2,3 3+4 =2,3 3 2,3 4 Ce qui est découle des propriétés des puissances abordées en collège. Pour tous réels x et y, q x = 1 q x et q x y = q x. q y.
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- Anne-Marie Grenier
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1 I FONCTIONS EXPONENTIELLES DE BASE q (VIDÉO ) FONCTIONS EXPONENTIELLES x q x, AVEC q > 0 Soit q un nombr strictmnt positif. La suit (u n ) défini pour tout ntir n par u n = q n st un suit géométriqu d raison q. La fonction xponntill d bas q st l prolongmnt d ctt suit géométriqu. DÉFINITION Soit q un rél strictmnt positif La fonction f défini pour tout rél x par f (x)=q x s appll la fonction xponntill d bas q. On admt qu ctt fonction st dérivabl surr. EXEMPLE La fonction f défini pour tout rél x par f (x)=0,8 x st la fonction xponntill d bas 0,8. Un valur approcé d l imag d 5,3 st obtnu à la calculatric n tapant la séqunc : 0.8 ( ). RELATION FONCTIONNELLE : VIDÉO 2 La fonction xponntill f d bas q > 0 transform ls somms n produits. Pour tous réls x t : f (x+)= f (x) f () Autrmnt dit, pour tous réls x t : q x+ = q x q. EXEMPLE : 2,3 3+ =2,3 3 2,3 C qui st découl ds propriétés ds puissancs abordés n collèg. Pour tous réls x t, q x = q x t q x = q x q. En fft, q x x = q x q x soit = q x q x donc q x 0 t q x = q x. D plus, q x = q x+( ) = q x q = q x Pour tout rél x, q x > 0. En fft, q x 2 + x 2 = q x 2 q x 2 soit q x = q ( q x 2 ) 2 avc q x 0. Pour tout rél x t tout ntir rlatif m, ( q x) m = q mx Propriété usull ds xposants ntirs rlatifs. Pour tout ntir naturl n> 0, q n st «la racin n-ièm» d q Pour tout ntir naturl n> 0, comm n n=, alors q n st l nombr tl qu (q n ) n = q Pag sur 5
2 EXEMPLE(vidéo 3) Énoncé : Un ntrpris s st fixé comm objctif d réduir d 30 % ss émissions d gaz à fft d srr d ici quinz ans. D combin doit-ll réduir n monn ss émissions d gaz caqu anné pour attindr son objctif? Corrction : Soit t % l pourcntag d évolution annul mon ds émissions d gaz à fft d srr. On a : ( + t ) 5 = 0,7 + t = 0,7 5 t 00 = 0,7 5 Soit t 00 0,0235 Pour attindr son objctif, ctt ntrpris doit réduir caqu anné, ss émissions d gaz à fft d srr d nviron 2,35 %. 2 SENS DE VARIATION : VIDÉO En continuité avc ls suits numériqus, on admt qu l sns d variation d la fonction xponntill d bas q avc q > 0 st l mêm qu clui d la suit géométriqu associé : Si 0< q <, la fonction x q x st strictmnt décroissant surr. Si q =, la fonction x q x st constant surr. Si q >, la fonction x q x st strictmnt croissant surr. 3 PROPRIÉTÉS 0< q < q > La fonction xponntill d bas q st strictmnt décroissant surr. lim q x =+ t lim q x =0 x x + La fonction xponntill d bas q st strictmnt croissant surr. lim q x =0 t lim q x =+ x x + q 0 x q 0 x La fonction fonction xponntill d bas q st convx surr CONSÉQUENCE Si q > 0 t q, alors pour tous nombrs réls a t b : q a = q b si, t sulmnt si, a= b. Pag 2 sur 5
3 II LA FONCTION EXPONENTIELLE : VIDÉO 5 On admt qu parmi touts ls fonctions xponntills d bas q il xist un sul fonction dont l nombr dérivé n 0 soit égal à. 3 Autrmnt dit, il xist un sul valur du rél q = x+ tll qu la tangnt au point A(0; ) d la courb rprésntativ d la fonction x q x 2 a pour cofficint dirctur. Ctt valur particulièr du rél q st noté. A L nombr st un irrationnl un valur approcé st : 2, x - = x DÉFINITION La fonction x x s appll la fonction xponntill d bas ou plus simplmnt xponntill. On la not xp xp: x x La fonction xponntill st défini pour tout rél x par xp(x)= x xp(0)= 0 =, xp()= =, xp( )= =, xp(0,5)=0,5 = La fonction xponntill st strictmnt positiv surr:pour tout nombr rél x, x > 0 La fonction xponntill st dérivabl surrt son nombr dérivé n 0 st : xp (0)= Pour tous réls x t, t pour tout ntir rlatif m x+ = x, x = x, x = x, (x ) m = mx 2 DÉRIVÉE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE : VIDÉO 6 La dérivé d la fonction xponntill st la fonction xponntill. Pour tout nombr rél x, xp (x)= x Pour tout rél x t pour tout rél 0, xp(x+) xp(x) = x+ x = x x = x Or xp 0+ 0 (0)= signifi qu lim = soit lim =. 0 0 xp(x+ ) xp(x) Donc pour tout rél x, lim = lim x = x VARIATION : VIDÉO 7 La fonction xponntill st strictmnt croissant surr Pag 3 sur 5
4 La fonction xponntill st dérivabl surrt st égal à sa dérivé. Or pour tout rél x, x > 0. On n déduit qu la fonction xponntill st strictmnt croissant surr. Pour tout rél x 0, 0< x Pour tout rél x 0, x Pour tous réls x t, x = x= t x < x < EXEMPLES. Résoudr dansrl inéquation 3x < 2x 3 3x < 2x 3 3x < 2x 3 5x < x> ] [ 5 D où l nsmbl solution S = 5 ;+ 2. Résoudr dansrl inéquation x2 x2 x2 0 x 2 0 D où l nsmbl solution S =] ; ] [;+ [ COURBE REPRÉSENTATIVE : VIDÉO 8 CONVEXITÉ La fonction xponntill st convx surr La fonction xponntill st dérivabl surrt st égal à sa dérivé. Par conséqunt, la dérivé scond st xp (x)= x donc xp (x)>0. LIMITES > alors lim n + n =+. Par prolongmnt, lim n = ( ) n ( ) n n = d où lim n n = lim = 0. n + lim x x =0 t lim x + x =+ x + x =+. Par prolongmnt, lim x x =0. PROPRIÉTÉS. Équation d la tangnt au point d absciss 0 : = x+ 2. Équation d la tangnt au point d absciss : = xp () (x )+xp() Soit = x 3. La courb rprésntativ d la fonction xponntill st situé au dssus d la droit d équation = x. Pag sur 5
5 C xp 7 6 = x = x x - III EXPONENTIELLE D UNE FONCTION : xp(u) : VIDÉO 9 On considèr un fonction u défini sur un intrvall I t la fonction f noté f = u. EXEMPLES La fonction f défini pour tout rél x par f (x)= 0,5x 3. On a u(x)=0,5x 3 avc f = u. DÉRIVÉE Soit u un fonction défini t dérivabl sur un intrvall I. La fonction u st dérivabl sur I t ( u ) = u u EXEMPLES. Soit f la fonction défini pour tout rél x par f (x)= x. Pour tout rél x, on pos u(x)= x. u st dérivabl surrt u (x) =. Donc f st dérivabl surrt f (x)= x. 2. Soit f la fonction défini pour tout rél x par f (x)= 0,5x2 2x+. Pour tout rél x, posons u(x)=0,5x 2 2x+. u st dérivabl surrt u (x)=x 2. Donc f st dérivabl surrt f (x)=(x 2) 0,5x2 2x+. Pag 5 sur 5
f n (x) = x n e x. T k
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