ANALYSE APPROFONDIES II MT242

Transcription

1 ALGÈBRE ET ANALYSE APPROFONDIES II MT242 Année

2 Chpitre 0. Introduction générle Dns cette introduction nous llons commenter les principles notions contenues dns le cours du second semestre, leurs reltions entre elles et vec le cours du premier semestre. L modélistion de nombreux problèmes concrets conduit souvent à l recherche du minimum (ou du mximum) d une quntité f dépendnt d une ou plusieurs vribles, pr exemple f(x), vec x réel, ou bien f(x 1, x 2 ), vec x 1, x 2 réels. Si f ne dépend que d une seule vrible, on peut ttquer le problème pr les méthodes déjà vues u lycée : rechercher les zéros de l dérivée, et chercher ensuite si le point trouvé (ou l un des points trouvés) est effectivement un minimum. On vu en première nnée comment étudier cette deuxième question vec un développement limité (en brégé : DL) d ordre 2 u voisinge du point cndidt; si g est de clsse C 2 u voisinge de et si g () = 0 (condition nécessire pour voir un minimum u point ) on pourr écrire pr exemple vec Tylor-Young l reltion g( + h) = g() + g () h2 2 + o(h2 ) qui montre que l condition g () 0 est nécessire pour que g dmette un minimum u point, et que l condition g () > 0 est suffisnte pour que soit un minimum locl. L étude en plusieurs vribles fit pprître l notion de différentielle (pour remplcer l dérivée en une vrible), qui ser introduite u chpitre 3. Pr exemple, un DL à l ordre 1 de l fonction f(x 1, x 2 ) de deux vribles réelles x 1, x 2 u voisinge du point origine (0, 0) ser une expression de l forme f(x 1, x 2 ) = f(0, 0) + x 1 + bx 2 + o(x), et l différentielle (de l fonction f u point (0, 0)) ser l fonction linéire l donnée pr l prtie linéire du développement limité, c est à dire qu ici l fonction l ser définie pr l(x 1, x 2 ) = x 1 + bx 2. Pr une extension ssez nturelle du cs de l dimension 1, l condition nécessire pour que f dmette un minimum u point (0, 0) s exprimer mintennt pr l nullité de l ppliction différentielle l de f u point (0, 0), en l occurence elle s exprimer pr les conditions = b = 0. Pour ller plus loin, on écrir un DL d ordre 2 qui ser de l forme qui se réduir à f(x 1, x 2 ) = f(0, 0) + x 1 + bx 2 + cx dx 1x 2 + ex o( x 2 ), f(x 1, x 2 ) = f(0, 0) + cx dx 1x 2 + ex o( x 2 ) qund l différentielle s nnule. Pour que f dmette un minimum en 0, il est lors nécessire que cx dx 1 x 2 + ex 2 2 soit toujours 0. Une telle expression est une forme qudrtique, dont l étude fit l objet du chpitre 1. On verr notmment dns le chpitre 1 l méthode de décomposition de Guss, une méthode simple qui donne en prticulier le signe d une forme qudrtique. Pour llonger l liste des outils de mnipultion des fonctions de plusieurs vribles, l théorie de l intégrle double complète le clcul différentiel. Le théorème fondmentl 1

3 dns cette direction est le théorème 4.3.3, qui rmène le clcul d une intégrle double à deux intégrles simples successives. Un utre outil de modélistion très importnt est l notion d éqution différentielle. Chcun sit que de nombreux phénomènes physiques sont décrits u moyen d éqution différentielles, pr exemple l chute des corps, le mouvement des plnètes, l oscilltion d un ressort... Ceci ser vu u chpitre 5. Le théorème d existence de solutions de Cuchy-Lipschitz (théorème 5.3.3) est un théorème importnt, dont l preuve est une belle illustrtion de l utilistion des théorèmes de continuité et de dérivbilité sur les séries normlement convergentes de fonctions, théorèmes vus u premier semestre. Le cs des systèmes différentiels linéires (à coefficients constnts), de l forme y = Ay utilise l série exponentielle de mtrice e ta. Une question nturelle qui se pose pour un phénomène y(t) dépendnt du temps t et régi pr une telle éqution différentielle linéire est de connître le comportement de l solution lorsque le temps t tend vers + ; cette étude utilise toute l théorie de l réduction des mtrices, vue u premier semestre. Le poly se termine pr un index terminologique et un index des nottions. 2

4 Chpitre 1. Formes qudrtiques Dns ce chpitre, on désigner pr E un espce vectoriel sur un corps K; pour l essentiel, le lecteur pourr considérer que K ser égl à R ou à C; l mteur de mthémtiques pourr nénmoins observer vec intérêt que l pluprt des résultts sont vlbles pour un corps K (presque) quelconque; on se risquer une fois ou deux à des llusions à des cs plus exotiques, en prticulier u cs du corps à deux éléments K = Z/2Z, pour lequel justement certines des méthodes qui seront développées pour les formes qudrtiques ne mrchent ps Formes linéires. Espce dul Une forme linéire sur E est une ppliction K-linéire de E dns K. Etnt données deux formes linéires f et g sur E, on définit leur somme f + g pr l opértion usuelle de somme de deux fonctions, x E, (f + g)(x) = f(x) + g(x). Il est fcile de vérifier que f +g est encore une forme linéire. Pour tout λ K, on définit ussi l fonction λf pr l formule (λf)(x) = λf(x). Cette fonction λf est linéire, et muni de ces deux opértions, l ensemble des formes linéires sur E est un espce vectoriel sur K. C est l espce dul de E, noté E. L imge f(e) d une forme linéire f est un K-sous-espce vectoriel de K, donc elle est égle à {0} ou à K. Une forme linéire f sur E est non nulle si et seulement s il existe un vecteur x E tel que f(x) = 1. Si E est de dimension n et si f est une forme linéire non nulle sur E, le noyu kerf est un sous-espce vectoriel de dimension n 1 de E. On ppelle hyperpln (vectoriel) de E tout sous-espce vectoriel F de E qui est de codimension 1 c est à dire tel que F E et que E = F + Kx pour tout vecteur x / F (utrement dit, qund on F, il ne mnque plus qu une dimension pour rriver à E tout entier). Si E est de dimension finie n > 0, un sous-espce F de E est un hyperpln de E si et seulement si dimf = n 1. Un hyperpln ffine est un sous-ensemble obtenu en trnsltnt un hyperpln vectoriel. Le noyu d une forme linéire f sur E non nulle est donc un hyperpln de E, et les ensembles de l forme H c = {x E : f(x) = c} sont des hyperplns ffines. Dns le cs réel (lorsque K = R), cet hyperpln ffine H c sépre l espce E en deux demi-espces, à svoir {x E : f(x) c} et {x E : f(x) c}. Exercice fcile. Montrer sns supposer l dimension de E finie que le noyu d une forme linéire non nulle est de codimension 1. Bse dule d une bse de E Supposons que l espce vectoriel E soit de dimension finie n > 0, et supposons donnée une bse e = (e 1,..., e n ) de l espce E; on définit un système e de formes linéires sur E à prtir de cette bse, de l fçon suivnte : pour chque i = 1,..., n, on désigne pr e i l fonction sclire définie sur E, qui ssocie à chque vecteur x de E s ième coordonnée dns l bse e, et on pose e = (e 1,..., e n ). On peut définir toutes ces fonctions (e i ) pr une formule (implicite) unique, n ( ) x E, x = e i (x) e i. 3 i=1

5 On remrque que e i (e j) = δ i,j, où δ i,j, ppelé symbole de Kronecker, est égl à 1 si i = j et à 0 sinon (en d utres termes, l mtrice des coefficients (δ i,j ) est l mtrice unité I n ). Proposition Le système e est une bse de l espce dul E. En conséquence, lorsque E est de dimension finie, on dim E = dim E. On dit que e est l bse dule de l bse e de E. Démonstrtion. Soit x une forme linéire sur E; en ppliqunt x à l décomposition d un vecteur x E quelconque donnée pr l formule ( ), on obtient n x E, x (x) = e i (x)x (e i ) = ( n x (e i )e ) i (x). i=1 En termes de fonctions sur E, ceci signifie que x = n i=1 x (e i ) e i, et montre que le système de formes linéires e est générteur pour l espce vectoriel dul E. Si on écrit une combinison linéire x = n i=1 c ie i, on trouve, en ppliqunt l forme linéire x u vecteur e j, l reltion c j = x (e j ) qui montre que les coefficients (c j ) de l combinison linéire sont uniquement déterminés, donc e est une bse du dul E. Clcul des coordonnées d une forme linéire dns une bse dule Si e est l bse dule d une bse e = (e 1,..., e n ) de E, et si x = c 1 e 1 + +c ne n, on vient de dire qu on trouve les coefficients (c i ) u moyen de l formule i=1 c i = x (e i ), i = 1,..., n ; cette formule évidente ser utilisée à plusieurs reprises dns ce chpitre. Remrque. Etnt donnés un système de vecteurs x = (x 1,..., x n ) dns E (espce vectoriel de dimension n) et un système de formes linéires (y 1,..., y n) dns E, les reltions i,j = 1,..., n, y i (x j ) = δ i,j impliquent que le système x = (x 1,..., x n ) est une bse de E et que (y 1,..., y n) est l bse dule de l bse x de E. Proposition Soit f une forme linéire non nulle sur E, et soit H = ker f son noyu; si g est une forme linéire sur E qui est nulle en tout point de H, il existe un sclire λ K tel que g = λf (utrement dit, g est proportionnelle à f). Démonstrtion. Puisque f est non nulle, on peut trouver un vecteur x 0 E tel que f(x 0 ) = 1. Supposons que g soit une forme linéire nulle sur le noyu H de f, et posons λ = g(x 0 ). Soit y un vecteur quelconque de E; écrivons y = (y f(y) x 0 ) + f(y) x 0. Posons z = y f(y) x 0. On f(z) = f(y) f(y)f(x 0 ) = 0, donc z H et g(z) = 0 pr hypothèse. On donc g(y) = g(z) + f(y)g(x 0 ) = f(y)g(x 0 ) = λf(y), ce qui montre bien que g = λf. On peut résumer l démonstrtion insi : l forme linéire g λf est nulle sur E, prce qu elle est nulle sur H et sur Kx 0, et que E = H Kx 0 ; elle est nulle sur H puisque pour tout y H, on (g λf)(y) = g(y) λg(y) = 0 0 = 0, et nulle sur Kx 0 puisque (g λf)(x 0 ) = λ λ = 0. 4

6 Corollire Deux formes linéires qui ont le même noyu sont proportionnelles. Proposition Soit E un espce vectoriel de dimension finie; pour tout vecteur non nul x E, il existe une forme linéire x E telle que x (x) 0. Démonstrtion. Puisque x est non nul, on peut trouver d près le théorème de l bse incomplète une bse e = (e 1,..., e n ) de E telle que e 1 = x. L forme linéire e 1 de l bse dule e convient, puisque e 1(x) = e 1(e 1 ) = 1 0. Proposition Soient f 1,..., f k des formes linéires indépendntes sur un espce vectoriel E de dimension finie; posons M = {x E : i = 1,..., k, f i (x) = 0} (c est l intersection des noyux ker f j des formes linéires considérées). L dimension du sous-espce vectoriel M est égle à dim E k. Démonstrtion. Posons n = dime, et complétons le système (f 1,..., f k ) en une bse (f 1,..., f n ) du dul E. Considérons l ppliction linéire u : E K n définie pr u(x) = (f 1 (x),..., f n (x)) K n. Si x keru, on f i (x) = 0 pour tout i = 1,..., n, donc f(x) = 0 pour toute forme linéire f E (micro-exercice), donc x = 0 E d près l proposition précédente Il en résulte que u est injective, donc u est un isomorphisme puisque dim E = dime = n = dim K n. On voit lors que M est l imge pr l isomorphisme inverse u 1 du sous-espce M de K n de dimension n k défini pr donc dimm = dimm = n k. M = {(t 1,..., t n ) K n : t 1 = t 2 = = t k = 0} Remrque. Si on ne suppose ps que les formes (f 1,..., f k ) sont indépendntes, on verr que dimm = dime dim[f 1,..., f k ] (où l nottion [f 1,...,f k ] désigne le sous-espce vectoriel de E engendré pr f 1,..., f k ). En prticulier, on toujours dimm dime k. Corollire Si (f 1,..., f n ) est une bse de E, il existe une bse x 1,..., x n de E telle que f i (x j ) = δ i,j pour tous i, j = 1,..., n (toute bse de E est donc l bse dule d une bse de E). Démonstrtion. Comme dns l démonstrtion de l proposition précédente, on introduit l isomorphisme u de E sur K n défini pr u(x) = (f 1 (x),..., f n (x)) K n pour tout x E. Pour trouver les vecteurs (x j ) il suffit de considérer les imges pr l inverse u 1 des vecteurs de l bse cnonique de K n. Appliction linéire trnsposée Soit : E F une ppliction linéire; on définit une ppliction t : F E pr l formule y F, t (y ) = y E. On vérifie fcilement que cette ppliction t est linéire de F dns E. Si on se donne une deuxième ppliction linéire b : F G, on voit que t (b ) = t t b 5

7 (bien noter l interversion de et b). L trnsposée de l identité de E est l identité de E. Il résulte des deux propriétés précédentes que l trnsposée d un isomorphisme est un isomorphisme, et que l on dns ce cs ( t ) 1 = t ( 1 ). Supposons que E et F soient de dimensions finies m et n, que e soit une bse de E et f une bse de F. Considérons l mtrice (en générl rectngulire) A = mt(,e,f) de l ppliction linéire pr rpport à ces deux bses. L mtrice B = mt( t,f,e ) est lors égle à l mtrice trnsposée de A. En effet, l colonne i de l mtrice B contient les coordonnées de l forme linéire t (fi ) dns l bse e. On vu que l coordonnée j d une forme linéire x dns cette bse e est égle à x (e j ), donc en ppliqunt ceci à x = t (fi ) on obtient B j,i = t (f i )(e j) = f i ((e j)) = A i,j. Trnsposition d un chngement de bse : si V est l mtrice de chngement de bse de e vers f, l mtrice trnsposée t V est l mtrice de chngement de f vers e (ttention u chngement de l ordre des bses!). Bidul d un espce vectoriel A tout vecteur x E, on peut ssocier une fonction sclire j E (x), définie sur l espce dul E u moyen de l formule x E, (j E (x))(x ) = x (x) K. Il est fcile de vérifier que j E (x) est une fonction linéire de E dns K, c est à dire un élément du dul (E ) de E, qu on ppelle le bidul de E, et que l on note E. De plus, l ppliction j E : x j E (x) est linéire de E dns E. Théorème Si E est de dimension finie, l ppliction j E est un isomorphisme de E sur son bidul E. Le crctère nturel de l définition justifie que l on ppelle j E l isomorphisme cnonique de E sur E (l définition de j E ne dépend que de E et de l définition du dul E, et ne dépend d ucun choix uxiliire). Démonstrtion. On sit déjà que dime = dime = dime d près l proposition Pour svoir que j E est un isomorphisme, il suffit donc de vérifier que j E est injective, c est à dire de voir que pour tout vecteur x E non nul, l imge j E (x) est non nulle. Mis d près l proposition 1.1.3, si x E est non nul il existe une forme linéire x 0 telle que x 0 (x) 0, donc (j E(x))(x 0 ) = x 0 (x) 0, ce qui montre que l fonction j E(x) n est ps identiquement nulle sur E, ce qui signifie que j E (x) 0 E. Remrque. Retrouvons le fit que toute bse b = (x 1,..., x n) de E est l bse dule d une bse e de E. Considérons l bse dule (x 1,...,x n ) de l bse b ; c est une bse du bidul E. Pour chque i = 1,..., n il existe un vecteur x i E tel que x i = j E (x i ). On lors pour tous i,j = 1,..., n x i (x j ) = x j (x i ) = δ i,j, donc l bse b est l bse dule de l bse (x 1,..., x n ) de E. 6

8 1.2. Formes bilinéires Une ppliction bilinéire est une ppliction f définie sur le produit E F de deux espces vectoriels, à vleurs dns un troisième espce vectoriel G, et telle que pour tous x 0 E et y 0 F fixés, les pplictions x f(x, y 0 ) et y f(x 0, y) soient linéires, respectivement de E dns G et de F dns G. On v surtout étudier le cs des formes bilinéires, c est à dire le cs où G = K. Définition Soient E et F deux espces vectoriels sur le même corps K; on dit qu une ppliction ϕ de E F dns K est une forme bilinéire sur E F si pour tout x 0 E fixé, l ppliction y ϕ(x 0, y) est linéire de F dns K, pour tout y 0 F fixé, l ppliction x ϕ(x, y 0 ) est linéire de E dns K. Exemples. 1. L ppliction ϕ définie pr ϕ(x, y) = xy est une forme bilinéire sur R R. Plus générlement, si l 1 est une forme linéire sur E et l 2 une forme linéire sur F, l ppliction ϕ définie pr ϕ(x, y) = l 1 (x)l 2 (y) est une forme bilinéire sur E F. 2. Si E désigne l espce des fonctions réelles continues sur [0, 1], on peut définir sur E E l forme bilinéire ϕ ϕ(f, g) = 1 0 f(t)g(t) dt. 3. Sur R n, on l forme bilinéire usuelle donnée pr le produit sclire, ϕ(x, y) = x. y = x 1 y x n y n. 4. Si v = (x, y, z, t) et v = (x, y, z, t ) sont deux éléments de R 4, posons ϕ(v, v ) = xx + yy + zz tt. On définit insi une forme bilinéire sur R 4, qu on qulifie d hyperbolique. Cette forme bilinéire met en évidence des phénomènes intéressnts que nous étudierons plus loin. Elle joue un rôle dns l théorie de l reltivité restreinte. 5. Forme bilinéire cnonique sur E E : on pose pour tous x E et x E ϕ(x, x) = x (x). 6. Si ϕ est une forme bilinéire sur E F, l ppliction ϕ définie sur F E pr ϕ(y, x) = ϕ(x, y) est bilinéire sur F E. 7. Si u est une ppliction linéire de F dns E, on peut définir une forme bilinéire sur E F en posnt pour tout couple (x, y) E F ϕ(x, y) = u(y)(x). Remrque. Appliction linéire D ϕ : F E ssociée à ϕ (à droite) : l exemple 7 cidessus est tout à fit générl. Supposons en effet donnée une forme bilinéire ϕ sur E F. A tout vecteur y F fixé, ssocions une forme linéire f(y) E, définie sur E pr l formule f(y)(x) = ϕ(x, y), c est à dire que f(y) est l ppliction linéire x ϕ(x, y) de E dns K. L ppliction y f(y) est lors linéire de F dns E. On poser f = D ϕ. S reltion de définition est donc x E, y F, (D ϕ (y))(x) = ϕ(x, y). 7

9 L forme bilinéire définie à prtir de D ϕ pr l méthode de l exemple 7 est égle à ϕ. En d utres termes, l espce vectoriel B(E, F) des formes bilinéires sur E F est isomorphe à l espce L(F, E ) des pplictions linéires de F dns E. Si on échnge le rôle des vribles, on voit que B(E, F) est ussi isomorphe à B(F, E), donc à L(E, F ). Exemple. Pour l forme bilinéire cnonique sur E E de l exemple 5, l ppliction D ϕ de E dns (E ) = E est l ppliction j E introduite à propos du bidul. L ppliction D ϕ est donc un isomorphisme dns cet exemple. Cs de l dimension finie. Mtrice d une forme bilinéire pr rpport à deux bses On suppose que E et F sont de dimensions finies m et n, que e est une bse de E et f une bse de F. Une forme bilinéire ϕ sur E F est complètement connue si on connît toutes les vleurs des ϕ(e i, f j ), pour i = 1,..., m et j = 1,..., n. En effet, si x = m i=1 ie i E et y = n j=1 b jf j F, on obtiendr en développnt pr bilinérité ϕ(x, y) = i,j ϕ(e i, f j ) i b j. On introduit l mtrice Φ de l forme bilinéire pr rpport ux bses e et f, en posnt Φ i,j = ϕ(e i, f j ). On noter Φ = Mt(ϕ,e,f). Si X est le vecteur colonne des coordonnées de x dns l bse e et Y celui des coordonnées de y dns l bse f, on ϕ(x, y) = t X Φ Y. L mtrice Φ est ussi l mtrice de l ppliction linéire D ϕ : F E pr rpport à l bse f de F et à l bse dule e. En effet, si B = mt(d ϕ,f,e ), l élément B i,j est l ième coordonnée dns l bse dule e du vecteur imge D ϕ (f j ), c est à dire B i,j = (D ϕ (f j ))(e i ) = ϕ(e i, f j ) = Φ i,j. Il est évident que l mtrice de ϕ (exemple 6) pr rpport ux bses f et e est l trnsposée de Φ, Mt( ϕ,f,e) = t Mt(ϕ,e,f), puisque ϕ(f i, e j ) = ϕ(e j, f i ) = Φ j,i. Chngement de bse pour une forme bilinéire Supposons que X = PX et Y = QY expriment des chngements de bse dns E et dns F respectivement. On ur lors ϕ(x, y) = t (PX ) Φ QY = t X t P Φ QY = t X ( t P Φ Q)Y ce qui montre que l mtrice Φ dns les nouvelles bses est donnée pr Φ = t P Φ Q. Dns le cs où E = F, on choisit le plus souvent de prendre l même bse pour les deux côtés. Le chngement de bse s exprime lors pr Φ = t P Φ P. 8

10 Orthogonlité pour une forme bilinéire Soient A une prtie de E et ϕ une forme bilinéire sur E F; on pose A d = {y F : x A, ϕ(x, y) = 0}. L ensemble A d est un sous-espce vectoriel de F, même si A ne l est ps. On convient que l orthogonl de A = est F tout entier. On définit de l même fçon l orthogonl d une prtie B de F : c est le sous-espce vectoriel B g de E formé de tous les vecteurs x E tels que ϕ(x, y) = 0 pour tout y B. Si E = F et si ϕ n est ps symétrique, il fut fire ttention à distinguer l orthogonlité à guche et à droite; c est pour cel que nous vons introduit ces nottions un peu lourdes (u lieu de noter A tout simplement). L orthogonl de A est égl à l orthogonl de Vect(A). En prticulier, si E 1 est un sous-espce de dimension finie de E muni d une bse (e 1,..., e k ), on voit fcilement que l orthogonl E d 1 est égl à E d 1 = {y F : ϕ(e i, y) = 0, i = 1,..., k}. Exemple. L orthogonl E d de A = E est le sous-espce vectoriel de F formé de tous les vecteurs y F tels que l ppliction x ϕ(x, y) soit identiquement nulle sur E : c est donc le noyu de l ppliction linéire D ϕ. On peut clculer l dimension de l orthogonl d un sous-espce vectoriel E 1 de E, moyennnt une hypothèse simple. Proposition On suppose que ϕ est une forme bilinéire sur E F, où E et F sont de dimension finie. Pour tout sous-espce vectoriel E 1 de E, tel qu ucun vecteur non nul x E 1 ne puisse être orthogonl à F tout entier, (c est à dire que E 1 F g = {0 E }) on dim E d 1 = dim F dime 1. Démonstrtion. Supposons que E 1 soit de dimension k, muni d une bse (e 1,..., e k ). On dit que E d 1 = {y F : ϕ(e i, y) = 0, i = 1,..., k}. Pour chque i = 1,..., k, soit l i l forme linéire sur F définie pr l i (y) = ϕ(e i, y); on ussi E d 1 = {y F : l i (y) = 0, i = 1,..., k}. Si nous svons que l 1,..., l k sont indépendntes, on en déduir que dim E d 1 = dim F k d près l proposition Supposons donc que k i=1 c il i = 0, et montrons que c 1 = = c k = 0. L éqution précédente signifie que 0 = ( k ) k k c i l i (y) = c i ϕ(e i, y) = ϕ( c i e i, y) i=1 i=1 pour tout y F. Le vecteur x = k i=1 c ie i est donc un vecteur de E 1 tel que ϕ(x, y) = 0 pour tout vecteur y de F, c est à dire que x F g. D près notre hypothèse, il en résulte que x = 0 E, donc c 1 = = c k = 0 puisque e est une bse de E 1. Exercice. En générl, dime d 1 + dime 1 = dimf + dim(e 1 F g ). On suppose dns ce prgrphe que les espces E et F sont de même dimension finie, dime = dimf = n > 0, et on suppose donnée une forme bilinéire ϕ sur E F telle 9 i=1

11 que pour tout y 0 F, il existe un vecteur x E tel que ϕ(x, y) 0. Cette propriété signifie exctement que E d = {0 F }, ce qui équivut encore à dire que l ppliction D ϕ est injective. Puisque dimf = dime = dime, cel équivut donc à dire que D ϕ est un isomorphisme de F sur E. L forme bilinéire ϕ vérifie donc l hypothèse si et seulement si s mtrice pr rpport à une bse de E et une bse de F est inversible. On voit qu lors ϕ vérifie l même hypothèse, puisque s mtrice dns les bses données est l trnsposée de celle de ϕ. Lorsque dimf = dime, on peut donc encore dire que D ϕ est inversible si et seulement si pour tout x 0 E, il existe un vecteur y F tel que ϕ(x, y) 0, c est à dire que F g = {0 E }. Exemple. On vu que pour l forme bilinéire cnonique ϕ sur E E définie dns l exemple 5, l ppliction linéire D ϕ = j E : E E est un isomorphisme (c est l isomorphisme cnonique entre E et son bidul). Dns le cs où D ϕ est bijective, on peut clculer l dimension de l orthogonl d un sous-espce quelconque, et obtenir un résultt pour le biorthogonl. Corollire On suppose que dime = dimf = n et que ϕ est une forme bilinéire sur E F telle que D ϕ soit bijective. Pour tout sous-espce vectoriel E 1 de E, on dime d 1 = n dime 1 ; (E d 1 ) g = E 1. Les mêmes résultts sont vlbles de fçon symétrique pour les sous-espces vectoriels de l espce F. Démonstrtion. Puisque D ϕ est bijective, ucun vecteur non nul de E 1 ne peut être orthogonl à F tout entier, ce qui permet d ppliquer l proposition précédente 1.2.1, et d en déduire que dime d 1 = dimf dime 1 = n dime 1. Puisque l ppliction linéire D ϕ est elle ussi bijective, on peut ppliquer le même rgument à E d 1, et obtenir insi que dim(e d 1 ) g = dime (n dime 1 ) = dime 1. Pour conclure à l églité des deux sous-espces, il suffit de remrquer que E 1 (E d 1 ) g, ce que le lecteur fer fcilement Formes qudrtiques Avnt de donner l définition, on v essyer de montrer sur deux exemples à quoi ressemblent les formes qudrtiques. Commençons pr un petit exemple sur R 3. L fonction Q définie pour tout x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 pr Q(x) = Q(x 1, x 2, x 3 ) = x x 1 x 3 + x 2 2 est une forme qudrtique. On pourrit dire que c est un polynôme homogène de degré deux dns l ensemble des vribles, mis cette idée ne couvre ps tous les cs envisgebles. Prenons en effet un utre exemple, en dimension infinie cette fois. Soit E l espce des fonctions réelles de clsse C 1 sur l intervlle [0, 1], et posons pour tout élément f E Q(f) = 1 0 ( f(t) 2 + 2f(t)f (t) ) dt. Ce ser encore une forme qudrtique, que l on ne peut plus risonnblement voir comme polynôme de certines vribles. On v donc poser une définition un peu indirecte. Définition Soit E un espce vectoriel sur K; on dit qu une fonction Q de E dns K est une forme qudrtique sur E s il existe une forme bilinéire ϕ sur E E telle que Q(x) = ϕ(x, x) pour tout x E. Exemples.. Prenons sur K 2 l fonction Q définie pour tout x = (x 1, x 2 ) pr Q(x) = x 1 x 2 ; si on prend ϕ(x, y) = x 1 y 2, il est clir que ϕ est une forme bilinéire sur K 2 K 2 et que 10

12 Q(x) = ϕ(x, x) pour tout x K 2. Il est clir qu il y u moins une utre solution, en prennt ϕ(x, y) = x 2 y 1. b. Posons Q(x) = x x 1x 2 +5x 2 x 3 pour tout x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 et montrons que Q vérifie l définition ci-dessus. On trouve fcilement deux formes bilinéires solutions de notre question, ϕ 1 (x, y) = x 1 y 1 + 3x 1 y 2 + 5x 2 y 3 et ϕ 2 (x, y) = x 1 y 1 + 3x 2 y 1 + 5x 3 y 2 ce qui donne ussi une solution symétrique en prennt l demi-somme des deux, ϕ(x, y) = x 1 y (x 1y 2 + x 2 y 1 ) (x 2y 3 + x 3 y 2 ). Donnons deux propriétés des formes qudrtiques qui découlent imméditement de l définition. Soit Q une forme qudrtique sur un espce vectoriel E; pour tout x E et tout sclire λ K, on Q(λx) = λ 2 Q(x). D utre prt, l fonction sur E E définie pr f(x, y) = Q(x + y) Q(x) Q(y) est une forme bilinéire sur E E, puisque f(x, y) = ϕ(x, y) + ϕ(y, x). Exercice. Soit E un espce vectoriel de dimension finie sur K ; si Q est une fonction sur E telle que Q(λx) = λ 2 Q(x) pour tous λ K, x E et telle que f(x, y) = Q(x+ y) Q(x) Q(y) soit bilinéire sur E E, montrer que Q est une forme qudrtique (on prendr une bse (e 1,..., e n ) de E et on chercher une forme bilinéire ϕ telle que ϕ(x, x) = Q(x) pour tout x E, vérifint l condition supplémentire ϕ(e i,e j ) = 0 pour tous i > j). On pourrit donc choisir de définir les formes qudrtiques pr les deux propriétés ci-dessus. Dns l exemple b ci-dessus, exemple où K = R, on remrqué qu on pouvit trouver une forme bilinéire symétrique pour définir l forme qudrtique étudiée. Si on cherche à fire l même chose vec un corps K bsolument quelconque, on rencontre une difficulté un peu surprennte; dns un tel corps K, il est nturel de considérer que l nottion 2 représente l élément 1 K +1 K du corps K. Si 2 = 1 K +1 K 0 K, on peut pr définition d un corps trouver un inverse de 2 pour l multipliction, qu on noter 1/2 K. Si 2 0, on peut toujours supposer que l forme bilinéire ϕ de l définition ci-dessus est symétrique, en l remplçnt pr l forme symétrique ψ = 1 2 (ϕ + ϕ). Puisque ψ(x, x) = ϕ(x, x), l forme bilinéire symétrique ψ définit l même forme qudrtique que ϕ. Le lecteur sensé pourr se demnder comment pourrit être nul! Cel se produit qund on utilise un corps K tel que le corps à deux éléments Z/2Z, ce qu heureusement on ne fit ps tous les jours, u moins en DEUG. On noter que si 2 0 K, on ussi 4 0 K, ce qui jouer un tout petit rôle un peu plus loin. Pour les deux exemples introductifs de cette section, on trouver pour forme bilinéire symétrique ssociée : ϕ(x, y) = x 1 y 1 + x 1 y 3 + x 3 y 1 + x 2 y 2 pour le premier exemple, et pour le second ϕ(f,g) = 1 0 (f(t)g(t) + f(t)g (t) + f (t)g(t)) dt. Remrque. Si K = Z/2Z, l forme qudrtique Q(x) = x 1 x 2 sur K 2 de l exemple ne peut ps être représentée pr une forme bilinéire symétrique sur K 2 K 2. 11

13 Supposons donc que 2 0, et supposons que ϕ soit une forme bilinéire symétrique telle que ϕ(x, x) = Q(x) pour tout x E. On lors pour tous x, y E l reltion Q(x + y) = Q(x) + 2ϕ(x, y) + Q(y). Ceci permet de trouver ϕ à prtir de Q, 2ϕ(x, y) = Q(x + y) Q(x) Q(y) ; 4ϕ(x, y) = Q(x + y) Q(x y) Cette reltion montre que ϕ (symétrique) est complètement déterminée pr Q. On dir que ϕ est l forme bilinéire symétrique ssociée à l forme qudrtique Q, obtenue pr polristion de l forme qudrtique Q; on dit que ϕ est l forme polire de Q. Résumé. Si 1 K + 1 K 0, pour toute forme qudrtique Q sur E il existe une forme bilinéire symétrique unique ϕ sur E E telle que Q(x) = ϕ(x, x) pour tout x E. Cette forme bilinéire ϕ est définie pr ϕ(x, y) = 1 ( ) 1( ) Q(x + y) Q(x y) = Q(x + y) Q(x) Q(y). 4 2 Exercice élémentire : si 2 0, trouver l forme polire des monômes Q(x) = x i x j, ou bien Q(x) = x 2 i (où x = (x 1,..., x n ) K n, et i, j = 1,..., n). Si E est de dimension finie, on considère en générl l mtrice de ϕ (qu on ppeller ussi mtrice de Q) en prennt deux fois l même bse pour E. Soit e une bse de E; puisque ϕ est symétrique, il est clir que l mtrice Φ = Mt(ϕ,e,e), dont les coefficients sont Φ i,j = ϕ(e i, e j ), est symétrique ( t Φ = Φ). Si X désigne le vecteur colonne des coordonnées de x E dns l bse e, on Q(x) = t X Φ X. Si on effectue le chngement de bse X = PX, l mtrice devient Φ = t P Φ P. Orthogonlité pour une forme bilinéire symétrique Soit ϕ une forme bilinéire symétrique sur E E; on dit que deux vecteurs x et y sont orthogonux pr rpport à ϕ, ou bien ϕ-orthogonux si ϕ(x, y) = 0. On ussi (et heureusement!) ϕ(y, x) = 0 puisque ϕ est symétrique. Si x et y sont ϕ-orthogonux, on Q(x + y) = Q(x) + Q(y) pour l forme qudrtique Q ssociée à ϕ, définie pr Q(x) = ϕ(x, x) pour tout x E. Soit A une prtie de l espce E; on pose A = {y E : x A, ϕ(x, y) = 0}. L ensemble A est un sous-espce vectoriel de E. Si A 1 A 2, on A 2 A 1. On toujours A A. Noyu d une forme bilinéire symétrique Soit ϕ une forme bilinéire symétrique sur E; l orthogonl de E est le sous-espce N ϕ = E = {y E : x E, ϕ(x, y) = 0}. On l ppelle le noyu de l forme ϕ (ou de l forme qudrtique Q). On voit fcilement que c est ussi le noyu de l ppliction linéire D ϕ de E dns E. Il est fcile de trouver l expression mtricielle du noyu de ϕ : si Φ = Mt(ϕ,e,e) et si Y est le vecteur colonne des coordonnées de y E dns l bse e, on voit que y N ϕ si et seulement si ΦY = 0. 12

14 Définition Soient E un espce vectoriel de dimension finie, ϕ une forme bilinéire symétrique sur E E et Q l forme qudrtique sur E ssociée à ϕ. On ppelle rng de l forme bilinéire symétrique ϕ, ou bien rng de l forme qudrtique Q l quntité r = dim E dimn ϕ. Dns n importe quelle bse e de E, le rng de ϕ est égl u rng de l mtrice Φ = Mt(ϕ,e,e). En effet, le noyu N Φ de l ppliction Y ΦY est en bijection linéire vec N ϕ, et le rng de l mtrice Φ est égl à n dimn Φ = dime dim N ϕ. Formes bilinéires symétriques non dégénérées. On suppose ici que E est de dimension finie > 0. Définition On dit qu une forme bilinéire symétrique ϕ sur E E est non dégénérée si son noyu N ϕ est réduit à {0 E }. Cel signifie que pour tout y 0 E, il existe un vecteur x E tel que ϕ(x, y) 0. Cel équivut encore à dire que l ppliction D ϕ est injective de E dns E, donc bijective puisque les deux espces ont l même dimension. L forme bilinéire ϕ est donc non dégénérée si et seulement si s mtrice pr rpport à une bse quelconque de E est inversible. Cel équivut ussi à dire que rng ϕ = dim E. Exemple. L forme hyperbolique de l exemple 4 est non dégénérée : pour tout vecteur v = (x, y, z,t) non nul, on ϕ(v, e j ) 0 pour u moins un vecteur e j de l bse cnonique de R 4. On peut dire ussi que l mtrice de ϕ pr rpport à l bse cnonique est inversible : c est l mtrice digonle de coefficients digonux 1, 1, 1, 1. Orthogonlité pour une forme bilinéire non dégénérée L proposition nous donne en prticulier On suppose que ϕ est une forme bilinéire symétrique sur E E, où E est de dimension finie. Pour tout sous-espce vectoriel F de E, tel qu ucun vecteur non nul x F ne puisse être orthogonl à E tout entier, (c est à dire que F N ϕ = {0 E }) on dimf = dim E dimf. Si ϕ est non dégénérée, l hypothèse ci-dessus est vérifiée pour tout sous-espce F de l espce E. On obtient donc : Corollire On suppose que dime < + et que ϕ est une forme bilinéire symétrique non dégénérée sur E E. Pour tout sous-espce vectoriel F de E, on dimf = dim E dim F ; (F ) = F. Supposons mintennt que ϕ soit une forme bilinéire symétrique sur E E, et que F soit un sous-espce vectoriel de E. On peut considérer l restriction de ϕ u produit F F. Dire que cette restriction ψ est non dégénérée sur F F signifie exctement qu ucun vecteur non nul de F ne peut être orthogonl à F tout entier, ce qui se trduit pr F F = {0 E }. 13

15 Exemple. Reprenons l forme bilinéire non dégénérée ϕ(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 x 4 y 4 sur R 4. Considérons le vecteur non nul v 0 = (1, 0, 0, 1). On ϕ(v 0, v 0 ) = 0, donc le vecteur non nul v 0 est ϕ-orthogonl à lui-même! On dit que v 0 est un vecteur isotrope. De plus si on pose F = Rv 0 on voit que l restriction ψ de ϕ à F F est nulle, donc ψ est dégénérée. Il ne fut ps confondre le fit que l forme bilinéire ϕ est non dégénérée (ce qui est vri dns l exemple présent) et le fit que ϕ(x, x) n est ps nul si x 0 E (qui est fux dns ce même exemple). Pour tout compliquer, on verr plus loin que pour les formes bilinéires positives, il y identité de ces deux propriétés! Proposition Soient E un espce vectoriel de dimension finie, ϕ une forme bilinéire symétrique sur E E et F un sous-espce vectoriel de E; l restriction ψ de ϕ à F F est non dégénérée si et seulement si E = F F. Démonstrtion. Supposons d bord l restriction ψ non dégénérée. On sit lors que l on F F = {0}. A fortiori, ucun vecteur non nul de F ne peut être orthogonl à l espce E tout entier, donc l proposition s pplique, et permet de voir que dim F = dime dim F. Puisque l intersection de F et F est nulle, on trouve que E = F F. Réciproquement, dire que l somme de F et F est une somme directe sous-entend que F F = {0}, ce qui équivut à dire que ψ est non dégénérée. Exemples. 1. Posons Q(x) = x 2 1 pour tout x R 2. Le noyu est lors N = Re 2, donc Q est dégénérée. Mis si on prend F = Re 1, l restriction de Q à F est non dégénérée; on obtient F = Re 2 qui est bien de dimension 2 1 = 1, et de plus F N = {0}, ce qui correspond à R 2 = F F. En revnche si on prt du sous-espce G = Re 2, l orthogonl G est R 2 tout entier et l somme G + G n est ps directe. 2. Posons Q(x) = x x 2 2 x 2 3. Cette forme est non dégénérée. Posons v = (1, 0, 1). L orthogonl de F = Rv est bien de dimension 2 = dime dim F = 3 1 puisque Q est non dégénérée, mis Rv (Rv) prce que v est isotrope, donc l somme F + F n est ps directe. Effectivement, l restriction de ϕ à F = Rv est dégénérée. Expression dns une bse ϕ-orthogonle Soient ϕ une forme bilinéire symétrique sur E E et Q l forme qudrtique sur E ssociée à ϕ; si e 1,..., e k sont deux à deux ϕ-orthogonux, on Q(c 1 e c k e k ) = c 2 1 Q(e 1) + + c 2 k Q(e k). Si (e 1,..., e n ) est une bse de E formée de vecteurs deux à deux ϕ-orthogonux (on verr plus loin que si E est de dimension finie et 2 0, on peut toujours trouver une telle bse ϕ-orthogonle pour E), l mtrice Φ = Mt(ϕ, e, e) est digonle. Les coefficients digonux sont Q(e 1 ),..., Q(e n ). Supposons que Q(e i ) 0 pour i = 1,..., s et que Q(e i ) = 0 pour i > s, où s est un entier tel que 0 s n (si s = 0, on veut dire que tous les (Q(e i )) sont nuls, et si s = n, tous les (Q(e i )) sont non nuls). Il est fcile de déterminer le noyu de N ϕ en utilisnt l bse e. On voit que N ϕ = [e s+1,..., e n ] 14

16 ce qui montre ussi que le rng de ϕ est égl à s. Si des vecteurs x 1,..., x p de E sont deux à deux orthogonux pour l forme ϕ et si on x = c 1 x c p x p, on voit que p ϕ(x, x j ) = c j ϕ(x j, x j ), ϕ(x, x) = c 2 j ϕ(x j, x j ). Si tous les vecteurs sont non isotropes, ϕ(x j, x j ) 0 pour j = 1,...,p on voit que les coefficients de l combinison linéire x sont uniquement déterminés, c i = ϕ(x, x i) ϕ(x i, x i ). Lemme. Si des vecteurs sont deux à deux ϕ-orthogonux et non isotropes, ils sont linéirement indépendnts. Remrque. Le résultt n est ps vri pour des vecteurs isotropes : dns l exemple 4, si v 0 = (1, 0, 0, 1), le système (v 0, v 0 ) est un système de vecteurs ϕ-orthogonux non nuls, mis bien sûr ps indépendnts! Proposition On suppose que 2 0. Soit ϕ une forme bilinéire symétrique sur un espce vectoriel E de dimension finie; il existe une bse e 1,..., e n de E formée de vecteurs deux à deux ϕ-orthogonux. Démonstrtion. Pr récurrence sur l dimension de E. Si E est de dimension 1, on choisit e 1 0 dns E; ce vecteur constitue une bse de E, et puisqu il est seul, il n y ps d orthogonlité à vérifier. Supposons mintennt n > 1, et supposons le résultt étbli pour toute forme bilinéire symétrique ψ sur un espce vectoriel G de dimension < n. Soit ϕ une forme bilinéire symétrique sur E, vec dim E = n, et posons Q(x) = ϕ(x, x) pour tout x E; si ϕ est nulle, il suffit de prendre une bse quelconque (e 1,..., e n ) de E : les vecteurs de bse seront utomtiquement ϕ-orthogonux. Sinon, ϕ est non nulle, et puisque ϕ(x, y) = 1 2( Q(x+y) Q(x) Q(y) ), l forme qudrtique Q ne peut ps être identiquement nulle sur E. Il existe donc un vecteur v E tel que ϕ(v, v) 0; posons e 1 = v et G = {x E : ϕ(x, e 1 ) = 0} = {e 1 }. Puisque l forme linéire x ϕ(x, e 1 ) n est ps nulle, son noyu G est de dimension n 1, et e 1 / G, donc E = G Ke 1. Définissons sur G l forme bilinéire symétrique ψ pr ψ(x, y) = ϕ(x, y) pour tous x, y G (c est l restriction de ϕ à G G). D près l hypothèse de récurrence, il existe une bse (e 2,..., e n ) de G formée de vecteurs deux à deux ψ-orthogonux. Le système (e 1, e 2,..., e n ) est lors une bse de E. Pr définition de G on ϕ(e i, e 1 ) = 0 pour tout i > 1, et pour 2 i, j, i j on ϕ(e i, e j ) = ψ(e i, e j ) = 0, donc on trouvé une bse ϕ-orthogonle pour E. Remrque. L mtrice de ϕ dns l bse ϕ-orthogonle (e 1,..., e n ) est digonle, les éléments digonux étnt ϕ(e 1, e 1 ),..., ϕ(e n, e n ). ATTENTION. Il ne s git ps ici d une digonlistion de mtrice u sens de l théorie des vleurs propres et des vecteurs propres. Si Φ est l mtrice de ϕ dns une première bse, et si Φ est l mtrice de ϕ dns une bse ϕ-orthogonle, l mtrice Φ est digonle, mis ses vleurs digonles ne sont ps nécessirement des vleurs propres de Φ (ces deux mtrices n ont ps en générl le même polynôme crctéristique; l formule de chngement de bse n est ps celle qui donne l invrince du polynôme crctéristique, 15 j=1

17 c est ici l formule Φ = t P Φ P. Si pr exemple Φ est déjà digonle et si P est égle à c I n, les coefficients digonux seront multipliés pr c 2 et n uront visiblement ucune rison d être des vleurs propres de Φ). Le cs réel Supposons dns ce prgrphe que K = R. On v simplifier u mximum l expression que l on peut trouver pour l mtrice de ϕ dns une bse ϕ-orthogonle. Supposons donc que ϕ soit bilinéire symétrique sur un espce vectoriel réel E de dimension finie, et soit e = (e 1,..., e n ) une bse ϕ-orthogonle; on v remplcer cette bse pr une bse de l forme e = (t 1 e 1,..., t n e n ), vec t i > 0. Si Q(e i ) 0, on pose t i = Q(e i ) 1/2, et si Q(e i ) = 0, on pose pr exemple t i = 1 (mis ç n en fit ucune importnce). Dns l nouvelle bse (e 1,..., e n), on encore l orthogonlité, puisque ϕ(t i e i, t j e j ) = t i t j ϕ(e i, e j ) = 0 si i j, et d utre prt Q(e i ) = Q(t ie i ) = t 2 i Q(e i) est nul si Q(e i ) = 0, sinon Q(e i ) = Q(t ie i ) = Q(e i )/ Q(e i ) = ±1, selon le signe de Q(e i ). En résumé : Lorsque K = R, il existe une bse ϕ-orthogonle dns lquelle l mtrice de ϕ est digonle, vec des coefficients digonux égux à 1, 1 ou 0. Dns le cs complexe, on peut toujours trouver t i C tel que t 2 i = Q(e i). On obtient lors : Lorsque K = C, il existe une bse ϕ-orthogonle dns lquelle l mtrice de ϕ est digonle, vec des coefficients digonux égux à 1 ou 0. Les résultts précédents se trduisent mtriciellement de l fçon suivnte : désignons pr J p,q,n l mtrice digonle de tille n n dont les p premiers coefficients digonux sont égux à 1, les q suivnts égux à 1 et les restnts égux à 0 (on suppose p, q 0 et p + q n). Pour toute mtrice symétrique réelle A de tille n n, il existe une mtrice réelle inversible P telle que t PAP soit égle à l une des mtrices J p,q,n. Pour toute mtrice symétrique complexe A de tille n n, il existe une mtrice complexe inversible P telle que t PAP soit égle à l une des mtrices J p,0,n. Expliquons le cs réel. Considérons l forme bilinéire symétrique définie pour X, Y R n pr l formule ϕ(x, Y) = t XAY. On peut trouver une bse f de R n qui soit ϕ-orthogonle, et deux entiers p, q 0 tels que p + q n et tels que ϕ(f j, f j ) = 1 pour 1 j p, ϕ(f j, f j ) = 1 pour p + 1 j p + q et ϕ(f j, f j ) = 0 si j > p + q. Dns cette bse f l mtrice de ϕ est égle à J p,q,n. Si P désigne l mtrice de pssge, P est une mtrice réelle inversible et t PAP = J p,q,n. Le cs complexe s explique de fçon nlogue. Dns le cs réel, le rng de l forme ϕ est égl à p + q, et on verr plus loin dns le prgrphe signture que les deux entiers p et q ne dépendent que de A, et ps de l bse ϕ-orthogonle prticulière. Combinisons linéires de crrés de formes linéires Revenons u cs générl. Supposons que e soit une bse ϕ-orthogonle de l espce vectoriel E. Si x = n i=1 c ie i, on ur pr orthogonlité Q(x) = n i=1 Q(e i) c 2 i soit encore en introduisnt l bse dule et en utilisnt l reltion c i = e i (x) n Q = Q(e i ) (e i ) 2. i=1 On donc exprimé Q comme combinison linéire de crrés de formes linéires. Inversement, soient l 1,..., l k des formes linéires sur E et 1,..., k des coefficients dns K. 16

18 Posons Q(x) = k i (l i (x)) 2. Cette forme qudrtique dmet clirement pour forme polire ϕ(x, y) = i=1 k i l i (x)l i (y). i=1 Si l 1,..., l k sont indépendntes, on peut prolonger en une bse (l 1,..., l n ) de E, puis trouver une bse e = (e 1,..., e n ) de E telle que l i (e j ) = δ i,j pour tous i, j = 1,..., n (utiliser le corollire 1.1.2). On vérifie lors que ϕ(e i, e j ) = k i l s (e i )l s (e j ) = 0 s=1 si i j (on remrque que l s (e i )l s (e j ) = δ s,i δ s,j = 0 pour tout s lorsque i j), donc e est une bse ϕ-orthogonle. On insi vu le rpport entre l recherche d une bse ϕ-orthogonle et l expression de l forme qudrtique Q comme combinison linéire de crrés de formes linéires indépendntes. Décomposition de Guss L méthode de Guss est une méthode prtique très simple qui permet de trouver une bse orthogonle pour une forme bilinéire symétrique ϕ. En rélité, il s git d une méthode qui v permettre d exprimer l forme qudrtique Q ssociée à ϕ sous forme de combinison linéire de crrés de formes linéires indépendntes. On pourr ensuite en déduire une bse ϕ-orthogonle comme on l expliqué dns le prgrphe précédent. Commençons pr un exemple très simple, où l forme qudrtique Q est définie sur R 2 pr Q(x) = x 2 1 +x 1x 2 +x 2 2. On écrit le début d un crré, (x x 2) 2 = x 2 1 +x 1x x2 2, donc Q(x) = ( x x ) x2 2 = l 1 (x) 2 + l 2 (x) 2. A prtir de cette expression, on peut trouver une bse orthogonle de l fçon suivnte : les deux formes linéires sont l 1 et l 2, définies pr l 1 (x) = x x 2 et l 2 (x) = 3 2 x 2. On cherche l bse voulue en résolvnt les équtions l i (e j ) = δ i,j, i, j = 1, 2. On obtient insi e 1 = (1, 0) ; e 2 = ( 1/ 3, 2/ 3). Dns cet exemple, on voit que Q est une somme de deux crrés. Il en résulte que l expression Q(x) est toujours 0 (en fit Q(x) > 0 pour tout x 0, cr les reltions l 1 (x) = 0 et l 2 (x) = 0 entrînent ici que x = 0). Une des pplictions de l méthode de Guss est donc l étude du signe d une forme qudrtique réelle, une question que nous reverrons en Clcul Différentiel à propos de l formule de Tylor à l ordre deux pour une fonction de plusieurs vribles. Mis l méthode de Guss s pplique ussi à des corps générux (pour lesquels il n y ps de notion de signe d une expression), à condition toutefois que 2 0. Proposition Soit K un corps tel que 2 0, et soit Q une forme qudrtique sur K n. Il existe n formes linéires indépendntes l 1,..., l n sur K n et des coefficients 17

19 c 1,..., c n dns K tels que pour tout x K n Q(x) = n c i (l i (x)) 2. Le rng de Q est égl u nombre des coefficients c i non nuls. i=1 Démonstrtion. On démontre l existence de l décomposition pr récurrence sur le nombre de vribles. Soit Q une forme qudrtique sur K n, considérée comme fonction Q(x 1,..., x n ) de n vribles x 1,..., x n K. On peut écrire n Q(x) = b i,j x i x j i=1 i x 2 i + i<j Supposons d bord que l un des coefficients i soit non nul, et pour simplifier l écriture, supposons que i = 1. On écrit lors Q sous l forme Q(x) = 1 x l(y) x 1 + q(y), où 1 0, y = (x 2,..., x n ), l est une forme linéire qui ne dépend ps de x 1 et q une forme qudrtique qui ne dépend ps de x 1. Ensuite, Q(x) = 1 ( x l(y) ) 2 + ( q(y) l(y) 2), et on pplique l hypothèse de récurrence à l forme qudrtique Q(y) = q(y) l(y) 2, qui ne dépend plus que des (n 1) vribles x 2,..., x n. Cette forme qudrtique est pr hypothèse de récurrence combinison linéire de crrés de formes linéires indépendntes l 2,..., l n qui ne dépendent que des vribles x 2,..., x n. Ces formes sont lors indépendntes de l forme linéire l 1 (x) = x l(y) (prce que l 1 dépend explicitement de l vrible x 1 ; pour mieux se convincre, on pourr voir quelle est l forme de l mtrice n n dont les lignes contiennent les coefficients des formes linéires l 1,..., l n ). Le deuxième cs est plus embêtnt. C est le cs où tous les coefficients i sont nuls, sns que l forme Q soit nulle. Soit lors (i, j) un couple tel que b i,j soit non nul, et supposons pour simplifier l écriture que (i, j) = (1, 2). On écrit mintennt Q(x) = b 1,2 x 1 x 2 + l(y)x 1 + m(y)x 2 + q(y), où y = (x 3,..., x n ), l et m sont des formes linéires qui ne dépendent ps de x 1, x 2 et q une forme qudrtique qui ne dépend ps de x 1, x 2. On pose u 1 = (x 1 + x 2 )/2, u 2 = (x 1 x 2 )/2, et on trnsforme l expression précédente en Q(x) = b 1,2 (u 2 1 u 2 2) + l(y)(u 1 + u 2 ) + m(y)(u 1 u 2 ) + q(y), que l on trite pr l méthode précédente, ppliquée ux nouvelles vribles (u 1, u 2, x 3,..., x n ). On termine en revennt ux vribles initiles. Exercices. 1. Triter l exemple Q(x) = x 2 + yz + y 2 2xz + z Un exemple sns crré : xy + yz + czx. On pose x = u + v et y = u v, on fit le clcul vec les vribles u, v, z et on chnge à l fin. En déduire une bse ϕ-orthogonle de R 3. 18

20 Le cs réel On supposer désormis que K = R. Dns l méthode de Guss, on pourr simplifier chcun des termes c l(x) 2 (où c R) de l proposition précédente de l fçon suivnte : on pose m(x) = c l(x); si c > 0, on remplce c l(x) 2 pr m(x) 2, et si c < 0, on remplce c l(x) 2 pr m(x) 2. Si c est nul, on n écrit rien du tout (et en fit dns l ppliction prtique de l méthode de Guss, on ne clcule en générl ps celles des formes linéires l j de l proposition précédente pour lesquelles c j = 0). Si on une forme qudrtique Q qui n est ps définie sur R n mis sur un espce vectoriel réel bstrit de dimension n, on choisit une bse de E et on effectue les clculs vec les coordonnées x 1,..., x n dns cette bse. En résumé : Etnt donnée une forme qudrtique Q définie sur un espce vectoriel réel E de dimension finie, il existe des formes linéires indépendntes l 1,..., l p, l p+1,..., l p+q telles que x E, Q(x) = l 1 (x) l p (x) 2 l p+1 (x) 2 l p+q (x) 2. Bien entendu, il est possible que p = 0 (il n y lors ps de signe +), ou bien q = 0 (il n y lors ps de signe ), ou bien les deux (si Q = 0). Si on complète ce système de formes linéires en une bse (l 1,..., l n ) de E, on peut trouver une bse (e 1,..., e n ) de E telle que l i (e j ) = δ i,j. Dns cette bse l mtrice Φ = Mt(ϕ,e,e) est digonle, vec Φ 1,1 = = Φ p,p = 1, Φ p+1,p+1 = = Φ p+q,p+q = 1 et Φ i,i = 0 si i > p + q. Le rng de l forme ϕ est égl à p + q. On voit donc que ϕ est non-dégénérée si et seulement si p + q = n. Exprimé en termes de bse ϕ-orthogonle, le résultt précédent donne : Il existe une bse ϕ-orthogonle dns lquelle l mtrice de ϕ est digonle, vec p coefficients digonux égux à 1, et q égux à 1, les utres étnt 0. L décomposition de Guss permet d étudier le signe de l forme qudrtique Q. Si q = 0, on Q(x) 0 pour tout x; si p = 0, on Q(x) 0 pour tout x. Dns le cs où p > 0 et q > 0, on est sûr que Q chnge de signe : en effet, l 1 (e 1 ) > 0 mis l p+1 (e p+1 ) < 0. Si p + q < n, il existe des vecteurs non nuls tels que Q(x) = 0, pr exemple x = e p+q+1. Si p = n, on ur Q(x) > 0 pour tout x 0, et si q = n, on ur Q(x) < 0 pour tout x 0. Signture d une forme qudrtique réelle Définition Soit Q une forme qudrtique sur un espce vectoriel réel E et soit ϕ s forme polire; on dit que ϕ (ou Q) est positive sur E si Q(x) 0 pour tout vecteur x E. On dit que ϕ (ou Q) est définie positive sur E si Q(x) > 0 pour tout vecteur x E non nul. Lemme. Soit ϕ une forme bilinéire symétrique sur un espce vectoriel réel E de dimension finie, et soit (x 1,..., x n ) une bse ϕ-orthogonle de E. Si on ϕ(x i, x i ) 0 pour tout i = 1,..., n, l forme ϕ est positive sur E. Si on ϕ(x i, x i ) > 0 pour tout i = 1,..., n, l forme ϕ est définie positive sur E. Démonstrtion. Elle est très fcile; expliquons uniquement l seconde prtie, qui est très légèrement plus délicte. Soit x un vecteur de E, décomposé dns l bse x = (x 1,..., x n ) sous l forme x = n i=1 c ix i. Puisque l bse x est ϕ-orthogonle, on obtient n ϕ(x, x) = c 2 i ϕ(x i, x i ) i=1 19

21 quntité positive puisque les c i sont réels et ϕ(x i, x i ) > 0 pr hypothèse. Si ϕ(x, x) = 0, il fut que tous les termes de l somme soient nuls, c est à dire c 2 i ϕ(x i, x i ) = 0 pour i = 1,..., n, ce qui implique c i = 0 puisque ϕ(x i, x i ) 0, donc x = 0 E. On définit de même l notion de forme bilinéire symétrique négtive, ou bien définie négtive, et on bien sûr le lemme nlogue à celui qui précède (il suffit de remplcer ϕ pr ϕ). Exercices. 1. Soit A l mtrice dns l bse cnonique d une forme bilinéire symétrique ϕ sur R 2. Montrer que ϕ est définie positive si et seulement si A 1,1 > 0 et det A > Si Φ est l mtrice d une forme bilinéire symétrique définie positive sur R n, montrer que : detφ > 0 (introduire une bse orthogonle et chnger de bse) ; pour tout k = 1,..., n, l mtrice Φ k de tille k k obtenue en ne grdnt que les coefficients Φ i,j tels que 1 i, j k définit une forme bilinéire définie positive sur R k ; il existe une mtrice tringulire supérieure inversible réelle U telle que Φ = t U U. Réciproque? On dir que Q est de signture (p, q) si l décomposition dns une bse orthogonle contient p termes tels que Q(e i ) = 1 (somme de crrés) et q termes tels que Q(e i ) = 1 (différence de crrés). Cette définition n de sens que si on montre que ces deux nombres ne dépendent que de Q, et ps de l décomposition prticulière. Supposons donc que (e 1,..., e n ) soit une bse ϕ-orthogonle de E, vec ϕ(e i, e i ) > 0 pour i = 1,..., p et ϕ(e i, e i ) 0 pour i > p. L forme Q est lors définie positive sur le sous-espce F de dimension p engendré pr e 1,..., e p et négtive sur le sous-espce G de dimension n p engendré pr les vecteurs e p+1,..., e n. Soit e = (e 1,..., e n) une utre bse ϕ-orthogonle, et supposons que mintennt ϕ(e i, e i ) > 0 pour i = 1,..., p, et ϕ(e i, e i ) 0 pour i > p. Désignons pr F le sous-espce engendré pr (e 1,..., e p ) et pr G le sous-espce engendré pr les utres vecteurs de l bse e. L forme ϕ est lors négtive sur G. Il en résulte que F G = {0} (en effet, si x F et x 0, on Q(x) > 0, donc x / G ). On en déduit que F et G forment une somme directe, donc p+(n p ) = dim(f+g ) dim E = n, ce qui donne p p 0. En risonnnt de même sur F et G, on obtient ussi p p 0, donc p = p. Le risonnement est le même pour montrer que q = q. Définition On dit que l forme qudrtique Q définie sur l espce vectoriel réel de dimension finie E, et de forme polire ϕ, est de signture (p, q) si s mtrice dns une bse ϕ-orthogonle contient p coefficients > 0 et q coefficients < 0 sur l digonle. Autrement dit, l forme qudrtique Q est de signture (p, q) s il existe une bse ϕ-orthogonle (e 1,..., e n ) pour E telle qu il existe p indices i pour lesquels Q(e i ) > 0 et q indices tels que Q(e i ) < 0. Dns ce cs, on ur l même sitution pour toute bse ϕ-orthogonle de E. Si dim E = n, l forme Q est définie positive si et seulement si elle est de signture (n, 0), et elle est définie négtive si et seulement si elle est de signture (0, n). Exemples. L forme hyperbolique sur R 4 de l exemple 4 est de signture (3, 1). Le produit sclire usuel sur R n est de signture (n, 0). 20