de trnsmission Px,y. L mplitude dns le pln P est donnée pr l éqution?? e ikf f x,y = ψ i ˆt x, y dns le pln P on effectue le filtrge donc on multiplie cette mplitude pr Px,y pour obtenir une mplitude filtrée fx,y e fx,y ikf = f x,y Px,y = ψ i ˆt x, y Px,y ce qui s écrit ussi, en introduisnt le coefficient de trnsmission de l objet filtré t f x,y ˆfx,y = ψ e ikf i ˆt f x, y

5 Chpitre :Filtrge en lumière cohérente 5 il vient x ˆt f, y x = ˆt, y Px,y d où l reltion de filtrge linéire entre les trnsformées de Fourier de t et t f ˆt f u,v = ˆtu,v Pu,v.5 l fonction Pu,v est l fonction de trnsfert du filtrge. En repssnt dns le pln réel on obtiendr une reltion de convolution entre t et t F. On fit une TF inverse de l éqution précédente : t f x,y = tx,y F {Pu,v} et compte tenu du fit que F {fu} = ˆf x, on obtient l fonction t f x,y = tx,y λ f ˆP x, y λ f ˆP x, y est l réponse impulsionnelle du filtrge..6 Exemple d ppliction On s intéresse à l exemple du prgrphe précédent, l objet est une gussienne trmée d écrt-type σ qui s écrit ] tx,y = exp [ ρ σ cos πx On désire filtrer cet objet pr une fente rectngulire horizontle de lrgeur l qui s écrit Px,y = x/l. L éqution.5 nous permet d écrire ˆt f u,v = ˆtu,v u.7 l vec [ ˆtu,v = πσ exp π σ u +v δuδv+ 4 δu δv+ 4 δu+ ] δv l opértion de filtrge décrite pr l éqution.7 est prticulièrement simple à interpréter sur le grphe suivnt :

6 Chpitre :Filtrge en lumière cohérente 6 tu, ^ Untitled /σ - u P u, v - l l t ^ u, Untitled f u Le filtrge des deux spots ltérux n est efficce qu ux conditions suivntes Les trois pics sont bien séprés : σ L tille de l porte est très supérieure à celle du spot centrl : l σ L porte n empiète ps sur les lobes secondires : l Dns ce cs on peut écrire que l TF de l objet filtré est égl u pic centrl : ce qui permet d écrire l objet filtré : ˆt f u,v = πσ exp π σ u +v tx,y = [ ] exp ρ σ On remrque que l vleur à l origine de l objet filtré est moitié de celle de l objet, ce qui est une expression de l conservtion de l énergie puisque le filtrge supprimé des fréquences dns l TF de l objet ppliction du théorème de Prsevl. Ce filtrge nénmoins permi d enlever les frnges sinusoïdles strint l gussienne. Un utre exemple de filtrge optique est montré en figure....3 Montge à double diffrction Ce montge à deux lentilles permet d observer l objet filtré. Deux lentilles L et L de focles respectives f et f sont conjuguées : le pln focl imge de L est le même que le pln focl objet de L comme illustré pr le schém ci-près. Une première diffrction de Frunhofer permet d observer dns le pln intermédiire P l TF de l objet plcé en P. Une seconde diffrction de Frunhofer permet d observer dns le pln P l TF de l mplitude en P qui correspond à l objet en P retourné de 8. Ce montge est dit à double diffrction. u

7 Chpitre :Filtrge en lumière cohérente 7 Imge trmée Trnsformée de Fourier optiqu Imge détrmée Filtrge : occulttion des spots l Figure. cellule

8 Chpitre :Filtrge en lumière cohérente 8 P P P Onde plne x x f f f f x z Objet Pln de filtrge Imge L L ere diffrction Seconde diffrction de Frunhoffer de Frunhoffer On ppelle ψ l mplitude de l onde plne incidente dns le pln P incidence normle f et f les focles des deux lentilles x,y, x,y et x,y les coordonnées d un point dns chcun des trois plns P, P et P tx,y le coefficient de trnsmission de l objet plcé dns le pln P Px,y le coefficient de trnsmission du msque de filtrge plcé dns le pln P Fisons le clcul de l propgtion de P à P. A l sortie du pln P, l mplitude est f x,y = ψ tx,y A l entrée dns le pln P elle s écrit f x,y = eikf x ˆf, i y Dns le pln P on effectue le filtrge et on multiplie l mplitude f pr le msque. On obtient : gx,y = eikf x y ˆf, Px,y i dns le pln P l mplitude s écrit lors vec x ĝ, y f x,y = eikf i ĝ = eikf i F x { y, x, y ˆf x, Ce qui donne, compte tenu de l reltion F[F[fx,y]] = f x, y f x,y = f e ikf+f f x f, y f f f f y ˆP } Px,y x, y.8 C est une reltion de filtrge linéire entre les mplitudes dns les plns P et P. Chcun des termes de cette reltion s interprète le terme expikf +f exprime un déphsge globl dû à l propgtion sur l distnce P P l réponse impulsionnelle du filtrge est l trnsformée de Fourier du msque filtrnt x y ˆP,

9 Chpitre :Filtrge en lumière cohérente 9 Amplitude dns le pln P Amplitude dns le pln P f f Figure. Simultion de l effet du filtrge optique sur un objet dont le coefficient de trnsmission est représenté sur l photo de guche. Les focles f et f sont dns un rpport.3, le msque utilisé pour le filtrge est un diphrgme crré. L photo de droite montre le module de l mplitude dns le pln P. L objet est inversé signe -, grndi terme d homotétie f /f et les détils fins ont dispru effet de l convolution. c est l mplitude qui serit observée si l objet en P étit un Dirc trou d iguille pr exemple. Ce terme est responsble d un empâtement globl de l imge disprition des détils fins. Plus le msque est petit, plus s TF est étendue et plus l imge pprit floue. le terme f x f f, y f f est identique à l mplitude en P, mis retournée de 8 signe - et grndie d un fcteur f f enfin le terme multiplictif f f exprime l conservtion d énergie : l imge en P est plus grnde ou plus petite que l imge en P donc l quntité de lumière pr unité de surfce y est plus fible ou plus élevée. L figure. montre un exemple de filtrge de l photogrphie de l uteur pr un msque crré. Fonction de trnsfert Dns l espce de Fourier l reltion.8 devient ˆf u, v = λ f3 e ikf+f ˆf u f,v f P u, v.9 f f f et fit ppritre l fonction de trnsfert du filtrge, P u, v qui est l fonction msque grndi d un fcteur. Le signe - dns les rguments de ˆf trduit le renversement de l imge. Montge 4f Un cs prticulier intéressnt est celui du montge dit 4f dns lequel les deux lentilles sont identiques f = f = f. Les reltions objet-imge entre les mplitudes deviennent f x,y = e 4ikf f x, y ˆP x, y et dns l espce de Fourier ˆf u, v = λ f e 4ikf ˆf u,v Pu,v l objet et l imge ont ici l même tille. Fréquence de coupure et contrste Le msque de filtrge est toujours limité sptilement, souvent il s git d une fente ou d un trou. L fonction Px,y est lors à support borné. Fisons l hypothèse que P est une

10 Chpitre :Filtrge en lumière cohérente P u, d " λ f " u Figure.3 Illustrtion du principe de filtrge d une mire sinusoïdle. En trit continu : grphe de l fonction de trnsfert Pu, de fréquence de coupure u c = d. Une grille de période possède les trois fréquences sptiles et ±, représentées pr des pics de Dirc sur le grphe dns le cs où < u c, = u c et > u c. Dns le premier cs, les pics ltérux sont multipliés pr l constnte P, et l objet filtré correspondnt est une sinusoïde de contrste moindre. Dns les deux utres cs, seule l fréquence est trnsmise, l imge dns le pln P est uniforme. fonction pire et plçons-nous sur l xe y =, l fonction P x, s nnule pour x d/, le support est de lrgeur d. L fonction de trnsfert du filtrge P u, s nnule lors pour une vleur u c dite fréquence de coupure et qui vut u c = d. Physiquement cette vleur représente l fréquence de l sinusïde l plus serrée que le montge optique est cpble d imger vec un contrste non nul. En effet considérons un objet sinusoïdl tx,y = cos πx/. Les fréquences sptiles présentes dns cet objet sont et ±/. Effectuons un filtrge optique de cet objet à l ide d un montge 4f. L reltion.9 devient, K étnt l constnte multiplictive [ ˆf u, v = K Pu,v δu,v+ u 4 δ +,v 4 u+ δ ],v ce qui s écrit ussi ˆf u,v = K P,δu,v + K 4 P/, [δ u,v +δ u+ ],v si l fréquence de l sinusoïde u c, lors P/, et ˆf u,v = K P,δu,v est limitée à son seul pic centrl. L imge dns le pln P est lors uniforme contrste nul. On dit que le msque P ne trnsmet ps les fréquences supérieures à u c. L figure.3 illustre ce principe. L fonction de trnsfert donne une idée du contrste de l mplitude de l imge dns le pln P. Cette mplitude s écrit comme l trnsformée de Fourier inverse de l éqution précédente f x,y = Cte P,+P πx, cos Elle correspond à une sinusoïde de contrste C = P, P,

11 Chpitre :Filtrge en lumière cohérente Ce qui donne une significtion physique à l fonction de trnsfert et une mnière de l msurer. L mesure de l fonction de trnsfert est un moyen de crctériser l qulité des optiques. En fit l oeil et les détecteurs sont sensibles à l intensité et ps à l mplitude. Pour cette rison l fonction de trnsfert mesurée est plutôt celle qui correspond à l reltion objet-imge en éclirge incohérent reltion sur les intensités et non sur les mplitudes...4 Objet à l infini Formtion d imges On peut supprimer l première lentille et plcer l objet à grnde distnce de l lentille restnte : on rélise insi une vrie diffrction de Frunhofer entre le pln de l objet et le pln du msque. Le montge optique est lors le suivnt : Onde plne P x Diffrction de Frunhoffer distnce D P P x f z z=-d objet Msque z= Les nottions sont les suivntes Amplitude de l onde incidente dns le pln de l objet : ψ tx,y : coefficient de trnsmission de l objet Distnce objet-msque : D, ssez grnd pour pouvoir fire l pproximtion de Frunhofer Lentille de focle f et msque Px,y dns le même pln pris comme origine des z f x,y : mplitude u pln focl A l sortie de l objet z = D, l mplitude s écrit f x,y = ψ tx,y Une première diffrction de Frunhofer permet d écrire l mplitude à l entrée du msque ψx,y, = eikd iλd ˆf x λd, y λd puis sur l lentille f x,y = eikd iλd ˆf x λd, y Px,y λd On utilise l reltion. qui donne l mplitude u foyer de l lentille [ ] f x,y = eikf iπρ x i exp ˆf, y [ ] = eikf+d iπρ λ fd exp = e ikf+d D [ ] iπρ f exp F x, y ˆP z=f x {ˆf λd, y } Px,y λd x, y f x D f, yd f Posons α = x f et β = y f. Ce sont les sinus des deux ngles θ x et θ y sous lesquel est vu un point du pln focl imge x,y depuis le centre de l lentille dessin ci-contre. Posons ussi iα,β = f x,y = f αf,βf. Alors

12 Chpitre :Filtrge en lumière cohérente que f x,y désigne l mplitude en un point x,y de l imge réprtition sptile d mplitude, iα,β désigne l mplitude diffrctée dns l direction α, β, c est donc une réprtition ngulire d mplitude dns l imge. Il vient iα,β = e ikf+d D f exp[ iπα +β ] α ˆP λ, β f αd, βd λ Posons oα,β = f αd,βd, cette fonction désigne l mplitude observée depuis le centre de l lentille dns une direction α, β, c est à dire l réprtition ngulire d mplitude sur l objet. Nous boutissons à l reltion de convolution suivnte : iα,β = e ikf+d D f exp[ iπα +β ] α ˆP λ, β o α, β λ Cette reltion entre les réprtitions ngulires d mplitude est indépendnte de l focle de l lentille et de l distnce de l objet. L réponse impulsionnelle de l objet est l trnsformée de Fourier du msque Rα,β = ˆP α λ, β λ Cette reltion est à comprer à celle qui existe entre les réprtitions sptiles d mplitude entre les plns P et P d un montge à double diffrction eq..8. Outre l indépendnce pr rpport ux focles, nous vons ici un terme multiplictif exp [ iπα +β ] qui dépend des vribles α,β. Cependnt ce clcul est fit dns les limites de l optique prxile vec des ngles inférieurs à l dizine de degrés voir??. Dns le visible, λ.5µm, les focles moyennes dont de quelques dizines de centimètres, prenons pr exemple f = m. Posons θ = α +β. Nous sommes en optique prxile si θ < 5.5 rd. L rgument de l exponentielle vut lors πα +β 7 et le fcteur multiplictif exp [ iπα +β ] est donc toujours qusiment égl à un en optique prxile. On peut donc ré-écrire l reltion de convolution objet-imge : iα,β = e ikf+d D f ˆP α λ, β λ o α, β. Fonction de trnsfert Soit σ α,σ β le couple de fréquences ngulires ssocié à α,β. L TF de l éqution précédente s écrit îσ α,σ β = e ikf+d D f ô σ α, σ β λ P λσ α, λσ β d où î σ α, σ β = Dλ f L fonction de trnsfert du filtrge s écrit e ikf+d ôσ α,σ β Pλσ α,λσ β. Tσ α,σ β = Pλσ α,λσ β Fonction pupille Considérons le montge optique de l figure.4, constitué d un diphrgme de coefficient de trnsmission Px,y plcé dns le pln focl objet d une lentille convergente de focle F. Eclirons-le pr une onde plne d mplitude constnte A. On observe dns le pln focl imge l réponse impulsionnelle, dont l mplitude complexe Rα,β s écrit comme une trnsformée de Fourier simple de l fonction Px,y : Rα,β = AeikF i ˆP α λ, β λ L fonction Px,y est ppelée fonction pupille de l instrument. Elle correspond, à une constnte près, à l distribution d mplitude dns le pln focl objet de l lentille.

13 Chpitre :Filtrge en lumière cohérente 3 P x F P P F x Onde incidente plne z Pupille Lentille Imge Figure.4 Fonction pupille dns pln focl objet d une lentille convergente. L mplitude dns le pln focl imge est l TF simple de l fonction pupille. On prle prfois de chrnière optique pour l pupille : une trnsltion trnsversle de l imge convolution pr un terme δα α multiplie l pupille pr un terme de phse e ikαx sns chnger s position. Dns le cs où l pupille est un diphrgme circulire qui délimite un fisceu de ryons, les ryons périphériques pssent à trvers le diphrgme quelle que soit l position de l imge voir figure.5. Le pln focl objet ou pln pupille est le seul pln où celà se produit. Il est à noter que lorsque le msque Px,y n est ps dns le pln pupille pln focl objet de l lentille, lors l fonction pupille n est plus Px,y. Il pprit une convolution pr un terme de phse qudrtique exprimnt l propgtion entre le pln pupille pln focl objet, et le pln du msque terme de défoclistion. Mis l fonction pupille reste l distribution d mplitude dns le pln focl objet. Rpport d ouverture C est le rpport r = f d vec f l focle de l lentille et d le dimètre de l pupille d entrée. Dns les ppreils photos, un diphrgme réglble permet d juster le rpport r à des vleurs comme.8 ou 5.6 bien connues des photogrphes. Le tbleu suivnt donne le dimètre de l pupille d entrée d un objectif de focle f = 5 mm pour différentes vleurs du rpport d ouverture : r d. 4 mm.8 8 mm mm 4.5 mm.3 mm Un objectif ouvert. ur donc une lentille frontle de dimètre u moins égl à 4 cm de dimètre, contre seulement cm pour un objectif ouvert à 5.6. Il ser donc 6 fois plus lumineux. Mis ussi plus difficile à réliser techniquement : une lentille de tille plus importnte ur une surfce plus bombée et les berrtions optiques seront plus difficiles corriger. Fréquence de coupure et pouvoir de résolution : cs d une lunette stronomique Une lunette stronomique est constituée d une lentille limitée pr un diphrgme circulire.

14 Chpitre :Filtrge en lumière cohérente 4 x F F x z Trnsltion de l imge Pupille Lentille Imge Figure.5 Illustrtion de l effet de chrnière optique de l fonction pupille. Lorsque l on déplce l imge dns le pln focl imge, les ryons correspondnt s inclinent mis pssent tous pr l pupille. L mplitude complexe de l pupille est multipliée pr un terme de phse linéire correspondnt à une onde plne inclinée. * Objet à l infini L fonction pupille s écrit Lunette stronomique Px,y = x +y d l fonction de trnsfert s écrit Tσ α,σ β = λ σα +σβ d T σ elle possède une fréquence de coupure σ c = d λ l réponse impulsionnelle s écrit Rα,β = πd J πd α +β c λ = πd J c πdφ λ - d λ R φ d λ λ d.3 λ d σ φ

15 Chpitre :Filtrge en lumière cohérente 5 Le pouvoir de résolution en éclirge cohérent est défini à prtir de l imge de deux sources ponctuelles. Soit oα,β = δα,β + δα α,β l réprtition ngulire d mplitude de l objet. L imge u foyer de l lunette possède une réprtition ngulire d mplitude iα, β qui s écrit à l ide de l reltion. iα,β = Cte o α, β Rα,β ce qui donne l superposition de deux réponses impulsionnelles déclées de α : iα,β = Cte [Rα,β+Rα+α,β] comme schémtisé sur le dessin ci-près : δα,β + δα α,β Rα,β Rα,β + R α α,β * = Objet : points Réponse impulsionnelle Amplitude de l imge Lorsque l on fit vrier l écrtement α des deux sources, les mplitudes Rα,β et Rα+α,β correspondent à deux tches lumineuses dont l écrtement vrie dns les mêmes proportions, comme illustré pr l figure.6. L tille de chque tche est de l ordre de λ/d. Si les deux sources sont très séprées α λ/d les deux réponses impuslsionnelles seront ussi très séprées dns l imge : on observer deux tches. Dns le cs inverse les deux tches se fondent en une seule. Le cs limite définit le pouvoir de résolution de l instrument. C est l écrtement minimum entre deux points séprés en deux tches individuelles. Pr extension ce pouvoir de résolution donne l tille du plus petit détil visible dns une imge. L définition du pouvoir de résolution est ssez empirique et dépend de l instrument utilisé : une pupille crrée ur un pouvoir de résolution différent d une pupille circulire. En éclirge cohérent ddition des mplitudes une définition possible est l ngle ρ entre le centre de l réponse impulsionnelle et son premier minimum négtif. L figure.6 colonne du milieu montre que si α = ρ on observe deux tches à peine séprées vec une intensité centrle I vlnt 8 pour cent de celle du mximum observée u centre des tches. Pour une pupille circulire, le pouvoir de résolution en éclirge cohérent vut donc : ρ =.6 λ d Ce résultt n est ps pplicble en lumière blnche voir chpitre sur l cohérence où l on somme les intensités provent des deux sources et non leur mplitude. Le pouvoir de résolution en lumière incohérente vut, selon l définition de Lord Ryleigh ρ =. λ d.

16 Chpitre :Filtrge en lumière cohérente 6 Amplitude Intensité α =λ/ d α =.6 λ/ d α = λ/ d IM I =.8 IM Figure.6 Illutrtion du pouvoir de résolution d une optique à pupille circulire de dimètre d en lumière cohérente. On fbrique l imge de deux points pr l somme des mplitudes de deux réponses impulsionnelles déclées iα,β = Cte [Rα,β + Rα + α,β] voir texte. Les trois figures du hut montrent l mplitude somme iα,β et les deux mplitudes individuelles Rα,β et Rα+α,β pour différentes vleurs de α. Les courbes de l ligne du milieu montrent l intensité correspondnte iα,β. On s pperçoit que dns le cs où α < λ d les deux tches sont confondues en une seule et l on dit que l instrument n est ps cpble de séprer les deux sources. Un cs limite est tteint qund α =.6 λ d colonne du milieu : le mximum de chque tche tombe en fce du premier minimum négtif de l utre. L intensité u centre vut 8 % du mximum. Les trois figures du bs donnent l spect visuel de l imge dns chcun des cs.